A fü g g v én y fogalm a.
S zám n ak hivott jelsz e rk e ze tü n k av ég ett készült, hogy b en n e v ég ig g o n d o lh assu k a világ általán o s eg y ség -tö b b ség m egjelenésform áját. E ddigelé an n y ira ju~
Egyetlen szám elszige
telve nem érte mezhető.
to ttu n k , hogy m eg alk o ttu k m ag át a jelren d szert és k ö zb en rá m u ta ttu n k főbb sajáto sság aira, valóság-for
rásaira, v alam in t k o rlá tá ira is. M ost az a kérdés, m it tu d u n k vele elérni. Fizikai a lk alm azásain ak m éretei óriásiak, egész m ű v elő d ésü n k et át m eg át h ató v álto z á so k a t o k o ztak é p p e n azért, m ert általa a való ság m eg jelen ésm ó d ját h ű en és teljesen visszaadó szerszám k e rü lt végre az e m b erek k ezéb e Itt csak arra m u tatu n k rá, m iféle ö n m ag áb an rejlő tu lajd o n ság o k teszik ily h a ta lm a ssá g ép e z e tü n k et és hogy m ik ép en kell ezt
— előnyei k ih a sz n á lá sa végett — továbbfejleszteni, bonyolitani.
A szám o k at re n d esen o ly an so ro zatn ak képzelik, ahol az egyes tagok, a szám ok, egym ástól egész kü lö n álló d a rab o k . N em m ondjuk, hogy eb b en sem m i igazság sincs. P ró b álju n k m eg m égis p éld áu l a 8 jelentésére, ne p e d ig p a p irra festett ra jzára v agy hangjeleire gondolni.
N ag y sá g á t o kvetlen eszem b e kell hoznom . Ez azonban azt jelenti, hogy tudom, melyik számnál nagyobb, melyiknél kisebb, azaz ismerem helyét a teljes végtelen sorozatban.
T ö b b i szám tan i tu lajd o n ság ai is — am i m ind a vele való b á n á sm ó d b a n , a vele v ég reh ajto tt a lap m ű v ele
tek b en nyilvánul — u g y an csak m egköveteli, hogy tá r
saiv al v o n a tk o z á sb a hozzuk. A 8 eg y m ag áb an különös fig u rán ál egyéb n em lehetne. Egyetlen egész szám Jelentése magába zárja az összes egész számokét. Gsak együtt gondolhatok. N agyon fontos m egjegyeznünk itt, hogy az egész szám o k p o m p á sa n végiggondolhatok törtei, nélkül. A z egész szám o k at kény telen ek vagy u n k folyton együtt gondolni, a tö rtszám o k at m eg csak az egészek után, azok segítségével gondolhatjuk. A szám ok h a lm a z b a v erő d é se nem ön k én y es tehát, ellenkezőleg, k ik erü lh etetlen k ényszerűség. A m en n y iség tan nem tisztán tőlünk függő m eg állap o d áso k hosszú sora hát, m in t sokan, m ég m atem atik u so k is, képzelik. Logikai
43
tag o z ó d á sá t sem m ikép m eg nem m ásíth atju k . C sak az elnevezés ön k én y es és en n ek bonyolításai.
A z egész szám o k — a többiek is
— együttesen, k ö lcsönösen h a tá ro z zák m eg egym ást. (V e sd össze az 11-ik lap o n c so d álato sn ak jelzett ténnyel.) A tárgyi v ilág b an is, előbb m ár fejtegettük, az egyén m iném ű- ségét az összes többi hozza létre s viszont ez az egyén befoly az összes többi egyén m ivoltjának, legtágabb érielem b en v ett „ m e g je le n é s ié n e k m eg h atáro zásáb a.
M ikor végiggondoljuk a szám o k logikai összebogo- zottságát, kölcsönös m eg h atáro zó d ásu k at, ak k o r ig azá
b a n a tá rg y a k összeszövödésének, kölcsönös m e g h a tá ro zó d ásu k n ak összes leh ető form áin m eg y ü n k végig.
A mennyiség tudománya a kölcsönös meghatározódás fo r
máinak tudománya.
A m in t azo n b an a fizikai v ilág b an ezek n ek csak eg yszerűbb alak jaiv al találkozunk, a zo n k ép en a m a te m a tik a is — m ár csak azért is, hogy dolgát k ö n n y eb b é tegye — a leg eg y sze
rű b b ese te k e t veszi előbb szem ügyre.
