TÁRSADALMI ÉS GAZDASÁGI HÁLÓZATOK MODELLEZÉSE 7. ELŐADÁS: DIFFÚZIÓS FOLYAMATOK HÁLÓZATOKON
TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0006
London András
Adott egy társadalmi hálózat (baráti kapcsolatok, munkahely, szexuális kapcsolatok, stb.)
Hogyan hat egy fert®zés a hálózaton?
vírusfert®zés ötlet
információ innováció Általában
adottak kezdeti fert®z® pontok
a fert®zés a közvetlen kapcsolatokon (szomszédokon) keresztül terjed
Felmerül® problémák
Adott kezdeti feltételekesetén mekkora része fog a hálózatnak megfert®z®dni?
Kiknek a kezdeti fert®zése éri el amaximális fert®zést a hálózaton?
Inverz probléma: Ha látunk egy végállapotot, tudunk-e mondani valamit a fert®zési folyamatról?
Adott egy hálózat
Egy adott (fert®z®) pontból indulva indítunk egy fert®zési folyamatot
A folyamat dinamikája az egyszer¶ véletlen bolyongás Mi történik, ha több pontból indulunk?
A problémára még visszatérünk!
A kiindulás
Adott
Kezdeti fert®z® pontok száma
Becslés a hálózat pontjainak egymásra hatására Cél
Fert®zés indítása a lehet® legtöbb pontot elérve Kérdés
Kik legyenek a kezdetben fert®z® pontok Alkalmazás
termékmarketing innováció elterjesztése cikkek detektálása blogokban
Modellek
Els® matematikai modellek: Schelling '70,'78, Granovetter '78 Két alapmodell: tresholdés kaszkád
Általános megközelítés:
Egy társadalmi hálózat egy irányított gráal adott Pontok kezdetben aktívak vagy inaktívak
Egy aktív pont a szoszédaira tud hatni (azaz aktiválhatja) Az aktív pontok már nem deaktiválódnak
A lineáris küszöb modell
minden i ponthoz tartozik egy véletlenküszöbérték θi ∼U[0,1]
egyi pontra gyakorolt hatás a szomszádain keresztül:
P
jszomszédjai-nekbj,i ≤1
i aktívvá (fert®zött és fert®z®) válik, ha X
j aktív szomszédjai-nek
bj,i ≥θi
Példa (Kempe, Kleinberg, Tardos el®adásából)
(a) (b)
(c) (d)
Független kaszkád
Ha egy i pont aktív lesz,egyetlen esélye van aktiválni a még nem aktív szomszédait
Az aktiváláspij valószín¶séggel lesz sikeres
Példa (Kempe, Kleinberg, Tardos el®adásából)
(e)
(f)
A fert®zési hatás maximalizálása
f(S) az aktív (fert®zött) pontok számának várható értéke, ha S a kezdeti aktív pontok halmaza
Feladat:
Adottk paraméter: |S|=k
Találjunk egy k elem¶ ponthalmazt, amelyref(S) maximális Optimalizálási probléma f(S) célfügvénnyel
Gond:
A probléma NP-nehéz mindkét modellre Jó hír:
Használhatunk mohó algoritmust: (f(S+v)−f(S)→Max) Tétel: (1−1/e)>63%approximációt tud
Talán jut még rá id®...
