VALÓSÁG ÉS MATEMATIKA

l b 5 1 9 0

DIENES PAL

VALÓSÁG ÉS MATEMATIKA

11-14. SZ. 5. EZER. ÁRA 60 FILL.

VALOSAG ES I MATEMATIKA

BETEKINTÉS A MENNYISÉGTAN FOGALOMRENDSZERÉBE

IRTA

DR DIENES PÁL

EGYETEMI MAGÁNTANÁR

BUDAPEST, 1914

A HALADÁS KÖNYVKIADÓ.

VÁLLALAT KIADÁSA

Előszó.

E z a füzet n e m azo k n ak v a n szánva, akik a felsőbb m a te m a tik a szám olóeszközeinek h a sz n á la tá b a ak a rjá k b eg yakorolni m ag u k at, erre m ár v a n n a k jól m egirt fü zetek és köny v ek m ag y ar n y elven is, h an em azo k ­ nak, ak ik az em beri tu d á s e legprecízebb, legkidol­

go zo ttab b és egyszersm ind leg em b erib b ág á n a k fo­

galm i a lk a tá ra és p ro b lém áira kiváncsiak. M agukat az a la p v ető fo g alm ak at szed jü k itt m ajd széjjel avégett, hogy ö sszerak ásu k at, eg y m ásb aszö v ő d ésü k et és v aló ság g y ö k ereik et lehető élesen kipécézhessük.

E céln ak m egfelelöleg nincs is e füzetben sem m iféle m ű v eletszab ály , sem k iszám ításra v áró feladat, teh át az olvasótól n em k iv án sem m iféle szám olásbeli k é sz ­ séget, sőt előleges m atem atik ai ism eretek et sem . C sak a tizes szám ren d szerb en felirt szám ok k ezelésm ó d ját tételezi fel ism eretesnek, ezenfelül csu p án igen kom oly és eg y etlen részletet ki nem felejtő, feszült figyelm et k iván. A k i ezt a tárgyhoz p o n to san illeszkedő figyel­

m et rá sz á n ja erre az o lv a sm án y ra (ideértve az össze­

v o n tab b h ely ek en m o n d o tta k n a k szám beli k iírását v ag y lerajzo lását is), azt e füzetke végigvezeti a k ö zö n ség es egész szám októl in d u lv a a m a te m a tik a legfo n to sab b ú tjain és egy-két leg k ö n n y eb b en m eg ­ közelíth ető kilátónál, nyílt p ro b lém án ál, m ég bejárat- lan terü letek re is b ep illan tást n y ú jt m u n k ája fejében.

D e dolgoznia k e l l : oly, óriási, század o k m egfeszített m u n k ájáb ó l fa k ad ó szellem i kincset, m int a m a te ­ m atik a, kény elm esen , fu ttáb an való olv asással m ég távolról és n ag y v o n áso k b an sem lehet m egpillantani.

B udapest, 1913 o k tó b er hó.

Dienes Pál.

TARTALOM

Első fejezet. Egész és törtszám.

A mennyiségtan kivételes helyzete — — — — — — — A tárgyak a világban egymás által és mégis külön vannak — Egész szám --- - - — — — --- — — — —- — — — Tört szám — — — —- — — — — — — — — — — 1 Végtelen számhalmazok. Határérték — — — — — — — 1

Második fejezet. Irracionális szám és a végtelen problémái.

Irracionális szám — — — —- — — ... — — — — — 2 A mennyiségtan két alaptétele —- — — — — — — — — 3 A végtelen függő kérdései --- — — — — — —- — — — 3

Harmadik fejezet. Differenciálhányados.

A függvény fogalma ... — — — —- — — — — —- — 4.

Algebra és komplex szám — — — — — — — — — — 4#

Végtelen sor. Analitikai függvény — — —- — — — --- — 5.

Derivált függvény. Primitiv függvény — — —- — — — — 6#

Differenciál- és integrálegyenlet — — — — — — - — — — 6- Ajánlható kézikönyvek...— — — — — — — — — — 61

I. Fejezet.

Egész és törtszám.

A m en n yiségtan k iv ételes h e ly z e te .

A m e n n y iség tan hely zete a tu d o m án y o k között eg észen sajátság o s. M eg állap íto tt igazságai an n y ira biztosak, hogy b en n ö k m ég a bö lcselk ed ő k sem igen szo k tak k ételkedni. S zeretn ö k te h á t a p o n to s te rm é ­ szettu d o m án y o k közé sorolni, an n ál is inkább, m in t­

hogy ezek, k ü lö n ö sen a csillagászat, term észettan , v eg y ta n stb. lép ten -n y o m o n felh aszn álják ered m én y eit és m ódszereit. S em m i esetre sem v ag y u n k hajlan d ó k a p o n to sság g al ép p e n nem dicsekedő történeti vagy szellem i tu d o m án y o k közzé iktatni. Egy különös k ö rü l­

m én y n él fogva azo n b an m égsem tu d ju k fen tartás nélkül egy k a la p alá szorítani pl. a term észettan n al.

Ú gy látszik ugyanis, hogy a m en n y iség lan nem szól a term észetről, a tárg y ak valóságos esem ényeiről, am ik n ek tö rv én y szerű ség eit m eg ép p en a term észet- tu d o m án y o k k u tatják . H ogy a m áso d fo k ú eg y en letn ek h o g y an k eresem ki a gyökeit, az k ö zv etlen v o n a tk o z á s­

ban nem áll sem m iféle tényleges term észeti tü n em én y ­ nyel. Innen v a n az az elterjed t hiedelem , hogy a m e n n y iség tan in k áb b légvár, m int erő d ítm én y s éppen m e g fo g h a ta tla n ság a az ereje. A term észettan h o z ké­

p e it m in th a sem m it se m arkolna.

E n n ek a b iz o n y talan ság n ak , am it k ü lö n b en m ajd m in d en k i é re zh etett középiskolai p á ly a fu tá sa alatt, az okai nem eg észen h iúak. H iszen a ta n terv b e b ev ett aíg eb rarészlet an n y ira nem jellem zi azt az óriási szellem i tökét, m it m a te m a tik a név alá a legerősebb gondolkodó fők ö sszeh o rd tak . M ég az a lap v ető fo galm ak m eg ­

5

ism erését sem teszi lehetségessé. M egkíséreljük ebben a kis fü zetb en leh ető leg k özvetlen úton-m ódon, fő­

fogalm ain ak b o n co lásáv al vázolni azt a g o ndolatrend- szert, m in ek k iép itéséh ez legelőbb fogott hozzá az em b er esze s el is ért m ár b en n e valam i m ara d a n d ó t, értjü k a m en n y iség tu d o m án y át, m it m int m in d en logikai eg észet c so d álato sk ép en nem részeiből ö sszerak v a, h an em ellenkezőleg, folyton az egészet vázolva s a v ázlato t folyton fejlesztve lehet csak igaz ism erő sü n k k é tennünk. K özben igyekszünk m ajd m in d en ü tt rám u tatn i tu d o m án y u n k valóságelem eire, m ég p ed ig nem csu p án a kiinduló helyeknél, h an em a szerkezeti sa já to ssá ­ g o k b an is. így m ajd ném ileg m egérezhetjük, hogy a m ennyiség űác-jéből k észült bonyolult jelren d szerü n k a leg tö k életeseb b valóságnyelv. A z esem énygördülé- sek tényleges m e g h atáro zásán ál nincs u g y an szava, 'b e lső m eg ism erésü k azo n b an általa válik lehetségessé.

A fizikai okhálózatból kiesik, d e a szálak bogozódá- sát csakis vele k övethetjük.

A tárgyak a világban egym ás által és m égis külön vannak.

