500 DR. HUNYAD! LÁSZLÓ
képpen az ökonometriai módszerek jobb megértését szolgálja, ami a magyar öko- nometria jelenlegi helyzetében egyáltalán nem; megvetendő cél.
A fentieknek megfelelően ebben a tanulmányban viszonylag részletes áttekin—
tést kívánunk adni a rekurzív modellek kezelésével kapcsolatos problémákról. A fel-
merülő elméleti kérdéseket is főként gyakorlati oldalról vizsgáljuk, és inkább a meg—
ismerést jobban szolgáló kisméretű mintafeladatokon mutatjuk be azokat. A beve- zetést követő első részben a strukturális és a redukált forma alkalmazásának kérdé—
seit tekintjük át. Ezután röviden érintjük a becslések és az identifikáció elméleti prob- lémáit, majd bemutatjuk a rekurzív modellek esetén általánosan alkalmazott közön-
séges legkisebb négyzetek módszere (OLS) gyakorlati hiányosságait. végül ismer-
tetjük a rekurzív modellek becslésére alkalmas alternatív becsléseket. A fő következ—tetések összefoglalása után a felhasznált irodalom jegyzékét adjuk meg.
AZ 'OKONOMETRlAl MODELLEK STRUKTURÁLlS ÉS REDUKÁLT ALAKJA
Ismeretes, hogy az ökonometriai modellek építése elsődlegesen az ún. struktu-
rális egyenleteket hozza létre. amelyek általánosságban lineáris esetben17 : Yr—l-Xíf—ku
alakban írhatók fel. Ezek összessége az
V : YG—l—XB—l—U [li
vagy az
vr-txa : —u r : G—l
az ún. strukturális forma. Az is ismeretes, hogy az ökonometriai modelleket a struk-
turális forma matrixának megfelelően csoportosítjuk: ha F diagonális. egyszerű. haT' trionguláris, rekurzív, egyéb esetekben pedig szimultán modellekről van szó.
A strukturális forma fontos szerepet játszik a modell szerkezetében, hiszen ez hordozza azokat a valós összefüggéseket, amelyeknek összessége felépíti a modellt.
A strukturális forma tehát az egyszerű, egyedi, közvetlen kapcsolatok modellezésére szolgál, továbbá arra, hogy megfogalmazza és verifikálja a valóságra tett hipotézise- ;
inket. Ahhoz azonban. hogy ezeket a verifikált hipotéziseket kölcsönös összefüggé-
seikben. rendszerben, közvetett kapcsolatokkal együtt tudjuk vizsgálni, tovább kell lépni. Erre szolgál a redukált forma. amely a strukturális formából Ill kapható.2leer—i : _ur—i
Y : XU—l—V
ahol:
n' : —BI"'i V : -—UI7*1
Rekurzív modellekről lévén elsősorban szó. nem érdektelen bemutatni, hogy a redukált forma könnyen előállítható a Neumann—sor összege segítségével, hiszen:
(_A—1 : (l—G)"1 : I—l—GlGZ—l— url-G"
* A továbbiakban csak lineáris modellekkel foglalkozunk.
ZF invertálhatóságót minden esetben feltételezzük.
és
Y : XB(I—j—G—j—GZ—l—. . . —l—G " ) —j—U(H—G—j—62—l— . . . —l—G" )
amely forma jól mutatja, hogy a strukturális és a redukált forma viszonya hasonlít a közvetlen és a teljes kapcsolatokat leíró matrixok viszonyához.
Vizsgáljuk meg, hogy milyen elemzésekhez használható a redukált forma.3 A
redukált forma alapján lehet rendszerszemléletű ex post vizsgálatokat végezni. ahola kölcsönös kapcsolatokat már figyelembe vesszük. Előrejelzések végzésénél a redu—
kált forma elengedhetetlen, hiszen a strukturális forma nem ad lehetőséget erre, és a redukált forma alapján készül az ún. végső forma is, amely a modell dinamikus tulajdonságainak (például ciklikusság) meghatározásakor játszik döntő szerepet.
lgy tehát valójában a gyakorlati alkalmazások szempontjából a redukált forma két-
ségkívül fontosabb. mint a strukturális alak, hiszen a legfontosabb feladatok e for—
ma ismerete nélkül nem oldhatók meg.
Megjegyzendő, hogy az ún. szimulácíóval történő ex post és ex ante előrejelzés,
bár látszólag pótolja a redukált formát. lineáris esetben ugyanazokat a műveleteket
végzi el, mint amelyeket a redukált forma előállításakor és az ezzel kapható becs- lések elkészítésekor végzünk, igy ha a szimulációnál alkalmazott iteráció konvergál, a kapott ex post és ex ante becsléseknek (előrejelzéseknek) pontosan meg kell egyezniök a redukált formával kapottakkal. Ez könnyen belátható az alábbi módon:a szimuláció iterációja Y— 03 kiinduló értékkel kezdve az alábbi eljárást követi:
Ym : YlOlG..j..XB Ya) : Yi1)g_j_x3 Y'm : Yln—1)G_j_x3 A megfelelő behelyettesítések elvégzésével az
YU" : ((((Y(9)G—l-XB)G —l—XB)G-l-XB) . . . )G-l—XB : : Y(0)G" lXBGn—l-l—XBG'PLF . . . 4-XB :
:: Y(0)G" —l—XB(l—l—G—l—G'*l 4. ...-j—Gn—l)
formula adódik.
Ekkor n ., eo határátmenettel és feltételezve 6 legalább aszimptotikus nilpoten—
ciáját (amit F" 1 létezése jelez)
Y : XB(l—l—G—l—Gz—l— . . . 4l—G" —l—- . . .)
adódik. ami ekvivalens a redukált formával. Rekurzív esetben amikor F trianguláris
volta a normalitási szabály miatt G nilpotens voltát is jelenti, a fenti Neumann-sor véges lépésben konvergál a megfelelő inverzhez, hiszenl—l—G—j—GZ-l— . . . lek : (1—6)—i
azaz a redukált forma fokozatos behelyettesítéssel, vagy ami ezzel ekvivalens, a hat—
ványsor összegével véges lépésben előállítható.
