Akadé
iaiDkiÉekezéTéziei
vayG b C

Ivanyos Gábor

Classial and quantum algorithms

for algebrai problems

(Klasszikus és kvantum-számítógépes

algoritmusok algebrai problémákra)

2007

1.1. A vizsgált feladatok

Az értekezésben különféle algebrai problémák algoritmikus vonatko-

zásait tárgyaljuk. Ezen problémák egy jó része mátrixalgebrák, illetve

modulusokstruktúrájávalkapsolatos.Azilyenfeladatokmaguktólérte-

t®d®en adódnak például soportok számítógépes reprezentáióelméleté-

ben, de felvet®dnek más struktúrákkal, például Lie-algebrákkal kapso-

latosszámítások során is.Hatékonymegoldásukjelent®sszerepet játszik

például a GAP [13 ℄ és a MAGMA[2℄ számítógépes algebrai rendszerek-

ben.

A mátrixalgebrás problémák mellett foglalkozunk olyan kérdések-

kelis, mint véges kommutatív soport szorzótáblájának tesztelése, mint

kvantum-kapukészletek számítási erejének algoritmikus vizsgálhatósága,

vagy mint az úgynevezett rejtett részsoport problémája. Ez utóbbi kö-

zösáltalánosításaolyanfeladatoknak,amelyekmegoldásábanakvantum-

számítógépekretervezettalgoritmusokexponeniálisangyorsabbakaz is-

mert klasszikus módszereknél és olyan érdekes problémáknak (például

gráfok izomorájának eldöntése), amelyeknek bonyolultságát intenzíven

vizsgálják.

1.2. Az alkalmazott módszerek

Adolgozatban kitüntetettszerepetjátszanakavéletlent használó al-

goritmusok, de bemutatunk determinisztikus eljárásokat is, ezek között

egy olyan eredménnyel, amely egy viszonylag egyszer¶ randomizált al-

goritmust helyettesít hatékony determinisztikus módszerrel. Ez utóbbi-

val hozható párhuzamba az az eredményünk, amelyben egy a kvantu-

mosvilágban természetesen adódó kvantumgépesmódszert váltunk ki

klasszikusrandomizáltalgoritmussalegykisitöbbletinformáióelérhet®-

ségénekfeltételezése mellett.Arejtettrészsoportproblémakörébenelért

kvantumgépeseredményünkben az alapvet® tehnikai összetev® egyfajta

alapszik.

1.3. Az értekezés szerkezete

Adisszertáiótízfejezetb®láll.Ezekközülazels®alegfontosabbered-

ményeket foglalja össze, a második pedig a vizsgált problémák elméleti

hátterétésa felhasznált algoritmikus módszerekettekinti át.Itt a többi

témánálrészletesebben tárgyaljuk azt a kvantumgép-modellt, amelyet a

kés®bbiekben használunk.

Eredményeinket a hátralev® nyol fejezetben mutatjuk be. Ezek kö-

zül öt foglalkozik mátrixalgebrákkal, illetve asszoiatív algebrák feletti

modulusokkal. Ebben a részben kitüntetett szerepet játszik a Jaobson-

radikál, az algebra legb®vebb nilpotens ideálja.Az utolsó háromfejezet-

ben kvantum-számítógépekkelkapsolatoseredményeketmutatunk be.

2. A f® eredmények

2.1. Algoritmusok mátrixalgebrákra és modulusokra

Az eredmények els® soportja mátrixalgebrákkal és modulusokkal

kapsolatos algoritmikus problémákra vonatkozik. Az ilyen algoritmu-

sok fontos szerepet játszanak a számítógépes matematika különböz® te-

rületein. Már szó volt a számítógépes reprezentáióelméletr®l és a Lie-

algebrákkalkapsolatosszámításokról.Itthaddemlítsünkmégegyalkal-

mazási irányt. A mátrixalgebrás eljárások fontos épít®kövei a [32 ℄ és a

[22 ℄ dolgozatokban javasolt nemkommutatív számelméleti algoritmusok-

nak,amelyekváratlanulszerephezjutottaka többsatornáskommuniká-

ióbanújabban alkalmazott kódolásieljárásokban [20 ℄.

A mátrixalgebrákkal kapsolatos korai algoritmikus jelleg¶ eredmé-

nyek közülitt L. E.Dikson 1923-banmegjelent m¶véb®l [5 ℄a nulla ka-

rakterisztikájúalaptest fölöttialgebrákradikáljának számításrakiválóan

alkalmaskarakterizáióját említenénk.Algebrákstruktúrájánakkiszámí-

FriedlKatalin ésRónyai Lajos 1983-as munkájában [12℄ lelhet® fel. Az-

óta a tárház jelent®s mértékben b®vült, immár a gyakorlatban legfon-

tosabb alaptestek feletti mátrixalgebrák legtöbb strukturális invariánsa

kiszámolhatópolinomid®ben.