E lső dolgunk röviden vázolni a tárgyi világnak azt az arculatját, am it ép p e n a m ennyiség fogalm a igyekszik visszatükrözni. A te rm é sz ettu d o m án y o k n ak a m ag u k ö sszesség éb en nincsen talán m ély eb b re szán tó á lta lá ­ nos ered m én y e, m int az, hogy a tá rg y a k m in d en tu ­ lajd o n sá g á t a többi tárgy h a táro zza m eg. így p éld áu l a kő súlya nem valam i rárag ad t, őt jellem ző m inőség, m ert a holdon v ag y a n a p b a n eg észen m eg v álto zn a s h a a k ő d a ra b egyedül lenne, súlyáról sem m ik ép se b eszélh etn én k . M ég v ilág o sab b an látszik ez a szín ek ­ nél és h angoknál. H ogy a fotelem sötétvörös, az csak jelezni k íván egész sor v á lto z á s t: n a p fén y b en világos, árn y é k b a eső része sötét, n éhol egész fehér, m á su tt

rózsaszín v agy feketés, am ilyenné válik az egész fél­

h o m ály b an . V ilágitó test kell tehát, m eg m ég sok m ás külső feltétel teljesülése ahhoz, hogy a tárg y n a k m eglegyen v alam inő színessége. E s ugyanígy áll a dolog a tárg y ak ben ső b b esem ényeinél is. P éld áu l az erő k ifejtésn ek értelm e sincs szem benálló, teh át külső m eg h atáro zó nélkül. (G o n d o lju n k Newton h arm ad ik törvényére, m iszerint a h a tá s m indig u g y a n a k k o ra ellen h atással já r együtt.) M ár pedig e rő h a tá sn a k k é p ­ zeljük az összes m ozgás, hő, elektrom ágneses, sőt vegyi és szervezeti tö rté n é se k e t is. Faraday, a leg­

n ag y o b b kísérletező a fizikusok között, m eg m o n d ta m ár, hogy ig azáb an m in d en ato m m in d en ü tt van, ahol h a t s így betölti a világot. E lh atáro lásu k ta p in tá s ú t­

já n ö n k én y es, m ert igy csak egy h a tá st tek in tü n k a sok közzül, am it a test kifejt. A z egyes tárgy mibenléte tehát a környező világ erőhatásainak rajta történt össze­

ver ödése. О m aga is b elejátszik m iv o ltján ak m e g h a tá ­ rozásáb a, d e csak olyform án, hogy felel a rátörő h a ­ tá so k ra, m ég p ed ig sokszor n ag y o n különböző erőket egyesitő eg ységes m ag atartással, m iném üséggel. É p p eb b en és csakis eb b en m u ta tja m eg, hogy m ilyen.

A z eleven test, ebből a szem p o n tb ó l kiindulva, a b b a n k ü lönbözik a nem élő tárgytól, hogy k ezd em én y ezn i is tud, célja, szem p o n tja van, mi m iatt az ered m én y szám ára többé nem közöm bös. N em ak ar m inden áron érv én y esü ln i az ered ő b en m int alkotó rész. H a az ala k u lá s n em k ed v e szerint folyik, gátolni törekszik az egész esem én y lé tre jö tté t: n em cselekszik.

A z egyes tá rg y a k nem külön v aló ság o k teh át. M int valók, levők eg y m ásb a k ap cso ltak , eg y m ást m e g h a ­ tározók. A te rm észetk u tató előtt a világ szövevényes eg y m á sra h a tás, erőhálózat, hol az egyes a sok által, n ém ileg a z o n b a n azzal szem ben ju t csak létezéshez, m eg jelenéshez.

7

Ez azo n b a n nem azt m ondja, hogy az egyes tárgy sem ilyen m ó d o n sincs külön. A zért, hogy ö eg y ­ m a g a eg y általán nem lehet, m égis, m ikor a többi segítségével van, külön egyén is, a m ag a sajáto s felelés­

m ó d jáv al a többi tárgyból eredő h atáso k ra, a m aga h a tásk ö rév el a k ö rö tte alakuló folyam atokra. H iszen m a g a az erő is ilyen elem i egyén s igy, h a egyének n em lennének, a világ — legalább is m int fizikai m egjelenés, m int tü n em én y — nem lenne.

E gész szám .

A z egyén és a m in d en e különös k a p ­ cso latát itt nem boncoljuk tovább, m ert a szám fogalom jelen tése leginkább abból az előbb em litett tényből ered, hogy sok h a tá s vál- h atik eggyé s hogy eg y etlen felelő h a tá s szám talan alkotó m egindulás ö sszeolvasztása. Ö sszefogni, eg y e ­ síteni tö b b et s érezni, hogy az egységes ö sszefogás­

b an a részek to v áb b is fen m arad n ak , ez az egész szám . H é t tárg y például, m int csom ó, egy, am in ek m int ily h etes csom ónak külön sajátság ai v an n ak . A csom óssága, szám o sság a egyéni, egyetlenegy. M á s­

részt é p p en azért h é t s nem egy, m ert csom ó, m ert tagokból, részekből áll. E gy és m égse egy — m int m in d en v alósággal levő a világon. A szám n em fejti m eg ezt a tényleg m in d en ü tt jelenlevő rejtvényszerü- séget, csak jelzi g o n d o latu n k n ak , szim bolizálja azt eg y etlen jelren d szerrel s ép p ebből v esszük észre, hogy u g y an ez a kü lö n ö sség fordul elő szám talan esetben, így válik ism erő sü n k k é, m egértetté, am i eszü n k n ek előbb ta lá n furcsa volt. A z egész szám tehát elsősorban a dolgok összenőtt s mégis külön életének jelképes gondo­

lata. A szám igy a leg általán o sab b form a, am iben a tényleges való ság o t g o ndolnunk kell. U gyanis m ag át a p u sz ta levést, ténylegességet sem lehet végiggon-

Egész szám és valóság.

dőlni so k szerü ség és eg y b etarto zás, egység nélkül, de m ég h a leh etn e is, a m ár ténylegesen jelentkező v a ló ­ ság — m int sa já t én ü n k esem ényei vagy a fizikai világ b árm ely fo ly am ata — okvetlen „több és m égis e g y “ tag o zó d ású . A z egész számok a „több és mégis egy“, „egy és mégis több“ általános világtagozódást jelzik.

E zért a lk alm azh ató — leg aláb b elvben — a tényleges világ m in d en tü n e m é n y é re a szám fogalm a. M in d en ­ ben, m it egy p illa n a tra egy n ek gondolunk, lehet töb­

b et fe lfe d e z n i; e z ek et hívjuk részeknek. M ásrészt b á r­

m elyik cso p o rtja a tü n e m é n y e k n e k m u ta th a t együvé- tarto zást, eg y ség et. A világ azo n b a n m ég sem p u szta szám beliség. P éld áu l a lelki tü n em én y ek b en kifeje­

zésre ju t o ly asv alam i is, am ire a szám éppenséggel n em illik: a v álasztás, eld ö n tés fo ly am atáb a rejtőző h a tá ro z a tlan sá g , a „nem k é s z “, a „m ég sokfélévé v á lh a tó “ , az élő-ható lehetőség. E zért han g sú ly o ztu k fentebb, hogy a szám a ténylegesre, a m ár ad o ttra, k észre v o n atk o zik s nem m a g á ra a valam ivé v álásra.

E zek a m eggondolások, m ik a sz á m ­ fogalom v aló ság g y ö k erére igyekeztek rám u tatn i, nem m o n d h a tta k m ég se m ­ m it az egész szám n ak , m int je lren d szern ek sa já t­

ságairól. P e d ig csak o tt k ezd ő d ik a m atem atik a

— m ég az elem i iskoláé is — , m ikor a való ság ra rá se h ederitve, m ag á n a k a jelren d szern ek ö n m agából fa k a d ó rejtvényeit k ezd jü k fejtegetni. Ilyen m ár a szót zó táb la (egyszeregy) összeállítása is. E g y á lta lá ­ b an nem h iv atk o zu n k itt sem m i külső valóságra, h a ­ nem azzal, hogy b árm ed d ig el tu d u n k szaladni a je l­

ren d sz e rb e n (t. i. az egész szám o k so ráb an ), m eg ­ állap ítju k előbb az ö sszead ás szabályait, m ajd ezekből a szab ály o k b ó l a szorzáséit. E zért érezzük sokszor, h ogy m ihelyt m atem atizáln i k ezdünk, kicsúszik a talaj a láb u n k alól. P ed ig eg y szerű en nem g o n d olunk a

A z egész szám mint jelrendszer.

9

talajra, m ert szükségtelen. E bből a szem pontból m e g ­ ítélve, a ny elv tu d o m án y h o z is szo k ták haso n lítan i a m ennyiségtant. A nyelv is jelhalm az és a n y elv tu d o ­ m á n y em e jelhalm az sajáto sság aiv al foglalkozik. V a n te h á t n ém i hasonlatosság, de ez n a g y o n sántít. K ét okból. E lőször is a nyelvet alkotó jelek, a szav ak nem alk o tn ak igazi rendszer-1. A z egyes tárg y ak , esem é­

nyek, érzések külön-külön su g alltak az em b ern ek v alam ilyen hangot, jelet, m it hogy úgy m o n d ju k e rő ­ szakosan, önk én y esen k ap cso lt külső m egfelelőjéhez.

M u tatja ezt a n y elvek sokfélesége is. A m i rend v an benne, azt késő b b hozta létre az u tá n z á s (m inden igét ö n k éntelenül egyform án ragozunk), az egysze­

rűsítés és tak arék o sság . A z egész szám ellenben m ag a a m egtestesült rend m ár k ezd eteib en is. M ásrészt a m ód, aho g y an a szav ak összefüggenek a valósággal, n em jelen t ki sem m i fo n to sat m agáról a valóságról, m ig a m ennyiségjelek a n n a k leg általán o sab b s egyik legm élyebb tu la jd o n sá g á t szem léltetik. E zért oly m ér­

h etetlen ü l h a ta lm a s eszköz a m a tem atik a a term é sz e t­

k u tató k ezében, m ig a nyelv m e g m arad leíró sz e r­

szám szerepénél. V iszo n t u g y an ezért a h a tá ro z a tla n ­ ságért v an a nyelv n ek m ű vészete is — az irodalom — m íg a m enny iség jelek n ek ép p en szigorú re n d sz e rű sé ­ gük m iatt csak tu d o m án y u k lehet.

