A statisztikus fizika matematikai módszerei

TÓTH BÁLINT

A STATISZTIKUS

FIZIKA MATEMATIKAI MÓDSZEREI

2011

Szakmai vezető Ismertető

Lektor Tartalomjegyzék

Technikai szerkesztő Pályázati támogatás

Copyright Gondozó

Ez a jegyzet egy PhD matematikus- és fizikushallgatóknak szóló speciálelőadás anyagát tartalmazza. Feltételezett előismeretek: bevezető analízis és valószínűségszámítás, vala- mint a statisztikus fizika alapjainak ismerete. A jegyzet az alábbi témaköröket öleli át:

A statisztikus fizika tárgya, A Curie–Weiss-modell, Ising-modell Z^d-n; Termodinamikai limesz, Analitikusság, Fázisátmenet az Ising-modellben, A klasszikus Heisenberg modell, A kvantum Heisenberg modell.

Kulcsszavak: Curie–Weiss-modell, Ising-modell Z^d-n; termodinamikai limesz, analiti- kusság, fázisátmenet az Ising-modellben, klasszikus Heisenberg modell, kvantum Heisenberg modell.

(matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban” című projekt keretében.

Készült:

a BME TTK Matematika Intézet gondozásában

Szakmai felelős vezető:

Ferenczi Miklós

Lektorálta:

Krámli János

Az elektronikus kiadást előkészítette:

Vető Bálint

Címlap grafikai terve:

Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN: 978-963-279-459-4

Copyright: 2011–2016, Tóth Bálint, BME

„A terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.”

1. Valószínűségszámítási bemelegítés 4

1.1. Nagy Számok Gyenge Törvénye . . . 4

1.2. A karakterisztikus függvény . . . 5

1.3. Centrális Határeloszlás Tétel . . . 7

1.4. Nagy Eltérés Tétel . . . 8

1.5. Konvex konjugálás/Legendre-transzformáció . . . 9

2. A statisztikus fizika tárgya 14 2.1. A statisztikus fizika tárgya . . . 14

2.2. A kanonikus eloszlás . . . 15

2.3. Az Ising-modell . . . 19

2.4. A nyomás / szabadenergia . . . 20

3. A Curie – Weiss-modell 23 3.1. A modell; termodinamikai limesz és termodinamikai függvények 23 3.2. A termodinamikai függvények meghatározása. . . 25

3.3. Kritikus exponensek . . . 26

3.4. Mindezek valószínűségszámítási háttere . . . 27

4. Ising-modell ℤ^𝑑-n; termodinamikai limesz 32 4.1. Egydimenziós Ising-modell . . . 32

4.2. Ising-modell ℤ^𝑑-n . . . 33

4.3. Kicsit általánosabban . . . 36

4.4. A nyomás konvexitása . . . 37

5. Analitikusság I 38 5.1. Az Ising-rácsgáz . . . 38

5.2. Korrelációs függvények . . . 39

TARTALOMJEGYZÉK 3

5.3. Számolás. . . 40

5.4. Möbius inverziós formula . . . 41

5.5. Számolás folytatása . . . 42

6. Analitikusság II: Lee és Yang tétele 48 6.1. Egy kis komplex függvénytan . . . 48

6.2. Alkalmazás az Ising-modellre. . . 49

6.3. Lee és Yang körtétele . . . 51

6.4. Konklúzió . . . 52

7. Fázisátmenet az Ising-modellben 53 7.1. A fázisátmenet Peierls-féle bizonyítása . . . 53

7.2. Korrelációs egyenlőtlenségek . . . 57

7.3. A GKS egyenlőtlenségek néhány alkalmazása . . . 60

8. A klasszikus Heisenberg-modell 62 8.1. Folytonos szimmetriájú modellek . . . 62

8.2. A hosszú távú rend paraméter . . . 63

8.3. Eredmények . . . 64

8.4. Fourier-transzformáció a diszkrét tóruszon, jelölések, konvenciók 64 8.5. A Fröhlich – Simon – Spencer bizonyítás főbb stációi . . . 66

8.6. Az infravörös korlát bizonyítása . . . 68

8.7. Néhány megjegyzés és tanulság . . . 72

9. A kvantum Heisenberg-modell 74 9.1. Kvantum statisztikus fizikai formalizmus . . . 74

9.2. 𝑆𝑈(2) reprezentációi . . . 74

9.3. A kvantum Heisenberg-modell . . . 76

9.4. Belső szimmetriák . . . 77

9.5. Eredmények . . . 80

9.6. Kvantum korrelációs egyenlőtlenségek I. . . 82

9.7. Mermin – Wagner-tétel bizonyítása. . . 85

Valószínűségszámítási bemelegítés

Független azonos eloszlású (i.i.d. = independent identically distributed) va- lószínűségi változókra vonatkozó határeloszlás-tételekkel fogunk foglalkozni.