Mintmáremlítettük,eredményeinkezensoportjábankitüntetettsze-

repetjátszikazegyikfontosstrukturálisinvariáns,aJaobson-féleradikál

(arövidségkedvéért:radikál).Egy

A

^{asszoiatívalgebraRad}

(A)

^radikálja

A

^{-nak a legnagyobb nilpotens ideálja. Különféle} alaptestekre ismertek a Dikson-féle jellemzés általánosításán alapuló módszerek, amelyek a ra-

dikált(szemi-)lineáris egyenletrendszerekmegoldásávalszámítjákki.Vé-

gesalaptestekre RónyaiLajos adottel®szörpolinomidej¶módszert [31 ℄,

ennek W. Eberly készítette el egy a nem prímtest feletti algebrákra va-

lamivel hatékonyabban m¶köd® változatát [8 ℄. Véges testek transzen-

dens b®vítései feletti algebrákra a [23 ℄ dolgozatban található módszer,

amelyet diereniálalgebrában felmerül® problémákmegoldásárais lehet

használni [14 ℄. A legáltalánosabb

p

karakterisztikájú testek felett m¶- köd® hatékony módszer a [3 ℄ dolgozatban található. A m¶ködéshez egy

olyan kiegészít® eljárás szükséges, amely megoldja az alaptest felett az

a ₁ x ^p ₁ + . . . , a _m x ^p _m = 0

^alakúúgynevezett

p

-szemilineárisegyenleteket.

Az [I01 ℄ dolgozat alapján készült rövid harmadik fejezetben a radi-

kálszámítás egyalkalmazását mutatjuk be mátrixfélsoportokra:

•

^{Polinomid®ben}eldönthet®,hogyegyvégestestkonstanstranszen- deniafokú b®vítése feletti, generátorokkal adott mátrixfélsoport

véges-e.

Az [I99 ℄ ikken alapuló negyedik fejezet f® eredményeinek ismerteté-

sétegykis kerül®velkezdjük. Említettük,hogy

p

^karakterisztikában a[3 ℄ dolgozatmódszere

p

-szemilineárisegyenletrendszerekmegoldásán múlik.

Az

x ^p ₁ − ax ^p ₂ = 0

^nemnulla megoldásainak a megtalálása nyilván az

a

együttható

p

^{-edikgyökének}kiszámításávalegyenérték¶.Gyökvonásmár- pedig supán a testm¶veleteket használó algoritmussal nem lehetséges:

egy testelem

p

^{-edik gyökének létezése általános alaptest felett algorit-}

mikusan eldönthetetlen. Következésképpen ahogy W. Eberly megmu-

tatta [7℄ kommutatív mátrixalgebrák radikáljának kiszámítására sin-

senáltalános,sak atestm¶veletekethasználó módszer. Ennekkapsán

azt sejtette, hogy nins további nehézség a nemkommutatív esetben. A

[3℄ dolgozat alapján az adódik, hogy a kiszámíthatóság szintjén tényleg

ez a helyzet, de a módszer nem ad meg polinom idej¶ redukiót egyet-

lenkommutatívalgebraradikáljánakkiszámítására.Többekköztazilyen

visszavezetés létezésének kérdése kapsán kezdtük el vizsgálni a radikál

kiszámításának lehetséges alternatív (azaz nem a Dikson-féle jellemzés

általánosításainalapuló) módszereit.

Párhuzamosan W. A. de Graaf egy, a nulla karakterisztikájú Lie-

algebrákradikáljának kiszámítására szolgáló praktikusalgoritmuson dol-

gozott[15 ℄,amelysebességében agyakorlatban sokkalgyorsabbnakbizo-

nyultaDikson-féle jellemzéshezhasonlótételenalapuló"hagyományos"

módszernél. W. A. de Graaf eljárása úgynevezett Cartan-részalgebrák

kiszámításán (ld. [17 ℄) alapul. Módszerének gyakorlatban mutatott si-

keressége alapján arra jutottunk, hogy az asszoiatív esetben bizonyos

kommutatív részalgebrák (úgynevezett maximális tóruszok) hasznosak

lehetnek. (Megjegyezzük, hogy asszoiatív algebrák Lie-algebrájában a

Cartan-részalgebrákamaximális tóruszokentralizátorai.Az semmellé-

kes,hogymaximálistóruszokdeterminisztikuspolinomidej¶algoritmus-

saltalálhatók [16 ℄,s®t, sokféle alaptest esetében véletlenelemek segítsé-

gévelnagyongyorsankaphatók.) Anegyedik fejezet egyikf® eredménye,

hogyaz újmegközelítés megadja akeresett redukiót:

•

^Egy

A

mátrixalgebra radikáljának a kiszámítása determinisztikus polinomidej¶algoritmussal visszavezethet®egy olyankommutatív

algebra radikáljának a kiszámítására, amely faktora

A

^{egy részal-}

gebrájának.

A bemenet olyan mátrixokból áll, amelyek generálják

A

^{-t. A kimene-}

tetpedig olyan mátrixok alkotják, amelyek által generált ideál Rad

(A)

^.

Ugyanez az eredmény (sak egy másik polinommal az id®korlátot ille-

t®en), ha akimenetben és/vagya bemenetben lineáris bázisokat követe-

lünkmeg. Abonyolultságotavégrehajtotttestm¶veletekszámábanmér-

jük.

