VEX
TÁS ÉS E EU
DÉSZ
GEETR
Á TA dki éekezé éziei G.

KONVEXITÁS ÉS NEM-EUKLIDÉSZI

GEOMETRIÁK

MTA doktori értekezés tézisei

G.Horváth Ákos

2017

Bevezetés

A szerz® a kandidátusi fokozat (1994) megszerzése óta több matematikaitémával foglal-

kozott,azóta1jegyzetet 2könyvetés43ikketközölt(Minkowskigeometriatémaköréb®l

12 ikk jelent meg, a rásgeometria vizsgálatait 9 ikkben folytatta, 9 ikket írt továb-

bi Euklidészi geometriai problémákról, 8 ikket a Bolyai-Lobasevszkij féle geometriáról

és 5 ikket egyéb geometriai témákról), további 2 munka jelenleg közlésre elfogadott. A

disszertáió f® témaköre Minkowski geometria annak a lehet® legtágabb értelmében. A

szigorúértelembennem Minkowskigeometriákrólírtdolgozatokközül háromeredménye-

itsatoltukadisszertáióhoz. Valamennyikiemeltdolgozathasználjaakonvex geometria

módszereit. 4 ezek közül társszerz®kkel íródott,Horst Martinitársszerz®m a[4, 6,7℄ik-

kekben, VitorBalestro a[7℄ ikkhez járulthozzá, míg Lángi Zsolttal írtam a [12℄ ikket.

A [1, 2, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 13, 14℄ ikkeknek nins társszerz®je. Fontos szerepet játszik a

disszertáióban afogalomalkotás kérdése, nem-Euklidészigeometriákesetén a jófogalom

a kuls a jó eredményhez. (Az egyszer¶ követhet®ség érdekében a tézisfüzet számozása

önálló.)

1. Konvex burok és a térfogat számítása

Ebben a fejezetben a [12℄, [13℄, [14℄ ikkek közös problémája a térfogatszámítás.

A Lángi Zsolttal közös [12 ℄ ikkben a következ® geometriai problémát járjuk kö-

rül:kéttestkonvexburkánakatérfogatárólmitlehetelmondani?Azels®eredményvalószí-

n¶lega[34℄ikkbentalálható,FáryésRédeiigazolták,hogyhaazegyiktestegyensvonalú

egyenletes mozgást végez akkor a konvex burok térfogata az id®konvex függvénye. Ez a

gondolat(mintalkalmaseszköz) többszörmegjelenikazirodalomban,RogersésShephard

[66℄ 1958-ban egy kisitáltalánosabb formában,u.n. lineáris paraméter rendszerekre iga-

zolják,mígAhn, BrassésShin[20℄egy2008-asikkben igazoljákennek "duálisállítását"

ispoliéderekre, miszerintametszettérfogatakonkávfüggvénye azid®nek. Miakövetkez®

mennyiségeket vizsgáltuk: Két

K

^és

L

^{konvex test esetén, jelentse}

c(K, L) = max {vol(conv(K ^′ ∪ L ^′ )) : K ^′ ∼ = K, L ^′ ∼ = L

^and

K ^′ ∩ L ^′ 6= ∅} ,

ahol

vol

^az

n

^-dimenziós Lebesgue-mérték. Továbbá, ha

S

^az

R ⁿ

egy izometriáiból álló halmaz,legyen

c(K|S) = 1

vol(K ) max {vol(conv(K ∪ K ^′ )) : K ∩ K ^′ 6= ∅, K ^′ = σ(K)

^{for some}

σ ∈ S} .

Hasonló (kevésbé általános)mennyiségek vizsgálatárahasználta Rogers és Shephard [66℄

a lineárisparaméter rendszer fogalmát. (A

c(K, K)

mennyiséggel a szerz®a [17℄-ben fog- lalkozik el®ször, ahol konkrét értékét határozza meg szabályos szimplex és a kölsönös

elhelyezkedésre vonatkozó egy további feltétel teljesülése mellett.)

Rogers és Shephard megmutatta, hogy a

c(K |S)

^{érték minimuma fellép az}

n

^-dimenziós

gömb esetén, ha

S

^{az eltolások vagy a entrális tükrözések halmaza.} Módszerükb®l az azonbannemkövetkezik,hogymástestnemteljesítiaminimumfeltételét.Sejtésükszerint

mindkétesetben ha minimálisértéketvesz fel egytestena vizsgáltfüggvény, akkor atest

ellipszoid.

Jelöljük

c i (K)

^-vala

c(K|S)

^{értékét, ha}

S

^egy

i

^{-dimenziósanaltérrevalótükrözéstjelent}

(

i = 0, 1, . . . , n − 1

^). Hasonlóképpen, legyen

c ^tr (K)

^és

c ^co (K)

^a

c(K|S )

^{értéke eltolások-}

ra illetve a teljes izometria soportra nézve. Az eltolások esetében, olyan új bizonyítást

adtunk Rogers és Shephard tételére, melyb®l az is következik, hogy a minimum felvé-

tele karakterizálja az ellipszoidokat (azaz bizonyítottuk az eltoltakra vonatkozó Rogers-

Shepard sejtést). Egy

n

^-dimenziós

K

^{konvex testr®l azt mondjuk, hogy teljesíti az elto-}

lásra vonatkozó konstans térfogat feltételt, ha minden eltoltan érintkez® test pár esetén

a

vol(conv((v + K ) ∪ (w + K )))

^{függvény ugyanazt azértéket veszi fel. Egy}

2

^-dimenziós

konvex görbét Radon görbének nevezünk, ha a

K

^{konvex burkának egy alkalmas an}

2

képére teljesül, hogy apolárisamegegyezik a

90 ^◦

^{- os} elforgatottjával(lsd. [60℄); a Radon görbe fogalma kapsolatban van a normált terek Birkho-féle ortogonalitás fogalmával.

A Birkho ortogonalitás szimmetrikus akkor és sak akkor ha azegység körvonal Radon

görbe. Bizonyítottuk a következ® állítást:

1. Tétel. Tetsz®leges

K

^{konvex síkidomraa következ® állítások} ekvivalensek:

(1)

K

^{teljesíti az eltolásra vonatkozó konstans térfogat feltételt.}

(2) Az

1

2 (K − K)

^{görbe Radon görbe.}

(3)

K

^{egy Radon normára nézve konstans szélesség¶ alakzat.}

A

c ₁ (K)

^és

c _n−1 (K)

^{értékekr®l is igazoltunk analóg} eredményeket. Bizonyítottuk, hogy

c ₁ (K)

^{éppen az} ellipszoidokra nézve minimális és a

c _n−1 (K)

^{érték pedig az Euklidészi}

gömbre teljesíti ezt a feltételt. Az els® eredmény a pontra vonatkozó tükrözésre igazolja

aRogers-Shephard sejtést. A bizonyítások módszereiközött klasszikus térfogat egyenl®t-

lenségeket és konvex geometriai észrevételeket találunk. Érdekes a Minkowski geometria

megjelenéseezen Euklidészi geometriai kérdés vizsgálata kapsán.

A fejezet második ikke [13 ℄ szintén Euklidészitérfogattalkapsolatos kérdést vizs-

gál. A Fejes-Tóth László által 1964-ben felvetett kérdés a következ®: Melyek az adott

sússzámú,egységgömbbeírtpoliéderekközülamaximálistérfogatúak(lsd.[36℄)?Akér-

dés szisztematikus vizsgálata Berman és Hanes 1970-ben megjelent [23℄ ikkével indult.

Meghatároztákazoptimálispoliédereket

n ≤ 8

^{sússzám esetén.Komputeres}vizsgálatot a

4 ≤ n ≤ 30

^esetekrevonatkozóanMutohvégzett(lsd.[65℄).Atáblázatábanszerepl®ma- ximálistérfogatú poliéderekazáltala asejtett optímumok. Tudomásunk szerint (lsd: [25℄

és[28℄), akérdés matematikaimegoldásaaz

n > 8

^esetben (eltekintveaszerensés

n = 12

esett®l)mégváratmagára.LángiZsolttalközös[18℄ikkünkeztaproblémátvizsgáljama-

gasabb dimenziós esetekben. Visszatérve a disszertáióban szerepl® munkára Fejes-Tóth

Lászlóegyolyanegyenl®tlenségér®lkellbeszélnünk,melymegkerülhetetlenaz

n ≤ 8

^illetve

n = 12

^{esetek optimális} megoldásainakmegkeresésében. Az

n = 12

^{eset optimálismegol-}

dásaazikozaéder,melyállításközvetlenkövetkezményea[36℄könyv264.oldalántalálható

(2)-veljelöltegyenl®tlenségnek.Enneksimpliiálispoliéderrekimondottváltozatátnevez-

zükikozaéder egyenl®tlenségnek.Azikozaéder egyenl®tlenségszerintegyazegységgömbbe