Célunk: (1) a valószínűségszámítási fogalmak és tények felfrissítése; (2) ké- sőbb belátni, hogy a statisztikus fizika érdekes jelenségei (pl. fázisátalakulá- sok) éppen e „sima” valószínűségszámítási tényektől valólényeges eltérésekben nyilvánulnak meg.

Legyenek

𝜉₁, 𝜉₂, 𝜉₃, . . .

i.i.d. valószínűségi változók, melyeknek (egyszerűség kedvéért) minden mo- mentuma véges. Nyugodtan feltehetjük, hogy

E(𝜉) = 0

(egyébként tekintsük a𝜉˜_𝑖 =𝜉_𝑖−E(𝜉)valószínűségi változókat). Jelöljük 𝜎² :=E(

𝜉²)

<∞

Érdekel: 𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛 aszimptotikus eloszlása, minél pontosabban.

1.1. Nagy Számok Gyenge Törvénye

1. Tétel (NSZT).

P

(∣𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛∣ 𝑛 > 𝛿

)

→0 amint 𝑛 → ∞.

1. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI BEMELEGÍTÉS 5

NSZT bizonyítása

2. Lemma (Markov-egyenlőtlenség). Legyen 𝑋 nem-negatív valószínűségi változó és 𝛿 >0. Ekkor

P(𝑋 > 𝛿)≤ E(𝑋)

𝛿 . (1.1)

Markov-egyenlőtlenség bizonyítása:

E(𝑋)≥E(

𝑋11{𝑋>𝛿}

)≥𝛿P(𝑋 > 𝛿).

Alkalmazzuk az (1.1) Markov-egyenlőtlenséget:

P(∣𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛∣> 𝑛𝛿)≤ E((𝜉₁+𝜉₂ +⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛)²) 𝑛²𝛿² = 𝜎²

𝑛𝛿² →0.

1.2. A karakterisztikus függvény

Legyen 𝑋 tetszőleges valószínűségi változó. Karakterisztikus függvénye a következő:

𝑔 :ℝ→ℂ, 𝑔(𝑢) := E(exp{𝑖𝑢𝑋}).

Azaz𝑔(⋅) az𝑋 valószínűségi változó eloszlásfüggvényének a Fourier-Stieltjes transzformáltja.

A karakterisztikus függvény néhány alaptulajdonsága:

∙ Korlátos:

𝑔(0) = 1 és ∀𝑢∈ℝ: ∣𝑔(𝑢)∣ ≤1.

∙ Pozitív definit:

∀𝑢₁, 𝑢₂, . . . , 𝑢_𝑘 ∈ℝ, ∀𝑧₁, 𝑧₂, . . . , 𝑧_𝑘∈ℂ:

𝑘

∑

𝑖,𝑗=1

𝑔(𝑢_𝑖−𝑢_𝑗)𝑧_𝑖𝑧¯_𝑗 ≥0.

(1.2)

∙ Egyenletesen folytonos:

∀𝜀 >0 ∃𝛿 >0 : ∣𝑢−𝑣∣< 𝛿 ⇒ ∣𝑔(𝑢)−𝑔(𝑣)∣< 𝜀.

∙ Momentumok és a karakterisztikus függvény deriváltjai: Ha E(

𝑋^𝑘

)<∞,

akkor a𝑔 karakterisztikus függvény𝑛-szer folytonosan differenciálható és

𝑔^(𝑘)(0) =𝑖^𝑘E( 𝑋^𝑘)

, 𝑘 = 0,1,2, . . . , 𝑛.

Egyszerű bizonyítások és tovabbi fontos tulajdonságok: [26]. (De ki-ki maga is megpróbálhatja.)

Kérdés: Mely ℝ ∋ 𝑢 7→ 𝑔(𝑢) ∈ ℂ függvények lehetnek karakterisztikus függvények?

3. Tétel(Bochner-tétel). Aℝ∋𝑢7→𝑔(𝑢)∈ℂfüggvény pontosan akkor ka- rakterisztikus függvénye egy valószínűségi eloszlásfüggvénynek, ha 𝑔(0) = 1, 𝑢= 0-ban folytonos, és pozitív definit az (1.2) értelemben.

Néhány nevezetes eloszlás és karakterisztikus függvényeik:

– 𝐵𝐸𝑅(𝑝), Bernoulli-eloszlás. Paraméterei: 𝑝, 𝑞 ∈[0,1],𝑝+𝑞= 1.