Annakkedvéért,hogymegmutathassukakapsolatotakövetkez®két

fejezet tartalmával, megemlítjük, hogy a fenti algoritmust megalapozó

struktúratételekaztmondjákki,hogyRad

(A)

^{felbomlik kétlineárisalte-}

rének összegére,amelyekb®l az egyika

T

^{maximális tórusz} entralizáto- ránaka radikáljaáltalgenerált ideál, amásik pediga kommutátorokból

álló

[A, C]

^altér,ahol

C

^a

T

^{tóruszazonelemeib®láll,amelyekentrálisak}

moduloRad

(A)

^.A kés®bbiekben

C

^{-re mint}

T

szemi-entrális részére és az

[A, C]

^{altérre mint Rad}

(A)

kommutátor-részére hivatkozunk. Termé- szetesenahhoz, hogy a

C

szemi-entrális részt Rad

(A)

^{el®zetes ismerete}

nélkül kiszámítsuk, szükségünk van

C

^{egy alternatív} jellemzésére. Egy ilyenjellemzést megis adunka dolgozatban.

Kidolgoztunk egy, a fent említettredukiós módszer elvi részein ala-

pulóvéletlent használómódszertis,amelyolyanperfekttestekfelettm¶-

ködik, amelyekben polinomok négyzetmentes részét hatékonyan ki lehet

számítani.Azalgoritmustegykiegészítettinputmodellelírtukle:feltéte-

leztünkegy olyan eljárássegítségétis, amely

A

^{-nak bizonyos algebraiér-}

telemben vett"véletlen"elemeitállítjael®. A"véletlen" alattaztértjük,

hogyaeljárásáltalkiadottelemek jóeséllyelelkerülikrögzített alasony

fokú polinomok zérushelyeit. Megjegyezzük, hogy ez a feltétel közvetve

aztis maga után vonja, hogy az alaptestnek "elég nagynak" kell lennie.

Fordítva, ha az alaptest "elég nagy" és

A

^{-nak egy lineáris bázisa adott,}

akkor egy ilyen eljárás

O(n ⁴ )

^id®ben implementálható elég nagy tarto- mányból véletlenül választott együtthatókkal vett lineáris kombináiók

segítségével. Ugyanakkor ha

A

^{-nak sak algebra} generátorai állnak ren- delkezésre,akés®bbrészletesebbenistárgyalandóMeatAxe[21 ℄program-

rendszervéletlenelem-generátoranéhánymátrixszorzásárán agyakorlat-

ban jól használható elemeket ad. Algoritmusunk eredménye egy olyan

rendszer, amely mint ideált generálja Rad

(A)

^{-t. Egy ilyen} rendszerb®l persze polinom id®ben kiszámolható Rad

(A)

^{egy lineáris bázisa is, de}

nagydimenziósradikáleseténezapolinomelégmagasfokú.Ugyanakkor

sokgyakorlati esetbentényleg elég ideál-generátorokat megadni.Rando-

mizált algoritmusunk bonyolultságát itt az egyszer¶ség kedvéért abban

afontosspeiális esetbenismertetjük,amikoragenerátorok száma kons-

tans.

•

^{Tegyük fel, hogy}

K

^{egy perfekt test és az}

A ≤ M _n (K)

^mártix-

algebra

m

generátorral adott, ahol

m

^{konstans. Ekkor nagyjából}

O(n ⁴ )

alapm¶velettel el®állítható mátrixok egy olyan rendszere, amely általgeneráltideál éppen Rad

(A)

^.

Fent

M _n (K)

^-valaszokásoknakmegfelel®ena

K

^{testelemeib®lálló}

n × n

^-

esmátrixok alkotta algebrát jelöltük.Az eredménypontos leírása az ér-

tekezésben Theorem 4.3 ím alatt szerepel. Az algoritmus Monte Carlo

típusú,azaz kis valószín¶séggel az output lehet hibás is. A hiba valószí-

n¶sége a szokásos módon ismétléssel exponeniálisan kisivé tehet®.

Afenti hozzávet®leges ismertetésben a durva

O(n ⁴ )

^{-eskorlátból elhagy-}

tunkpolilogaritmikusfaktorokat.Elhanyagoltuktovábbánagyjából

O(n)

algebraiértelemeben vettvéletlen elemel®állításának ésugyanannyi po-

linom négyzetmentes részének a költségét. Az

O(n ⁴ )

^{-es korlát poliloga-}

ritmikus faktor erejéig akkor igaz tehát, ha a

K

^{test felett a polinomok}

négyzetmentesrésze kiszámítható

O(n ³ )

^{m¶velettel és}

O(n ³ )

^m¶velettel

nyerhet®k "véletlen" elemek

A

^-ból. Megjegyezzük, hogy nulla karakte- risztikában vagyvégestestekfelett azel®bbifeladat közellineáris id®ben

megoldható.Ha

A

^{bázisa is adottésa véletlen elemeket véletlenlineáris}

kombináiók képzésével állítjuk el®, akkor a módszer költsége (a legtöbb

fontosalaptestfelett)nagyjából

O(n ⁵ )

^.Az összehasonlításkedvéértmeg- jegyezzük, hogy 0 karakterisztikában a Dikson-féle jellemzésen alapuló

módszerköltsége tudomásunk szerint legalább

n ⁶

^-osnagyságrend¶.