írtrögzítettszférikusterület¶,szférikusháromszögáltalmeghatározottközpontitetraéder

térfogataakkormaximális,haaháromszögszabályos.(Aközpontitetraéder aháromszög

háromsúsának ésagömbközéppontjánakakonvexburka.)Fontoslehet azonban olyan

konguráiók vizsgálatais melyben szabályos háromszög valamilyen ok folytánnem sze-

repelhet. A [13℄ ebben az irányban általánosítja az ikozaéder egyenl®tlenséget. Olyan

szimpliiálisgömbbe írt testekre fogalmazunk meg egyenl®tlenséget, melyek háromszög-

lapjai maximális hosszúságú éleinek a hosszrendszere adott. Tegyük fel, hogy a

P

^az

egységgömbbeírt, sillagszer¶, szimpliiálispoliéder

f

^{számú lappal.Legyenek}

c 1 , . . . , c f

az

F 1 , . . . , F f

^{lapok maximális központi szögéhez tartozó élhosszak. Jelöljük}

τ i

^{-vel az}

F i

laphoz tartozó szférikus háromszög területét. Igazolható, hogy ha az

a, b, c

élhosszakra teljesülnekaz

0 < a ≤ b ≤ c < π/2

egyenl®tlenségek, akkorfennálla

τ ≤ c

egyenl®tlenség is. A

v (τ, c)

^{függvény konkáv a}

D := {0 < τ < π/2, τ ≤ c < min{f(τ ), 2 sin ⁻¹ p

2/3}}

tartományon, ahol az

f (τ )

^{függvényt a Hesse mátrix gyökeideniálják; és nem konkáv a}

D ^′ = {0 < τ ≤ ω, f (τ ) ≤ c ≤ 2 sin ⁻¹ p

2/3} = {0 < τ ≤ c ≤ π/2} \ D

tartományon, ahol

f(ω) = 2 sin ⁻¹ p

2/3

^.(Az

ω

^{közelít® értéke}

ω ≈ 0.697715

^.)

2. Tétel. [13℄ Tegyük fel, hogyminden

i

^-re teljesülnek a

0 < τ i < π/2

feltételek. Indexel- jünk úgy, hogy

i = 1, . . . , f ^′

^esetén

0 < τ i ≤ c i ≤ min{f(τ i ), 2 sin ⁻¹ p

2/3}

^{álljon fenn és}

minden olyan

j

^{-re pedig, melyre}

j ≥ f ^′

^az

0 < f (τ j ) ≤ c j ≤ 2 sin ⁻¹ p

2/3

egyenl®tlenség.

3

Ekkor a

c ^′ := _f ¹ ′

f ^′

P

i=1

c i

^,

c ^⋆ := _f−f ¹ ′

f

P

i=f ^′ +1

f (τ i )

^és

τ ^′ :=

f

P

i=f ^′ +1

τ i

^{jelölések mellett fennáll:}

v(P ) ≤ f 6 sin

f ^′ c ^′ + (f − f ^′ )c ^⋆ f

cos

4π−f ^′ c ^′ −(f −f ^′ )c ^⋆ 2f

− cos ^2π _f cos

f ^′ c ^′ +(f −f ^′ )c ^⋆ 2f

1 − cos ^4π _2f cos _{f ′ c ′}

+(f −f ^′ )c ^⋆ 2f

.

Azegyenl®tlenségalkalmazhatókonvexpoliéderekmellettagömbközéppontjáravonatko-

zóansillagszer¶poliéderekre is.Többekközöttteljesáltalánosságábanmegoldjaaszerz®

[17℄-ben közös középpontúegybevágó szabályos tetraéderekre vonatkozó problémáját.

Végül a [14 ℄ ikk egy tételét emeltük be a disszertáió ezen fejezetébe. A hiperboli-

kus poliéderek térfogatánakkiszámításanehéz kérdés. Általános szimplex térfogatátu.n.

orthoszkémek térfogatának számítására vezetik vissza. Az elemi függvényekkel nem kife-

jezhet®integrálokalkalmazásiterületeez,aLobasevszkijáltalmegadotttérfogatformula

azegyiklegismertebbnemelemiintegrál.Ezen formulaazorthoszkémlapszögeithasznál-

ja paraméternek, ezek egyértelm¶en meghatározzák az orthoszkémet így a térfogatát is.

Kevésbéközismert,hogyazorthoszkémtérfogatáraBolyaiJánosisadottkét(elemifügg-

vényekkelnemkifejezhet®)integrált,ezekparamétereiazorthoszkémbizonyosélhosszaiés

lapszögei. Felépítvetöbb koordinátarendszerben és modellben ahiperbolikustérfogat fo-

galmát,ikkünkbenmegadunkegyolyanformulát,melyazorthoszkémmeghatározásához

tartozóhárom él hosszáthasználja paraméterül.Igazoljuk akövetkez® tételt:

3. Tétel. Legyen

a

^,

b

^és

c

^{egyorthoszkém azon éleinek hosszai, melyek közül}

b

^mer®leges

a vele közös súsu

a

^{-ra és}

c

^{mer®leges az}

(a, b)

^{síkra valamint a vele közös súsu}

b

^-re.

Az orthoszkém

v

^{térfogata ekkor az alábbi} integrállal adható meg:

v = 1 4

b

Z

0

tanh λ sinh a

p tanh ² b cosh ² λ + sinh ² a sinh ² λ ln

sinh b + tanh c sinh λ sinh b − tanh c sinh λ

dλ.

2. Biszektorok, izometriák Minkowski geometriákban

Az [1℄, [2℄, [3℄, [4℄ dolgozatok Minkowski terek "szakasz-felez® mer®leges" halmazaival

úgynevezett biszektorokkal foglalkoznak. Az [5℄ munka Minkowski geometriák izometri-

áit tanulmányozza. A disszertáió ezen fejezetéhez kapsolható a szerz® három további

ikke, melyekb®l kett® [6℄, [7℄ eredményeit a disszertáió tartalmazza (bizonyítások nél-

kül).A harmadik[19℄ ikka szerz®társszerz®iáltalkezdeményezett, ennek (aMinkowski

geometriákpolaritásaivalfoglalkozó) eredményeit nem satoltuk adisszertáióhoz.

Az els® 4 ikk véges dimenziós, valós, szeparábilis Banah terekben vizsgálja két adott

ponttól egyenl® távolságra elhelyezked® pontok halmazát(az u.n. biszektort), illetve an-

nak a geometriai és topológiai tulajdonságait. A beágyazó teret geometriai Minkowski

térnek nevezzük, megkülönböztetve az irodalomban szintén Minkowski térnek nevezett

indenitskalárszorzatostért®l.Azelmúlthúsz évben ageometriai Minkowskitér elméleti

kutatása ismét entrumbakerült, els®sorban, gyakorlati problémákfelmerüléseés megol-

dása kapsán. A fogalom remek összeköt® kapos zikai, funkionál analízisbeli, konvex

geometriai ésnem-Euklidészi geometriai kutatások között (lsd. pld. [58℄, [59℄).

Ha

K

^egy

0

-szimmetrikus, korlátos, konvex test az

n

^{-dimenziós Euklidészi térben}

E ⁿ

^-

ben, akkor

K

^{deniál egy normát, aminek ® az} egységgömbje (lsd. például [45℄, [67℄).

A kapott teret Minkowski normált térnek vagy geometriai Minkowski térnek nevezzük.

A Minkowski metrika a norma általindukált távolság, ezért eltolásokra nézve invariáns.

A norma egységgömbje szigorúan konvex ha határa nem tartalmaz szakaszt, sima ha

minden határpontjában létezik egyértelm¶ támaszhipersíkja. A beágyazó Euklidészi tér

skalárszorzatáranézve ezek duális fogalmak:A

K

^{polárisa az a}

K ^∗

^{ponthalmazmelyet a}

következ® egyenletdeniál:

K ^∗ = {y | hx, yi ≤ 1

^minden

x ∈ K}

^.Megmutatható (lsd.

[29℄), hogy

K

^{pontosan akkor szigorúan konvex, ha}

K ^∗

^sima.

4

A [1 ℄ ikkben a Minkowski tér egységgömbjének a határát vizsgálva két olyan tételt

bizonyítunk, melyek H.Mann, A.C.Woodsand P.M.Gruberkarakterizáiós tételeihez ha-

sonlóak (lsd. [57℄, [75℄,[42℄, [43℄ and [44℄).

H.Mann igazolta, hogy egy Minkowski normált tér akkor és sak akkor Euklidészi ha a

Leibniz félterei konvexek. (Adott, az origótól különböz®

x

^{pont esetén az}

L(0, x)

^Leib-

niz féltér azon pontok összessége a térben, melyek az origóhoz (

0

^{-hoz) közelebb vannak}

mint

x

^{-hez.) A.C.Woods igazolta az analóg állítást abban az esetben, amikor a mére}

függvény egységgömbje ugyan korlátos de nem feltétlenül entrálisan szimmetrikus vagy

konvex.P.MGruberkiterjesztetteeztazeredményt sillagszer¶(nemfeltétlenülkorlátos)

mérefüggvények esetéreis.P.M.GruberegymásikmódonisáltalánosítottaWoodstéte-

lét, megmutatta (lsd. Satz.5, [42℄), hogyegy korlátosmére függvény akkoris Euklidészi

normát ad, ha van egy olyan

T

részhalmaza az

(n − 1)

^{-dimenziós egységgömb felsziné-}

nek,amelyrelatívbelsejenemüresésrendelkezikakövetkez® tulajdonsággal:Tetsz®leges

{0, x}

^{pontpár esetén, ahol}

x ∈ T

^az

L(0, x)

^{Leibniz féltér konvex. A Leibniz félterek}

konvexitásából azonnal következik, hogy a biszektorok hipersíkok. Eképpen Mann téte-

léb®l következik M.M.Day állítása ([30℄): Ha egy Minkowski normára nézve tetsz®leges

biszektor hipersík, akkor a tér egységgömbje ellipszoid. P.M.Gruber veszi észre(lsd. [43℄

Satz.3),hogy ha

K 1

^,

K 2

^{konvex testek}

E ^d

^{-ben (}

d ≥ 3

^{) és} tetsz®leges olyan

K ₂ ^′

^eltoltjára

K 2

^{-nek, melyre}

K ₂ ^′ 6= K 1

^{, a}

bdK ₂ ^′ ∩ bdK 1

^halmazok hipersíkbeliek, akkor

K 1

ellipszoid.