P éld áu l. A z egész szám o k e g y m á s-m eg h atáro zása szem lélhető m int a h alad ás, az eg y m ásra k ö v etk ezés leg k ev ésb b é kib o n to tt szim bolizálása. A folyton tartó kiin d u lás és m eg érk ezés elvezet előbb az 1-től a 2-höz, m a jd a 2-től a 3-hoz és igy tovább. Itt te h á t m in d en egyes szám hoz eg y etlen m ásik ren d elő d ik — az u tá n a jövő. H o g y k ö n n y eb b en átg o n d o lh assu k az efajta m eg h a tá ro z ó d á so k at, h áro m ta g ra szak ítju k szét: k é t szám - h alm azra — a függetlenül m e g a d h a tó n a k te k in te tt szám o k éra és az ezekhez ren d e lte k é re — to v á b b á a k ettő t összekötő, az eg y m ásh o z ren d elést, azaz a m e g h a tá ro z ást tén y leg esen végbevivö m űveletre (funk
cióra). Н а X v alam ely ik egész szám , ak k o r X+1 a h o zzáren d elt szám s az eggyel való m egnövelés a
A függvény fogalma.
Kölcsönös meghatáro
zódás a valóságban.
m űvelet, m i átv ezet íC-től a h o zzátarto zó szám hoz.
A k é t szám h alm azra azt m ondjuk, hogy egyik függ a m ásiktól, egyik függvénye a m ásiknak.
Igen egyszerű p é ld a m ég a h atv án y o zás (négyzetre em elés) m űvelete. L egyen az első halm az az összes valós szám ok s ren d eljü k m indegyikhez ö n m ag án ak m áso d ik h a tv á n y á t (szorozzuk ö nm agával). A z igy kijövő szám ok alkotják a m ásik halm azt. Н а X az elsőből való szám , ak k o r hozzá X2 tartozik, p éld áu l 4 hez 16, a 11-hez 121, stb. S okszor — különösen ha n em egyes függvényről v an szó, h an em a függvények általános tu lajd o n ság airó l — a m áso d ik halm az szám ait eg y ü ttesen у b e tű je l jelezzük. A z X2= у eg yenlet teh át azt m o ndja, hogy van k é t szám h alm azu n k (x és y) és úgy ju tu n k el az első h alm az ak árm ely ik szám ától a m ásik h a lm azb an neki m egfelelő szám hoz, hogy az elsőt négyzetre em eljük. Kijelöl teh át egy m űveletet, am i m egfelelteti e g y m ásn ak a k ét halm azt. Á lta lá b a n у — f (x) jelet használjuk, hol f csak an n y it jelent, hogy k ét szám h alm az között közvetitö m ű v eletre (funkcióra) gondoljunk. H a részletezni kívánjuk, hogy m ilyen m űveletre, m a tem atik ai jelek b en v agy a közönséges nyelv szav aiv al kell ehhez m ég hozzáfű zn ü n k a gon- d o la n d ó k a t.
A függvény szerep ét a term észetleirás- b an legegyszerűbben p éld ázza a leejtett kő m ozgása. A z első m áso d p ercb en m eg tesz m o n d ju k a m étert. A z első és m áso d ik m á so d p e rc b e n nem kétannyit, h an em 4am éter u ta t tesz m eg.
A h a rm a d ik m áso d p erc végéig összesen m egtesz 9a-1 és igy tovább. H a a m áso d p ercek szám át t (tem pus) b e tű vel, a m eg tett m éterek szám át pedig S(spatium ) betűvel jelöljük, tö rv én y szerű ség ü n k S = a t2 alak o t kap. Itt az eg y ik szám h alm az a m áso d p ercek szám a, a m ásik m eg a m e g te tt m étereké, a kettőt egyesitő művelet p ed ig —
Fizikai példa a függvényre.
p é ld á n k b a n a m áso d p e rc e k szám a szorozva ö n m a g á val és egy fix szám m al — a természettörvény.