Az ötödik és hatodik fejezetekben a fenti módszerével közeli rokon-

ságbanállóalapelveken m¶köd® algoritmusokat ismertetünk végestestek

letlen elemek konstruálhatósága helyett azt tesszük fel, hogy egy olyan

segédeszköz áll rendelkezésre, amely az algebra véletlen elemeit adja az

uniform(vagylegalábbis megközelít®leguniform)eloszlás szerint.

Sok esetben mint például a már érint®legesen említett MeatAxe

rendszeresetébenelegend®aradikálegynemtriviáliselemétel®állítani.

A MeatAxe egy széles körben elterjedt eljárásgy¶jtemény véges testek

feletti algebrák feletti modulusok kezelésére. A legfontosabb alkotóelem

egyfajta konstruktív irreduibilitás-teszt, amely reduibilis modulusok-

bantalálegy nemtriviálisrészmodulust.R. Parkereredeti módszere [30 ℄

a gyakorlatban kit¶n®en m¶ködik kis alaptestek esetén. D. F. Holt és

S. Rees kidolgozott egy általánosabb esetben is hatékony, véletlen ele-

mekethasználó eljárást. Az új módszer elméletben is ésa gyakorlatban

is igen jól teljesít tetsz®leges véges alaptest felett, kivéve néhány spei-

ális szerkezet¶algebraosztályt. Észrevettük,hogy ezekben a kedvez®tlen

esetekbenaradikál"kommutátor-része"(ld.fentebb)játszikjelent®ssze-

repet. Az is kiderült, hogya rossz esetekben egy primitív idempotenssel

helyettesíteni lehet a maximális tórusz szemi-entrális részét. Primitív

idempotens pedig igenjó eséllyelnyerhet®véletlenelemkarakterisztikus

polinomjának felbontása segítségével. Ezt a gondolatmenetet az [IL00 ℄

dolgozatalapjánkészültötödikfejezetbenfejtjükkirészletesen.Az ered-

ményakövetkez®:

•

^AHolt-ReesféleMeatAxeeljáráslényegeslassulásnélkülkiegészít- het®egyolyanalgoritmussá,amelypozitívkonstansvalószín¶séggel

minden reduibilis modulusban találegyvalódirészmodulust.

A kiegészítéssel együtt a MeatAxe eljárás egy Las Vegas típusú algo-

ritmussá válik. Egy Las Vegas típusú randomizált eljárás kis valószín¶-

séggel lehet sikertelen, de sosem ad hibás kimenetet. Kisit konkrétab-

ban, a kiegészített MeatAxe pozitív konstans valószín¶séggel vagy egy

irreduibilitás-bizonyítást,vagyegyvalódirészmodulusttalál.Az ötödik

GAP[13 ℄ ésaMAGMA[2℄ rendszerekben isimplementálták.

Algebrákradikáljánakkiszámításáraszolgáló,általánostestfelettm¶-

köd®módszerünkbenasz¶kkeresztmetszetnekamaximálistóruszszemi-

entrális részének a kiszámítása bizonyult. Párhuzamosan W. Eberly és

M. Giesbreht javasolt egyigen gyors módszert véges testekfeletti félig-

egyszer¶ (triviális radikállal rendelkez®) algebrák felbontására [9℄. Dol-

gozatukban ®kis azalgebra véletlenelemeinek konstruálhatóságát felté-

telezték. Felvetették, hogy ki lehet-e terjeszteni eljárásukat nemtriviális

radikálesetéreis.Az[I00 ℄dolgozatalapjánkészülthatodikfejezetbenegy

ilyen kiterjesztéssel foglalkozunk. Eberly és Giesbreht észrevette, hogy

f®eszközük, aprimitív idempotensekegy teljesortogonális rendszerének

hatékonykonstruálhatóságára vonatkozóeredményükérvényesaz általá-

nos esetben is. Ezen a nyomon indultunk el. Primitív idempotensektel-

jes ortogonális rendszere egy maximális felhasadó tórusznak felel meg.

Módszerünklényegeaz, hogyegy ilyen tórusznak aszemi-entrálisrésze

gyorsanmegtalálható.A felhasználteszközöksegítségévelezutánaz ere-

deti élnál egy kisit többet is el lehet érni: nemsak a radikál, hanem

egyWedderburn-komplemens(a radikálszerinti faktorral izomorfrészal-

gebra) is megkonstruálható hatékonyan. Eredményünk konstans sok ge-

nerátorralmegadott algebrákesetére nagyvonalakban a következ®:

•

^{Tegyük fel, hogy}

K

^{egy véges test és az}

A ≤ M _n (K)

^algebra

m

generátorral adott, ahol

m

^{állandó. Ekkor nagyjából}

O(n ³ )

^m¶ve-

letet felhasználó Las Vegas típusú módszerrel megtalálható mátri-

xoknakegyolyanrendszere,amelyáltalgeneráltalgebra

A

^-banegy

Wedderburn-komplemens, továbbáegy olyan rendszeris, amelyál-

tal generáltideál

A

^radikálja.