P.R.Goodey igazolja azt az er®sebb állítást, hogy a mondott feltétel mellett

K 2

^a

K 1

homotetikus példánya ([40℄,[41℄).

A[57℄-benH.Mannigazolja,hogyhatetsz®legesráseseténaráspontokMinkowskitávol-

ságra vonatkozó Dirihlet-Voronoiellái konvexek Euklidészi értelemben, akkor a norma

Euklidészi.P.M.Gruber ezt atételt is kiterjeszti a sillagszer¶ egységgömbök esetére.

El®fordulhat,hogyegyzártDirihlet-Voronoiellanemkonvexmígabelsejekonvex.Ezért

azárt ésnyílt Dirihlet-Voronoiellákatmeg kell különböztetnünkegymástól. Ilyen eset-

ben aella "falai"maguk is

n

-dimenziósak.Ez ajelenség akkor léphetfel, haamegfelel®

biszektortartalmazza atér egy

n

^{-dimenziós darabját.}

H x := {y ∈ E ⁿ |N K (y) = N K (y − x)}

^{jelölje a}

0

^és

x

^pontok biszektorát,

H x,0

^és

H x,x

pedig a

0

^illetve

x

^{pontokat tartalmazónyílt (szigorú} egyenl®tlenséggeldeniált) Leibniz féltereket. Jelölje

cl K S

^az

S

^{halmazlezártját a Minkowskinormára nézve, nyilván}

H x = cl K H x,0 ∩ cl K H x,x

^.

Három lemmában összegy¶jtöttük (és bizonyítottuk) a Leibniz-félterek és a biszektorok

topológiai és geometriai tulajdonságait. Az els®ben igazoljuk, hogy a biszektor egy zárt,

összefügg®,

x

^{irányban konvex halmaz, a nyílt Leibniz félterek topológiai értelemben is}

nyílt összefügg® halmazok, melyeket a biszektoruk elválaszt. A másodikban igazoljuk,

hogy az egységgömb határa pontosan akkor nem tartalmazegy adott iránnyal párhuza-

mos szakaszt, ha az adott iránnyal párhuzamos valamennyi egyenes az adott irányhoz

tartozóvalamelybiszektortpontosan egypontban metszi.Egyx

x

^{iránnyalpárhuzamos}

egyenesekabiszektortszakaszbanmetszik,melyeketmaximális

x

^{-elpárhuzamosabiszek-}

torhoztartozószakaszoknak hívunk. A harmadiklemmában igazoljuk, hogyha valamely

maximális szakasz egyik végpontja bels® pontja az egyik zárt Leibniz féltérnek, akkor a

biszektornem lehettopológikusképeegyhipersíknak. Fontoseredményakövetkez® tétel:

4.Tétel([1℄). Haa Minkowskitér

K

egységgömbjeszigorúankonvex,akkora biszektorok homeomorfak egyhipersíkkal.

Az állítás általában nem megfordítható, lehet úgy is homeomorf egy biszektor egy hi-

persíkkal,hogy entrál-szimmetrikusan elhelyezked® szakaszpárt találunk azegységgömb

felszínén. A nehézségeket a ikkben három példával jelenítjük meg, melyek közül a har-

madiktartalmazza az említettérdekességet (Example 3). A ikk második tétele a példa

tapasztalataitfoglaljaállításba:

5

5. Tétel([1℄). Legyen

n ≥ 3

^{. Ha mindenbiszektor topológikus hipersík,akkor}

K

^felületén

nins

(n −1)

^{-dimenzióshenger.Továbbáhavalamely}

x

^-re

H x

topológikushipersíkés

C

^egy

maximális henger

x

^{-el párhuzamosalkotókkala}

K

^{felületén, akkor}

C

^{dimenziójalegfeljebb}

n − 2

^.

A ikkben Minkowski normával deniált Dirihlet-Voronoi ellákkal is foglalkozunk. Be-

vezetjük a normális felbontás fogalmát ésigazoljuk, a következ® tételt:

6. Tétel ([1℄). Egy

L

^rás Dirihlet-Voronoi ellarendszere akkor és sak akkor adja az Euklidészi tér normális felbontását, ha valamennyi biszektor topológikus hipersík. Spei-

álisan ha a norma egységgömbje szigorúan konvex akkor tetsz®leges rásszer¶ Dirihlet-

Voronoi felbontás a tér normálisfelbontása.

Abiszektoroktopológikus leírásanemvalósulhatmegazegységgömbrészletesebbvizsgá-

latanélkül.Ezen vizsgálat alapvet® eszköze éstárgyaaz egységgömbfelszínénekspeiális

részhalmaza az árnyékhatár. Valamely adott irányhoz tartozó árnyékhatár tartalmazza

a test azon határpontjait, amelyekben valamely az iránnyal párhuzamos egyenes a test

határát érintheti. Világos, hogy az árnyékhatár a

K

^{felszínét három diszjunkt halmazra}

bontja. Ezek az árnyékhatár maga és a gömbfelszín következ® két darabja:

K ⁺ := {y ∈ bdK|∃τ > 0 , y − τ · x ∈ int(K)}

^illetve

K ⁻ := {y ∈ bdK|∃τ > 0 , y + τ · x ∈ int(K )}

^.

Ezen halmazokapozitív illetvenegatív részei agömbfelszínnek.F® sejtésünka következ®

1. Sejtés ([2℄). A biszektorok pontosan akkor

(n − 1)

^{-dimenziós topológikus} hipersíkok, amikor a megfelel® árnyékhatárok

(n − 2)

^{-dimenziós topológikus szférák (gömbök).}

A [2℄ ikkben ezt a sejtést az

n = 3

^esetben bizonyítjuk. Ezen eset bizonyításában alapvet®szerepevanazáltalánosparaméterszférafogalmának.Akorábbijelölésekmellett

S(K, x)

^{jelöli az}

x

^irányú árnyékhatárt,

γ λ (K, x)

^a

0, x

^{pontokhoz és}

λ

paraméterhez tartozóáltalános paraméter szféra:

1. Deníió ([2℄). Legyen

K

^{a Minkowski} egységgömb,

x

^{egy x pont a térben. Legyen}

λ 0 := inf {0 < t ∈ R | tK ∩ (tK + x) 6= ∅}

^{a legkisebb olyan}

t

^{érték, amire}

tK

^és

tK + x

^{metszik egymást. Ekkor az}

x

^{irányhoz és a}

λ ≥ λ 0

paraméterhez tartozó általános paraméter szféra a

γ λ (K, x) := ¹ _λ [bd(λK) ∩ bd(λK + x)] ⊂ bdK

^halmaz.

Az árnyékhatár topológiai szempontból igen "súnya" lehet, a ikkben példát adunk

olyan árnyékhatárra, amelyik pontjainak nins nyílt intervallummal homeomorf környe-

zete. (Speiálisan ebben azesetben az árnyékhatár nem topológikus kör.) A pozitív rész

paraméterezéséhez tartozó általános paraméter szférák szintén nem rendelkeznek szép

topológiai tulajdonságokkal. Nem topológikus szférák, általában egymással sem homeo-

morfak, még a dimenziójuknak sem kell megegyezni különböz® paraméterértékek esetén.

Az árnyékhatár és a megfelel® általános paraméter szférák topológiai összehasonlítása

után adódik, hogy az általános paraméter szférák természetes paraméterezését adják a

K ⁺ \ γ λ 0 (K, x)

^{halmaznak. Persze} el®fordulhat, hogyaz említett

K ⁺ \ γ λ 0 (K, x)

^halmaz

azüreshalmaz,ilyenesetakokaeseteamikoraz

x

^{irányegyhiperlapentrumábamutat.}

Lényeges esetekben például a szigorúan konvex esetben azonban ez a paraméterezés

jól m¶ködik,ilyenkor a

K ⁺

^{felszínén sakegy} szinguláris pont vanaz

x/kxk

^pont.

AHausdor metrikakapsolatotteremtazárnyékhatárés azáltalánosparaméter szférák

között.

7. Tétel ([2℄). A

γ λ (K, x)

^{általános paraméter szférák}

λ

^{tart végtelen esetén, Hausdor}

metrikában, az

S(K, x)

árnyékhatárhoz tartanak.