P(𝑋 = 1) =𝑝, P(𝑋 = 0) =𝑞; 𝑔(𝑢) = 𝑞+𝑝𝑒^𝑖𝑢, vagy

P(𝑋 = 1) =𝑝, P(𝑋 =−1) =𝑞; 𝑔(𝑢) = cos𝑢+𝑖(𝑝−𝑞) sin𝑢.

– 𝐵𝐼𝑁(𝑛, 𝑝), binomiális eloszlás. Paraméterei: 𝑝, 𝑞 ∈[0,1],𝑝+𝑞= 1,𝑛 ∈ℕ. P(𝑋 =𝑘) =

(𝑛 𝑘

)

𝑝^𝑘𝑞^𝑛−𝑘, 𝑘 = 0,1, . . . , 𝑛; 𝑔(𝑢) =(

𝑞+𝑝𝑒^𝑖𝑢)𝑛

.

– 𝑃 𝑂𝐼(𝜇), Poisson-eloszlás. Paraméterei: 𝜇≥0.

P(𝑋 =𝑘) = 𝑒^−𝜇𝜇^𝑘

𝑘!, 𝑘0,1, . . .; 𝑔(𝑢) = exp{𝜇(

𝑒^𝑖𝑢−1) }.

– 𝑈 𝑁 𝐼(𝑎, 𝑏), egyenletes eloszlás. Paraméterei −∞< 𝑎 < 𝑏 <∞.

P(𝑋 < 𝑥) = 𝑥−𝑎

𝑏−𝑎, 𝑎 ≤𝑥≤𝑏; 𝑔(𝑢) = 𝑒^𝑖𝑢𝑏−𝑒^𝑖𝑢𝑎 𝑖𝑢(𝑏−𝑎).

1. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI BEMELEGÍTÉS 7 – 𝐸𝑋𝑃(𝜆), exponenciális eloszlás. Paraméterei: 𝜆 >0.

P(𝑋 < 𝑥) = 1−𝑒^−𝜆𝑥, 0≤𝑥 <∞; 𝑔(𝑢) = 𝜆 𝜆−𝑖𝑢. – 𝐺𝐴𝑈(𝑚, 𝜎²), Gauss vagy normális eloszlás. Paraméterei 𝑚∈ℝ, 𝜎 >0.

P(𝑋 < 𝑥) = 1

√2𝜋𝜎

∫ 𝑥

−∞

𝑒^{−(𝑦−𝑚)22𝜎2} 𝑑𝑦; 𝑔(𝑢) = exp{𝑖𝑚𝑢− 𝜎²𝑢² 2 } 1. Házi feladat. Ellenőrizzük a fenti karakterisztikus függvények formuláit!

1.3. Centrális Határeloszlás Tétel

4. Tétel (CHT).

P

(𝜉₁ +𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

√𝑛 < 𝑥 )

→ 1

√2𝜋𝜎

∫ 𝑥

−∞

𝑒^−𝑦

2 2𝜎2𝑑𝑦.

CHT bizonyítása: Karakterisztikus függvények módszerével. Felhasználjuk a karakterisztikus függvényekre vonatkozó következő (igen fontos) tételt:

5. Tétel (Határeloszlás-tétel karakterisztikus függvények módszerével). Le- gyenek 𝑋_𝑛, 𝑛 = 1,2, . . . és 𝑋 valószínűségi változók. Eloszlásfüggvényeik

𝐹_𝑛(𝑥) :=P(𝑋_𝑛 < 𝑥), 𝐹(𝑥) := P(𝑋 < 𝑥) és karakterisztikus függvényeik

𝑔𝑛(𝑢) :=E(exp{𝑖𝑢𝑋𝑛}), 𝑔(𝑢) := E(exp{𝑖𝑢𝑋}). A következő két állítás ekvivalens:

(1) Az 𝐹(⋅) eloszlásfüggvény folytonossági pontjaiban, 𝑥-ben pontonként 𝐹_𝑛(𝑥)→𝐹(𝑥).

(2) 𝑢-ban pontonként

𝑔_𝑛(𝑢)→𝑔(𝑢).

Bizonyítás. Pl. [26].

Alkalmazzuk a fenti tételt

𝑋_𝑛 := 𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

√𝑛 valószínűségi változókra. Ekkor

𝑔𝑛(𝑢) = E (

exp{𝑖𝑢𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

√𝑛 }

)

=( E(

exp{𝑖𝑢𝜉₁/√ 𝑛}))𝑛

= (1−𝑢²𝜎²/(2𝑛) +𝑜(1/𝑛))^𝑛

→𝑒^{−𝑢2𝜎2/2}.