A z egész sz á m n a k m int jelre n d ­ szern ek ö nm agából előálló rejtvényei között legrejtélyesebb a végtelenségé.

É p p e n a ren d szer szerkezeténél fogva

— am i, ism ételjük, a továbbszám lálásból áll — a jel­

sereg kim erithetetlen. A z utolsónak m o n d o tt jel u tá n a kép ezési törvény szerint m ég m ondok egyet, am i m ég nem leh etett az utolsó előtt, tudniillik eggyel tovább szám lálok. A to v áb b szám lálás teh át, h a akarjuk, ha nem , egy csa p á sra m inden tagot m e g a d és ténylege-

A matematika problé­

máinak főforrása a végtelenség gondolata.

sen egyszerre előállítani m égse tu d ju k őket. U gyanis n em leh et a ren d szert úgy k ibontani egyes tagjaira, hogy azok m ind a m ag u k teljes egyéni m iv o ltá ­ b an egyszerre m egjelenjenek, m ert a k á rh á n y a t al­

k o tta m is, m indig m a ra d m ég alkotni való s azért az egyes tag o k m égis a legszigorúbb teljességgel m eg v a n n a k h atáro zv a, eg y m ástó l elkülönítve. Mindeniket ismerem, mégsem állíthatom elő valamennyit. E z a matematika legcsodálatosabb ténye. C sak n em m in d en fel­

a d a tá b a b efu rak o d ik s m in d en ü tt ez képezi a k érd és bibéjét. A z egész ú g y n ev ezett felsőbb m en n y iség tan t az jellem zi legjobban, hogy sz á n tszán d ék k al nekim egy en n ek a cso d á n a k és m eg p ró b álja, ha nem is m eg­

érteni, leg aláb b kezelni. A fentebb m ond o ttak b ó l nyil­

vánvaló, hogy ez a k én y elm etlen tényállás, am i annyi fejtörést o kozott m ár a legokosabb em bereknek, nem o n n a n ered, m in th a a jelren d szer — m it ezu tán sz á m ­ n a k fogunk em legetni — nem sikerült volna. H iszen eg y szerű en kifejezi jelekben, a ren d szer és a tagok szem b eállításáv al a világ e g y ü v é tarto zásán ak és az egyén külön m iv o ltán ak ellentétét. M utatja ezt k ü lö n ­ ben u tó lag o san a felsőbb m en n y iség tan m élységes sikere is a term észeti tü n em én y ek p o n to s m egfogá­

sában. S zerkezeti hib a b ajo san já rh a tn a ilyen e re d ­ m ényességgel. L átju k teh át, hogy n e m c sa k k iin d u lá ­ sáb an , h a n e m felad atai, k érd ései ala k u lá sá b a n is m en y ­ nyire v aló ság -n y o m o n h alad a m atem atika.

A z egész szám o k általános vizsgálatát Cantor, n ém et m atem atikus, űzte legm esz- szeb b s ju to tt igy el a legkülönösebb e re d ­ m én y ek h ez, m ikor m eg állap íto tta a végesentúli (trans- fim t) egész szám o k fogalm át. Íme az o koskodása. A z egész szám azt jelenti, hogy v alah o n n an k iindulva m eg teszek egy ú jab b jelt ép p e n u tá n a jövő egész sz á m n a k s ezt csinálom vég nélkül. K épzeljük m ost

A végesenfuli rendszámok.

II

m ár el, hogy az első nekifogással ily m ódon m eg v an m ár egytől kezd v e v alam ennyi egész s z á m : száz, ezer, millió, billió stb. A m ásik nekifo g ásk o r ug y an az a kép ezési elv — hogy tudniillik elő v eszek egy újabb jelt s azt n a g y o b b n ak teszem m eg v alam en n y i előzőnél

— oly и (m o n d d : ómega) betűvel jelölt szám o t fog adni, mi egyrészt az egész szám ok előre elfo g ad o tt k épezési elve szerint készült, m ásrészt a m e g h atáro zása szerint túl v an v alam en n y i közönséges, azaz vég es n agyságú egész szám on. Ez az első végesentúli egész szám . Ú jab b nekifogás m e g ad ja <» +1, ю + 2, . . . stb. v ég ­ telen soro zato t c su p a végesentúli egész szám o k b ó l és igy tovább. E gyszerű téri ábrázolás m u tatja, hogy ez a tréfásn ak feltűnhető g o n d o latjáték m ennyi való ság o t tud kifejezni a világ n ak arról az arculatjáról, tudniillik a részek eg y m ásra v o n atk o zásáró l, a rendről, m it a m a te m a tik a v an h iv atv a szem léltetni. V e g y ü n k elő egy k ét centi hosszú egy en es v o n alat s v eg y ü k szem ügyre ra jta azo k at a p o n to k at, am ely ek a 0-tól szám ítva

£ f £ "'тв*г I !+ £ 1 + $ 1. á b ra.

/yi_I

0, a, ., —— , . . . stb. táv o lság ra esnek. C satoljuk m ég ezekhez a 0-tól 1, 1 + *, 1 + t stb. táv o lra eső k et és p ró b álju k m eg ezek et leg term észeteseb b ren d b en , n ag y ság u k szerint felsorolni. Első lesz a 0, 2-ik az a,

^ _I i

3-ik a s, s t b . ; W-edik az ---, hol n valam elyik, külön- n

b en bárm elyik, egész szám hely ett áll (n a n u m eru s szó k ezd ő b etű jére em lékeztet). A n n y it m o n d ez, hogy a vizsgált p o n t an n y iad ik a so rren d b en , a m ek k o ra egész szám a nevezője. H á n y a d ik m ost m ár az 1 ? T úl van

v alam en n y in , n ag y o b b m indegyik egész-szám úadik- nál. A vizsgált p o n th a lm a z b a n az 1, n ag y ság ren d sze­

rint az co-adik. A z 1 + i az <*> + 1-edik, és igy tovább.

A z <» jel nyilt v ag y rejtett h a sz n álata nélkül nem is le h etn e a m eg ad o tt p o n to k (illetve távolságok) n ag y ­ ság ren d jét szem léltetni.

T örtszám .

I Törtszám és Valóság. A z egész szám o k csu p a eg észek ­ ből ra k ó d n a k össze, b en n ö k m ég nem ju t eléggé kifejezésre az a tény, hogy m ag a az egységül v e tt sem különb a belőle összerak o ttak n ál, azaz hogy ö is részekből álló n ak tekinthető. E zt szem ­ léltetik részletesen a tö rts z á m o k : 2, i, i, I, . . . . álta lá b a n — hol m is, n is bárm elyik egész szám lehet.

A n evező m egnevezi a felosztásm ódot, hogy p éld áu l 4 felé o sztandó, a szám láló m eg m u tatja, hogy az igy k é p z e tt részekből h á n y a t kell ö sszeszám lálnunk. A z m egyelőre kisebb, m int az n, jelekben, Ш < п , vagy egyenlők s ek k o r az értelm ezés szerin t újra az eg y ­ séget m ag át k ap ju k , m ert a gondolt felosztás u tán ism ét összeszedjük v alam en n y i részt. A tö rtszám o k ­ n ak. m int m en n y iség tan i lén y ek n ek (ez a la tt m ag át a je lren d szert értjü k v aló ság -v o n atk o zás nélkül) m eg ­ o ld ásra váró felad atai p ed ig o n n an erednek, hogy m in d en egész szám egység is lévén, arra is a lk al­

m azan d ó az 2, i, 8, i, . . . stb. felosztásm ód s igy m eg v izsg álan d ó v á válik, mi is történik akkor, h a az egész szám ot a m ag a teljes értelm éb en gondolom el, tudniillik eg y id ő b en m int egységet és m int többséget v eszem szem ügyre. H o g y an kell p éld áu l kifejeznem a nyolc felezését, h a n em csak arra a k aro k gondolni, hogy a nyolc valam i és en n e k felét jelzem (ekkor

13

m e g m a ra d n é k a nyolc fele, m o n d ju k * kifejezésnél), h an em a rra is, hogy az a valam i, am ire gondolok, nyolc egységből áll ? E k k o r ju th a to k csak el ahhoz az ered m én y h ez, hogy a nyolc fele é p p e n 4, jelek b en t = 4. E z az egyenlet nem hiú teh át, azaz nem azt m o ndja, hogy A —A , h an em érd ek es összefüggést fejez ki k é t lehetséges felosztás között.