A függvénynek a sik b an görbe felel m eg. G o n doljuk rá u gyanis az X illetve az у é rték ek et két eg y m ásra m erőleges egyenesre. M érjük fel m inden X-hez a hozzá tartozó f ( x ) = y -1, m ég p ed ig felfelé ha ez pozitiv, lefelé h a n e g a tiv. A z igy szerk esztett у m ag asság o k v égpontjai görbét
A függvény tér
beli ábrázolása.
a lk o tn ak s ez a függvény g eo m etriai képe. V ilág o s m ásrészt, hogy m atem atik u s szem m el nézv e m inden görbe függvény. M ert hiszen a rajz h ozzárendeli m in
d en íE-hez a görbe m ag a ssá g á t a b b an a p o n tb an . (8. ábra.)
A lg eb ra és k om p lex szám .
F o rd ítsu k m eg a h atv á n y o z á s m űveletét.
A z у is meghatározza az X-et. A zaz, h a m eg m o n d ják a leeső test m eg tett útját, m eg tudom m o n d an i
Gyökvonás.
m en n y i idő k ellett ehhez. H a p éld áu l ?/ = 25, ak k o r o ly an k eresen d ő ki az X-ek közül, hogy X2 = 25 legyen.
Ilyen szám v an k e ttő : az 5 és a —5. Fizikai eseteknél m in d ig el tu d o m d ö n ten i m ely ik et k erestem a k ettő közül, a m a tem atik u s p ed ig folyton az összes leh ető sé g re ügyel s igy eg y szerű en tan u lm án y o zás alá veszi a m e g h a tá ro z ó d á sn a k azt a m ó d ját is, m ikor egy m ű v e le t (itt a h atv á n y o z á s ered m én y éb ő l visszam enni az a la p s z á m r a: gyöküonás) több szám hoz is vezet.
, E lég n eh ézn ek látszik m egoldani X* = 2 4 egyenletet.
H a v alam ely ik pozitív Xkielégíti, a k k o r ug y an ez az X, n eg ativ előjellel véve, szintén eleget tesz neki, elég teh át p ozitiv m egoldó szám o t keresni. V alah o l 4 és 5 k ö zö tt v an, azaz tized estö rt a lak ja 4 egésszel kezdődik.
F őzzünk m ost a 4 egészhez tized részek et s szám ítsuk ki az igy k a p o tt 9 szám (41, 4'2, 4 ‘3, 4'4, 4 ‘5, 4'6, 4'7, 4'8, 4'9) négyzetét. L átju k igy, hogy 4 '8 2< 2 4 , 4 '92 > 24. K eresett szám u n k első tizedese 8. így tovább h a la d v a k a p ju k 4, 4 8, 4 '8 9 , ... növő so ro z a to t;
ez, a so rb a kijövő tizedesekkel, m eg h atáro z egy, A , v ég telen tized estö rtet. A z A irracionális szám szorzata ö n m ag áv al é p p e n 2 4 : ugyanis 4.4, 4 ‘8 .4 '8 , 4'89.
4'89 . . . sorozat h a tá ré rté k e — s értelm e szerint ez az irracionális szám u n k n ég y zete — tényleg 24, m ert a szerk esztéséb ő l kifolyólag m indig csak táv o labbi tized esb en különbözik tőle. M atem atik u s n y el
v e n: 24 m áso d ik gyöke A . H a teh át az X és у h a l
m a z o k b a irracionális szám o k at is b eleértü n k — ezt p e d ig a fentiek szerint m eg kell ten n ü n k — , az у tén y leg h atáro z m eg íC-et (p éld án k b an p o n to san kettőt).
P o zitív szám o k négyzete, de n egativoké is, csak p ozitiv l e h e t ; negativ í/-unk te h á t nincs. K öztük v an a z o n b a n m in d en pozitiv szám . H a te h á t — m int a fizikai p é ld á n k b a n (45. lap) — csak pozitiv íC-eket (ott f-ket) n ézü n k , a k k o r az г/-ok h alm aza ép p azo k
ból a szám o k b ó l áll, m int az SC-eké (tudniillik az összes p ozitiv szám okból). A z y — 2x függvényben is az összes pozitiv íC-ekhez az összes pozitiv szám ok jö n n ek ki y-ú 1. A fü g g v én y érték ek ö sszessége nem jellem zi tehát, nem h atá ro z z a m eg a fü g g v é n y t:
a közvétitömüvelet alkotja a függvényt, nem a függvény- értékek halmaza.