1.4. Nagy Eltérés Tétel

Legyen𝜉 nem elfajult val. változó és

𝐹(𝑥) =P(𝜉 < 𝑥)

az eloszlásfüggvénye. Értelmezzük a következő függvényeket:

𝑍 :ℝ→(0,∞], 𝑍(𝜆) :=E( 𝑒^𝜆𝜉)

, 𝐼ˆ:ℝ→(∞,∞], 𝐼(𝜆) := lnˆ 𝑍(𝜆) Legyenek

𝜆:= inf{𝜆∈ℝ:𝑍(𝜆)<∞}, ¯𝜆:= sup{𝜆∈ℝ:𝑍(𝜆)<∞}.

Feltesszük, hogy

𝜆 <0<¯𝜆.

Ez a feltevés a 𝜉 valószínűségi változó momentumai növekedési sebességét korlátozza.

1. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI BEMELEGÍTÉS 9 6. Állítás (𝐼(⋅)ˆ függvény tulajdonságai). : Az 𝐼ˆ: (𝜆,𝜆)¯ →(−∞,∞) függ- vény

(1) végtelenszer differenciálható és (2) szigorúan konvex.

Az Állítás bizonyítása: (1) Differenciálhatóság: ha𝜆 < 𝜆 <𝜆, akkor minden¯ 𝑛∈ℕ-re

𝑍^(𝑛)(𝜆) =E( 𝜉^𝑛𝑒^𝜆𝜉)

<∞ amiből 𝐼(⋅)ˆ differenciálhatósága is egyenesen adódik.

(2) Konvexitás:

𝐼ˆ^′(𝜆) = E( 𝜉𝑒^𝜆𝜉) E(𝑒^𝜆𝜉) =

∫∞

−∞𝑦𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦)

∫∞

−∞𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦) =E( 𝜉^(𝜆)) 𝐼ˆ^′′(𝜆) = E(

𝜉²𝑒^𝜆𝜉) E(𝑒^𝜆𝜉) −

(E( 𝜉𝑒^𝜆𝜉) E(𝑒^𝜆𝜉)

)2

=

∫∞

−∞𝑦²𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦)

∫∞

−∞𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦) − ( ∫∞

−∞𝑦𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦)

∫∞

−∞𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦) )2

=Var( 𝜉^(𝜆))

>0, ahol 𝜉^(𝜆)

P(

𝜉^(𝜆) < 𝑥)

=𝐹_𝜆(𝑥) :=

∫𝑥

−∞𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦)

∫∞

−∞𝑒^𝜆𝑦𝑑𝐹(𝑦) eloszlásfüggvényű valószínűségi változó.

1.5. Konvex konjugálás/Legendre-transzformáció

Legyen 𝐼 :ℝ→[0,∞] a következő képpen értelmezve:

𝐼(𝑥) := sup

𝜆∈ℝ

(𝜆𝑥−𝐼(𝜆)ˆ )

. (1.3)

Mivel

𝜆→−∞lim

𝐼ˆ^′(𝜆) = inf{𝑥∈supp(𝐹)}=:𝑥, (1.4)

𝜆→∞lim

𝐼ˆ^′(𝜆) = sup{𝑥∈supp(𝐹)}=: ¯𝑥, (1.5)

ha𝑥∈(𝑥,𝑥), akkor a¯

𝐼ˆ^′(𝜆) = 𝑥 (1.6)

egyenletnek létezik egyetlen 𝜆^∗(𝑥)∈(𝜆,𝜆)¯ megoldása és

𝐼(𝑥) = 𝑥𝜆^∗(𝑥)−𝐼(𝜆ˆ ^∗(𝑥)) (1.7) 7. Állítás (𝐼(⋅) függvény tulajdonságai:). Az 𝐼 : (𝑥,𝑥)¯ →(0,∞) függvény (1) végtelenszer differenciálható,

(2) szigorúan konvex, (3)

𝐼(E(𝜉)) = 0, (1.8)

(és természetesen 𝐼(𝑥)>0 minden 𝑥∕=E(𝜉)-re).

(4) 𝐼(⋅) alulról félig folytonos, következésképp:

𝐼(𝑥) = lim

𝜀→0𝐼(𝑥+𝜀), 𝐼(¯𝑥) = lim

𝜀→0𝐼(¯𝑥−𝜀), (5)

𝑥∕∈[𝑥,𝑥]¯ −re: 𝐼(𝑥) = ∞.

Állítás bizonyítása: (1) Differenciálhatóság: 𝐼(⋅) differenciálhatósága egye- nesen következik 𝐼(⋅)ˆ differenciálhatóságából.

(2) Konvexitás: (3.4)–(1.7)-ből 𝐼^′(𝑥) =𝜆^∗(𝑥) +(

𝑥−𝐼ˆ^′(𝜆^∗(𝑥)))

𝜆^∗′(𝑥) = 𝜆^∗(𝑥).