Megjegyezzük, hogy módszerünknek egy Monte Carlo típusú változata

(aholaválaszhelyességenemgarantált)

O(n ³ )

^{-nélvalójábanalasonyabb}

bonyolultságú: polilogaritmikus számúmátrix összeszorzásánaka költsé-

gévelarányos, akársakEberlyésGiesbreht eljárása.

utolsóban, a[CIK97 ℄ dolgozat egyesrészei alapján készültrövid hetedik

fejezetben egy egyszer¶ feladat megoldására mutatunk determinisztikus

polinom idej¶ módszert. A feladat modulusokizomorájának konstruk-

tívváltozata:döntsükel,hogykétmodulusizomorf-e,éshaigen,adjunk

ismegizomorzmust.Haaz alaptestelégnagy,afeladatraegyszer¶ran-

domizált módszer adódik: ha a két modulus izomorf, akkor egy véletle-

nül választott morzmus az egyikb®l a másikba valójában izomorzmus

lesz.Ittazizgalmaskérdésaz,hogyhelyettesíthet®-e avéletlenthasználó

módszerpolinomidej¶determinisztikussal.Megmutatjuk,hogyalegtöbb

fontosalaptest felett igen:

•

^{Tegyükfel,hogy}

K

^{egyolyantest,amelyfeletti}mátrixalgebrákra- dikáljánakkiszámításárapolinomidej¶determinisztikusalgoritmus

van.Ekkor

K

^{-algebrákfelettimodulusok}konstruktívizomorzmus- problémájára is van polinom idej¶determinisztikus módszer.

Látható,hogy ebben a fejezetben is fontos szerepetkap a radikál kiszá-

mítása.Itt történetesen azért, mert a fejezet f® tehnikai eszköze, a ik-

likusmodulusokgenerátorátel®állítódeterminisztikus algoritmus általá-

ban nem m¶ködik a nem-féligegyszer¶ esetben. Megjegyezzük továbbá,

hogy a vizsgált feladat speiális esete az el®ször J. Edmonds által [10 ℄

felvetett és azóta is sokat vizsgált kérdésnek: létezik-e hatékony deter-

minisztikus módszer maximális rangú mátrix keresésére mátrixok lineá-

ristereiben.Afeladatgazdagéstartalmaskombinatorikaikapsolataival

foglalkozik LovászLászló ikke [28 ℄. Domokos Mátyás a problémávalkö-

zelirokonságban állóinvariánselméleti eredményeketértel a[6℄ ésegyes

aztkövet® publikáióiban.

2.2. Kvantum-számítógépekkel kapsolatos eredmények

R. P. Feynmann vetette fel el®ször azt az ötletet, hogy a kvantum-

jelenségeket esetleg hatékony számításra fel lehet használni [11 ℄. A

feladat felfedezése után P. Shor publikálta 1994-ben az els® két igazán

életszagú alkalmazást [33 , 34℄: az egészek törzstényez®s felbontását el-

végz®,valamint adiszkrét logaritmustkiszámolópolinomidej¶kvantum-

algoritmusát. NemsokkalShor eredményeinek bemutatásátkövet®en je-

lentmegL.Groverkvantumgépesalgoritmusa[18 ℄,amellyelegy

n

^elem¶

adatbázisban

√ n

lekérdezéssel lehet keresni. Ezek az eredmények jelen- t®slökéstadtakakvantum-számítógépekzikaimegvalósításárairányuló

próbálkozásoknak, és felkeltették az érdekl®dést a számítási problémák

kvantum-számítógépes algoritmikus bonyolultsága iránt is. A dolgozat

utolsóháromfejezetébenilyenterületeketérint®eredményeketmutatunk

be.

Az [I07℄ dolgozat alapján készült nyoladik fejezet összekapsolja

az értekezés reprezentáióelméleti részéta kvantumgépekkel kapsolatos

problémákkal.Ittazonbanalgebrákreprezentáiói helyettsoportok rep-

rezentáióit tekintjük. Önmagábana bemutatott algoritmus nem nehéz,

ahelyességénekazigazolásaviszontnagyonisaz.Avizsgáltalgoritmikus

kérdés tulajdonképpen kvantumgépek zikai megvalósításával kapsola-

tos:annakeldönthet®sége,hogyeszközökúgynevezettkvantumkapuk

egyadottkészletealkalmas-e arra,hogyáltalánoskvantum-számítógépet

építhessünkbel®le.

Valamivelrészletesebben,egy

n

^{kvantumbiteskapuegyunitértransz-}

formáióaz

n

^{kvantumbitállapotaitmagábanfoglaló}

2 ⁿ

^{dimenzióskomp-}

lexeuklideszi téren. Egy

n

^{bites kapu}

N (N − 1) · · · (N − n + 1)

^félekép-

pen satlakoztatható

N ≥ n

^{bitre, így} ennyiféleképpen fogható fel

N

kvantum biteskapuként.Aztmondjuk,hogy

n

^{kvantum biteskapukegy}

készlete

N

-univerzális,ha akészletbeli kapukösszes

N

^{-bitrevalósatla-}

koztatásából nyert készlet a

2 ^N

^{dimenzióstéren ható unitér soportnak}

egy s¶r¶ részsoportját generálja. Ez annak felel meg, hogy minden

N

bitestranszformáiótetsz®legespontossággalmegközelíthet®akészletb®l

vettkapukból álló eszköz segítségével. Valamivelpontosabban: Itt a s¶-

r¶séget projektív értelemben tehát modulo a skalármátrixok kell te-

amelyekegymás skalárszorosai.