Aikktovábbiállításaiaz

n = 3

^esetrevonatkoznak.Ennekf®okaaz,hogyakét-dimenziós geometriaitopológiánakvanegyegyedikarakterizáióstétele,aShoenies-Swingletétel,

melymagasabb dimenziókesetén nemigaz. Atovábbiakbanegyponthalmaztaháromdi-

menziós Euklidészitérben topológikus síknak nevezünk, havana térnek olyanönmagára

6

való homeomorf leképezése, mely az adott halmazt egy Euklidészi síkra képezi. Egy

a

pont egy

B

^{halmazbólívvel elérhet® ha} tetsz®leges

b ∈ B

^{ponthoz létezik egy}

T

^ív

a

^és

b

végpontokkal úgy, hogy

T \ a ⊂ B

^{. Ha}

A

^{egy olyan} ponthalmaz, aminek tetsz®leges

pontja

B

^{-b®l ívvel elérhet®, akkor azt mondjuk, hogy}

A

^{ívvel elérhet®}

B

^{-b®l (lsd [73℄).}

A Shoenies-Swingle (lsd. [68℄, [70℄) tétel szerint valamely

M ⊂ S ²

^{halmaza a topo-}

lógikus 2-szférának pontosan akkor 1-szféra, ha

M

^{közös határa két diszjunkt}

D 1 ⊂ S ²

illetve

D 2 ⊂ S ²

tartománynak, melyekb®l

M

^{ívszer¶en elérhet®. Használva ezt a tételt}

bizonyítjuk, hogy:

8.Tétel([2℄). Haa

H x

^{biszektortopológikussík,akkora}

γ λ (K, x)

⁽

λ > λ 0

^)illetve

S(K, x)

halmazok topológikus körök. A

λ = λ 0

^{esetben az általános paraméter szféra lehet pont,}

szakasz, vagy konvex síkbeli 2-dimenziós halmaz.

Azellentétesirányhoz,el®szörigazoltuk,hogyhaazárnyékhatáraz

x

^iránybantopológikus kör,akkoraz

x

^irányúáltalánosítottparaméterkörökistopológikuskörök,majdigazoltuk afentitétel megfordítását. Összegezve kaptuk a sejtés

n = 3

^{esetére vonatkozó tételt:}

9. Tétel ([2℄). A

H x

biszektorok pontosan akkor topológikus síkok, amikor az

x

^irányú

S(K, x)

árnyékhatárok topológikus körök.

A [3 ℄ ikkbenamagasabbdimenziósesetvizsgálatátt¶ztükkiélul.Adimenziónövelé-

sévelazel®z®ekbenszerepl®alakzatoknaknemsakatopológikusbonyolultságanövekszik,

abeágyazás problémájaisextra nehézséget okozhat.A sejtés vizsgálatábantovábbi ered-

ménytsakmélyebbalgebraiésgeometriaitopológiaieredmények alkalmazásávallehetett

remélni.Az általánosparaméterszférák vizsgálata mutatja, hogyezek általábannem to-

pológikussokaságoks®tazisel®fordulhat,hogynemabszolútkörnyezetretraktumok(u.n.

ANR-ek). Vizsgálatainkat ezért a sokaságok esetére szorítottuk meg. A bizonyításokban

nem kerülhettük el ellaszer¶-approximáió tételét (lsd. pld.[64℄). Egy nem üres

K ⊂ M

kompakt halmaza az

M

^{ANR térnek ellaszer¶, ha} tetsz®leges

U M

^-beli környezetében találunk olyan

V

környezetet, amire

K ⊂ V ⊂ U

^{teljesül és az}

i : V ֒ → U

^beágyazás

nullhomotóp. Egy (folytonos) leképezés ellaszer¶ ha tetsz®leges pont teljes inverz képe

ellaszer¶halmaz.A ellaszer¶ approximáiótétel szerint az

n 6= 3

^-dimenzióstopológikus sokaságok közötti ellaszer¶ leképezések majdnem-homeomorzmusok. A tétel következ-

ménye,hogyazonosdimenzióskompaktsokaságokhomeomorfak,hamegadhatóközöttük

ellaszer¶ leképezés. Az

n = 3

^{esetben a tétel ilyen} általánosságban nem igaz de teljesül a ellaszer¶ leképezések egy részhalmazára a elluláris leképezésekre. A két fogalom kö-

zötti er®viszonyt azhatározza meg, hogymíg a ellaszer¶ségfüggetlen a beágyazástól, a

ellularitásfügg t®le. Ugyanakkor minden elluláris halmaz ellaszer¶ így a 3-dimenziós

tétel a leképezések sz¶kebb körér®l állítja, hogy majdnem homeomorzmus. Ez minket

annyiban érint,hogyhanem akarjukkizárnivalamelydimenziót,akkornéhaellularitást

kell bizonyítaniellaszer¶ség helyett.

Az árnyékhatár három diszjunkt halmazra bontja a

K

^{felszínét az}

S(K, x)

^,

K ⁺

^és

K ⁻

halmazokra.Igazoljuk,hogy

S(K, x)

^egylegalább

(n − 2)

-dimenziós,zárt(azazkompakt) halmaza

bd(K)

^-nak,ami

n ≥ 3

^eseténösszefügg®, a

K ⁺

^illetve

K ⁻

^{halmazokhomeomor-}

fak

R ⁽ⁿ⁻¹⁾

^{-el,ésuniójukkétívszer¶enösszefügg®}komponensét alkotják.Tételeinkrendre akövetkez®k:

10.Tétel([3℄). Ha

S(K, x) (n − 2)

^{-dimenzióstopológikus sokaságakkoraz}

S ⁽ⁿ⁻²⁾ (n −2)

^-

szférávalhomeomorf.Ha

(n − 1)

^{-dimenziós határral rendelkez® sokaságakkorhomeomorf}

az

S ⁽ⁿ⁻²⁾ × [0, 1]

^hengerrel.

11.Tétel([3℄). Az

S(K, x)

árnyékhatár

(n −2)

^{-dimenzióssokasághaa}

γ λ (K, x)

^általános

paraméter szférák

λ > λ 0

^{esetén azok, fordítva ha}

S(K, x)

^egy

(n − 2)

^{-dimenziós sokaság}

akkor az általános paraméter szférák ANR-k. Teljesül továbbá, hogy

S(K, x)

^{egy határral}

rendelkez®

(n −1)

^{-dimenzióssokaságakkoréssak akkorhaegyelegend®ennagy}

λ

^értékt®l

kezdve

γ λ (K, x) (n − 1)

^{-dimenziós határral rendelkez® sokaság.}

7

AbizonyításhasználjaM.Brownkövetkez® tételétis(lsd.[27℄):Legyen

(X n )

^kompaktmet-

rikus terekegyinverzsorozataaz

X ∞

határértékkel.Hamindenhatárleképezés

X k −→ X n

majdnem homeomorzmus, akkor a határprojekió

X k −→ X ∞

^{szintén az. Szép kapso-}

latot találtunka biszektorok ésaz általánosparaméter szférák között:

12. Tétel ([3℄). A

H x

^{biszektor pontosan akkor}

(n − 1)

^{-dimenziós sokaság amikor a}

γ λ (K, x)

^{általános paraméter szférák}

(n − 2)

^{-dimenziós sokaságok.}

Afentitételekb®lasejtésegyikirányakövetkezik:ha

H x

topológikushipersíkakkorminden nem-degenerált általános paraméter szféra homeomorf

S ⁽ⁿ⁻²⁾

^{-vel és ezért az} árnyékhatár is homeomorf

S ⁽ⁿ⁻²⁾

^-vel.

Afordítottállításbizonyításánakgondolatmenetemegakad,mivelamondottfeltételekb®l

nemtudtukbizonyítaniasokaságtulajdonságotazáltalánosparaméterszférákra.További

problémátjelenthetabefejezéshez,hogyafentigondolatmenetb®lsakazkövetkezik,hogy

abiszektoraz

R ⁽ⁿ⁻¹⁾

^{térrelhomeomorf,amilogikailaggyengébb, mintavárt}"topológikus hipersík" tulajdonság.Utolsó tételünkben igazoljuk, hogyez nem így van:

13. Tétel ([3℄). A sokaság esetben a

H x

^,

S(K, x)

^és

γ λ (K, x)

^{halmazok beágyazása stan-}

dard. Azaz ha a biszektor homeomorf

R ⁽ⁿ⁻¹⁾

^{-el, akkor}topológikus hipersík.

A biszektorok vizsgálatát aHorst Martini-velközösdolgozat([4℄)zárja, kapsolódva

a[61℄ ikkeredményeihez. Abiszektor azel®z®ekt®leltér®módona

±x ∈ bdK

^pontoktól

egyenl® távolságra elhelyezked® pontok halmazát jelenti (így a jelölése most

B(−x, x)

^),

mígazegységgömb entrumaazorigó.Bevezetjük abiszektor korlátos reprezentáiójának

a fogalmát, mely szerensés kapsolatot ad az árnyékhatár, a biszektor radiális vetülete

és biszektorfogalmakközött. A fogalom bevezetése el®tt kib®vítjük az

n

^{-dimenziósEuk-}

lidésziteret azadottirányúfélegyenesekekvivaleniaosztályaihoztartozóvégtelentávoli

elemekkel, majd ezen végtelen távoli pontok közül kiválasztjuk azokat, amelyeket a bi-

szektorhoz tartozópontoknaktekintünk. Az eredetibiszektor pontokatrendes pontoknak

nevezzük, mígazúj pontokatképzetes pontoknak. Legyen

z ∈ B(−x, x)

^{. Ha}

z

^{közönséges}

akkorvan egyegyértelm¶en létez®

1 ≤ t z < ∞

^{érték úgy, hogy}

z ∈ (t z S + x) ∩ (t z S − x)

^.