Még egy differenciálás után, (3.4)-et újból felhasználva, 𝐼^′′(𝑥) = 𝜆^∗′(𝑥) = (

𝐼ˆ^′′(𝜆^∗(𝑥)))⁻¹

>0.

(3) Világos, hogy

𝜆^∗(E(𝜉)) = 0 amiből, (1.7) útján (1.8) adódik.

1. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI BEMELEGÍTÉS 11 (4) Az alulról félig folytonosság abból következik, hogy 𝐼(⋅) folytonos függ-

vények családjának szuprémuma (def. alapján).

(5) A (1.3), (1.4) és (1.5)-ből következik.

8. Tétel (NET, H. Cramér). Legyenek 𝜉_𝑗 i.i.d. valószínűségi változók, 𝐹(⋅) eloszlásfüggvénynyel és (𝑎, 𝑏) valós intervallum. Ekkor

−1 𝑛 lnP

(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

→ inf

𝑎<𝑥<𝑏𝐼(𝑥).

1. Megjegyzés. Kevésbé precíz, de szemléletesebb megfogalmazásban:

P

(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

𝑛 ≈𝑥

)

= exp{−𝑛𝐼(𝑥) +𝑜(𝑛)}. (1.9) Cramér-tétel bizonyítása: Feltehetjük, hogy

𝑚 :=E(𝜉)< 𝑎 < 𝑏.

(1) Felső becslés: Legyen 𝜆 >0 P

(𝜉1+𝜉2+⋅ ⋅ ⋅+𝜉𝑛

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

≤P

(𝜉1 +𝜉2+⋅ ⋅ ⋅+𝜉𝑛

𝑛 > 𝑎 )

< 𝑒^{−𝜆𝑎𝑛}E( 𝑒^𝜆𝜉)𝑛

= exp{−𝑛(𝜆𝑎−𝐼(𝜆))}.ˆ

Markov-egyenlőtlenséget használtuk az exp{𝜆(𝜉₁ +𝜉₂ +⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛)} való- színűségi változóra, majd a 𝐼ˆfüggvény értelmezését.

A fenti egyenlőtlenség minden𝜆 >0-ra igaz, következésképpen P

(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

≤exp{−𝑛sup

𝜆>0

(𝜆𝑎−𝐼(𝜆))}.ˆ Mivel 𝑎 > 𝑚 esetén 𝜆^∗(𝑎)>0, azt kapjuk, hogy

sup

0<𝜆<∞

(𝜆𝑎−𝐼ˆ(𝜆)) = sup

−∞<𝜆<∞

(𝜆𝑎−𝐼(𝜆)) =ˆ 𝐼(𝑎), és végül

P

(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

≤exp{−𝑛𝐼(𝑎)}.

(2) Alsó becslés: Legyen𝑦∈(𝑎, 𝑏)∩(𝑥,𝑥),¯ (𝑦−𝜀, 𝑦+𝜀)⊂(𝑎, 𝑏)és𝜆^∗ :=𝜆^∗(𝑦).

Legyenek 𝜉₁^∗, 𝜉₂^∗, . . .

P(𝜉^∗ < 𝑥) =𝐹^∗(𝑥) :=

∫𝑥

−∞𝑒^𝜆∗𝑧𝑑𝐹(𝑧)

∫∞

−∞𝑒^𝜆∗𝑧𝑑𝐹(𝑧)

eloszlású i.i.d valószínűségi változók. Ha 𝐹_𝑛-el, illetve 𝐹_𝑛^∗-el jelöljük a 𝜉₁+𝜉₂ +⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛, illetve 𝜉₁^∗+𝜉₂^∗+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛^∗ valószínűségi változók elosz- lásfüggvényeit,

𝐹_𝑛(𝑥) : =P(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛< 𝑥), 𝐹_𝑛^∗(𝑥) : =P(𝜉₁^∗+𝜉₂^∗+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛^∗ < 𝑥), akkor

𝑑𝐹_𝑛^∗(𝑥) = 𝑍(𝜆^∗)^−𝑛𝑒^𝜆∗𝑥𝑑𝐹𝑛(𝑥), 𝑑𝐹𝑛(𝑥) = 𝑍(𝜆^∗)^𝑛𝑒^{−𝜆∗𝑥}𝑑𝐹_𝑛^∗(𝑥).