Viszonylag egyszer¶en igazolható, hogy

N ≥ max { 2, n }

^{-re az}

N

^-

univerzalitásegy

N

^-benmonotontulajdonság.Teháthaegy

n > 1

^kvan-

tumbites készlet

N

-univerzális valamely

N ≥ n

^{-re, akkor}

N ^′

-univerzális minden

N ^′ > N

^{-re is. Ez alapján}

n > 1

^{esetén egy}

n

^{kvantum bites ka-}

pukészletet univerzálisnak nevezünk, ha létezik olyan

N > n

^{, melyre a}

készlet

N

-univerzális.Azuniverzalitásegyfajtavégs®soronvalóalkalmas- ságot jelent általános kvantum-számítógép építésére. Adott

N

^{-re az}

N

^-

univerzalitás tesztelése eldönthet® a generált soportZariski-lezártjának

kiszámításaútján, például H.Derksen, E.Jeandel ésP.Koiranmódsze-

rével [4℄. Ebb®l hasak nem tudunk valamilyen korlátot adni a legki-

sebbolyan

N

^{-re, amelyre egy} univerzális kapukészlet már

N

-univerzális nem következik azonnal, hogy az univerzalitás algoritmikusan eldönt-

het®. A nyoladik fejezet f® eredménye szerint azonban megadható egy

ilyenkorlát:

•

^{Ha egy}

n

^{kvantum bites} kapukészlet univerzális, akkor már

N

^-

univerzális bármely

N ≥ 255n

^-re. Következésképpen az univerzali- tás algoritmikusan eldönthet® tulajdonság.

Megközelítésünkb®lvalójábanazisadódik,hogyegy

m

^{elem¶készletreaz}

N

-univerzalitás eldönthet® egy

m · 2 ^{O(N )}

egyenletb®lálló

2 ^O(N)

^-változós

homogén lineáris egyenletrendszer segítségével. S¶r¶ reprezentáió ese-

tén, azaz ha az input a kapukat leíró mátrixok

m · 2 ²ⁿ

^{eleméb®l áll,}

N = 255n

^-reazegyenletrendszerméretemégmindigpolinomiális

n

^-ben,

igaz,nagyonnagykitev®vel.AkorlátbizonyításaegyrésztR.Guralnikés

P. H. Tiep egy, a véges soportok reprezentáióelmélete területér®l való

2005-ös, a véges egyszer¶ soportok osztályozását falhasználó eredmé-

nyét[19 ℄,másrésztD.LazardnulldimenziósideálokHilbert-függvényének

regularitására vonatkozó korlátját [27℄ használja fel. Figyelemre méltó,

hogya véges egyszer¶ soportok osztályozása szerepet játszik egy ilyen,

látszatranumerikusjelleg¶ problémánál.

letveaz[FIMSS03 ℄függelékébenmegjelentmódszertalaposabbankifejt®

[I07pre℄ikkalapjánegyolyankvantum-algoritmustmutatunkbe,amely

rejtettrészsoportokat talál feloldható soportok egy bizonyos osztályá-

ban.

Mindazokaszámításifeladatok,amelyekreamainapigaklasszikusnál

exponeniálisan gyorsabb kvantum-algoritmust találtak, többé-kevésbé

közel állnak az úgynevezett rejtett részsoport problémájához. Ezzel a

feladattal közöskeretbe foglalhatók a Shor által megoldott problémák

diszkrét logaritmus számítása, továbbá egészek multiplikatív rendjének

kiszámításamoduloösszetett számok(ezutóbbi afaktorizáióban szere-

pet játszó eszköz) és még több más érdekes feladat is. Közelebbr®l, a

rejtettrészsoportproblémája akövetkez®. Tegyük fel, hogyegy haté-

kony kiértékel® algoritmus vagy egy orákulum segítségével adott egy,

a

G

^{véges soporton} értelmezett

f

^{függvény, amelyre az teljesül, hogy}

van

G

^{-nek egy olyan}

H

részsoportja (a rejtett részsoport), amelyre az igaz, hogy az

f (x)

^{és az}

f (y)

^{értékek akkor és sak akkor egyenl®k, ha}

xH = yH

(szavakban:

x

^és

y

^a

H

részsoportnak ugyanabba abaloldali

mellékosztályába esik).Afeladata

H

^részsoportmeghatározása,lehet®- legaz ábrázolási méretben (azaz

log | G |

^{-ben)polinomid®ben. Mígkom-}

mutatívsoportokra tényleg létezik polinom idej¶megoldás ld. [26 , 29 ℄,

a nemkommutatív soportok esete jelenleg is intenzíven vizsgált terület

(nemkisrésztazért,mertpéldáulgráfokizomorzmusánakkérdéseisfel-

foghatótermészetesmódonegyrejtettrészsoport-problémaként a szim-

metrikussoportban).Azintenzíver®feszítésekellenéreazösszessoport,

amelyre jelenleg polinom idej¶ kvantum-algoritmus ismert rejtett rész-

soportok megdatálására igen közel áll ahhoz, hogykommutatív legyen.