V é g e s szám ú k ülönböző h a tv án y fü g g v én y ö ssz ead ásáb ó l áll elő a legegyszerűbb fü g g v é n y c sa lá d :
a0 + X + a.2 x* + a3 x3+ . . . + an xn,
m it tö b b tag ú ak n ak , polinómokn ak (algebrai egész függ
v én y ek n ek ) hivunk. A z <20, a it a 2, stb. fix szám o k : együtt
hatók (coefficiensek). E zek et kell szám belileg m egadni, úgy ju tu n k el a füg g v én y család v a lam ely ik tagjához. A z algebra ennek a függvénycsaládnak a tanulmányozása.
H a m e g ad ják az X-ei, k ö n n y e n ki tu d ju k szám itani a h o zzátarto zó fü g g v é n y é rté k e t: beh ely ettesítjü k , szor- zunk s ö sszead u n k . E gyik fö felad ata az alg eb rán ak , m egfelelni a fordított k érd ésre. M ilyen íC-nél (vagy Ж-eknél) lesz a függvény adott ( c) érté k ű ? K e re sen d ő k az a0 + at x + a2 x 2 + аа x3 + . . . +an x ^ - c, azaz a0 - c + at X + a2 X2 + a3 X3 + . . . + an xn — 0 eg y en let gyökei. N egyedfokú eg y en letn él g y ö k v o n ással (a h atv án y o zás fordítottjával) m indig elin tézh etjü k a d o l
got, h an em ha 4-nél nagy o b b h a tv á n y o k is v an n ak , (n > 4), á lta lá b a n n em csak hogy n em tud u n k , d e n em is leh et vele célt érni (A bel tétele). N ém elyik e g y e n letnél igen s az ilyen eg y en let kijelölése az alg eb ra egyik é rd ek es felad ata.
E bből a p á r m egjegyzésből is érezh ető m ár, m en n y ire s a já t
m ag áb ó l szövődik itt to v áb b a m a te m a tik a k érd é sh á ló z ata . F elesleg es tö b b é a
való-A mennyiségtant problé
mák önálló alakulása.
A z algebra feladata.
sá g ra visszam enni. A tőle k a p o tt feladat, eszünk já rá s á n a k m egfelelően, szerlebom lott s u g y an csak erő lk ö d n ü n k kell, hogy az egyes szálak m en etét és k a p c so la ta ik a t kö v eth essü k . E m iatt k ö n n y en csak erre az é szm u n k ára gondolunk, szinte azt hisszük, az egész fe la d a t csak b o n tő k ö tő észtorna, szellem es já té k . S tényleg e n n ek a szétszed ő és összerak ó tev é
k en y sé g n e k v a n n a k sa já t neh ézség ei s igy, azok legyőzésére, saját eszközei is. M inél beljebb m együnk tu d o m á n y u n k b a , an n ál több nehézség re és több külön
le g e s e n m a tem atik ai fogalom ra b u k k an u n k , Ide ta r
to zo tt m á r v alam en n y ire a n eg ativ szám is. D e leg
jellem ző b b p é ld á ju k a komplex szám. E n n ek m egalkot tá sá t az alg eb ra felad atai erőszakolták ki, n élküle csak m int ú tvesztőben botor-A komplex szám.
k á ln á n k m á r a leg egyszerűbb függvények viszonylatai k ö zö tt is. A v alósághoz p ed ig eg y en es v o n a tk o z á s
b a n ép p en ség g el nincs. O ly an i jelt v ezet ugyanis be, am ellyel é p p úgy kell bánni (azaz ö sszeadni, kivonni, szorozni és osztani), m in th a nem p u szta rajz (hang), h a n e m szám lenne, kivéve, hogy 2-ik h a tv á n y a — 1-gyel h ely ettesiten d ő . Ez utóbbi különleges h asz n á la ti u tasítás m iatt az i n em k ö zönséges b e tű jel teh át, am i b árm ely ik egyes szám h ely ett állna av ég ett, hogy a kijelen tés általán o s érv én y e kifeje
ződjék, h a n e m h a táro zo tt egyén ; m in th a eggyel több jelü n k enne. A z ad o tt szab ály szerint a többihez k e v e rv e m indig a + bi alakhoz ju tunk, hol a és b v aló s szám ok, m ert i m a g asab b h atv án y ai is (г2= — ] s igy i s — i* .i = —i, i*—1, stb. k ép letek folytán) vagy k ö zö n ség es való s szám o t vagy v alah án y szo r i- 1 ad n ak . A z ilyen „г-vei k e v e rt“ jelek között a régiek is ott v a n n a k , am ikor tudniillik az i szorzója 0. A m eg á lla p o d á s szerint a -f Oi-1 nem csak , hogy a-n ak Írha
tom , d e m ég hozzá — m iu tán a különleges i 2 = —1 49
sz a b á ly n e m szerep elh et — az a + Oi jelh alm az k e z e lési m ó d ja ö sszeesik a való s szám o k kezelési m ó d jáv al. E zért te k in th etem az uj, a + b i , jelek et a valós sz á m o k k ib ő v ítésén ek , álta lá n o sitá sá n a k . E zek a komplex számok.