3 Megjegyzendő. hogy a redukált forma többféleképpen is értelmezhető. Itt és a továbbiakban értelem- szerűen a strukturális formából származtatott redukált formát (derived reduced form) használjuk: ahol ettol
eltérünk. arra külön utalunk.
502 DR. HUNYADI LÁSZLÓ A redukált forma rekurzív esetben tehát elemi műveletek véges számú lépése után megkapható. Fontos azonban megjegyezni, hogy bár a strukturális és a redukált forma közötti kapcsolat hasonlatos az ÁKMAbázisú számításokból ismert közvetlen és
halmozott koefficiensmatrixok kapcsolatával, becslési szempontból lényeges különb—
ség van közöttük. Ez azt jelenti. hogy a strukturális és a redukált forma alapján ké—
szített becslések nem fognak egybeesni. azaz, ha például az átlagosan használt klasszikus legkisebb négyzetek kritériuma alapján végzünk becsléseket. más opti- mális paraméterkészlet adódik a strukturális és más a redukált forma alapján. Ez könnyen belátható, ha összehasonlítjuk a két esetben minimalizálandó célfüggvényt (a hibák négyzetösszegét), amely a strukturális formán alapuló becslések esetén U'U,
a redukált forma esetén pedig
V'V : U'ILI'F—lU
lesz. Ez a két kifejezés csak akkor egyenlő. ha
r—l'r—l : !
Ennek triviális esete F: I, amikor a modell egyszerű, ekkor a strukturális és redukált forma nyilvánvalóan megegyezik (hiszen minden egyenlet független a töb-
bitől). Bár elvben a
r—l'r—l : !
egyenlőség más Fesetére is fennállhat, gyakorlati esetekben ez kizártnak tekinhető.
A fentiekben láttuk tehát, nem mindegy. hogy a modell becslését a strukturális vagy a redukált forma alapján végezzük el. Ahhoz. hogy egy adott esetben a két le- hetőség közül választani tudjunk, mérlegelni kell. hogy a modell felhasználásánál melyik forma használatosabb. Általában utaltunk rá. hogy a redukált formán alapuló felhasználás lényegesen elterjedtebb. olyannyira, hogy egyesek a strukturális formá-
nak a létjogosultságát is kétségbe vonják. ((3) 379. old.). A redukált forma előnye
amellett, hogy rendszerszemléletű becslést ad (ellentétben az egymástól szeparált strukturális egyenletekkel), az. hogy megteremti a modell egységes felépítését, ami azt jelenti, hogy azY: YF-j—XB—l—U
alakban becslés után sem állhat ugyanarra a mennyiségre más érték az egyenlet
két oldalán. Egyszerű strukturális becslés esetén
? : vÉLx/á
adódik, ami ellentmondás a rendszer szempontjából; a redukált formánál viszont:
? : n?
tehát az ellentmondás nyilvánvalóan nem áll fenn. Hasonlóképpen nem jelentkezik ez a probléma akkor sem. ha a redukált formából kiindulva adunk becslést a struk- turális formára: ezzel a későbbiekben részletesen is foglalkozunk. (Meg kell jegyez- ni, hogy a fenti tulajdonság a strukturális formára vonatkoztatva ekvivalens az ún.
fixpont tulajdonsággal, ami becslésivkri—tériumként is használatos (12).) Ugyancsak
megemlítendő, hogy ez a tulajdonság biztosítja egy modell esetén az elemzés (struk- turális egyenletek értelmezése) és az előrejelzés (redukált egyenletek) tartalmi ésformai összhangját. '
A BECSLÉSEK ÉS AZ lDENTlFlKÁClÓ ELMÉLETI KÉRDÉSEI
A többegyenletes modellek becslésének első kérdése minden esetben az. hogy vajon a paraméterek a rendelkezésre álló információk és a priori korlótozósok fi—
gyelembevételével becsülhetők—e, és ha igen, a becslések milyen tulajdonságúak lesznek. Abból, hogy a rekurzív rendszereket gyakran az egyszerű rendszerekkel azo—
nos módon kezelik. következik az is, hogy a rekurzív modellek becslésénél kevés fi- gyelmet szentelnek a fenti kérdésnek, azaz az identifikációnak.
Anélkül, hogy részletesen foglalkoznánk a problémával, megemlítjük. hogy az identifikáció szempontjából a rekurzív modellek a szimultán modellekhez hasonlíta- nak. tehat léteznek alulídentifikált, éppen identifikált és túlidentifikólt modellek, az ezek megállapítására szolgáló rend- és rangkritériumok is azonosak a szimultán rendszerekével. lgy tehát a rekurzív modellek becslésekor első lépésként meg kell vizsgálni. hogy az adott modell melyik identifikációs kategóriába tartozik.
Ezzel kapcsolatban fontosnak tartjuk megemlíteni. hogy alulidentifikólt esetben (azaz akkor, amikor a modell legalább egy egyenlete nem identifikálható) a becslés nem végezhető el, azaz nem készíthető becslőfüggvény a modell valamennyi para- méterére. Ha azonban a modellt nem rendszernek. hanem egymástól független egyenleteknek tekintjük (amit az egyenletenként történő klasszikus legkisebb négy—
zetek módszerén alapuló becslés indokol). a becslés esetleg elvégezhető. Ez esetben
tehát olyan paramétert (vagy paramétereket) becsültünk, amely valójában nem be—
csülhető. Ez az eset már önmagában is felhívja a figyelmet a modell egyenletenként történő kezelésének veszélyeire, valamint arra, hogy az identifikációs tulajdonságo- kat rekurzív modellek esetén is a becslések megkezdése előtt meg kell vizsgalni.