Ilyensoportok egyviszonylag szélesosztályáramutatunk bemódszert a

kilenedikfejezetben.

•

^Kvantum-számítógéppel polinomid®ben megoldhatóarejtettrész- soport problémája olyan véges, konstans feloldható hosszúságú

soportokban, amelyeknek a kommutátor részsoportja konstans

Megjegyezzük,hogy2003-ban, amikoraz [FIMSS03 ℄dolgozat megjelent,

a fent említett osztály tartalmazta majdnem az összes ismert polinom

idej¶rejtett részsoportkeres®vel rendelkez® soportot.Jelenleg az emlí-

tésreérdemeskivételekbizonyosolyannilpotenssoportok,amelyekneka

kommutátorrészsoportja márkommutatív, ld[1 ,24 , 25 ℄.Az eljárásban

alkalmazottmódszeregy,arejtettrészsoportproblémájánakalkalmasan

megválasztott általánosításán alapuló indukió, ahol az indukiós lépés

voltaképpen az általánosított Reed-Mullerkódok elvén m¶köd® statisz-

tikaidöntés.

Azértekezésutolsó,tizedikfejezeteaz[FIS05 ℄dolgozatbizonyosrészei

alapján készült. Az eredmény a hetedik fejezet algoritmusával hozható

párhuzamba. Ott egy véletlent használó klasszikus algoritmust váltot-

tunk ki hatékony determinisztikussal, itt egy kvantum-algoritmussal vi-

szonylag egyszer¶enmegoldható feladatban keressük azt,hogy hatékony

megoldásáhozmennyiszükségesakvantum-számítógéperejéb®l.Megmu-

tatjuk, hogy a kvantum-algoritmus kiváltható polinom idej¶ klasszikus

randomizáltmódszerrel, feltéve, hogykezünkben van egy soportelemek

rendjének többszörösét kiszámoló eljárás. Teháta kvantum-gép erejéb®l

valójábanvalamivelkevesebbetiseléghasználni,mintShor nevezetes al-

goritmusa.

•

^{Egyvégeshalmazonadottbinárism¶veletitáblárólatáblaméreté-}

nek logaritmusában polinomidej¶ klasszikusrandomizáltmódszer-

rel tesztelhet®, hogy egy adott számot osztó exponens¶ kommu-

tatív soport szorzótáblája-e. A tesztel® algoritmusokkal szemben

szokásosan támasztottkövetelményekszerint az algoritmus mindig

elfogadja a megfelel® soportok szorzótábláit ésnagy valószín¶ség-

gel elutasítja azokat, amelyek"távol" állnakegy megfelel® soport

szorzótáblájától.

A fent alkalmazott távolság egyfajta szerkesztési (az átírás mellett tör-

enyhénszublineárisak voltakatáblázatméretében,tehátezekhezképest

exponeniális gyorsulást sikerült elérni.

Az értekezés alapjául szolgáló publikáiók

[CIK97℄ A. Chistov, G. Ivanyos, M. Karpinski, Polynomial time algo-

rithms for modules over nite dimensional algebras, Pro. 1997 IS-

SAC,6874.

[FIMSS03℄ K.Friedl,G.Ivanyos,F.Magniez,M.Santha,P.Sen,Hidden

translationandorbit osetinquantumomputing, Pro. 35th ACM

STOC, 19,2003.

[FIS05℄ K.Friedl,G.Ivanyos,M.Santha,Eienttestingofgroups,Pro.

37th ACM STOC,157166, 2005.

[I99℄ G. Ivanyos, Finding the radial of matrix algebras using Fitting

deompositions,Journal ofPureand Applied Algebra 139,159-182,

1999.

[I00℄ G.Ivanyos,Fastrandomizedalgorithms forthe strutureof matrix

algebrasovernite elds,Pro. 2000 ISSAC,175183.

[I01℄ G.Ivanyos, Deidingnitenessformatrix semigroupsoverfuntion

eldsovernite elds,IsraelJournal of Mathematis124, 185188,

2001.

[I07℄ G. Ivanyos, Deidinguniversalityof quantumgates,Journal of Al-

gebra 310, 4956, 2007.

[I07pre℄ G. Ivanyos, On solving random systems of linear disequations,

Submitted. Preprint: arXiv:0704.2988 [quant-ph℄, 2007.

[IL00℄ G.Ivanyos,K.Lux,TreatingtheexeptionalasesoftheMeatAxe,

Experimental Mathematis 9, 373381, 2000.

[1℄ D.Baon, A.Childs,and W.vanDam.From optimalmeasurement

to eient quantum algorithms for the hidden subgroup problem

over semidiret produt groups. Pro. 46th IEEE FOCS, 469478,

2005.

[2℄ J. J. Cannon, W. Bosma (Eds.) Handbook of Magma Funtions,

Edition 2.13, 2006, (http://magma.maths.usyd.edu.au/magma).

[3℄ A.M. Cohen,G. Ivanyos, D.B.Wales,Findingtheradialof anal-

gebraoflineartransformations,JournalofPureandAppliedAlgebra

117118, 177193 1997.