Ezt használva a következő egyenlőtlenségsorozatot kapjuk:

P

(𝜉1+𝜉2+⋅ ⋅ ⋅+𝜉𝑛

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

≥P

(𝜉1+𝜉2+⋅ ⋅ ⋅+𝜉𝑛

𝑛 ∈(𝑦−𝜀, 𝑦+𝜀) )

=

∫ 𝑛(𝑦+𝜀) 𝑛(𝑦−𝜀)

𝑑𝐹_𝑛(𝑧)

=𝑍(𝜆^∗)^𝑛

∫ 𝑛(𝑦+𝜀) 𝑛(𝑦−𝜀)

𝑒^{−𝜆∗𝑧}𝑑𝐹_𝑛^∗(𝑧)

≥(

𝑍(𝜆^∗)𝑒^{−𝜆∗(𝑦+𝜀)})^𝑛

∫ 𝑛(𝑦+𝜀) 𝑛(𝑦−𝜀)

𝑑𝐹_𝑛^∗(𝑧)

=𝑒{−𝑛(𝐼(𝑦)+𝜀𝜆^∗)}

P

(𝜉₁^∗+𝜉^∗₂ +⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛^∗

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

. Mivel, a NSzT alapján

P

(𝜉₁^∗+𝜉^∗₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛^∗

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

→1, következik, hogy

lim inf

𝑛→∞

1 𝑛lnP

(𝜉^∗₁+𝜉₂^∗+⋅ ⋅ ⋅+𝜉^∗_𝑛

𝑛 ∈(𝑎, 𝑏) )

≥ − inf

𝑎<𝑦<𝑏𝐼(𝑦).

1. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI BEMELEGÍTÉS 13

2. Házi feladat. Számoljuk ki az𝐼(𝜆)ˆ és𝐼(𝑥)függvényeket a𝐺𝐴𝑈(𝑚, 𝜎²), 𝐸𝑋𝑃(𝜇), 𝐵𝐸𝑅(𝑝), 𝐵𝐼𝑁(𝑛, 𝑝), 𝐺𝐸𝑂𝑀(𝑝) és 𝑃 𝑂𝐼(𝜆) eloszlásokra.

3. Házi feladat. Ugyanezen eloszlásokra „bizonyítsunk naivul”, azaz (1.9) alapján és a

𝑛! =𝑒^−𝑛𝑛^𝑛√

2𝜋𝑛 (1 +𝑜(1)) Stirling-formula segítségével nagy eltérés becslést.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [26], [3], [6], [18], [1], [31], [30].

A statisztikus fizika tárgya;

kanonikus eloszlás; Ising-modell

2.1. A statisztikus fizika tárgya

Sok azonos, egymással kölcsönható kis (elemi, atomi, . . . ) komponensből felépülő nagy rendszer globális viselkedésének leírása.

∙ Sok:

1. limeszben végtelen sok: termodinamikai limesz, vagy 2. eleve végtelen: végtelen rendszerek Gibbs-állapotai.

Mi az első megközelítést fogjuk tekinteni.

∙ Globális viselkedés: Néhány, ún. intenzív paraméterrel jellemezhető (pl.

hőmérséklet, nyomás, kémiai potenciál). További releváns mérhető mennyiségek: (extenzív) átlagok (pl. sűrűség, mágnesezettség).

∙ Egyensúly: Időtől független, statikus jellemzők.

∙ Nemegyensúly: Időbeli fejlődés, időfüggő jelenségek.

Már az egyensúly definíciója is gond. Kielégítő, de matematikailag szinte kezelhetetlen:

tetszőleges nemegyensúly dinamika

𝑡→ ∞ egyensúly.

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 15

2.2. A kanonikus eloszlás

∙ Álapottér:

Ω :={a rendszer lehetséges állapotainak halmaza}.

Egyelőre véges, később lesz lokálisan kompakt, metrikus is. Természetes Borel 𝜎-algebrával.

∙ Hamilton-függvény:

𝐻 : Ω−→ℝ 𝐻(𝜔)az 𝜔 állapot energiája.

∙ Kanonikus/Gibbs-eloszlás: 𝑑𝜇(𝜔) = 1

𝑍(𝛽)exp{−𝛽𝐻(𝜔)}𝑑𝜈(𝜔). (2.1) Ahol:

∘ 𝜈: a priori szabad mérték az állapottéren (természetes – pl. szim- metria – megfontolások alapján választjuk meg),

∘ 𝛽 = 1/𝑇 >0: inverz hőmérséklet,

∘ exp{−𝛽𝐻(𝜔)}: Boltzmann- (vagy Gibbs)-faktor, az𝜔 állapot re- latív súlya,

∘ 𝑍(𝛽): állapotösszeg, stat-szumma, partíciós függvény – szerepe:

normáló tényező, hogy a 𝜇valószínűségi mérték legyen.

∙ Egyensúlyi statisztikus fizika: fizikailag releváns változók (i.e. 𝑓 : Ω→ ℝ függvények) 𝜇 szerinti eloszlását, statisztikai tulajdonságait vizsgál- juk.