Deniáljuk közönséges

z

^{-kre a}

Φ : B(−x, x) −→ K

^{leképezést a}

Φ(z) = _t ¹

z z

egyenl®ség- gel, mígideálispontokra legyen

Φ

^{aradiális vetítés leképezés. A} kiterjesztett

Φ

^leképezés

képhalmaza abiszektor korlátos reprezentáiója.

1. Állítás ([4℄). A biszektor korlátos reprezentáiója a

K

árnyékhatárát és a

K x

^-el

párhuzamos húrjainaka felez®pontjait tartalmazó halmaz.

A f® eredmény azonban azt mutatja, hogy ellentétben a biszektor radiális vetületével a

korlátosreprezentáió h¶en ®rzi abiszektor topológiai tulajdonságait.

14.Tétel([4℄). Haakiterjesztettbiszektor

(n −1)

^{-dimenzióshatárralrendelkez®sokaság,}

akkor a korlátos reprezentáiója homeomorf az

(n − 1)

^{-dimenziós zárt gömbbel. Fordítva,}

ha a korlátos reprezentáió egy topológikus

(n − 1)

^{-dimenziós zárt gömb, akkor a bisetor}

is, és a relative belseje (a közönséges pontjai halmaza) egy topológikus hipersík.

A disszertáió második fejezeténekmásodikszakaszaa[5℄ikkeredményeitmutatja

be.Stampi(lsd [69℄)vezetibeazAbel-féleadjungáltfogalmátegyfélskaláris szorzattal 1

rendelkez® térrevonatkozóan, egykorlátoslineáris

A

^{operátortakkornevezünk Abel-féle}

adjungált operátornakha van egy olyan

ϕ

^{dualitás leképezés, amire}

A ^∗ ϕ = ϕA

^{. Azaz,}

A

Abel-féle adjungált operátor ha

A = A ^T

^{, azaz bizonyos értelemben az}

A

^{operátor önad-}

jungált.LángiZsolt(lsd.[55℄)vezetibeafél-skalárszorzatravonatkozóLipshitztulajdon-

ság fogalmát,és vizsgáljameg azilyen tulajdonságúdiagonalizálhatóoperátoraita Min-

kowskigeometriáknak(melyekmostfélskalárisszorzattalrendelkez®valósvégesdimenziós

1

Adeníiótlsd.akövetkez®szakaszban.

8

vektorterek). F® eredményének egy következménye, hogy egy teljesen nem-Euklidészi

n

^-

dimenziósMinkowskigeometriadiagonalizálhatóAbel-féleadjungáltjaiizometriákskalár-

szorosai.EzenvizsgálatokfolytatásakéntfeltérképezzükazAbel-féleadjungáltoperátorok

szerkezetét majd igazoljuk, hogyegy

l p

^{tér minden ilyen operátora}diagonalizálható.

Izometriákkalkapsolatosan igazolunkkéttételt.Azels®ben leírjukazizometriákszerke-

zetétmajd azizometriasoportszerkezetér®l igazoljuka következ®t:

15. Tétel. Ha a

(V, k · k) 3

^{-dimenziós tér} egységgömbjét 2-dimenziós sík nem metszi ellipszisben, akkor az izometria soport fél-direkt szorzata az eltolás részsoportnak és a

speiális ortogonális transzformáiók egyvéges rend¶ részsoportjának.

A fejezet harmadik szakasza két társszerz®s ikk eredményeit sorolja fel (bizonyítások

nélkül). A [6℄ ikk a Minkowski geometriák kúpszeleteir®l szól ez Horst Martini-vel kö-

zös munka. A [7℄ ikk társszerz®i Vitor Balestro és Horst Martini. Ebben az elforgatás

új konepiójának bevezetése után rulettákkalfoglalkozunk, melyek deníiójánakalkal-

masságáta szokásos tételek (pld.Euler-Savary tételek) érvényessége bizonyítja.

Matematikaieszközök abizonyításokban. A[1℄ ikkalapvet®lineáris algebra,algebraito-

pológiából,konvex geometriai ismeretekre épít, ezek megtalálhatók az [21℄ irodalomban.

A [2℄ ikkben a fentieken túl felhasználunk olyan klasszikus geometriai topológiai isme-

reteket, melyek megtalálhatók a [73℄, [68℄, [70℄ munkákban. A [3℄ és [4℄ ikkek ezeken

túl további eredményeket használnak a geometriai topológiából.Jellemz®en használható

refereniák itt [64℄, [31℄,[26℄, [27℄. A [5℄ ikkben lineáris algebrai eszközöket használunk

klasszikuskonvexgeometriaieredményekkelkombinálva.A[6℄,[7℄ikkekeredményeiszin-

tetikusgeometriaiokfejtésekmellett,klasszikusdiereniálgeometriaiismeretekreésmoz-

gásgeometriaialapokraépülnek.

3. ÁltalánosítottMinkowski tér

A "Minkowski tér" elnevezés napjainkban két különböz® struktúrát jelent, az el®z® fe-

jezetben vizsgált véges dimenziós szeparábilis Banah tér mellett, így hívják az indenit

skaláris szorzattal ellátott tereket is. Ezen utóbbi jelent®sége a relativitás-elmélet mate-

matikai megalapozása során vált nyilvánvalóvá (lsd. [63℄). Az, hogy a két különböz®nek

t¶n® struktúra hasonló matematikai alapokon nyugszik, az1960-as évekt®l váltlátható-

vá, mikor is bevezették a fél-skalárisszorzat fogalmát olyan normált terekre vonatkozó

számítások kedvéért, melyek hagyományos skalárisszorzattal (bels® szorzattal) nem ren-

delkeznek (lsd. [56℄). Észrevételünk, az a tény, hogy a két elmélet tekinthet® egységes

keretrendszeren belül. Bevezettünk új struktúrákat a fél-indenit skalárszorzatos teret,

és az általánosított Minkowski teret, majd vizsgáltuk ezen utóbbi legfontosabb speiális

esetét az általánosított térid® modellt (lsd. [8℄, [9℄) illetve ennek általánosításait. Az ál-

talánosított térid®modell élirányostovább gondolása vezetett elaz id®-tér fogalmához,

melydeterminisztikusés véletlenmódon is vizsgálható(lsd. [10℄, [11℄, [15℄).

A skaláris szorzat helyett gyengébb szorzat fogalmat használva Euklidészi tereknél ál-

talánosabb terekhez jutunk. G. Lumer [56℄ vezeti be a fél-skalárisszorzat fogalmát. Egy

V

^komplex vektortéren értelmezett

[x, y ] : V × V −→ C

komplex függvényt fél-skalár- szorzatnak (röviden s.i.p.) nevezünk, ha rendelkezik a következ® tulajdonságokkal: [s1℄:

[x + y, z] = [x, z] + [y, z]

^{, [s2℄:}

[λx, y] = λ[x, y]

^minden

λ ∈ C

, [s3℄:

[x, x] > 0

^ha

x 6= 0

^,

[s4℄:

|[x, y]| ² ≤ [x, x][y, y]

^{. Ha a}

V

vektortéren értelmezett egy s.i.p. akkor a

(V, [·, ·])

^párt

fél-skalárszorzatostérnek nevezzük.

Ha tekintjük az

kxk = p

[x, x]

^{deníióval adott függvényt, akkor a vektortér ezzel nor-}

mált térré válik. Fordítva, minden normált tér tekinthet® fél-skalárisszorzatos térnek. J.

R.Gilesvesziészre(lsd. [38℄),hogymindiglehet as.i.p.-túgyválasztani,hogyteljesüljön

a második argumentum homogenitása is azaz fennálljon az [s5℄:

[x, λy] = ¯ λ[x, y] λ ∈ C

is. Szintén Giles vezeti be a folytonos s.i.p fogalmát az [s6℄ tulajdonsággal: Tetsz®leges

9

x, y ∈ S

^,egységvektor esetén, valós

λ → 0

^mellett teljesüljön

ℜ{[y, x + λy]} → ℜ{[y, x]}

^.

A teret egyenletesen folytonosnak nevezi, haezen határátmenetaz egységgömbön egyen-

letesenfennáll.Egynormálttér eseténtöbbfélediereniálhatóságitulajdonsággalisren-

delkezünk. Felmerül akérdés ezeknek mi akapsolataa most bevezetett fogalmakkal.