[4℄ H.Derksen,E.Jeandel,P.Koiran,Quantumautomataandalgebrai

groups, J.Symb. Comp. 39, 357371,2005.

[5℄ L. E. Dikson, Algebras and Their Arithmetis, The University of

ChiagoPress, Chiago, 1923.

[6℄ M. Domokos,Relative invariantsof

3 × 3

^{matrixtriples,Linear and}

Multilinear Algebra 47,175190, 2000.

[7℄ W.M. Eberly,Computationsfor Algebrasand GroupRepresentati-

ons,PhD. thesis,Dept. ofComputerSiene, UniversityofToronto,

1989.

[8℄ W.M.Eberly,Deompositionofalgebrasoverniteeldsandnum-

berelds, Computational Complexity1, 179206, 1991.

[9℄ W. M. Eberly,M. W. Giesbreht,Eient deomposition ofassoi-

ative algebrasovernite elds,J.Symb. Comp. 37,3581, 2004.

[10℄ J. Edmonds, System of distint representatives and linear algebra,

Journal of Researhof the National Bureau of Standards 718, 241

245, 1967.

sis 21,467488, 1982.

[12℄ K. Friedl, L.Rónyai, Polynomial timesolution of some problemsin

omputational algebra,Pro. 17th ACM STOC,153162, 1985.

[13℄ The GAP Group, GAP Groups, Algorithms, and Programming,

Version 4.4.9, 2006 (http://www.gap-system.org)

[14℄ M.Gisbreht,Y.Zhang,Fatoringanddeomposingorepolynomials

over

F q (t)

^{,Pro. 2003 ISSAC,127-134, 2003.}

[15℄ W. A. de Graaf, Using Cartan subalgebras to alulate nilradials

and Levi subalgebras of Lie algebras, J. Pure and Applied Algebra

139, 2539, 1999.

[16℄ W. A. de Graaf, G. Ivanyos, Finding maximal tori and splitting

elementsinmatrixalgebras, In:F.van Oysteayen,M.Saorin(eds),

Interation between Ring Theory and Representations of Algebras,

LetureNotesinPureandApplied Mathematis210,MarelDekker,

95105, 2000.

[17℄ W. A. de Graaf, G. Ivanyos, L. Rónyai, Computing Cartan subal-

gebras of Lie algebras, Appliable Algebra in Engineering, Commu-

niation andComputing 7, 7190, 1996.

[18℄ L.Grover,Afastquatummehanialalgorithmsfordatebasesearh,

Pro. 28th ACM STOC, 212219, 1996.

[19℄ R.M. Guralnik,P.H.Tiep,Deompositionsofsmalltensor powers

and Larsen'sonjeture, Represent. Theory 9, 138208, 2005.

[20℄ C. Hollanti, J. Lahtonen, K. Ranto, R. Vehkalahti, On the den-

sest MIMO latties from yli division algebras, Prepint ar-

Xiv:s/0703052v1[s.IT℄, 2007.

Math. So. Ser. A 57, 116, 1994.

[22℄ G.Ivanyos, L.Rónyai,Findingmaximalorders insemisimplealgeb-

rasover

Q

^,Computational Complexity 3, 245261, 1993.

[23℄ G. Ivanyos, L. Rónyai, Á. Szántó, Deomposition of algebras over

F _q (X 1 , . . . , X _m )

^{,AppliableAlgebrain}Engineering,Communiation andComputing 5, 7190, 1994.

[24℄ G. Ivanyos, L. Sanselme, M. Santha, An eient quantum algo-

rithmforthehiddensubgroupprobleminextraspeialgroups,Pro.

STACS 2007, Springer LNCSVol. 4393, 586597, 2007.

[25℄ G. Ivanyos, L. Sanselme, M. Santha, An eient quantum algo-

rithmfor thehidden subgroup probleminnil-2groups Preprint ar-

Xiv:0707.1260 [quant-ph℄, 2007.

[26℄ A.Kitaev.QuantummeasurementsandtheAbelianStabilizerProb-

lem.Tehnial reportarXiv:/quant-ph/9511026, 1995.

[27℄ D.Lazard,Résolutiondessystèmesd'équationsalgébriques,Theoret.

Comput. Si. 15,77110, 1981

[28℄ L.Lovász, Singularspaes ofmatriesandtheir appliation inom-

binatoris,BulletinoftheBrazilianMathematialSoiety20,8799,

1989.

[29℄ M.Mosa,QuantumComputerAlgorithms,PhD Thesis,University

of Oxford, 1999.

[30℄ R. A. Parker, Theomputer alulation ofmodularharaters (the

Meat-Axe).In: ComputationalGroupTheory,AademiPress,267

274, 1984.

[31℄ L. Rónyai, Computing the struture of nite algebras, J. Symboli

gebras overQ,Computational Complexity 2,(1992a),225243.

[33℄ P. Shor. Algorithms for quantum omputation: disrete logarithms

and fatoring.Pro. 25th IEEE FOCS, 124134,1994.

[34℄ P.Shor,Polynomial-timealgorithmsforprimefatorizationanddis-

retelogarithmsonaquantumomputer,SIAMJ.onComputing26,

14841509, 1997.