Mivel a rekurzív modellek becslésével kapcsolatos gyakorlati problémákat és fél- reértéseket (: paraméterbecsléseknek, valamint a regressziós függvények becslésé- nek bizonyos keveredése okozza, célszerű ezt a két kérdést külön tárgyalni.
Az ökonometriai becsléselmélet lényegesen többet foglalkozik a paraméterek, mint a függvények becslésével. A paraméterbecslések elméletéből ismert (például (1 1)), hogy rekurzív modellek esetében. tekintve. hogy az egyes egyenletek magyaró- zó vóltozói és a véletlen vóltozók függetlensége feltételezhető, az egyenletenkénti klasszikus legkisebb négyzetek módszerével történő becslések legalább konziszten—
sek lesznek. (Torzítatlansógról azért nem lehet általánosságban beszélni, mivel a modell felírósóból egyenesen következően a magyarázó vóltozók között endogén — sztochasztikus — változók is szerepelnek, s ekkor a klasszikus legkisebb négyzetek módszere ..csak" konzisztens becslést ad.) Hasonlóképpen bizonyított rekurzív mo- dellek esetében az, hogy a strukturális formóra egyenletenként alkalmazott klasz-
szikus legkisebb négyzetek módszere a paraméterek hatásos (minimális szórósú) becsléséhez vezet.
Mivel a függvényértékek becslésére vonatkozó megállapítások kevésbé ismer- tek, (: kérdést egy egyenletből ólló modell példáján vilc'rgítjuk meg. Kiindulva az
y : Xfi—ku
egyenletből és feltételezve. hogy a standard lineóris modellre vonatkozó feltételek teljesülnek, a függvényérték ex post becslése:
?: X?
a becslési hiba pedig
y—? : xferu—xífíz X(B—3)—l—u
504 DR. HUNYAD! LÁSZLÓ
alakú lesz. Előrejelzés esetén (ex ante becslés). ha az előrejelzési időszakra is az
Yai: : ng-l- "—
összefüggést feltételezzük a szokásos standard hipotézisek (vö. (10) 123. old.) fenn-
tartásával (ceteris paribus elv), az előrejelzés hibája analóg módon
XAB **?) 'l' "*
alakú lesz.
A becslés (előrebecslés) akkor torzítatlan. ha hibájának várható értéke 0. ami a fenti egy egyenletből álló modell esetében a hipotézisekből és a klasszikus legkisebb négyzetek módszerének tulajdonságaiból következik. Hasonló módon belátható a hatásosság, azaz a minimális szórás. ami a fenti hiba kovariancia-matrixának mini—
muntulajdonságát fejezi ki.
A rekurzív modellek esetén azonban ennél bonyolultabb a helyzet, Ennek illuszt-
rálására tekintsük példaként az alábbi egyszerű modellt:
Yx : alxl'l' "1
12!
Ya : 5171 ***Igaxz "* "2
Először foglalkozzunk az ex post becslésekkel. Az első egyenlet becslése nyil—
vánvaló. hiszen
AA
71 ""—" alxl
a második egyenletnél viszont két lehetőség adódik:
;; : [Ilex'l' Bzxz
azaz a becslést elvégezhetjük egyenletenként, a többitől függetlenül, vagy
72 : plYl'l' pzxz
azaz a becsiésnél már figyelembe vesszük a modell többi összefüggését. Nyilván- való. hogy ez utóbbi. amely egyébként megegyezik a redukált forma második egyen-
letével, lényegesen jobban kifejezi a modell által leírt kapcsolatokat. és a modell működési mechanizmusát, ezért a gyakorlati ellenőrző számításokhoz ez használa——
tos.
Míg az ex post becsléseknél legalábbis formálisan két lehetőség van. a máso- dik egyenlet becslésére előrejelzés esetén már csak a második alternatíva áll fenn;
ugyanis az elméleti modell ez esetben
Yu: : alxn'l'um
st : Bűn—l' Bahr? "zel:
a tényleges előrebecslés pedig
Yu: : "xxx;
721: : 51Yu'l' Bzxzm lesz.
Vizsgáljuk most meg. hogy rekurzív modell esetén milyen feltételek mellett kop- hotunk torzitotlon becslést, illetőleg előrebecslést. Ennek érdekében vonjuk össze a
második egyenlet vóltozóit és paramétereit az
X:: : (71*X2*) és a )? : (§)
alakban, ezaz
Yai: : X*f3—l-u2*
Ekkor Ég fentiekkel analóg jelölések bevezetésével a
"E : (X'xwxv
alakot ölti, mig az előrebecsült függvényérték ;
A
Yzae : State/3
alakú lesz, ahol
is: : (Yxaim x%)
Az előrebecslési hiba
Ha: : hate—"Yu: : x*l3"l*"z*"$(*.3 Tekintve. hogy
xi: : (Ym— XM), E(X*) : (Bxxmev xzzk)
es
is: : (?lale' xzslcl : (xl$[x,lx1]_lx11Y1' xzak) továbbá
E(?1*' x2*) : E[x1*(x'1x1)'1x'1(x151—j-u1). xzak] : (Iglxláv' xmp)
így
Emil : Elia
N :
Mivel plim ?: 13 és feltételezhető. hogy X* és /5', illetve X* es Afüggetlenek plim (H*) : 0
azaz az előrejelzés ebben az esetben konzisztens lesz.
Ha az
Yeah : i$í* uz.
elméleti egyenletet tételezzük fel. azaz már a modellkonstrukciónél figyelembe vesz—
506 ' DR. HUNYADI LÁSZLÓ
szűk a modell rekurzív tulajdonságát. a paraméterbecslés
N
: (i'xrli'n
m ) )
falakú, az előrejelzés hibája pedig
ne: : i*ílag*—i*§: **(F-Bö'l'am
"lesz.
Mivel a megfelelő elméleti modell paraméterbecslése (13) ebben az esetben is
[9 konzisztens becslése.
plim (E,) :: 0 tehát ez a becslés is konzisztens előrejelzéshez vezet.