Indoklás: Tekintsünk egy véges rendszert Ω ={1,2, . . . , 𝑛}

állapottérrel és 𝜈 a priori eloszlással (pl. egyenletes). Továbbá, 𝑁 azonos előbbiből álló szuper-rendszert, aminek állapottere

Ω^𝑁 :={𝜔= (𝜔₁, 𝜔₂, . . . , 𝜔_𝑁)∣𝜔_𝑘 ∈Ω, 𝑘 = 1,2, . . . , 𝑁}.

Egyszerűség kedvéért egyelőre hanyagoljuk el a komponens rendszerek köl- csönhatási energiáját. Ekkor a szuper-rendszer teljes energiája

𝐻_𝑁(𝜔) = 𝐻(𝜔₁) +𝐻(𝜔₂) +⋅ ⋅ ⋅+𝐻(𝜔_𝑁).

Legyen a szuper-rendszer (komponensenkénti átlag) energiája adott:

1

𝑁𝐻_𝑁(𝜔)∈(𝜖, 𝜖+𝑑𝜖)

Kérdés: e feltétel mellett mi az𝜔₁ (vagy bármely 𝜔_𝑘) eloszlása?

Válasz: pontosan a (2.1)-beli 𝜇, azzal a 𝛽-val, amely mellett

⟨𝐻⟩= 1 𝑍(𝛽)

∫

Ω

𝐻(𝜔)𝑒^{−𝛽𝐻(𝜔)}𝑑𝜈(𝜔) =𝜖.

A valószínűségszámítási probléma: Legyenek𝜉1, 𝜉2, . . . i.i.d. valószínűségi változók 𝐹(𝑥) =P(𝜉 < 𝑥)közös eloszlásfüggvénnyel.

9. Állítás (Nagy eltérés következménye).

𝜀→0lim lim

𝑁→∞P (

𝜉1 ∈(𝑎, 𝑏)

𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 ∈(𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀) )

= 1

𝑍(𝛽)

∫ 𝑏 𝑎

𝑒^−𝛽𝑦𝑑𝐹(𝑦), ahol 𝛽 =𝛽^∗(𝑥) az

∫ ∞

−∞

𝑒^−𝛽𝑦𝑦𝑑𝐹(𝑦) =𝑥

egyenlet egyetlen megoldása. (Fizikus jelölés: −𝛽 az előző fejezet 𝜆-ja.) Bizonyítás helyett formális számolás: Legyen 𝜉 diszkrét

P(𝜉=𝐸_𝑘) = 𝑝_𝑘, ∑

𝑘

𝑝_𝑘 = 1 eloszlású. Ekkor

P (

𝜉₁ =𝐸_𝑘

𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 ∈(𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀) )

=

P(𝜉1 =𝐸𝑘)P

(𝜉2+𝜉3+⋅⋅⋅+𝜉_𝑁

𝑁−1 ∈(^{𝑁(𝑥−𝜀)−𝐸}_𝑁−1 ^𝑘,^{𝑁(𝑥+𝜀)−𝐸}_𝑁−1 ^𝑘) )

P(_𝜉1+𝜉2+⋅⋅⋅+𝜉_𝑁

𝑁 ∈(𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀))

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 17

Cramér tételét alkalmazva:

P

(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 ∈(𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀) )

≈exp{−𝑁 𝐼(𝑥) +𝑜(𝑁)}

P

(𝜉₂+𝜉₃+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 −1 ∈(𝑁(𝑥−𝜀)−𝐸_𝑘

𝑁 −1 ,𝑁(𝑥+ +𝜀)−𝐸_𝑘

𝑁 −1 )

)

≈exp{−(𝑁 −1)𝐼(𝑥+𝑥−𝐸_𝑘

𝑁 ) +𝑜(𝑁)}

azaz P

(

𝜉₁ =𝐸_𝑘

𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 ∈(𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀) )

≈𝑝_𝑘exp{(𝑁 𝐼(𝑥)−(𝑁−1)𝐼(𝑥+ (𝑥−𝐸_𝑘)/𝑁))−(𝑜(𝑁)−𝑜(𝑁))}

=𝑝𝑘exp{𝐼(𝑥)−𝐼^′(𝑥)(𝑥−𝐸𝑘) +𝑜(1)}

→exp{𝐼(𝑥)−𝑥𝐼^′(𝑥)}exp{𝐼^′(𝑥)𝐸_𝑘}𝑝_𝑘. Az utolsó lépésben a

𝑜(𝑁)−𝑜(𝑁) =𝑜(1)

becslés a Cramér-tétel bizonyításánál finomabb érvelésből következik. E rész- leteket mellőzzük. A fenti kifejezésekben

𝐼^′(𝑥) = 𝜆^∗(𝑥) +(

𝑥−𝐼ˆ^′(𝜆^∗(𝑥)))

𝜆^∗′(𝑥) = 𝜆^∗(𝑥),=−𝛽 𝐼(𝑥)−𝑥𝐼^′(𝑥) =𝐼(𝑥)−𝑥𝜆^∗(𝑥) = −𝐼(𝜆ˆ ^∗(𝑥)) =−ln𝑍(𝛽).