A fenti gondolatmenet folytatásaként a [7 ℄ ikkben deniáltuk a s.i.p. tér die-

reniálhatóságát. A diereniálható s.i.p. tér egy olyan folytonos s.i.p. tér, amelyben a

következ® feltételisteljesül:[s6'℄: Tetsz®legeshárom

x, y, z

^{vektorésvalós}

λ

^{esetén, létez-}

zen a

[x, ·] ^′ _z (y) := lim

λ→0

ℜ{[x,y+λz]}−ℜ{[x,y]}

λ

határérték. Azt mondjuk, hogy a tér folytonosan

diereniálható,haa fenti határátmenetmint

y

^{függvénye folytonos. Ezután kimondjuk,}

majd [7℄-ban igazoljuk a s.i.p és a norma diereniálhatóságára vonatkozó feltételeket

összekapsoló tételt:

16. Tétel ([7℄). Egy s.i.p. tér akkor és sak akkor (folytonosan) diereniálható, ha a

norma függvény kétszer (folytonosan)diereniálható Gâteaux értelemben.

Minkowski veszi észre, hogy a világ jelenségeinek vizsgálatára is alkalmas, az id®t ne-

gyedik dimenzióként tartalmazó beágyazó négydimenziós Euklidészi tér, ha pontjainak

a távolságait alkalmas módon mérjük. Ezzel elindítja a pszeudo-Euklidészi terek vizs-

gálatát, mely nem más mint egy valós vagy komplex véges-dimenziós vektortér ellátva

egy nem feltétlenül pozitív denit bels® szorzással (lsd. [39℄): Egy

V

^{komplex vektortér}

indenit-skalárszorzata (i.i.p.) egy olyan komplex

[x, y] : V × V −→ C

függvény, amely a következ® tulajdonságokat teljesíti: [i1℄:

[x + y, z] = [x, z] + [y, z]

^{, [i2℄:}

[λx, y] = λ[x, y]

minden

λ ∈ C

,[i3℄:

[x, y] = [y, x]

^minden

x, y ∈ V

^,[i4℄:

[x, y] = 0

^minden

y ∈ V

^then

x = 0

^{. Egy}

V

^{vektortér egy i.i.p.-vel ellátva egy} úgynevezett i.i.p. tér. Láthatóan [i1℄=[

s1℄, [i2℄=[s2℄. Igazolható, hogy [s1℄, [s2℄, [s3℄, [s5℄ együttes fennállása maga után vonja a

szorzat nem-elfajuló voltát, és minden nem-negatív (illetve nem-pozitív) altéren teljesül

a Cauhy-Shwartz egyenl®tlenség. A [8℄ ikk a két axiómarendszer ötvözésével kapott

térfogalmatvizsgálja:

2. Deníió ([7℄). Egy komplex

V

^vektortér fél-indenit skalárszorzatának (s.i.i.p-nek) nevezünkegy

[x, y ] : V × V −→ C

komplex függvényt,harendelkezikakövetkez® tulajdon- ságokkal:

1:

[x + y, z ] = [x, z] + [y, z]

(additivitás az els® változóban),

2:

[λx, y] = λ[x, y]

^minden

λ ∈ C

(homogenitás az els® argumentumban), 3:

[x, λy] = λ[x, y]

^minden

λ ∈ C

(homogenitás a második argumentumban), 4:

[x, x] ∈ R

minden

x ∈ V

^{(valós érték¶ség} tulajdonsága),

5: ha vagy

[x, y ] = 0

^{teljesül, minden}

y ∈ V

^vagy

[y, x] = 0

^{teljesül, minden}

y ∈ V

^,

akkor

x = 0

(nem-elfajulás tulajdonsága),

6:

|[x, y]| ² ≤ [x, x][y, y]

nem-negatív, és nem pozitív alterekhez tartozó

x

^,

y

^vektor-

párra, (a Cauhy-Shwartz egyenl®tlenség teljesüljön nem-pozitív és nem-negatív

altereken).

Egy

V

vektorteret, ellátva egy s.i.i.p.-vel, fél-indenit skalárszorzatos térnek (s.i.i.p. tér- nek) nevezünk.

A ikkben el®szörillusztráljuk, hogyas.i.i.p.tér fogalma nemsak triviálispéldákattar-

talmaz.Vegyükészre,hogyegys.i.i.p.térpontosanakkorhomogéns.i.p.hapozitívdenit

azs.i.i.p. Egy s.i.i.p. tér pontosan akkori.i.p. tér, ha azs.i.i.p. antiszimmetrikusis. Azis

világos,hogymindenakárgeometriai,akárzikaiMinkowskitérreprezentálhatós.i.i.p.

térként. Majd tetsz®leges

V

^{komplex normált térhez deniálni tudunk számos} s.i.i.p.-t, melyek közül egy anormához tartozó valamelyiks.i.p.. Ezaz általánosszorzatfogalomis

felhasználható egy térid® modell felépítéséhez. Els® lépésben a két (geometria és zikai)

Minkowskitéralkalmaskombinálásátelvégezve,megadjukazáltalánosítottMinkowskitér

fogalmát,másodiklépésben ezt afogalmategyszer¶sítve eljutunk azáltalánosítotttérid®

modell fogalmához.Alap lemmánk szerint, ha

(S, [·, ·] S )

^illetve

(T, −[·, ·] T )

^{két s.i.p. tér,}

10

akkor az

S + T

direktösszeg vektortéren az

[s 1 + t 1 , s 2 + t 2 ] ⁻ := [s 1 , s 2 ] − [t 1 , t 2 ]

^szabállyal

értelmezett

[·, ·] ⁻ : (S + T )×(S +T ) −→ C

függvényszinténegys.i.p..Elképzelhet®tehát, hogyegy

V

^{s.i.i.p.téregypozitívésegynegatívalterénekdirekt}összegekéntállel®.Ekkor két természetes struktúrával ruházhatjukfel az általánoss.i.i.p terünket, azegyik a fenti

lemma szerint a direktszorzat s.i.p. tér, a másikat pedig általánosított Minkowski térnek

fogjuk nevezni.

Legyen tehát

(V, [·, ·])

^{egy s.i.i.p. tér. Tegyük fel, hogy}

S, T ≤ V

^{pozitív illetve negatív}

alterek, melyek egymás direkt kiegészít® alterei

V

^-renézve,

S

^pozitív,

T

^{negatív.Deni-}

áljunkegyszorzást

V

^-naz

[u, v] ⁺ = [s 1 + t 1 , s 2 +t 2 ] ⁺ = [s 1 , s 2 ] + [t 1 , t 2 ]

egyenl®séggel,ahol

s i ∈ S

^és

t i ∈ T

^{. Ekkor azt mondjuk, hogy a}

(V, [·, ·] ⁺ )

^pár általánosított Minkowski tér a

[·, ·] ⁺

^Minkowski szorzással. Szintén használjuk

V

^{-re a valós}általánosított Minkowski tér elnevezést, ha

V

^{valósvektortér ésa s.i.i.p. egy}valós-érték¶függvény. A deníióhoz fontos észrevétel, hogy a Minkowski szorzat fogalma nyilván teljesítia s.i.i.p. 1-5 tulaj-

donságait, azonban 6 tipikusannem teljesül rá.Azonban

p [v, v] ⁻

^{egynorma függvény a}

V

vektortéren, amit az általánosított Minkowski tér beágyazó normált tere normájának is nevezhetünk. A helyzet analóg a pszeudo-Euklidészi tér és az ®t beágyazó Euklidészi

tér kapsolatával.

Atovábbiakbanaikkvégesdimenziós,valósáltalánosítottMinkowskitereketvizsgál.Le-

gyen

V

^egy általánosítottMinkowski tér az

S

^,

T

^{kiindulási pozitívilletvenegatív alterei}

általmeghatározva. Nevezzük egy vektorát térszer¶nek, fényszer¶nek, vagy id®szer¶nek,

aszerint,hogy askalárnégyzete pozitív,zérus vagy negatív.Legyen

S ⊃ S

^,

L

^and

T ⊃ T

atérszer¶,fényszer¶illetveid®szer¶ vektorokhalmaza.Haatér véges dimenziós,valósés

dim T = 1

^{, akkor a teret} általánosított térid® modellnek nevezzük, ez a [8℄ ikk azon de- níiója,amely összekapsolja azeddigi tisztán matematikaivizsgálatokata kozmológiai

és relativitáselméleti vizsgálatokkal. az általánosított térid® modellben

T

^{két darabjá-}

nak az uniója, azaz

T = T ⁺ ∪ T ⁻

^{, ahol}

T ⁺ = {s + t ∈ T |

^ahol

∃λ ≥ 0, t = λe n }

^és

T ⁻ = {s + t ∈ T |

^ahol

∃λ ≤ 0, t = λe n }

^{.Igazoljuk,hogy}

T

^{egynyíltkett®s kúp, melynek}

a határa éppen

L

^{. A pozitív része}

T ⁺

^{(ugyanúgy mint a negatív része}

T ⁻

^{) konvex. A}

ikk f® eredményei aképzetes egységgömbgeometriájárólszólnak. A már említettanaló-

giaalapján a képzetes egységgömb a hiperbolikus tér általánosításának tekinthet®, ha a

beágyazó normálttér Euklidészi,akkor ez éppen a hiperbolikustér.