Láttuk tehát, hogy elméletileg kezelve a kérdést, mindkét becslési mód (tehát a strukturális és (: redukált formára épített becslés is) konzisztens ex post és ex ante
előrejelzéseket eredményez.
Ennek ellenére állítható. hogy a redukált formán alapuló becslések jobbak a
strukturális formára építetteknél, hiszen az előbbi hatásossága jobb, ez pedig a gyakorlati alkalmazás szempontjából igen fontos, sőt :: konzisztenciánól is fonta- vsabb tényező. Ezért a most következő részben a gyakorlati megfontolások alapján. de természetesen matematikai levezetésekkel mutatjuk ki a hatásosságok közötti kü- alönbséget.A KLASSZIKUS LEGKlSEBB NÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL TÖRTÉNÖ EGYENLETENKÉNTI BECSLÉS HATÁSOSSÁGA
A kérdés vizsgálatát ismét a korábbi /2/ modell második egyenletének példáján 'MIUthjUk be, ahol a strukturális formára alkalmazott klasszikus legkisebb négyzetek módszere az alábbi becslést adja:
? : [lhxzywlxz'n—1(le2l'72 : 32719 Yz— x?)
A továbbiak szempontjából lényeges megjegyezni, hogy ez a ? az 3532 kifeje- TZéSt minimalizálja, ahol
"2 : [Yz— (Y1x2)13l
A korábbiakban kimutattuk, hogy a modell egyenleteinek egy rendszerként való kezelése esetén mind az ex post. mind az ex ante becslés csak az (implicit) redukált formával végezhető el:
A A
Yx : alxl
Yz : B'Uv xs)
Ebben az esetben is joggal várhatnánk el. hogy az így becsült (ex post) értékek
minimális távolságúak abban az értelemben. hogyaranya—72) — min (§)
azaz becslései a lehető legjobban közelítik a tényadatokat. Ez azonban nem így
van, hiszen ez a négyzetösszeg eltér a strukturális forma becslésénél kapott négy-
zetösszegtől (vö. (5) 68. old.). Az igazi félreértésre az ad okot, hogy ez utóbbi négy-
zetösszeg (illetve standard hiba) esetenként kisebb lehet, mint az eredeti, a struk—turális formából számított, 5 így azt a látszatot kelti, hogy az illeszkedés a redukált formára jobb. mint a strukturális alakra, azaz a becslés a redukált formára nézve mindenképpen kielégíti a legkisebb négyzetek követelményét. (Ez azonban egyál—
talán nincs így, hiszen mint azt már említettük, a [§ paramétervektort más váltazókra alkalmazzuk. mint amelyekből becsültük azt.)
Bár az egész kérdés nagyon egyszerű, a sok félreértés miatt nem érdektelen alaposan is megmutatni az itt felmerülő problémákat, Ehhez először egy egyszerű eállitást bizonyítunk be. amiből az előzők bizonyítása már nyilvánvalóan következik.
Tekintsük az alábbi három négyzetösszeget:
51 : [Y — X(X'X)— íX'vi'iv —- X(X'X)— 1X'y]
52 : [Y — Z(X'X) — íx'yl'iy — Z(X'X)—1X'y]
53 : [y — Z(Z'Z) _ íZ'y]'[y — 2(z'2) — 1z-y1
fEkkor igazak az alábbi állítások:
1. s; § 52
azaz 53 —- 53 ;;0.
A fenti állítások szavakkal úgy fogalmazhatók meg, hogy ha az egy változóbál
§(változócsoportból) származtatott klasszikus legkisebb négyzetek módszerével vég—
zett becslést ((X'X)_1X'y) egy újabb változócsoportra (Z) vonatkoztatjuk. (: kapott
'négyzetösszeg kisebb. nagyobb és egyenlő is lehet az eredeti négyzetösszeggel, de mindenképpen nagyobb lesz. mint az. amit úgy kapunk. hogy az új változócsoportraa saját magából becsült ((Z'Z)'1Z'y) paramétervektort alkalmazzuk.
Az 1. állítás bizonyítása legegyszerűbben úgy végezhető el, ha bemutatunk egy- egy példát a három lehetséges esetre.
0) Legyen 27: 0. Ekkor 52—51 : y'X(X'X)—1X'y alakra redukálódik, ahol a kvadratikus 'íforma matrixa közismerten idenpotens, tehát pozitív szemidefinit, így 52—51 ?. 0.
b) Ha Z :X. akkor 51 : 52 triviálisan áll fenn.
c) Ha Z : (y) ((X'X)*1X'y)"1. akkor
z(X'Xle'Y : (v)((X'X)—1X'Y)"1(X'X)'1x'v : (v)-1 : Y
(mivel általában belátható, hogy tetszőleges p vektor esetén (p)—Lp : 1). lgy
Sz : [y—vi'iy—yl : 0 i 51
A 2. állítás bizonyításához fejtsük ki az 52—53 kifejezést:
52—53 : Y'Y-—2(Y'Z)(X'X)'1(X'Y)—l—(Y'Z)(X'X)—1(2'2)(X'X)'1(Z'v) —Y'Y-l—(Y'Z)(Z'Z)'1(Z'Y) : : (Y'Z) (Z'Z)' 1(Z'Y) - Ziv'z) (X'X) " 1(X'y)—i—(y'X) (X'XY 1(Z'Z) (X'X)' i(X'Y)
iEz (: kifejezés algebrai átalakítások után az alábbi négyzetösszeggé alakítható:
[Z(z'2)—1z'y _ 2(x'X)-1X'y]'[Z(Z'Z)- 1Z'ir — Z(X'X)"1X'v1 % 0
ami az állítás igazolását jelenti.
