London András TÁMOP -4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0006

TÁRSADALMI ÉS GAZDASÁGI HÁLÓZATOK MODELLEZÉSE 5. ELŐADÁS: A SZTOCHASZTIKUS BLOKK MODELL

TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0006

London András

Magas szint¶ struktúrális mintázatok feltárása

Hálózatokban megjelen® mintázatok modellezése és vizsgálata

−→ véletlen generatív modellek

P(G|θ) θ kódolja a mintázatot,P(G|θ) pedig a feltételes valószín¶sége, hogy Ggráf tartalmazza azt

Visszafele irány (inference): adott Gvalós vagy szintetikus hálózat, határozzuk meg a legvalószín¶bb θ-t, amivel ez a hálózat generálódik

ábra 1:

Miért jó?

Explicit generálhatunk adott hálózatokat (nem egy algoritmus) Strukturával kapcsolatos hipotézisek ellen®rzése

Modellek jóságának ellen®rzése (mennire közelíti a modell a valóságot?)

Hiányzó minták vagy jöv®beli strukturák feltárása

A 80-as években jelent meg szociológia témájú folyóiratban:

Holland, Laskey, and Leinhardt, Stochastic blockmodels: First steps. Social Networks, 5(2), 109137 (1983)

Gyakran használják: gépi tanulás, komplex rendszerek vizsgálata, statisztikus zika

Léteznek általánosításai irányított és súlyozott gráfokra is

Modell deníció

Az SBM egyszer¶en egyθ= (k, z, M) hármas, ahol

1 k acsoportok (közösségek/ pont osztályok) számaa hálózatban

2 z egynhosszú vektor, aholz_i megadja, hogy az ipont melyik csoportba tartozik

3 M egy k×kblokk mátrix, aholM_uv megadja annak a valószín¶ségét, hogy egy ucsoportbeli és egy v csoportbeli pont kapcsollódik egymáshoz

Megj: el®szörk-t kell xálni, továbbá az azonos csoportban lév® pontok sztochasztikusan ekvivalensek

Hálózat generálása SBM-mel

1 Adott(k, z, M) hármas

2 Minden i, j pontpárra dobunk egy érmét: M_zi,zj valószín¶séggel behúzzuk (i, j) élt, 1−M_zi,zj-vel nem Szemben aG(n, p)-vel aminek két paramétere van, ésG(n,k)-val aminek1 +n, azSBM-nek1 +n+ ^k₂

paramétere van=⇒ Lehet®séget ad rengeteg különféle hálózat generálására

A véletlen gráf

AG(n, p) az SBM egy speciális esete:

k= 1, azaz egy csoport van M ≡p

Mzi,zj =p, mivelzi =zj minden pontpárra

ábra 2: A blokkmátrix és a realizált gráf (Forrás: Aaron Clauset, Network Analysis and Modelling course)

Hálózat közösségszerkezettel

ábra 3: Gráf közösségszerkezettel (Forrás: Aaron Clauset, Network Analysis and Modelling course)

Mag-periféria szerkezet

ábra 4: Gráf mag-periféria szerkezettel (Forrás: Aaron Clauset, Network Analysis and Modelling course)

Maximum likelihood

Adott egy (valós) hálózat mi az a blokkmodell, ami legjobban közelíti ezt a struktúrát?

Likelihood:

L(G|M, z) = Y

(i,j)∈E

M_zi,zj Y

(i,j)/∈E

1−M_zi,zj

=⇒Válasszuk M-et és z-t úgy, hogy ezmaximális legyen

Egy példa

Legyen

Nu pontok száma az ucsoportban (blokkban) Nuv =NuNv lehetséges élek számau és v között

Euv élek száma (meggyelés)u és v között=⇒ becslésünk az élvalószín¶ségre: Mˆ_uv=E_uv/N_uv

A likelihood függvényünk így L(G|M, z)Y

u,v

M_uv^Euv(1−Muv)^Nuv−Euv =

=Y

u,v

E_uv Nuv

Euv

1−E_uv Nuv

Nuv−Euv

Vegyük a logaritmusát, fejtsük ki és a kapott kifejezést amicsak z-t®l függ maximalizáljuk