B árm elyik felosztás u tá n to v áb b á az ered m én y t ú jra egységnek is kell gondolnom , m ert v alam in ő fel­

o sztással n y ert részekből — teh át h a ak aro m , eg y ­ ségekből — v a la h á n y a t összefo g laltam s igy u g y a n ­ azt m űveltem , m int m ikor egész szám o t kép eztem , teh át fo ly tath ato m ra jta a felosztást. B onyolult fel­

a d a to k ezek az elem i iskolásoknak, am iket n em is ők o ld a n a k m eg, h a n e m a tö rtszám o k ra m e g á lla p í­

tott n égy a la p m ű v e le t: ö sszead ás, kivonás, szorzás, o sztás intéz el rövidesen, gépiesen és v égérvényesen.

Itt kezd bonyolódni a m en n y iség tan g é p ezete s viszont itt tűnik ki leg eg y szerű b b en h a ta lm a is. M ennyivel eg yszerűbb és b izto sab b a jelek kezelése — p ár, kivételt nem ism erő rövid szab ály — m int m a g u k ­ n ak az eg y m ásra halm o zo tt felo sztáso k n ak elg o n d o ­ lása. S mivel az igy alkotott jelrendszer éppen szerkeze­

tével sem többet, sem kevesebbet nem jelez, mint a való­

ság egyik alapformáját, az egység-többség egyidejű meg­

valósulását, a szerkezeti sajátosságok is egytöl-egyig való­

ság jelentésüek lesznek. N em kell félnünk, hogy v issza n em néző, ö n m ag u k b ó l m eritő m en n y iség tan i fe la d a ­ tok to v afü zése elterelh et b e n n ü n k e t a valótól. N em , m ert a n n a k egyik igazi m egjelenésm ódja lü k tet to v áb b bonyolult g o n d o latjárásain k b an .

A tö rtszám o k at rák é p z e lh etjü k az eg y e­

nes v o nalra. K ezd ő p o n to t v eszünk fel az eg y en esen (0) s o n n an jo b b ra felm érjük az 1-et (p éld áu l a cen tim étert választv a egységnek), a 2,

A törtszámok az egyenesen.

2. ábra.

3, . . • egész szám o k at, m ajd közibük az fr, t, . . . v a la m e n n y i törtet. így m in d en egész és tö rtszám n ak lesz h ely e s jelzik h ely ü k tá v o lság át a kezdőponttól.

A z egyenest sűrűn ellepik, m ert ad o tt tizedestörthöz m indig v a n tőle csakis n a g y o n távoli tizedesjegyben s igy ak árm ily en k ev éssé különböző m ásik szám .

V a la m in t a tö rtszám o k a lehetséges felo sztáso k jelh alm aza, ép p ú g y a n e g a ­ tiv szám o k a leh etség es k iv o n áso k n ak összead ástó l független jelzései. A - 1 2 jel an n y it m ond, hogy, ha m ajd leh et és kell, 12-vel k e v e s b ítü n k ; jelez teh át p é ld á u l 12 kor. adósságot. A —12 + 8 jel szerint m ár csak 4 m a ra d levonandó, teh át —12 + 8 = 4. H a s z n á ­ lati sz a b ály ai közül csak azt em litjük m eg, h o gyha a lev o n an d ó m a g a is n eg ativ szám , ak k o r levonása a b b a n áll, hogy p o zitív v á lesz. P éld áu l — 8 előfor­

d u lh a t - (10 - 2) a lak b an , vagyis úgy, hogy előbb + Ю-et, az u tá n — 2-t kell levonni. H a pl. az első tag egyelőre ism eretlen, X, s csak késő b b derül ki, hogy ép en 10 : — (X — 2). A + 10 levonva — 10, a — 2 levonva + 2 lesz, m ert a lev o n an d ó n y olcat úgy foghatom fel, h ogy előbb veszek lev o n an d ó 10-et (— 10), m ost azo n b an soka! v o n tam le s igy a k ettő t h o zzáad an d ó ú l, azaz + jel­

lel keil m á r v e n n e m ; teh át — (10 —2 ) = —10 + 2 = —8. Innen v a n az á szabály, hogy negativ szám szorozva negativ szám m al pozitivot ad. T e rm észetesen tö rtszám is lehet lev o n an d ó s igy v a n n a k negativ törtszám ok is. A negativ szá m o k a t az egy en esen a k ezd ő p o n ttó l b alra képzeljük.

N ézzük m eg m ég, hol bujkál itt a v égtelen s m icsoda uj felad ato k ra h ív ja ki a d aco s észt. A tö rtszám o k at kétfélek ép is

Végtelen tizedestört.

15 Negatio szám.

jelöljük: — alak b an , ezt közönséges tö rtn ek hívjuk, és tized estö rt alak b an . E két jelzésm ód m eg feleltetésé­

nél lép fel legelőször a végtelen. E gyelőre n ag y o n szerén y fo rm áb an , csakis a jelek felirásában. U gyanis a I alakból úgy m együnk át tized estö rt alak b a, hogy a 8-at osztjuk szab ály szerint 5 -te l: 1 = 8 : 5 = Г6. H a u g y an ezt m eg tesszü k p éld áu l »-del, ak k o r egészül 0-t k a p u n k , tizedesül p edig folyton e g y e t: 9= 01111...

ugyanigy e = 0'3333 ... stb. N ém elyik közönséges tö rt­

n ek tized estö rt a lak ja v égtelen sok szám jegyből áll, v ég telen hosszú tized estö rtet alkot. M egjegyzendő, hogy m in d en végtelen ség e d a c á ra az ilyen tiz e d e s­

tö rtet fenékig ism erjük, h ajszálnyi h a tá ro z a tlan sá g v agy titokzatosság sincs benne.

A v égtelen tized estö rt to v áb b vezet a tetszésszerinti m egközelítés fogalm á­

hoz. B árhol szak ito m is m eg a O'lll!

szám jelb en az eg y esek Írását, az igy n y ert véges tized estö rt nem lesz é p p en e, azonban nem is fog attól n ag y o n különbözni, m ert az 1: 9 osztás k e re sz ­ tülvitelekor p éld áu l a h ato d ik 1-es felírása u tá n a m a ra d é k , am i ez u tá n k erü ln e ú jab b kilencedelésre, c sak Iqqqqqq - hla olyasm i felosztásáról van szó (1 k oronáról), am inek a m illiom odrészét m ár úgy sem tu d o m m egvalósítani, ak k o r m o n d h ato m , hogy m eg ­ k özelítőleg (itt 6 tizedes pontosságig) ^ = 0*111111. A m i ebben a m a te m a tik u sn a k érdekes, az az, hogy ez a m egközelítés teljesen tetszésszerinti p o n to sság ig vihető, és m indegyik esetb en m ár előre egész p o n to sa n tudom , m ek k o ra h ibát k ö v etek el. M agát ezt a foly­

ton fokozódó m eg közelitést m egint keresztül-kasúl tö k életes szigorúsággal ism erem , b ár ez is vég telen b e m enő felsorolást igényel, m int az egész szám ok sora.

Tetszésszerinti megközelítés.

M ivel p ed ig a v ég telen tized estö rtet m ag át eg észen úgy sem tudom feürni, legeg y szerű b b en úgy fejezh e­

tem ki az ⁹ = 01111 . . . . egyenlet tartalm át, h a azt m ondom , hogy az e-et vég nélkül m egközeliti a O'l, 011, 0*111, 0*1111... (1) véges tized estö rtek b ő l álló szám ­ halm az. A z osztás, am ellyel a 01111.... alak h o z jutunk, közvetlenül szintén csa k ezt a m egközelítést adja.

S zögezzük le jól a m ost tapasztal- taltak at. F olyton nagy o b b és nagyobb véges tized estö rtek végnélküli so ro ­ z a ta h a tá ro z o tt szám (a p é ld á n k b a n b) felé tart s a sorozat ta g ja in a k n a g y o b b o d ás m ó d ja p o n to san m eg­

h a tá ro z z a ezt a szám o t és csakis ezt. R ögzítsük m eg a tetszésszerinti m egközelítés tisztán m ennyiségi fo­

g alm át téri k é p b en . V e g y ü n k elő 1 cm hosszú egyenest és felezzük m eg. A z igy k eletkező k ét félcenti d arab b ó l ta rtsu k m eg a baloldalit, a jo bboldalit p ed ig felezzük m eg ú jra s a n eg y ed cen ti hosszú b alfelét ad ju k hozzá

A tetszésszerinti meg­

közelítés téri képe.