508 DR. HUNYADI LÁSZLÓ"
Most pedig nézzük meg. hogy mit jelent a fenti állítás a /2/ modell becslésére- nézve. Ha a második egyenlet ,ő paramétervektorát Y1X2 és yz segítségével becsüljük.
(a strukturális formából, egyenletenként), és Gug—re alkalmazzuk. a kapott új négy-—
zetösszeg (avagy (: redukált formával történő ex post becslés. a szimuláció standardi hibája) kisebb is lehet az eredeti (a strukturális becslésnél kapott) négyzetösszegnél,,, illetve hibájánál. Viszont ha Éparamétert—yj, xz és yz alapján becsüljük, az így kap- ható négyzetösszeg (standard hiba) mindig kisebb lesz, mint az előbbi négyzetösz—
szeg (standard hiba), hiszen az állítás értelmében az egyenlőség csak akkor áll fenn;
ha a két paraméter megegyezik. lgy tehát a strukturális formára becsült paraméter- vektor nem ad minimális négyzetösszegét a redukált formára; konstruálható annál jobb, a tényadatokat jobban leíró. hatásosabb becslés. ami tehát nem más. mint a:
redukált formán alapuló, a klasszikus négyzetek módszerével végzett becslés, és ami-,—
ről a torzitatlanságot korábban már kimutattuk.
Mielőtt befejezésképpen bemutatnánk a redukált formán alapuló eljárás kap- csolatát néhány ismert becslési eljárással, a fentiekhez még két gondolatot kell fűz-4
ni. Egyrészt az elmondottakat egy egyszerű. kétegyenletes modellen mutattuk be, de- mivel az állítás általános érvényű. az állítások és a következtetések bármilyen rekur- zív ökonometriai modellre érvényesek. A másik megjegyzés arra vonatkozik, hogy itt csak az ex post becslésekről mutattuk ki. hogy azok nem hatásosak. de hasonlókép—
pen ki lehet mutatni azt is, hogy az előrejelzés hibája is nagyobb, ha a rendszer- ,
szemléletű becslések helyett az egyenletenkénti becsléseket alkalmazzuk.
ALTERNATlV BECSLÉSEK
Az előzőkben eljutottunk odáig, hogy a redukált formára alkalmazott a klasszi—
kus legkisebb négyzetek módszerével végzett becslés, amely a modell szerkezetét követő lépcsőzetes behelyettesitésekkel (és így bizonyos értelemben az egyenleten—
kénti becslési eljái'ással) azonos. rendelkezik a szimulációhoz és az előrejelzéshez szükséges valamennyi fontos jó tulajdonsággal. Tanulmányunk befejező részében—
bemutatjuk. hogy a rekurzív modellek speciális tulajdonságaiból kifolyólag ez az el- járás valójában megegyezik több ismert becslési eljárással.
Az alulidentifikált modellek becslésével nem kell foglalkoznunk. hiszen ezekről
tudjuk, hogy becslésüket (vagy legalábbis egyes egyenleteik becslését) nem lehet
elvégezni. Az éppen identifikált esetben kézenfekvő az a becslés. amely elsődle- gesen a redukált formán alapul. majd a redukált forma paramétereiből állitja elő (amennyiben szükséges) algebrai úton a strukturális forma paramétereit. Ezt az ,.éppen identifikáltság" biztosítja. Ezt az eljárást szokták indirekt legkisebb négy-zetek (lNDLS) vagy közvetett regresszió módszerének nevezni.
Belátható. hogy az itt javasolt eljárás. amely tehát a redukált formára optimá—
lis (hatásos) becslést ad. ugyanakkor biztosítja a strukturális és redukált forma szükséges konzisztenciáját, ekvivalens az lNDLS-becsléssel. A [2/ modell második egyenletének redukált formán alapuló becslése ugyanis:
?: : ?lxl "l'/%%
ahol
A A A A
71 : (01431)? 72 : 52
Ekkor az első egyenletből becsült ;; segitségével "jü—ből és az;-ből előállítható
?! és 73; és ezek a redukált formára jó tulajdonságú becsléseket adnak. Ha viszont
abból indulunk ki. hogy az első egyenletből ly] : (x:-xi adódik, azaz ?; arányos x;—
fgyel, akkor nyilvánvaló, hogy az említett két eljárás megegyezik, hiszen ekkor a má—
sodik eljárásból (: második egyenletre
72 : 5151le .Szxz következik.
Általában belátható, hogy ha egy többváltozós regresszióban valamely változót (vagy változókat) egy konstanssal megszorzunk, akkor a hozzájuk tartozó (becsült) klasszikus legkisebb négyzetek módszerével becsült paraméterek is éppen ezzel a
konstanssal osztandók, azaz, ha az
y : alxl—l—azxz—l— . . . tanxn
egyenletből á; , ág, . ., Én becsülhető. OLS—sel, akkor az
y :: 51(axl)Jr-/32x2t tőnxn
egyenletből a klasszikus legkisebb négyzetek módszerével becsült paraméterek a következők lesznek:
A (11 /x /x A
51:** Bzzag...7§n:an
(Ez a normálegyenletek felírósával és (: particionólt inverzmotrix kifejtéséből azon—
nal belátható.) lgy tehát az lNDLS-becslés ez esetben az említett. igen egyszerű be- helyettesítő eljárással azonos eredményt od.
Tekintsük végül (: túlidenti'likált esetet:
Y1 : alxltazleul
/3/
Y2 : űlyxllszxsd' "2
Szimultán egyenletek esetében ekkor az ún. kétfokozatú legkisebb négyzetek
(ZSLS) módszere használatos. Ennek lényege az, hogy a redukált formából4 becslést
adunk a jobb oldalon álló endogén változóértékekre, és így végezzük el a strukturá-lis forma becslését. A bemutatott mintapéldón ez azt jelenti, hogy
ki
A A A
Yl :: alxl 'l* azxz
egyenletet behelyettesítjük a második egyenletbe:
Yz : Bxglőzxal'uz és így végezzük el ennek becslését.