17. Tétel ([8℄). Legyen

V

^egy általánosított térid® modell, amely képzetes egységgömbje

H

^{, annak egyik darabja}

H ⁺

^{. Ha}

S

folytonosan diereniálhatós.i.p. tér, akkor

(H ⁺ , ds ² )

egyMinkowski-Finslertér. Haazt is feltesszük, hogy

S

^{szigorúankonvex és sima, akkora}

beágyazó s.i.p. tér

{V, [·, ·] ⁻ }

^{szintén szigorúan konvex és sima. Jelölje}

F ^T

^az

F

^lineáris

leképezés általánosított adjungáltját a

{V, [·, ·] ⁻ }

^tér fél-skalárisszorzatára nézve, és

J : V → V

^{deniálják az}

J|S = id|S

^,

J|T = −id| T

egyenl®ségek. Ekkoraz

F | H = f : H → H

leképezésegy lineáris izometriaa fels® darabon

H ⁺

^{-on,akkor és sak akkor ha teljesül az}

F ⁻¹ = JF ^T J

^{egyenl®ség és}

e n

^{-t a}

H ⁺

^{egypontjába viszi.A}

H ⁺

^{lineárisizometriái egyben}

topológikus izometriák is. Ha végül a

H ⁺

^{lineáris izometriái} tranzitívan hatnak

H ⁺

^-on,

akkora Minkowski-Finslertávolság

d(·, ·)

^{teljesíti az}

[a, b] ⁺ = −ch(d(a, b))

egyenl®séget.

A ikk folytatása a [9℄ ikk, melyben az általánosított térid® modelllegfontosabb hiper-

felületeinekegységes szempontokszerintidiereniálgeometriai tárgyalását találjuk.

A [10 ℄ ikk témája látszólag eltér a többi kiemelt ikkét®l. A [11℄ ikkben vet®dik fel

azakérdés, hogylehetséges-eazadott dimenziósnormák metrikusterén(vagy,amiezzel

egyenérték¶az

n

^-dimenziósentrálszimmetrikuskonvextestekterén)olyan(nemtriviális) mértéket megadni, mely egy rögzített mérhet® függvényen el®retolva normális eloszlású-

naklátszik. Ez a probléma a geometriai mértékelmélet egyik fontos kérdéséhez kapsoló-

dik:Van-e nem triviális "geometriai" mérték a konvex testek metrikus terén? A [49℄ ikk

11

adott erre a kérdésre kielégít® választ. Megadja a "geometriai" jelz®t pontosító kitéte-

leknek megfelel®lehetséges elvikonstrukiókat. Eljárását (részben) követve "geometriai"

tulajdonságokkalrendelkez® konkrét mértéket konstruálunk a normákterén:

18. Tétel ([10℄). A normák metrikus terén létezik olyan

P

valószín¶ségi mérték, melyre vonatkozólag a környezetek mértéke pozitív, a politópok halmaza nullmérték¶ és a sima

testek halmazának a mértéke 1.

A ikkben bevezetjük a konvex halmazok soványságának fogalmát. Ha

w(K)

^{jelöli a}

K

konvex halmaz szélességét és

d(K)

^{az átmér®jét, akkor a test} soványságát az

α 0 (K) =

d(K)

w(K)+d(K)

mennyiséggel deniáljuk. A deníió nem önkényes a soványság a Hausdor

távolsággal kompatibilis jellemz®je a testnek. Ha

B E

^{az Euklidészi tér} egységgömbje, akkormetrikusterünkekörülmegrajzoltegységgömbje

K ¹ ₀ := {K ∈ K 0 | δ ^h (K, B E ) = 1}

^.

Lényeges szerepe van akövetkez® lemmának.

1.Lemma([8℄). Ha

K ∈ K ¹ ₀

^és

α 0 := α 0 (K )

^{asoványságfüggvénye}

K

^{-nak,akkorteljesül,}

hogy

δ ^h (αK, B E ) =

2α − 1

^ha

α 0 ≤ α 2α + 1 − 2 _α ^α ₀

^ha

0 ≤ α < α 0 .

Az általunk konstruált geometriai mértékek

α 0 (K)

^szerinti el®retoltjára fennáll, hogy az

[ ¹ ₂ , 1)

intervallum sonkolt normális eloszlásával rendelkezik. A ikk lényegi része ezen utóbbi állítás igazolásáttartalmazza. Maga a ikk pedig a [11℄ ikk egyik konstrukióját

helyezi realizálhatókörnyezetbe.

A [8℄ ikk elméleti alapjairakozmológiaimodelleketlehet alkotni. A[11℄ ikkben két

típust a determinisztikus id®tér modellt és a véletlen id®tér modellt deniáljuk. Feltéte-

lezzük valamilyen abszolút id® jelenlétét, mely ugyanúgy az érzékelési körünkön kívülre

esik, mint az abszolút térkoordinátákat adó tengelyek a Minkowski térid®ben. Ezen id®-

t®lfügg a tér szerkezetének változása,melyfüggést tekinthetjük el®re meghatározottnak

vagy bizonyos egyszer¶ feltételeket teljesít® véletlen változásnak is. A tér szerkezetére

tett megszorításunkaz, hogymindenkonkrét id®pillanatbanlegyen leírhatóegyalkalmas

n

^{-dimenziós normálttérrel.Ennek az}egységgömbjét elég ismerni.Atér id®szerintiválto- zását az egységgömb változása írja le. Ennek a modellnek vanid®fejl®dése és ez nyomon

iskövethet®.Ezáltal speiálisabbasemi-Riemannsokaságnál,de általánosabbaszokásos

térid® modellnél. Az Einstein egyenlet ismert megoldásainak a zöme modellezhet® a mi

rendszerünkönbelülerr®lszóla[15℄ikk,melynekatartalmaadisszertáiónkfüggelékébe

került.

A tér változását követ® függvény a

K(τ )

^{függvény mely a}

τ

id®pillanathoz a megfelel®

normálttéregységgömbjétrendeli.A

K(τ )

^{függvényreadott}feltételeink:

K(τ )

^entrálisan

szimmetrikus, konvex, kompakt,

C ²

^{test adott} térfogattal; tetsz®leges

s ^′ , s ^′′

^{pontpárra a}

K : R ⁺ ∪ {0} → K 0

^,

τ 7→ K(τ)

^{és a}

[s ^′ , s ^′′ ] ^τ : τ 7→ [s ^′ , s ^′′ ] ^τ

^függvények folytonosan

diereniálhatók. Egy általánosítotttér-id® modellellátva egy ilyen

K(τ)

függvénnyel a determinisztikus id®tér modell.

Geometriai számolások elvégzése ezen modellben sak akkor lehetséges, ha afél-skaláris-

szorzatokra vonatkozó formulákat kiterjesztjük az id® szerint változó fél-skalárisszorza-

tokra vonatkozó formulákká.Ez nem kevés mennyiség¶ tehnikai jelleg¶számítástjelent

melyek eredményeit lemmákbanés tételekben gy¶jtöttük össze.

Adeterminisztikusid®tér modellpárjaként deniáltukavéletlen id®térmodelljét.Eszkö-

zünk Kolmogorovkiterjesztésitétele[54℄),melyleírja,hogyanlehetvalószín¶ségiterekb®l

kontinuumszámosságú szorzatteret létrehozni. Eszerintkonzisztens gy¶jteményevéges-

dimenziós eloszlásoknak deniál a szorzat téren egy valószín¶ségi mértéket. Az esemény

terünk a entrálszimmetrikuskonvex kompakt testek

K 0

^{tere a Hausdor} metrikával. Ez lokálisan kompakt, szeparábilis metrikus tér. A Blashke féle kiválasztási tétel szerint

([46℄)

K

feltételesenkompakt,tehátteljestér.Könny¶ellen®rizni,hogy

K 0

^{isteljesmetri-}

kustér,hafeltesszük,hogyazüresbels®velrendelkez®(nemteljesdimenziós)halmazokis

12

hozzátartoznak. (Egyilyen testetmiegy kisebb dimenziósnormálttér egységgömbjének

tekintünk.) Legyen

P

^egyolyanvalószín¶ségimérték, amelyeta [8℄ikkben deniáltunk.

A

(K 0 , P )

valószín¶ségitér példányaia Kolmogorovkiterjesztéssel elláthatókegy

P ˆ

^mér-

tékkel, mely a

T

^-b®l

K 0

^{-ba men®} leképezések ilinder halmazaiáltal generált

σ

^-algebrán

értelmezett.A

P ˆ

eloszlásának a projekiója minden x id®pontban éppen a

P

^eloszlása.

3.Deníió([9℄). Legyen

(K τ

^,

τ ≥ 0)

^a

(K ₀ , P )

^{térKolmogorov}kiterjesztésekéntel®álló

ΠK 0 , P ˆ

valószín¶ségitér egyvéletlenfüggvénye.Véletlenid®térmodellneknevezünkegy

általánosítotttérid®modellb®lésa

K ˆ τ := q ⁿ

vol(B E )

vol(K ^τ ) K τ

^véletlenfüggvényb®lállópárt.Mivel

α 0 (K τ ) P

^{deníiója szerintsonkoltnormáliseloszlású véletlenváltozó}

(α 0 (K τ )

^,

τ ≥ 0)

egystaionáriusGaussfolyamat.Eztnevezzükavéletlentérid®modell alakfolyamatának.

A deníióból azonnalkövetkezik, hogya determinisztikusid®tér modellek trajektóriáia

véletlen id®tér modellnek.