3. áb ra.

az előbb m eg tarto tt félcentis d arab h o z. A h á tra m a ­ rad ó n eg yedcentivel (am elyik l-tő l 1-ig terjed) járju n k el u g y an íg y és igy tovább. M eg k ap ju k igy a

í, » + í , i í + 4 + Ь + Te...

szám so ro zato t, m it n ag y o n k ö n n y en á tírh atu n k véges tiz ed estö rt alak b a, m ert a nevezők m ind 2 h a tv án y ai:

0-5, 0 75, 0-875, 0 9375...

A téri szem léletből világos, hogy ezek a szám ok folyton n ag y o b b o d v a ép p e n az 1-et közelitik m eg. A z (1) so ro zat is é p p e n igy szem léltethető, csak ott nem felezni kell az 1 cm hosszat, h an em tizfelé osztani s c ;ak egy részt ta rtan i m eg, igy k ap ju k O'l ta g o t ;

m ajd az то hosszú d a ra b k á t osztjuk ism ét tiz részre s ta rtu n k m eg belőle egyet és igy tovább.

A végtelen tehát itt mint határtalan oszthatóság jelentkezik. A jelen ség ek n ek az a so k at em leg etett tu lajdonsága, hogy eg y ség esség ü k b en is sokszorosak nem függ a téri k iterjed és n agyságától, sem sem m iféle m ás n a g y ­ ságtól. K om olyan véve, atom vagy elektron, m i — h a nem is térb en — , de h a tásaib an , tu la jd o n sá g a ib a n n e len n e bonyolult, tisz tá ra k éptelenség. H iszen erő­

k ifejtésére (például súlyára), színére stb., m in d en ére m áso k is b efolynak s igy ré szen k én t is v áltozhat.

K ülönben a csu p asz egy elg o n d o lása egy irán y b a esik a m o zd u latlan ság , h a tá sta la n sá g , a nem levő, a sem m i elg ondolásával. L átjuk, hogy a m a te m a tik a m ennyire a v aló ság b a igyekszik belelátni. A z „egy és mégis több“ a világ általános megjelenésformája s igy bármire is alkalmazandó. A m in d en ü tt érvényesülő többesség, az a k árm ed d ig vitt széto sztás g o n d o lata a v aló ­ ságból sa rja d t s a m ennyiség tu d o m á n y á b a n k ik e ­ rülhetetlenül m egvizsgálandó. A tö rtszám jelen tő ség e a m ate m a tik a fejlődésére ép p e n az, hogy a vég nélk ü l fo ly tath ató felosztás valóságsugallta g o n d o latát teljes tisz ta sá g á b a n tá rja elénk. E zt a m élységes g o n dolatot végig kell gondolnunk, ki kell b o n tan u n k , hogy eszünk b esu rra n h a sso n legtitkosabb red ő ib e is. E z a nagy el­

gondolás a matematika.

A végnélkül! oszt­

hatóság gondolata.

Képezési törvény.

V é g te le n szám h alm azok . H atárérték.

F e la d a tu n k m ost m ár világ o san áll előttünk. A köv etk ező k b en a m egoldó go n d o latso r — ez a m a te m a tik a — tag o z ó d á sá n a k főbb v o n alain siklunk végig. E lső b b e» is ahhoz kell hozzászo k n u n k , hogy v égtelen sok szám ból álló h a l­

m azt is kim erítő p o n to sság g al m eg tu d u n k adni. Így

p éld áu l az (1) so ro zato t v agy p ed ig az — (П egész szám ) alak ú valódi tö rtek h alm azát. A z ép p m ost je lz e tt— form a, v ag y m o n d ju k ink áb b képezési törvény

7Ъ

tén y leg eld ö n th ető v é teszi, hogy b árm ely ik ad o tt tö rt­

szám b en n e v an -e a h a lm azb an v agy sem , m ásrészt annyi ta g o t és azt a tag o t k ép ezh etjü k vele, am eny- nyit s am ely ik et csak ak arju k . A kép ezési törvényt g é p n ek tek in th etjü k , a h alm az tagjai ekkor en n ek term ékei lesznek. A z z a l tartom össze a végtelen sok számot, hogy tudom hogyan kell képeznem bármelyiket,

<Yi_ I mindegyiket. Ilyen k ép ezési törv én y p é ld á u l: ———

(n so rb an = 1, = 2 , = 3, . . . stb.) ; en n ek első tagjai :

3 4- 1

0, í, I, i, !, . . . V a g y p ed ig : — - — (n = 1 , 2 , 3 , . . . « » ) ; e n n ek k ezd ő tag jai: 4, i, V, V, . . . K ö n n y eb b en á t­

tek in th ető ez a h alm az, h a k ép ezési tö rv én y ét 3 + — rft 4^{. ]}

a la k b a irom . N em érd e k te le n m ég a z --- h alm az sem , n

h o l a ± azt jelenti, hogy m ikor П h ely éb e v alam elyik n

+

,

té sé n e k is.

Elküiönithelo tag. V e g y ü k m ost szorosabb vizsgálat alá az egyetlen, 0, tagból álló és a m ár em lített h alm azo k egyesítéséből k eletkező ( 0 , 1 ) halm azt.

N eh á n y ta g iá t 4. á b rán k téri k ép b en is m u tatja. A zt á lltju k , hogy a h alm az nem m in d en szá m á n a k egy­

n

form a a szerepe. V e g y ü k elő u gyanis p éld áu l az 4-et.

L áttu k ugyan, hogy a 4-hez, m int m in d en tö rtsz á m ­ hoz, ak árm ily en közel is v an m ég tö rtszám , de nem

0 1 0 0 . . . l V . . . e 5 4 i

4. áb ra.

a most vizsgált halmazból. M ert a 4-től jo b b ra-b alra m enve, p éld á u l: i V d e l ( í — rV töl 4 + rV ig), oly sz á m ­ közt jelölünk ki, m elyben a £ egyedül van, p o n to sa b ­ b a n : m ely b en a vizsgált h a lm a z n a k m á r nincs m ásik szám a. A z ilyen tag ra azt m ondjuk, hogy ez a h a l­

m az n a k különálló, jo b b an m o n d v a a többitől sz á m ­ közzel elkülöníthető tagja. L áth a tó la g ilyen a vizsgált halm az m in d en — alak ú tagja, azaz v alam en n y i az 0-t kivéve. U gyanis — o k v e tle n --- r é s --- j k özött fekszik akárm i is n, m ert a h alm az tagjai fogyva k ö v etk e z n e k eg ym ásra. H a te h á t n n agyon n agy (p éld áu l 1000000), azaz ^ n ag y o n kicsiny ( Ю00000 ) ak k o r a szám köz is n ag y o n kicsiny, m ely b en az ^ ( ÍQÖÓÖ0Q ) m ár m a ~ g á b an van. F ontos azo n b an csak az, hogy elk ü lö n ít­

hető a többi tagtól, Van o ly an szám köz, m elyben a h a lm a z n a k m ásik sz á m a m ár nincsen.

P ró b á lju k m eg u g y an ezt a 0-sal.

H a a 0-tól jo b b ra b a lra p éld áu l

ioooooö'dal mesyunk> V loooooo'to1 a °'ou ai

j-QÖQQQQ-ig tart igy a sz á m k ö z ^ rögtön tu d u n k m ég El nem különíthető

tag.

m o n d an i o ly an tagot, am elyik belöl esik ezen a szám - közön, p é ld á u l , i s á ltaláb an valam ennyi —

1000001 n

alak ú tört, hol az n nagyobb, m int 1000000. H a m eg ­ m o n d ják a szám közt, am ivel el a k a rjá k különiteni a 0-t a többi, — alak ú tagtól, m agából a szám köz sz é ­ léből rögtön tudom , m ily tag o k esn ek m ég okvetlenül a szám köz belsejébe. H iá b a igyekszem te h á t a 0-t k ü lö n v álasztan i bárm ilyen kicsiny szám közzel, előre tudom , hogy ez a kísérlet csakis ered m én y telen lehet.

A 0 te h á t h a lm a z u n k n a k valam i különös tagja. F o n ­ to sság a is világos, m ert k ö rü lö tte — p o n to sab b an : bárm ily piciny szám k ö zb en , am elyik a 0-t m a g á b a zárja — v égtelen sok tag ja v an a h alm azn ak . A z ilyen tag o t a többitől el nem különíthető tagnak, a h a l­

m az sű rű sö d ési h ely én ek hívjuk. A ! 0, — 1 h alm azn ak te h á t v alam en n y i tagja elkülöníthető, kivéve az eg y et­

len 0-t, am elyik el nem k ü lönithetö tag. V ilágos, hogy az - h alm azra nézve, b ár form ailag bele nem tarto-

n

zik, a 0-nak ép p oly fontossága, é p p az a szerep e van, m int a ( o . ' 1 h alm azb an . E zért eg yszerűség k ed v éért azt is m o n d ju k , hogy a 0 az — h a lm azn ak el nem kü-

fi_I lönithető tagja. K ö n n y en b eláth atju k , hogy az ---=

i . П .