A ZSLS a redukált formára is konzisztens becslést ad. és látható, hogy ugyanaz o forma adódott, amit az lNDLS-nél is bemutattunk. Említést érdemel az, hogy a fo- kozotos behelyettesítés általánosságban is elvégezhető, hiszen rekurzív esetben a redukált forma éppen így kapható meg. Tehát (: redukált torma alapján becsült endogén változó mindig behelyettesíthető a következő és a későbbi egyenletekbe.
4 Általánosságban (szimultán egyenletek esetén) itt az a priori információkat nem tartalmazó redukált forma (unrestricted reduced form) használatos. de rekurzív specifikáció esetén az a priori korlátozások figye- lembevétele nem okoz technikai problémát. így itt is a már emlitett, a korlátozásokat is magában taglaló re- dukált formo alkalmazható.
510 DR. HUNYADi LÁSZLÚ
(A .,következő" és a ,,későbbi" kifejezések használata azért indokolt, mert rekurzív egyenleteknél az egyes egyenletek egyirányú láncba rakhatók.) Az eljárás így véges.
lépésben véget ér, és a kapott becslés minden szükséges jó tulajdonsággal rendel——
kezik.
Könnyen belátható. hogy ugyanez az eljárás adódhat az instrumentális válto—
zókkal történő becslés (INSTR) esetén is, amely ugyancsak alkalmas egymással ösz—
szefüggő egyenletekből álló modellek konzisztens becslésére. ltt elegendő arra
utalni, hogy az említett ZSLS becslés is egy speciális lNSTR-becslésnek tekinthető..
A becslések áttekintésének befejezéseképpen bemutatjuk. hogy a H. Wald ál——
tal kidolgozott — és jelenleg a szocialista országok ökonometriai gyakorlatában
nagy népszerűségre szert tett — fix pont becslési módszer (iteratív legkisebb négy-—
zetek, lLS módszere), amely szintén jó tulajdonságú becsléseket szolgáltat túliden- tifikált rendszerekre is, rekurzív esetben ugyancsak az említett fokozatos behelyette—
sítéssel becslő eljárásnak felel meg.
Wold módszerének (13) lényege az, hogy kiindulva egy triviális VW) : O meg—'
oldásból, a rendszer valamennyi egyenletéből becsüljük a paraméterek induló ér—tékeit. majd ezek segítségével az endogén változók Vt" értékeit:
Y : Ymm xa-Jr ui") : xa— u : EU"
Ya) : x/Éw)
Ezután ya) értékeit behelyettesítve az egyenlet jobb oldalába, folytatható a becs—
lés:
Y : vmf—t xatum : ?m; ím
Ya) :: mem—k xga)
Belátható, hogy ez az eljárás általános feltételek mellett Y* fix ponthoz konver—
gál5, ahol
Y* : Y*1"*-§—XB*
és az így kapott becslés (bár a strukturális formából származik) a redukált formára:
vonatkozóan is több előnyös tulajdonsággal (konzisztens. hatásos) rendelkezik.
Esetünkben (például /3/) az első iterációs lépés a következő lesz:
Am) A(O) Yi : alxl'l'azx2—l—"1"' a1 ' az
A(O) 72 : Bzx3*l'uz'* 132
A paraméterek induló értékeivel yj és yz első becslése:
(1) _ A(0) Arm
Yi "" al xl'l'az xz
(1) __ Am)
Y? _ 2x3
A következő lépésben
_ Am Am
Y1 '— alxllazleul "' a] ' (12
5 A legújabb ku'atások (például (9)) cáfolják ugyan (: konvergencióra vonatkozó tétel általános érvé- nyét, de az itt tárgyalt rekurzív ese-ben mindig bizonyítható (: konvergencia.
Al A,, Al A,, all):a() ()__ ()
1 ' 2 2
(1) A 1) All) Yz : leül lőzxs "' lel ) ;
visszahelyettesítve
(2) __ A(1) A(1) _ AN) A(0) (1)
y1 _— a1 xl—l—or2 xgw or1 xl—l—a2 x2zy1 (2) A(1) (1) Ad)
72 : 1 71 4'82 x3
és látható, hogy a rendszer jobb és bal oldalán álló y—ok megegyeznek (hiszen az első egyenlet bal oldala y?) : y?) megegyezik a második egyenlet jobb oldalán
levő ffi—gyel), azaz
Y* : (vil), yffl) : (732), ví?)
tehát a rendszer a második lépés után elérte a fix pontot. Könnyen belátható. hogy az eljárás továbbfolytatása már nem vezet a kapott paraméterértékek módosulá—
sához.
Technikailag ez az eljárás is egyenértékű a már említett behelyettesítő mód—
szerrel, és a rekurzív modellek paramétermatrixának speciális elrendezése következ—
tében általában is igaz az, hogy hasonló eljárással, tetszés szerinti kiindulópont esetén. véges lépésben elérhető a fix pont. Ennek a tételnek a bizonyítására itt nem térünk ki. Végül érdemes megemlíteni, hogy ez az egyszerű behelyettesítéses eljá- rás mind az éppen identitikált. mind pedig a túlidentifikált modellek esetén hasz- nálható, és mindkét esetben az említett jó tulajdonságú becslésekhez vezet. Mivel Wold módszerére ez általánosan is igaz. a javasolt becslési eljárás úgy fogható fel, mint az lLS egyik változata. amely a rekurzív modellek esetén speciális tulajdonsá—
gokkal rendelkezik, és igen egyszerű számítási eljárást igényel.
.
Tonulmányunk célja volt bemutatni azt, hogy az egyre nagyobb népszerűségnek örvendő rekurzív modellek milyen speciális tulajdonságokkal rendelkeznek a szimul—
tán modellekhez képest, és ennél fogva becslésük hogyan végezhető el.
