London András TÁMOP -4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0006

(1)

TÁRSADALMI ÉS GAZDASÁGI HÁLÓZATOK MODELLEZÉSE 3. ELŐADÁS: VÉLETLEN GRÁFOK, GRÁFMODELLEK

TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0006

London András

(2)

Gráfmodellek

Milyen általános közös tulajdonságai vannak tipikus gráfoknak?

Tudjuk-e valamilyen modellel közelítenia valóságban megjelen® hálózatokat?

A különböz® területeken (társadalom, gazdaság, biológia, technológia) megjelen® hálózatok modelljei között mik a legfontosabb különbségek/hasonlóságok?

(3)

Gráfmodellek

Mely gráfok az érdekesek? Mi alapján különböztetjük meg az érdekeset a nem érdekest®l? −→ referencia pontok

Hálózatelemzésnél egy fontos referencia pont a véletlen gráf Két alapvet® gráfmodell család

Konstrukciós modellek: bizonyos szabályok mentén bizonyos típusú hálózatot hoz létre; pl. preferential attachment Generatív modellek: szabad paraméterek felhasználásával generál hálózatot; pl. az élvalószín¶ség adott

(4)

Erd®s- Rényi modell

¹

G(n,p) minden élt p∈[0,1]valószín¶séggel húzunk be, egymástól függetlenül

élek száma várhatóan: ⁿ₂ p átlagos fokszám: k = (n−1)p fokszámeloszlás:

P(ki =k) =

n−1 k

p^k(1−p)ⁿ⁻¹^−k, azazbinomiális.

Fontos és rendkívül sokat vizsgált matematikai modell

1Erd®s & Rényi, 1959

(5)

Erd®s-Rényi modell

ábra 1: Generált ER gráf fokszámeloszlása és az illesztett binomiális eloszlásgörbe

(6)

Kisvilág gráfok

Stanley Milgram (1933-84) kísérlete: véletlenül kiválasztott emberek küldjenek egy levelet egy közeli ismer®snek, hogy az szintén továbbküldje így, azzal a céllal, hogy egy általuk valószín¶leg ismeretlen bostoni orvoshoz eljusson végül a levél A 64 levél az USA 64 különböz® pontjáról átlagosan 5.5 levélváltás után célba ért

=⇒Kicsi átmér®: A legtávolabbi pontok sincsenek túl messzire egymstól...

(7)

Kisvilág gráfok

További fontos jellemz®: háromszögek száma nagy Klaszterezettség/tranzitivitás(Clustering coecient)

C = 3×háromszögek száma összefügg® ponthármasok száma

Kisvilág gráfokban (pl. társadalmi hálózatokban) ez a szám nagy (A barátom barátját nagy valószín¶séggel én is ismerem), szemben a véletlen gráfban, ahol 0-hoz tart.

(Szorgalmi: számoljuk ki)

(8)

Watts-Strogatz modell

²

Kiindul egy 4-reguláris gráfból (minden pont foka 4) Minden éltp valószín¶séggel átdrótoz ( azaz(i,j) él esetén választunk véletlenül egyk pontot, ésp valószín¶séggel töröljük(i,j)-t és behúzzuk(i,k)-t)

=⇒∼logn az átmér®; ha (i,j) és (i,k) is él, akkor nagy valószín¶séggel(j,k)is az (azaz háromszövek száma nagy)

2Watts & Strogatz, Nature, 1998

(9)

Barabási-Albert modell

³

Konstrukciós modell hogyan fejl®dhet ki egy hálózat?

Apreferential attachment modell:

1 kezetben egy összefügg®G₀ gráfn₀ponton

2 t id®pontban hozzáadunkGt-hez egy újv pontot úgy, hogy

P(v-t összekötjük egy meglév®i-vel) = ki

P

jkj

a kés®bbiekben részletesen tárgyaljuk a modellt

3Barabási & Albert, Science, 1999

(10)

Skálafüggetlen fokszámeloszlás

A fokszámeloszlás az ún. hatványtörvényt követi:

P(k_i =k) =ck^−α,

A valóságban megjelen® hálózat jelent®s része ilyen tulajdonságú

(a kés®bbiekben részletesen tárgyaljuk)

(11)

A konguráció modell

G(n,k) ahol k= (k₁,k₁, . . . ,kn) fokszámsorozat adott (P

ik_i páros!)

Pl. ha mindenk_i egyenl®, akkor egy reguláris gráfot kapunk;

ha k_i-k Poisson-eloszlású véletlen változókc/n várható értékkel, akkor egyG(n,p) típusú gráfhoz kerülünk közel Hogyan generálnánk le a gráfot, ha adottn és k?

P(i ésj összekötött) = kikj

2m

A meggyelt mintázatok a hálózatokban mennyire magyarázhatók pusztán a fokszámok ismeretében?