19. Tétel ([9℄). A véletlen id®tér modell tetsz®leges

L(τ )

trajektóriájához, egy adott pil- lanatokból álló

0 ≤ τ 1 ≤ · · · ≤ τ s

^{véges halmazhoz és egyadott}

ε > 0

^{számhoz, megadható}

egy

K(τ)

^alak függvényhez tartozó determinisztikus id®tér modell úgy, hogy teljesül az

sup

i

{ρ H (L(τ i ), K(τ i ))} ≤ ε

egyenl®tlenség.

Ahhoz, hogy a relativitás elmélet fogalmait deniálni lehessen, nem elegend® az egység-

gömbalakjánakváltozásátkövetni,ineriarendszereketkelldeniálniésezek mozgásairól

kell beszélni. Ehhez akülönböz® id®pillanatokban szerepl® térbelipontok megfeleltetésé-

revan szükség. Fordított gondolkozás kell, azegységgömb pontjainak változását kell egy

x(abszolut)vonatkoztatásirendszerre nézve rögzíteni,ez határozza megazegységgömb

alakjának a változását. Az alak függvényt egy homotópiaként deniáljuk, mely speiá-

lisdiereniálhatóságitulajdonságokkalisrendelkezik.Ezutándeniálhatóakaszükséges

zikai objektumok és lehet beszélni a speiális illetve általános relativitás elméletr®l a

determinisztikusid®tér modellkeretein belül(lsd. azAppendix-et vagy a[15℄ munkát).

A harmadik fejezetikkeinek matematikai módszerei. A[8℄ikkekben használjuk

a funkionálanalízis alapvet® és a fél-skalárisszorzat fogalmához kapsolódó eredménye-

it (lsd. [24℄,[52℄, [51℄, [72℄), valamint az indenit skalárisszorzatos terek tulajdonságait

(lsd. [39℄) és a Riemann (Finsler) geometriák távolság fogalmáról és izometriáiról szóló

eredményeket (lsd. [22℄, [71℄, [32℄). A [9℄ ikk a klasszikus diereniálgeometria eszköz-

tárával operál. A [10℄ ikk a geometriai mértékelmélet alapismeretei közül használja a

Borel, Dira, Haar és Lebesgue mértékek fogalmát (lsd. [35℄, [47℄). Emellett használunk

alapvet®eredményeketavalószín¶ségszámításból(lsd.[54℄,[37℄,[48℄,[50℄).A[11℄ikkben

olyanapparátust dolgozunkki, melyhez vektortereken értelmezett leképezések diereni-

álszámítását kell ismerni. Végül a [15℄ ikk a fentieken túl alapvet® ismereteket követel

globálisrelativitáselméletr®l,akozmológiaimodellekr®lésazEinstein egyenlet megtalált

megoldásairól(lsd. [33℄).

Hivatkozások

A disszertáióikkei:

[1℄ OnthebisetorsofaMinkowskinormedspae. Ata Math. Hung.89(3)(2000),417424

[2℄ Bisetorsin Minkowski3-spae. Beiträge zurGeometrie und Algebra 45/1,(2004)225238.

[3℄ Ontheshadowboundaryofaentrallysymmetrionvexbody. BeiträgezurGeometrieundAlgebra

50/1(2009)219-233.

[4℄ Bounded representation and radial projetions of bisetors in normed spaes. (ommon with

H.Martini) Roky MountainJournalof Mathematis 43/1(2013)179191.

[5℄ Isometries ofMinkowskigeometries. LinearAlgebraandItsAppliations 512,(2017)172-190

[6℄ Conisin NormedPlanes.(ommonwithH.Martini) ExtrataMath.26/1(2011)2943.

[7℄ Angle measures, generalrotations, and roulettes in normed planes(ommon with V.Balestro and

H.Martini)AnalysisandMathematial Physis DOI:10.1007/s13324-016-0155-3(2016).

13

[8℄ Semi-indeniteinnerprodutandgeneralizedMinkowskispaes. Journalof Geometry andPhysis

60(2010)1190-1208.

[9℄ Premanifolds. Notedi Matematia 31/2(2011)1751.

[10℄ Normallydistributedprobabilitymeasureonthemetrispaeofnorms. Ata MathematiaSientia

33/5(2013)1231-1242.

[11℄ GeneralizedMinkowskispaewithhangingshape. AequationesMathematiae 87/3 (2014) 337-377

[12℄ Onthevolumeoftheonvexhulloftwoonvexbodies(inommonwithZs.Lángi)Monatsheftefür

Mathematik174/2(2014)219-229.

[13℄ OntheiosahedroninequalityofLászlóFejes-TóthJournalofMathematialInequalities10/2(2016),

521539.

[14℄ Formulasonhyperbolivolume.Aequationes Mathematiae 83/1(2012),97-116.

Atézisekben említett továbbiikkek a szerz®töl:

[15℄ G.Horváth,Á.:Relativitytheoryintime-spaemanifold. Univ.J.of PhysisandAppl.10/4,(2016)

115127.

[16℄ Balestro,V., G.Horváth,Á., Martini,H., Teixeira,R.: Angleinnormed spaesAequationesMathe-

matiae (2016)Doi:10.1007/s00010-016-0445-8

[17℄ G.Horváth,Á.,Maximalonvexhullofonnetingsimplies,Stud.Univ.šilinaMath.Ser.22(2008),

7-19.

[18℄ G.Horváth,Á.,Lángi,Zs.,Maximumvolumepolytopesinsribedintheunitsphere.Monatsheftefür

Mathematik181/2, (2016)341-354.

[19℄ G.Horváth,Á.,Lángi,Zs.,Spirova,M.,Semiinnerprodutsandtheoneptofsemi-polarity. Results

inMathematis DOI:10.1007/s00025-015-0510-y(2015)

Atézisekben említett másszerz®kikkei:

[20℄ AhnH-K.,BrassP.,ShinC-S.,Maximumoverlapandminimumonvexhulloftwoonvexpolyhedra

undertranslations,Comput.Geom. 40(2008),171-177.

[21℄ Alexandrov,P.S.: Combinatorialtopology.GraylokPressRohester,N.Y1956.

[22℄ Bao,D.,ChernS. S.,ShenZ.: AnIntrodutiontoRiemannian-FinslerGeometry.Springer-Verlag,

Berlin,1999.

[23℄ J.D. Berman and K. Hanes, Volumesof polyhedra insribed in the unit sphere in

E ³

^{, Math. Ann.}

188(1970),7884.

[24℄ Birkho,G.:Orthogonalityin linearmetrispaes. DukeMath. J.1(1935),169172.

[25℄ P. Brass, W. Moser and J. Pah, Researh Problems in Disrete Geometry, Springer, New York,

2005.

[26℄ Brown,M.:AproofofthegeneralizedShoeniestheorem. Bull.Amer.Math.So.66(1960),7476.

[27℄ Brown, M.:Some appliationsof anapproximationtheoremon inverse limits. Pro. Amer. Math.

So.11 (1960),478483.

[28℄ H.T. Croft, K.J. Faloner and R.K. Guy, Unsolved Problems in Geometry, Vol. 2, Springer, New

York,1991.

[29℄ M.M.Day, Normedlinear spaes. Springer-Verlag,Berlin,1958.

[30℄ M.M.Day, Some haraterization of inner-produt spaes. Trans. Amer. Math. So. 62 (1947)

320337.

[31℄ Daverman,R.J.: Deompositionof Manifolds.AademiPress,NewYork,1986.

[32℄ B.A.Dubrovin,A.T.Fomenko,S.P.Novikov: ModernGeometry-MethodsandAppliations,Part

I. The geometry of Surfaes, Transformation Groups, andFields. SeondEdition, Springer-Verlag,

1992.

[33℄ Eddington,A.S. The Mathematial Theory ofRelativity CambridgeUniversitypress,1924.

[34℄ Fáry,I.and Rédei,L.,Der zentralsymmetrishe Kern und die zentralsymmetrishe Hüllevon kon-

vexenKörpern. (German),Math.Ann., 122(1950),205-220.

[35℄ Federer,H.: Geometri Measure Theory.Springer-Verlag1969.

[36℄ L.Fejes-Tóth,RegularFigures,TheMamillanCompany,NewYork,1964.

[37℄ Feller, W.: An Introdution to Probability Theory and Its Appliations. 3rded. NewYork:Wiley,

1968.

[38℄ Giles,J.R.:Classesofsemiinner-produtspaes. Trans.Amer.Math.So.129/3(1967),436446.

[39℄ Gohberg, I., Lanester, P., Rodman, L.: Indenite Linear Algebra and Appliations. Birkhauser,

Basel-Boston-Berlin,2005.

[40℄ GoodeyP.M.,Woodok,M.M.: Intersetionsofonvexbodieswiththeirtranslates,TheGeometri

Veined. C.Davis,B.GrünbaumandF.A.Sherk Springer-Verlag,1982.

[41℄ GoodeyP.M.:Homothetiellipsoids. Math.Pro. Comb.Phil. So. 93(1983)2534.

[42℄ GruberP.M.:KennzeihnendeEigenshaftenvoneuklidishenRäumenundEllipsoiden.I. J. reine

angew.Math. 256(1974)6183.

14