Bemutattuk, hogy a strukturális és a redukált formán alapuló becslések rekur- zív modellek esetén is eltérnek egymástól. így a becslési eljárás megválasztásakor azt kell szem előtt tartani, hogy mi (: modellezés fő célja, és e fő cél megvalósítá—
sát a strukturális vagy a redukált forma szolgálja-e inkább.
Minthogy az ökonometriai modellek általában előrejelzési. illetve rendszerelem—
zési célokra készülnek, a redukált forma jelentősége általában meghaladja a struk- turális formáét. ezért a becsléseknek az előzőn kell alapulniok.
Bár a becsléselméleti meggondolások nem zárják ki a strukturális formára épí- tett klasszikus legkisebb négyzetek módszerével végzett becsléseket, kimutatható, hogy ezek a modell rendszerszemléletű alkalmazása esetén nem adnak hatásos
becslést, így alkalmazásuk félrevezető eredményeket is adhat.
A javasolt becslési eljárás azon alapul, hogy a rekurzív modell logikai szer—
kezetének megfelelően a klasszikus legkisebb négyzetek módszere segítségével sor—
ban elvégezzük a becslést a strukturális formából úgy, hogy a kapott becsléseket fo- kozatosan a következő egyenletekbe helyettesitjük be. Kimutatható, hogy ez az el- járás rekurzív modellek esetében éppen a speciális struktúrából kifolyólag egyen-—
értékű számos ismert becslési eljárással (lNSTR, ?SLS. ILS, lNDl.S).
512 DR. HUNYADI LÁSZLÓ
Az ökonometriai gyakorlatban — elsősorban a modellek méreteinek növekedé—
sével — egyre inkább tért hódít az a felfogás. hogy a specifikáció helyes kialakítása az elsődleges. a becslési eljárások között kicsi a különbség, így az elkerülhetetlen kompromisszum érdekében inkább a becslési eljárás oldalán kell engedményt ten—
ni a specifikáció javára. Ez a vélemény bonyolult. nem lineáris szimultán egyenletek esetében — bár némi fenntartással — elfogadható, hiszen egy ilyen modell teljesen korrekt becslése még a legjobb technikai feltételek mellett is szinte megoldhatatlan feladatnak tűnik. Nem tartható azonban ez a nézet lineáris (vagy linearizálható) re—
kurzív modellek esetén. ahol a korrektnek tekinthető becslési eljárás technikailag semmiféle többletmunkát nem jelent, hiszen végrehajtása gyakorlati szempontból is kifejezetten egyszerű. Kérdés természetesen, hogy a két módszer között lényeges
számszerű eltérés adódik—e gyakorlati feladatok esetén. Erre általánosságban. elmé-
leti kiindulópontból nem lehet biztos választ adni, de két lényeges gondolat azért felvethető.Egyrészt a makrogazdasági idősorokban (főként éves felépítés esetén) közis-
merten meglevő multikollinearitás azt eredményezi. hogy a paraméterek meglehe- tősen érzékenyek lesznek a becslési eljárásra: ezt az iteratív eljárás egymást követő lépései során korábbi modellszámításainknál (4) tapasztaltuk. Másrészt — bár erre nézve gyakorlati tapasztalatokkal nem rendelkezünk — úgy tűnik. hogy a modellek dinamikus tulajdonságainak vizsgálatánál. a sajátértékek, valamint a ciklusok elem- zésénél a paraméterstrukturában végbemenő kis elmozdulások is (amiket egy alter—natív becslési eljárás okozhat) a következtetések lényeges, esetleg minőségi meg-
változására vezethetnek.Ezért célszerű lenne a már elkészült rekurzív modelleket az említett eljárással f'újrabecsülni. és ezáltal már némi tapasztalattal rendelkezhetnénk arra nézve. hogy milyen gyakorlati eltérést okoznak az eltérő becslési eljárások. A további hasonló szerkezetű modellek becslésénél azonban mindenképpen figyelembe kellene venni
az itt bemutatottakat. mert még ha nincs is lényeges eltérés a két módszer eredmé-
lnye között. az eredmények csekély mértékű javulása sem megvetendő. hiszen -- mint e tanulmányban kimutattuk — valójában semmiféle pótlólagos ráfordítást nem igényel, a becslési eljárás'technikailag éppen olyan egyszerű, mint az eddig általá—nosan használt módszer.
IRODALOM
(i) Bíró András: Alternatív prognózisok 198549 1968—1976-05 tényadatok alapján. (Vitaanyag.) Magyar Nemzeti Bank. Budapest. 1979. 65 old. Mellékletek.
(2) Gethemé Simon Erzsébet: A teljesen rekurzív ökonometriai modellekkel végzett számításokról. Or- szágos Tervhivatal Számítástechnikai Központja. Budapest. 1979. 10 old.
ld(3) Goldberger, A. S.: Econometric theory. John Wiley and Sons. New York — London —- Sydney. 1964.
399 o .
(4) Hunyadi László — Neményi Judit — Subicz Péter — Fiala András: A rövid távú tervezés ökonomet—
áriai modellje. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1980. 166 old.
(5) Kornai Gábor: A magyarországi sertéstartó; ökonometriai modellje. Konjunktúra- és Piackutató ln- tézet. Budapest. 1979. 111 old.
(6) Malinvaud, E.: Az ökonometria statisztikai módszerei. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest.
1974. 804 old.
(7) Paizs János: Bevezetés az ökonometriábo. 1. köt. Egyetemi jegyzet. Marx Károly Közgazdaságtudo- rmányí Egyetem. Budapest. 1972. 184 old.
(8) Pawlowski, Z.: Ukonometria. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1970. 395 old.
(9) Pirogov, G. 6. — Fedorovszki, Ju. F.: Problemü sztrukturnogo ocenivanija v ékonometrii. Sztatisztika.
íMoszkva. 1979. 327 old.
(10) Theil. H.: Principles of econometrics. John Wiley and Sons. New York. 1971. 736 old.