A síkon áb rázo lh atju k őket. E gyik eg y en esre rá g o n d o lju k az a (azaz a + O.i) valós szám okat. A z a + b i h e ly e az a felett v an b m ag asság b an . L ásd 9. ábrán.
9. ábra.
v aló s szám o k
A z X2 = — 4 eg y en letn ek nincs valós gyöke, m ert valós szám m á so d ik h a t
v á n y a nem lehet negativ. A 2i és a — 2i azo n b an eleget teszn ek neki. Á lta lá b a n a 0 + a t x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a n x n - 0 n -ed fokú eg y en letn ek m indig n gyöke v an, h a a k o m p lex ek et is h o zzáv esszü k (a tö b b szö rö sö k el m egfelelően tö b b ször véve). E z az algebra alaptétele. S ok m ás ilyen
A komplex szám fontossága.
eg y szerű és általán o s tételre ju tu n k rá a kom plex sz á m révén. О teszi leh ető v é sz á m u n k ra a b e tek in tést a polinóm ok szerk ezetéb e. F ő ereje azo n b an ab b an rejlik, hogy a legbonyolultabb függvények v izsg álatá
ban is segítségünkre van. A g eo m etriáb an is szerephez jutott, sőt néhol a fizikai elm életek b en sem nélkülözhető.
Jeg y ezzü k m eg m ég róla, h o g y an értelm ezzü k h atárérték ét.
A k k o r m o ndjuk, h ogy a + bxi, a 4 + bai, a 3 + bai, . . . . a n + bn i, . . . so ro zatn ak v a n lim es-e, h a kü lö n az a -k és külön a fe-k h a lm a z á n a k v an . É s p ed ig h a lim a n = a és
n ~ oo
lim b n — b a z t m o n d ju k , hogy k om plex szám halm
a-i = oo
zunk lim es-e: a + b i ,jele k b e n : lim ( a n + bni) = a + bi
n = oo , Komplex számok
^
halmazának határértéke.
Kezelési törvények. A m e n n y iség tan fo galom rendszerét m élyen jellem zi az a tény, hogy nem e h e t m ég tov áb b általán o sítan i a szám fogalm at anélkül, lo g y e fogalom leg lényegesebb sajáto sság ai el ne tűn- lé n e k . A k o m p lex sz á m o k a t a v alósakból úgy k é peztük, hogy v ettü n k k é t (e — \ és i) egységet s m eg
alkottuk a, b valós szám o k k al az a . e + b . i a la k z a to k at izzal a kikötéssel, hogy h a rm a d ik egység m ár nincs, e h á t e . e, e . i, v alam in t i . i m egint а + b i alak ú ak 'e . e ~ \ , e . i — i, i . i = — 1). L egfőbb sajátosságuk, am i i velők való szám o lást lehetővé teszi az, hogyha А, В , C ilyen k om plex szám ok, ak k o r
A + B ~ В + A , A . В = В . A (kom m utativ törvény).
( A + B ) + C = A + ( B + C), ( A . B ) . C = A . ( B . C ) a ssio ciativ törvény).
A . f B + CJ —A B + A C (distributiv törvény).
A zaz é p p úgy kell velők szám olni, m int az egész, ő rt v a g y irracionális szám okkal.
A rra leh etn e gondolnunk, hogy tovább m enve v eg y ü n k elő n eg y ség et .in-ei és k ép ezzü k
ii + a 2 i 2 + . . . + dyi in
alak zato t, ahol az а —к álta lá b a n k o m p lex szám ok.
T e rm é sz e tese n az i eg y ség ek sz o rzataira: % ix . i2 stb.
k ifejezésekre, sz ab ály t kell ad n u n k , m iáltal ezek is a í \ + a 2 i 2 + . . . + a n i n a la k b a leg y en ek irh ato k (k ü lö n b en i x . i x, \ . i2 stb. ú jab b független eg y ség ek et alk o t
n án ak ).