1 - — k ép ezési tö rv én n y el m eg ad o tt h alm azn ak is m in­

d en tag ja elkülönithető, m ert a tagok folyton n a g y o b ­ b o d n a k s igy ak árm ely ik az előtte levő és u tá n a jövö k ö zö tt eg y ed ü l van. S űrűsödési helye p ed ig az 1, mit

21

h a csato lu n k a h alm azu n k h o z, az uj ( l 5 r ) h a lm a z ­ n a k lesz szintén eg yetlen el nem k ü löníthető tagja, t. i. az 1. A z № h a lm azn ak szin tén az 1 az

3 fi -f- ]

eg yetlen el nem k ü löníthető tagja. A --- - n é le z a 3 . n

Á lta lá b a n С ± — h alm azn ál a c (c-nek k ü lö n b en bár-

n v

m elyik egész v agy tört szám is v álaszth ató ).

V a n n a k azo n b an oly h alm azo k is, m ely ek b en nem egy, h an em több el nem különíthető tag is van. P éld áu l Hány el nem különít­

hető tag tartozhat egy halmazhoz?

(0, — , 1,—^{1 n - ] \}) egyesitett h alm azb an k ettő v a n : a 0 és az 1. U gyanigy lehet olyform án ö sszerakni a k ép e- zési tö rv én y ek et, hogy az ú jo n n an előálló h alm azb an b á rm e k k o ra (d e véges) szám ú el nem különithető tag legyen. E zek kissé m esterk élt p é ld á k n a k lá tsz a n a k s igy a d u n k m ég egyet, am ely ik n ek ezt ig azán nem lehet felróni. N ézzük a valódi tö rtek h alm azát, v a la ­ m ennyit. E nnek minden tagja ilyen el nem különithető tag.

B árm elyiket v álasszu k ki ugyanis, nem lehet sz á m ­ közzel kirekeszteni, m ert m int láttu k (7. lap ) a k á r­

m ilyen közel hozzá m ég m indig v an m ásik törtszám . H a te h á t p éld áu l azt állítják, hogy £ az £ - —-töl

1 ... ,, ...П i H— -ig terjedő szám k ö zb en eg yedül van, rögtön cá-

n 1

folhatok, a m en n y ib en az i H--- r is tö rtszám és belől n + 1

esik. (O d a esik, ha Ш > fi, m in d en * ± — alakú törtszám ,

. m

^ *

Határérték.

Ltmes.

azaz v égtelen sok.) A z £-det nem leh et te h á t el­

k ülöníteni s u g y an ezen okból egyiket sem . A z el nem kü lö n íth ető tagok szám a válto zh at teh át a 0-tól a végtelenig. V ég es szám ú tagból álló h alm azb an p éld áu l n em lehet egy ily rendkívüli, el nem különíthető tag sem , m ert az egyes tagok kö zö tt kijelölhető legki­

seb b k ü lö n b ség ü k (táv o lság u k ) s ezt véve szám köz alk o tó n ak jo b b ra-b alra, b árm ely ik tag n ál elérem , hogy a kijelölt szám köz b elsejéb en egyedül legyen.

A véges szám ból álló h alm azo k b an nincs te h á t el nem k ü löníthető tag. E zekhez szer­

k ezetileg legközelebb állan ak az olyan v égtelen so k szám ból álló h alm azo k (rö v id e n : vég­

telen szám h alm azo k ), m ely ek b en csak egy el nem k ü lö n íth ető tag v an (a tag szót á ltalán o sab b értelem ­ ben véve, m ely szerint a sűrűsödési h elyeket okvetlen ta g o k n a k m inősítjük). A z ily halm azok szerepe, hol a v ég telen legeg y szerű b b fo rm ájáb an jelenik m eg, döntő je len tő ség ű a b b a n a h a ta lm a s fejlődésben, m it a m a te m a ­ tikai p ro b lém a-szö v ed ék szálain ak kifejtése elibénk tár.

E zért v a n az ily h alm a z o k n a k és el nem különíthető tag ju k n ak külön, k én y elm esen k ezelh ető szó- és Írás­

jelek. M agát a h a lm a z t szab ály o s so ro zatn ak , sűrűsödési h ely ét p ed ig a szab ály o s so ro zat határértéké-пек, limes­

é n e k m ondjuk. N em zetközi Írásjelekkel, p éldául Um- — 0.

n = OO W

hol - m ini k ép ezési tö rv én y a rra gondoltat, hogy itt n

vég telen szám h alm azró l v an szó, m elynek tagjai m ind azo k a törtek, m ely ek n ek szám lálója I, nevezője p edig v alam ely ik egész szám . A z n = o o jelzés azt h an g ­ sú ly o zza, hogy n helyébe be kell tenni valam ennyi egész szám o t a végtelenig, hogy a h alm azt egészen m eg k ap jam . Ez a jelzés azért kell, m ert sokszor

23

több b etű is v an a k ép letb en p éld áu l x is, és ekkor m eg kell m o n d a n u n k m elyik betű h ely ére teen d ő k be a szám érték ek , nehogy a felirás k étértelm ű legyen.

V ég re a Hm azt jelenti, hogy nem a h alm azra a k a ru n k gondolni, h an em an n a k egyetlen sűrű sö d ési helyére.

A (2) b a lo ld a lá t tevő összetett kifejezés v é g ered m én y ­ b en egyetlen számot jelöl tehát, a 0-t, csakhogy ezt a szám o t végtelen h alm az h a táro zza m eg. így volt az (l)-ben is, hol a sorozat i-e t a d ta m eg.

U gyanígy

lim ——- = ], lim* + ■ = 3 , lim ( c ± —^ — c, stb.

n = OO n n \ П/

H a v alam ely ik szám h alm azo m ró l az derül ki, hogy n em egy, h an em több el nem különithetö tagja is van, arról a halm azról azt fogjuk m ondani, hogy nincs h a tárérték e, tudniillik nincs egyetlen egy el nem k ü lönithetö tagja, m ert több van. A z é rt m o n d ju k így, m ert az ily h a l­

m a z o k a t é p p e n bony o lu ltság u k n ál fogva nem tu d ju k sem m ire se h aszn áln i s a „nincs h a tá ré rté k e “ kitétellel m integy k iselejtezzük a h aszn álh ató eg y szerű h a l­

m azo k közzül. A z t is lehet m ondani, h ogy a h alm az nem szabályos sorozat.

A legelem ibb s egyszersm ind a leg m ély eb b re nyúló k érd és m ost az, hogy v an-e o k v etlen m in d en végtelen sz á m h a lm a z n ak leg aláb b egy el n em különithetö tagja.

A z t láttuk, hogy leh et több, sőt v égtelen sok is. D e hogy feltétlenül lennie kell legalább egynek, az n e m bizonyos. Sőt m eg is esik, h eg y egy sincs, m int azt az egész szám ok h a lm aza tü sté n t m egm utatja. V é g te le n sok tag ja v an s m indegyik különálló. Szem ébe n é z ü n k e n n ek a k é rd é sn e k s m élyén megpillantjuk m ajd — az irracionális szám okat, a középiskolai m atem a tiz á lás kisértetét.

A határérték létkérdése.

24

II. Fejezet.

Irracionális szám és a végtelen problémái.

Irracionális szám .

L áttu k fentebb (15. oldal), hogy h a az egész és tört — egybevéve racio ­ n á lis — szám o k at felrajzoljuk az eg y e­

nes vonalra, oly p o n th alm azt n yerünk k ép g y an án t, m ely n ek m in d en tagja sűrűsödési hely.

A racionális szám o k m in d en szám k ö zt végtelen sű rű n lep n ek be. E bből könn y en azt gondolhatnók, hogy h a v alam ely ik végtelen sok szám ból álló halm az, m int p éld áu l az —, a m aga eg észében véges hosz- szú ság ú szám k ö zb e esik bele (0 —1 közbe a jelzett p é ld á b a n ), a k k o r o kvetlen lesz legalább egy tagja a h alm azn ak , am elyik m ellett v égtelen sok tag van, v agy ha ilyen tag nincs is, m int szorosan véve az

— b en sincs, m ert a 0 n em ilyen alak ú szám , akkor n

is v an legalább egy, h a nem is belőle való, racionális szám , am elyik sűrűsödési h elye a h alm aznak. Felezem u g y an is (vagy p éld áu l 10 részre osztom ) a véges h o sszú ság ú szám közt, am elyikből az egész halm az való s úgy okoskodom , hogy valam elyik felébe (tized- részéb e) v ég telen sok tag esik, m ert h a m ind a k ettő b e (m ind a tízbe) csak v éges szám ú tagja esn ék a h a l­

m a zn ak , a k k o r nem lenne neki végtelen sok tagja.

A z t a felét a szám k ö zn ek hová végtelen sok tag esik (ha m ind a kettőbe, illetve m ind a tízbe, ak k o r a k á r­

m elyiket) újból felezem (tizedelem ) és igy tovább.