(11) Dr. Theiss Ede: A Hayes—módszertan és a statisztikai döntéselméiet alkalmazásai a gazdaságpoliti- Ékai modellekben. Statisztikai Szemle. 1971. évi 11. sz. 1087—1106. old.
(12) World, H.: A fix point theorem with econometric background. Archiv för Matematík. 1966. évi 6.
u. 209—240. old.
(13) Wold, H.: Nonlineor estimation by iterative least sauores procedures. Megjelent a Research Papers in Stotistics c. kötetben. Szerk.: F. N. David. John Wiley and Sons. London —— New York — Sydney. 1966. 411—
444. old.
PE3lOME
B nocneAHee apeh/m Boapacrae-r nonynnpuocrb peKprHBHbIX akonomerpmecmx mo- Aeneii őnaronapn ux őonee npocromy n oőoaponMy c-rpoeHmo. OAHaKO Hecxomsxo cansannsrx c Hmm Teopemuecxux aonpocoa elne omunaror caoero pemeuus. B caoeü crarbe aarop őepercn aa naApoőnyio paspaőorxy Bonpocoa Teopuu oueHou.
Aarop ycranaannsaer, uno oőbruHo npumenneMbrí—t AM oueHKu peKprHBHblx mone- nei—i Knaccuuecxuü mereg Haumeubmnx Kaagparos He p.aer ygoaneraopmenbublx c npaK—
muecxoű rouku sperma peaynuaroa, nocxoany on He npunumaer BO BHHMaHHe saauMocanseü OTAeanle ypaaHeHuü. Aarop npeAnaraer anbrepr—rameuyro ouei—my, Koropan pecnonaraer AOKaaaHHHMH xopowuMn caoücraamn n Maine-r San-s socnpuum'a a Kauecrse cneuuana- Horo cnyuaa pina HBBeCTHle " npuMeHseMux Ha npaxmxe mervoa oueHKu. Kpome aro- ro npnmeHeHue npennaraeMoü ouer—mu s TeXHHHeCKOM OTHOuJeHHH enaa cnoxmee, ueM loueuxa Ha ocnoaanun Knaccmecxoro nanuuna Hanmeubumx Ksanparoa.
SUMMARY
The recursive econometric models are gaining in popularity due to their simpler and well arranged structure. Nevertheless. a few related theoretical auestions still wait for elab- ioration. The author undertakes in his study the detailed discussion of the problems of esti—
mation theory.
The author points out that the classical least sauares' method. which is generally used for estimating the eauations of recursíve models separately, doesn't provide satisfactory re—
sults from practical point of view. since it doesn't take into account the interdependencies of the eauations. He proposes an alternative estimation method bringing about acceptable properties of estimotors and can be taken as the special case of several well knownesti—
mation procedures used also in practice. Moreover, the application of the proposed estima- tion procedure is from technical point of view, hardly more complicated, than the estimation
based on the principles of the classical least sauares method.
.5 Statisztikai Szemle
A STATISZTIKAI ADATOK KEREKITÉSI PROBLÉMÁINAK GRÁFELMELETI MEGOLDÁSN
NAGY ZOLTÁN
Gyakran előforduló probléma a statisztikai adatok közlésekor, hogy o számító- gép által számított igen nagy pontosságú értékeket könnyen olvasható és érthető formában kell közölni. Szükségtelen ugyanis, hogy viszonylag nagy tömegű odato- kat a maguk tényszerű formájában szemléljünk, hiszen az őket leíró számjegyek esetleges sokasága megnehezíti a többivel való összehasonlítást, és a kerekített adatok érzékletesebben tükrözik a valóságot. Bizonyos esetekben nincs is szükség az adatok pontos megjelenítésére. Ugyanakkor követelmény. hogy a nyers. nem kerekített táblából összegzéssel képezhető adatok, amelyek például azonos tevé—
kenységek együttes hatását reprezentálják. 0 sor— és oszlopösszesenek kerekített értékekben egyezzenek meg. vagy legyenek közel a kerekített tábla megfelelő érté—
keinek kumulálósakor nyert adatokkal. Ha csupán a kerekített értékekből képez- nénk a táblák sor- és oszlopösszesenjeit. akkor a szemlélt tevékenységek együttes ha—
tását mutató értékek nem tükröznék elég hűen az adatok mögött rejlő folyamato- kat, változásokat. A problémát bonyolítja, hogy néha a tájékoztatásra szánt táblák egymásba ágyazottan fordulnak elő.
A Központi Statisztikai Hivatal Számítóközpontjában hosszabb ideje használ—
nak kerekítő programokat, ezek azonban mind egyediek. csak elemi kerekítési funk- ciókat látnak el. A bonyolultabb kerekítési feladatokat kézzel vagy nagy gépi rá- fordítással végzik el. Minthogy nem állnak rendelkezésünkre nagy számítógépes cé- gek kész software-jei, szükségessé vált olyan módszer kidolgozása, amely az adott problémát elfogadható számítógépes erőforrás felhasználásával oldja meg.
Tanulmányunk célja. hogy a kerekítési eljárásokat összegyűjtse. modellezze. és olyan megoldó algoritmust adjon. amely számítógépre programozható. ezzel a fá-
radságos kézi munkát korszerű számítástechnikai eszközökkel váltsa föl.
A kerekítési feladat
A könnyebb áttekintés érdekében az itt részletezendő eljárást konkrét számo- kon mutatjuk be.
Legyen adva egy tábla. amelyben tetszőleges egész számok — a statisztikai alapadatok — szerepelnek. A tábla utolsó sora és utolsó oszlopo az adott?? sor- és
oszlopösszesenjei. A tábla értékeire csak az előre megadott pontosságrgdk— tegyük
fel. hogy éppen ezerre -— kerekítve van szükség. A kerekítés előtt azonban a tábla9 A tanulmány a Központi Statisztikai Hivatal Alkotó Ifjúság Pólyázatán megosztott első díjat nyert.
(Rövidített változat.)