Bárm ilyenek legyenek is az egységszorzatokra kijelölt szabályok, ha uj, n egységű számainktól megköveteljük, hogy eleget tegyenek a három kezelési törvénynek, akkor nem jutunk uj számokhoz. B ebizonyítható u g y an is (Hankel- tétel), hogy ily k ö rü lm én y ek k ö zö tt m in d e n uj eg y ség n ek gondolt i egyenlő v alam ely ik közönséges kom plex szám m al. C sak úgy ju th a tu n k uj eg y ség ek hez, h a felad ju k v alam ely ik k ezelési szab ály t.
P éld áu l, h a felad ju k A . B = B . A sza
bályt, leh et n égy egységű uj szám okhoz jutni, a Hamilton-féle quaterniók-hoz és m áso k h o z n em (Froáen/us-tétel). E zek b ő l a quater- niókból készü lt — Grassmann A u sd eh n u n g sleh re-je n y o m án — a vektoranalizis, a fizika legm egfelelőbb nyelve. A m a te m a tik a legelv o n tab b spekulációiból ered t a leg k o n k rétab b term é sz e ttu d o m á n y n ak , a fizi
k á n a k term észetes kifejező eszköze.
V é g te le n sor. A nalitikai fü g g v én y .
Eddigi függvényeink ö sszead ás és szor
zás, illetve h atv á n y o z á s ú tján állottak elő. E zek v o ltak a m űveletek, m ely ek n ek bizo n y o s e g y m ásra h a lm o zása v e zetett át az X-hö\ az y -ba. A szereplő m ű v eletek eg y szerű ség e és
Egyszerű függ
vényosztályok.
Quaterniók és Vektoranalizis.
Többegységű komplex számok.
véges szám a tette lehetővé, hogy az alg eb ra csak n em ideális tö kéletességgel v ég ezh ette el felad atát. M ihelyt az X és y -1 b o n yolultabb m ű v eletek kötik össze, olyan le h ézség ek k el k erü lü n k szem be, am ely ek m iatt leh e
tetlen az algebráéhoz hasonló b efejezettség et elérnünk.
K ijutunk a p ro b lém ák nyilt ten g erére. E lk ezd ő d ik ez m ár a h atv án y o zás m egfordításánál. A h a tv án y o zásn ál három szám szerep el: alap, (h atv án y )-k itev ő és a h a t
ván y o zás ered m én y e, h atv án y m en n y iség . H a az alap és kitevő v an ad v a, p é ld á u l 53, k ö nnyű eljutni a h arm ad ik h o z (a h atv án y m en n y iség h ez). T udniillik h atv án y o zo k . H a az ere d m é n y v an a d v a és a kitevő, m ár n e h ezeb b a h arm ad ik , az alap k iszám itása: gyököt kell v onnunk. P éld áu l 125 és 3-hoz az 5 tartozik, m ert 5 . 5 . 5 tényleg 125. F o rm u láb an : 125» = 5. D e 124 és 3, azaz 124* esetéb en az eljárás m ár h o sszad alm assá válik. A h a tv á n y o z á sn a k ebből a m egforditásából ere d n e k X^> Ж»> SC*» stb. függvények, á ltaláb an Xa, hol a v alam ely ik valós szám . E zek a gyökfiiggüények.
2% értelm e: <22-ból 3-ik gyök v o nandó, vagy a &
fa h a rm a d ik g yöke) ö n m ag áv al szorzandó. Ily m ódon törtszám u k itev ő n ek is v an értelm e, sőt végtelen sok ilyennek a h a tá ré rték é t véve, irracionálisnak is.
U tolsó leh etség es eset, hogy az ered m én y v an ad v a és az alap. K érdés, mi a h atv án y k itev ő (exponens), azaz m ek k o ra h a tv á n y ra kell em elni az alap o t (hányszor kell ö n m ag áv al szorozni), hogy kijöjjön az eredm ény.