A racionális számok helyeinek sűrűsége az egyenesen.

25

E zzel az eljárással folyton k isebbedő s egym ás b e l­

sejébe eső szám k ö zö k et k ap o k , m ik végül feltétlenül egyetlen p o n ttá zsugorodnak, m ivel az W-edik lépéssel n y ert szám köz az ered etin ek ~ (ilíe tv e j l ) része.

M iután p ed ig — itt lesz hib a g o n d o latm en etü n k b en — az eredeti szám k ö zt v ég telen sű rű n lepik el a racionális szám ok, azaz mindenütt van egy, úgy látszik a m ost n y ert p o n t is egyik racionális szám helye. Ilyen m ó d o n be len n e bizonyitva egy n agyon fontos alaptétel, am ely szerin t véges szám közbe eső v égtelen h a lm azn ak okvetlenül v an legalább egy, m ég p ed ig egész v agy tört, sűrűsödési helye. A hib a eb b en az o k o sk o d á sb a n felette jellem ző a m ennyiségtani g o n d o latm en etek re s k ü lö n ö sen viszo n y u k ra a téri szem lélethez. C su p án abból, hogy az egész és tö rtszám o k képei az egyene­

sen ilyen v agy o ly an sűrűn fekszenek, véglegesen sem m i m en n y iség tan i e red m én y m eg nem állapítható.

E szü n k b e ju tta th a t ez v agy az a geom etriai tén y állás m en n y iség tan i g o n dolatokat, de azokat tisztára a m ennyi­

ségrendszer saját szerkezetéből kell végérvényesen meglátni.

M ig ez m eg nem történt, csak több k e v eseb b m ély ­ ségű h aso n lattal v an dolgunk.

T a n u lsá g o s az előző p éld a, m ert tényleg tu d u n k m eg ad n i o lyan tört- szám h alm azt, am elyik n y ilv án v aló an m egcáfolja a látszólag — azaz g eo m etriailag — be­

bizonyított ered m én y t. V ég es szám k ö zb e esik és m ég sm cs o ly an egész vagy törtszám , am elyik sűrűsödési helye lenne. Ilyen a vég es tizedestörteknek m in d en sorozata, am elyik csak n em szak aszo s végtelen tiz e d e s­

tö rtet állit elő. írjuk fel p é ld á u l a 0 egész u tá n tiz e d e s ­ jeg y ek ü l so rb an az összes egész szám okat. így k a p ju k az

.4

=

. . .

. . .

! . . .

. . .

A z irracionális szám nélkülözhetetlen volta.

v ég telen tized estö rtre em lékeztető alakot. E b b en nincs szak asz. Ez te h á t nem lehet törtszám s igy egyelőre n e m is szám . A z

( a ) 01, 012, 0123, . . 0123 . . . 8, 0123 . . . 89, . . ., 0123 . . . 89 . . . 20 . . . 9 9, . . stb.

véges tizedestörtekből, te h á t törtszám okból álló so ro ­ zat ; tagjai m ég hozzá folyton nag y o b b o d n ak , m ásrészt m in d a n n y ia n 01 és 0*2 szám ok közé, te h á t véges szám k ö zb e esnek. Es m ég sincs racionális sűrűsödési helye, m ivel ettől a so rb an távol levő tagok m ind k ev ésb é ta rto zn ak különbözni, s igy a sűrűsödési hely tized esjeg y ein ek sorba össze kellene esni az (d)-ban e g y m ásu tán fellépő tizedesjegyekkel, azaz végtelen tized estö rtn ek kellene lennie szak asz n é lk ü l; ilyen egész v agy tö rtszám azo n b an nincs s igy egyelőre sem ilyen sincs. A z ( a ) halmaznak, bármennyire hasonlít isaszabályos sorozatokhoz,egyáltalán nincs sűrűsödési helye*

Mit jelent ez téri szem léletb en ? K épzeljük el, hogy egy 10—12 centi­

m éter hosszú v o n alat n ag y o n p o n to san m eg ak a ru n k Geometriai ábrázolás.

* Részletesen bizonyítva : tegyük fel, hogy а В sűrűsödési hely egyik — mondjuk Z-edik — tizedesjegye nagyobb, mint az ugyan- annyiadik .Л-ban (kisebb nem lehet, mert ekkor két tag közé esne vagy éppen egyik tag lenne s igy külön állana). Az А-Ъа.п nem minden tizedesjegy 9-es az Z-edik után sem, mert hiszen nem szaka­

szos tizedestörtet vizsgálunk. Legyen az Z-edik után a legelső nem 9-es jegy a Zc-adik. Képezzük most B-ből a nála kisebb B xszámot akképen, hogy az Z-edik tizedest kisebbítsük meg eggyel s írjunk az ? ediktöl a Zc-adikig mindenüvé 9-est. Mindegyik (Cf)-ból való szárr* kisebb, mint B lf mert ZC-adik tizedesük kisebb В j Zc-adik tizedesénél, az ez előtti tizedesjegyeik pedig megegyeznek a B , meg­

felelő jegyével (legfeljebb az Z-edikben különbözhetnek 5,-101, de ott is az utóbbi javára). B , és В közé egy sem esik, tehát (B -n túlra meg éppenséggel nem) а В igy tényleg el van tőlük külőnitve.

A sűrűsödési hely tizedestört alakjának össze kellene esni az A alakkal.

Egész vagy törtszám azonban ilyen alakú — tudniillik végtelen és ezbkasznélküli tizedestört — nem lehet.

27

m érni s m é te re k b e n fejezzük ki m ag u n k at. E lőször azt találjuk, hogy m eg v an tiz cen tim éter (O'l m éter) ; a h á tra m a ra d ó rész is k ia d m ég két centim étert, teh át a p á lc a kissé nagyobb, m int 012 m éter. Így folytatva k ap ju k , hogy m ég 3 m illim étert kiad, azu tán 4 tized- m illim étert, 3 századm illim étert, stb. M inthogy egész p o n to san úgy sem m érh etjü k m eg, nincs sem m i jo gunk feltenni, hogy a végigvitt m érés n e a d h a tn á m eg az (a ) sorozatot, h iszen a k k o r p é ld áu l j = 0 '3 3 3 3 3 . . . h o sszaság se lehetne. B árm ily sűrűn b eb o ríto tták is az egész és tö rtszám o k az egyenest, m ég m indig v a n n a k teh át p o n to k rajta, am ely ek n em k a p ta k szám nevet. A g eo m etriát sem elégíti ki az egész és törtszám . A z a k á rh o g y an v ég ezh ető felosztás g o n d o ­ la tá t nem leh et velük végiggondolni. E hhez m ég n élk ü lö zh etetlen ü l k ellen ek a n em szak aszo s tiz e d e s­

tö rtek is. K ötelessége te h á t a m en n y iség tu d o m á n y á ­ n ak, hogy ezek et a jelek et — v agy ezekkel egy- h a ta lm ú a k a t — polgárjogositsa, azaz a velük való b án ásm ó d o t, a négy alap m ű v eletet, ráju k m e g h atáro zza s hogy ilym ódon m in d en h a tá ro z a tlan sá g tó l m en ten s m ost m ár velejéig m eg ism erh etö en szim bolizálja a világ egység-többség m eg jelen és m ó d ját, m in t a v ég ­ te le n o sz th a tó sá g rejtv én y én ek k ib o n tását.

A n em szak aszo s v ég telen tiz e d e s­

tö rtek ö sszead ása, k iv o n ása, szo r­

zása, o sz tá sa v isszam eg y a véges tized estö rtek m egfelelő m űveleteire. U gyanis m in d en v égtelen tized estö rt-alak felap ró zv a vég es tized estö rtek so ro zatak én t gondolható, m int fen teb b a p é ld á n k b a n .

L eg y en ilyform án

ci3, a 3, . . . , cin, • • • ( ci)

és bu b t , Ья, . . . . bn____ (b ) A z irracionális

számok összeadása.

két, m o n d ju k A és В végtelen tizedestört sorozatos alakja. L eg y en ek pl. az A tizedesjegyei a p áro s eg ész szám ok, В jegyei a páratlan o k . A k k o r a két so ro zat lesz

0,2, 0,24, 0,246, 0 ,2 4 6 8 ,... és 01, 013, 0135, 01357 . . . A z A és В összege a la tt az

a v + blf a 9 + b2, a 3 + b3, . . . , a n + bn, . . . (ö) szám beli p é ld á n k b a n : 0 ’3, 0'37, 0*381, 0 ‘3825, szintén folyton n ag y o b b o d ó tagokból álló so ro zat m eg h atáro zta v ég telen tiz e d e stö rte t értjük. A rra kell itt jól rág o n d o l­

nunk, hogy ha ily so ro zat tag jai folyton n ag y o b b o d ­ n ak, a k k o r o k vetlenül m eg h a tá ro z n ak egy és csak egy v é g telen tized estö rtet, m ert pl. h a az első tizedes leg­

n ag y o b b é rték ét (am i legfeljebb 9 lehet) egyszer fel­

v ette, azontúl m ár m in d en u tán ajö v ő tag b an ugyanaz m arad . Pl. az ö sszegben az első tagnál az első tize­

d es 3 s az is m arad . Induljunk m ost m eg ki abból a tagból, a h o n n a n kezd v e ez m ár igy v an s o k o s­

k o d ju n k a m áso d ik tizedesre ugyanígy. Innen kezdve ez a m á so d ik tized es csak n ő h et (egyform a is m a ra d ­ h at) V a la h o l teh át elkezdi felvenni legnagyobb é rté ­ k é t s azontúl ő se változik. S zám p éld án k m ásodik tized ese az első ta g b a n 0, a m áso d ik b an 7, a h a rm a ­ d ik b an 8-nál felvette leg n ag y o b b érték ét s ezentúl m in ­ dé: ta g b a n m egtartja. így folytatva látjuk, hogy véges tizedeslörtek növő sorozata (h acsak egész részük nem nő v ég telen b e) mindig meghatároz egyetlen egy végtelen tized'»störtet. U gyanígy o k o sk o d h atu n k term észetesen, ha a tag o k folyton k isebbednek, feltéve, hogy egész részü k nem fogy le m inusz végtelenre.

M ivel ( s z )

а { У bx, а % x b2, a3 x b3...a n x bH, . . . so ro zat tagjai szintén folyton n ag y o b ­ b o d n ak , m ert hiszen a2 nagyobb, m int alt m eg b2 is

Az irracionális számok szorzása.

29

n agyobb, m int bL, az A x B m űvelet ered m én y éü l az ( s z ) so ro zat által m eg h atáro zo tt vég telen tized estö rtet tekintjük. F.z a szorzás-szabály.

N em eg észen ilyen egyszerű a k i­

v o n ás és o sztás m ű v eletein ek m e g álla­

p ítá sa , m ert az előbbi eljárás nem v ezet m indig növő soro zatra s igy egyelőre n em tu d ­ juk, m it tek in tsü n k a m ű v elet ered m én y én ek . N ézzük a kivonást. A különbség-sorozat:

(Zj b lf Cíg _ Ъa , ö g 6 g, . . . , d n b n, . . . ( i i )

tagjai mind egyforma előjelűek: v ag y m in d pozitivok, v ag y m ind negatívok. A z elején azo n b an lehetnek 0 tagok. A z első n em zéru s tag eldönti az előjelet.

H a pl. a l > b 1, ak k o r a l n ag y o b b m indegyik &-nél, m ert az a tizedes, am elyik m iatt bt kisebb fl^-nél, t. i. az első tized es am iben különböznek, u g y an csak m eglesz a többi fe-ben is, a b e n n ö k ez u tá n fellépő tized esek p e d ig a k á rh á n y a n v a n n a k is, so h asem teszn ek ki egészen egy előttük álló tized esérték et.

E k k o r azo n b an a többi a is m ind nag y o b b v alam en n y i b-nél, te h á t a sa já t k iv o n an d ó ján ál is. H a ellen b en bx nagyobb, m int <Zlt ak k o r m eg a b-к n ag y o b b a k v alam en n y i a-nál. V égül h a at = blt a k k o r elővesszük az a 3 — tag o t s erre gondoljuk végig az o k o sk o d á ­ sunkat. C sak ak k o r esh etik m eg, hogy m indegyik k ü lö n b ség nulla, ha az а-к és b-к so ro zata é p p e n e g y ­ form a. E k k o r te rm észetesen m ind a k etten u g y an azt a v égtelen tized estö rtet ábrázolják. A m ásik k ét eset ad ja az A > В és A < В viszonylatokat.

А ( к ) so ro zat tagjai azo n b an nem o k v etlen ü l n a ­ g y o b b o d n ak állan d ó an , pl. h a A és В igy k e z d ő d n e k :

7, 7 7 , 7 7 9 ____

illetve 3, 3 9, 3 90____

A z irracionális számok kivonása.

E k k o r u gyanis a ( k ) k ü lö n b ség -so ro zat első ta g ja i: 4, 3'8, 3 ‘89, . . . A zo n b a n az uj tizedesjegy hatása nem terjed­

het túl az első nem-nulla tizedesjegyen. E m iatt elég m essze m en v e a ( k ) so ro zatb an az egész jegy, első, m áso d ik , stb. tized esjeg y ek sorban állan d ó k k á v áln ak s a n ag y o b b o d ás-k iseb b ed és eltolódik m indig m esszebb kieső tizedeshelyekre. A ( k ) sorozat szintén m eg ­ h a tá ro z te h á t egyetlenegy v égtelen tizedestörtet.

U gyanígy áll a dolog az o s z tá s s a l; en n ek pontos e lg o n d o lását h ely szű k e m ia tt az olvasóra bizzuk.

A nem-szakaszos végtelen tizedestör­

tek a most megállapított négy kezelési szabállyal ellátva az irracionális szá­

mok. L átju k , m ily term észetesen folytatják és egészitik ki az egész és tö rtszám o k osztályát. Sok közönséges tö rtszám n ak is v égtelen tizedestört az alakja, régi és uj sz ám ain k között fogalm i szem pontból alig v an tehát kom oly különbség. A racionális és irracionális szám ok 'együtt alk o tják a valós szám ok halm azát. A z egyenes m inden p o n tjá n a k v an szám neve, valam elyik valós szám s m in d en valós sz á m n a k v an helye az egyenesen.

Uj szám ain k fo n to sság a legelsöbben is abból érez­

hető m eg, hogy m in d en felosztás, m inden m érés (m int fen teb b láttuk) folyton nagy o b b o d ó véges tized es­

tö rtek végtelen so ro zatáu l fogható fel s m ásrészt m in d en ilyen so ro zat m eg állap ít egyetlenegy egész, tört v agy irracionális szám ot. M inden felosztásnak v an teh át ezentúl jele, m ég p ed ig nem úgy, hogy m in­

d en ?gyes felosztáshoz tarto zn ék egy-egy ö n k én y esen o d ab ig g y esztett jelkép, h an em az összes lehetséges felosztások tényleges ren d szere van szim bolizálva o ly an jelrendszerrel, am elyik a való ság vizsgálat alá v e tt fo rm áját kim eritöen és sem m it hozzá nem toldva, eg yedül szerkezeti sajátosságaival, nem p ed ig p u szta jeleivel szem lélteti.

Az irracionális szá­

mok és a Valóság.

31

M egjegyzésre m éltó, hogy az irracionális szám fo­

g alm át teljesen a lim es h a sz n á la ta n élk ü l ép itettü k fel. E g y ed ü l arra tá m aszk o d tu n k , hogy m ikor az (Ö), (sz) és (k) so ro zato k o n v ég ig h alad u n k m égpedig úgy, hogy m in d en ta g b a n k izáró lag v a la h á n y a d ik (p éld áu l a ²-ik) tized esjeg y et v esszü k szem ügyre, bizonyos tagtól kezd v e ez a tizedesjegy m in d en ezu tán jövő tag b an u g y an az lesz. Ilyenform án m in d en tized esh ely re m eg h atáro zó d ik egy-egy tizedesjegy, m ik eg y ü tt eg y e t­

len v ég telen tized estö rtet alkotnak.

A m en n yiségtan k ét a la p tétele.

A z irracionális szám o k döntő szerep e leg szem b e­

ö tlőbben a k ö v etk ező k é t té telb en ju t kifejezésre.

I. Véges számközbe eső végtelen szám- halmazhoz okvetlen' tartozik legalább egy tőle szám közzel el nem különíthető szám. E z lehet egész, tört v ag y irracionális, leh et a h alm az tagja, d e esh etik ra jta kívül is, lényeges csak az, hogy e g y általán ki lehet jelölni oly szám ot, am elyik k ö rn y ezetéb en a h a l­

m a z n a k v égtelen sok tagja van. (M ost m á r irracio ­ n ális sz ám o k is leh etn ek a h alm az tagjai.) Ez az egész felsőbb m en n y iség tan egyik alap tétele. Ig azság át köny- n y en b eláth atju k , ha ism ételjü k a fen teb b (25. lap) b o n ­ colt hibás o k o sk o d ást, k ik erü lv e term észetesen a hibát.

I--- 1____ I____ IIHIIIIII I I I I I I

a i a 2 «3

5. áb ra.

F eltételü n k szerin t az egész h alm az v éges szám k ö zb e esik. E rről a szám közröl m indig felteh etjü k tehát, hogy h o sszú ság át és h a tá ra it véges tized estö rtek jelzik.

Első alaptétel.