Ez n ag y o n b onyolult m ár s igy alapúi k iv álasztan ak sgy bizonyos szám ot, p éld áu l a tizet s igy vetik fel i k é rd é st: m inő h a tv á n y ra kell em elni a 1 0-et, hogy kijöjjön a m e g a d o tt szám ? A k iad ó d ó kitevő — am i ren d esen n em n ag y — az ad o tt szám 1 0-alapú lo g a
ritm usa; 1000-é p éldául 3, m ert 10x = 1000 egyenletnek m egoldása X — 3. A m ost felirt egyenlet bal o ld ala uj
fajtájú, exponenciális, függvényt ad, d*-et, hol az X-ei i sem h atv án y o zn i n em kell, sem p e d ig belőle gyököt v o n n i; ö csak kijelöli, h án y szo r kell szorzóul venni az т alap o t s esetleg h á n y a d ik g y ö k ö t kell v enni az igy k a p o tt szorzatból. Log. X jelöli a so rra v ett pozitív ( X ) szám okhoz tartozó kitevőket, lo garitm usokat.
P é ld á u l: Log. 1000 = 3, Log. 100 = 2, Log. 10 = 1. A z X a, a x és log. X és az ezekből form ált függvények a lk o tják a m áso d ik n ag y függvényosztályt, az „elem i“
függvényekét, m ik eg y szerű ség b en m in d járt a p o lin ó -, m ok u tá n jönnek.
L áttu k , m ilyen nehéz m eg találn i a d o tt szám hoz a logaritm ust, ső t a d o tt szám m a g a sa b b g yökeit is. F ü g g v én y tu lajd o n ság aik ta n u l
ni v é g t e l e n s o r .
m án y o zása is azt követeli, hogy m eg p ró b álju k az á t
m en etet, p é ld á u l a szám ból a log aritm u sáh o z, lehetőleg ö ssz e a d á sra és szo rzásra (h a tv á n y o z á sra), illetve ezek eg y m ásra h alm o zására v isszavezetni. E k k o r m arkoljuk m eg ig azán a függvényt, m ert ö ssz e a lk o tá sá t nyom ról- n y o m ra k ö v eth etjü k . E rre szolgál a végtelen sor, a m atem atik ai k u ta tá s legfontosabb és legjellem zőbb eszköze. L á ttu k (17. oldal), hogy b árm ely ik v o n a ld a ra b folytonos felezés és ö ssz e a d á ssa l v ég telen so k k iseb b v o n a ld a ra b v ég ö sszeg ek én t fogható fel. P o n to sa b b a n
Ojl + öj + d 3 + + . , . + c i n + . . .
végtelen sok kijelölt ö ssz e a d á s-m ű v e let ered m én y éü l a
d j , d j + d g , d j 4" d g + d g , d j + d g + d g + d ^ , . . , d | + d g +
+ .. . + an, . . . sorozat h a tá ré rté k é t tekintjük. H a te h á t en n ek nincs h a tárérték e, a k k o r az előbbi sor v é g ö sszeg én ek sem m i értelm e sincs, a sorral n em tu d u n k m it k e z d e n i: divergensnek, sz é tta rtó n a k m ondjuk. H a van, ak k o r ez a h a tá ré rték a konvergensnek, össze- ta rtó n a k m o n d o tt sor összege. (Sor a la tt ezen tú l csak is
ilyen végtelen ö sszead ás-so ro zato t fogunk érteni, hol te h á t a tag o k kö zö tt + (vagy — ) jel van. Sorozat m a ra d e g y m ásu tán következő, vesszővel elv álaszto tt szám o k h a lm a z a .)
H a ak árm ily en f( x) függvénybe X h e lyére h a tá ro z o tt szám ot, d -1 teszek, f(d) m ár eg y etlen szám o t jelöl, azt tudniillik, am it a vizsgált függvény ren d el d -hoz. A végtelen sok különböző függvényből álló
fi (x) + fz(x) + f a(x) + fl (x) + . .. + fn(x) + ...
so rn a k értelm e te h á t az, hogy m inden egyes a szám hoz, ha u g y an
fi (a) + f (a) + f a(a) + f 4 (a) + . .. + f n(a) + ...
sor k o n v erg en s, ren d el — v ég telen sok ö sszead ás v é g ö sszeg ek én t — egyetlen s z á m o t: a m ost felirt sor összegét. G y a k ra n előfordul, hogy függvénysorunk
sor k o n v erg en s, ren d el — v ég telen sok ö sszead ás v é g ö sszeg ek én t — egyetlen s z á m o t: a m ost felirt sor összegét. G y a k ra n előfordul, hogy függvénysorunk