Azaz pontosan a jól normált kanonikus eloszlást kaptuk!

4. Házi feladat. Legyen (𝑣₁, 𝑣₂, . . . , 𝑣_𝑁)∈ℝ^𝑁 egyenletes eloszlású a 𝑣₁²

2 + 𝑣₂²

2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑣_𝑁²

2 =𝑁 𝜖

gömbfelületen, ahol𝜖∈(0,∞)rögzített. Határozzuk meg𝑣₁határeloszlását:

𝑁→∞lim P(𝑣₁ < 𝑥) =?

5. Házi feladat. Legyen(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑁)∈ℝ^𝑁+ egyenletes eloszlású az 𝑥₁+𝑥₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑥_𝑁 =𝑁 𝜖

szimplexen, ahol 𝜖∈(0,∞) rögzített. Határozzuk meg 𝑥₁ határeloszlását:

𝑁→∞lim P(𝑣₁ < 𝑥) =?

6. Házi feladat. [26] III. fejezet, 34. feladat (154. oldal): A kanonikus eloszlás egy alternatív jellemzése: Legyen

P(𝜉=𝐸_𝑖) =𝑝_𝑖, ∑

𝑖

𝑝_𝑖 = 1

diszkrét eloszlás (𝐸_𝑖= energia értékek, spektrum). Az eloszlás 𝑞_𝑖 referencia- eloszlásra vonatkozó relatív entrópiája:

𝑆 =−∑

𝑖

𝑝_𝑖ln𝑝𝑖

𝑞_𝑖, azátlagos („belső”) energia:

𝑈 =∑

𝑖

𝑝_𝑖𝐸_𝑖, aszabad energia:

𝐹 =𝑈 − 1 𝛽𝑆.

Határozzuk meg azt a 𝑝^∗_𝑖 eloszlást, ami a szabad energiát minimalizálja.

(Használjuk a Lagrange-féle multiplikátor módszert.) Válasz: a keresett eloszlás éppen a

𝑝^∗_𝑖 = 1

𝑍(𝛽)𝑒^{−𝛽𝐸𝑖}𝑞_𝑖 kanonikus eloszlás.

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 19

2.3. Az Ising-modell

„. . . sok elemi apróból összeálló nagy rendszer . . . ”. A legegyszerűbb válasz- tás: az elemi, apró komponensek két állapotúak: {−1,+1}. Az 𝑁 darab elemiből álló nagy rendszer állapottere:

Ω_𝑁 :={−1,+1}^𝑁 ={𝜎= (𝜎₁, 𝜎₂, . . . , 𝜎_𝑁) :𝜎_𝑘=±1}, ∣Ω_𝑁∣= 2^𝑁 (Az egyes 𝜎𝑖-k „klasszikus spinek”.)

A Hamilton-függvény: egy spin energiája önmagában = −ℎ𝜎_𝑖; a legegy- szerűbb kölcsönhatás: (𝑖, 𝑗)pár kölcsönhatási energiája =−𝐽_𝑖,𝑗𝜎_𝑖𝜎_𝑗. A rend- szer teljes energiája:

𝐻𝑁(𝜎) =−1 2

𝑁

∑

𝑖,𝑗=1

𝐽𝑖,𝑗𝜎𝑖𝜎𝑗−ℎ

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎𝑖.

Az első összegben az 𝑖 = 𝑗 ‘átlós’ tagoknak semmi jelentősége: akár el is hagyhatjuk őket. Ez az Ising-modell Hamilton-függvénye.

Interpretáció: 𝜎_𝑖-k kis mágnes tűcskék, amik így: ↑ vagy így: ↓ tudnak állni; kölcsönhatnak egy ℎkülső mágneses térrel és páronként egymással. Ha 𝐽_𝑖,𝑗 >0: az (𝑖, 𝑗) spin pár energiája így: ↑↑, ↓↓kicsi, így: ↑↓,↓↑ nagy, azaz:

szeretnek párhuzamosan állni: ferromágneses kölcsönhatás. Ha 𝐽_𝑖,𝑗 < 0: az (𝑖, 𝑗) spin pár energiája így: ↑↑, ↓↓ nagy, így: ↑↓, ↓↑ kicsi, azaz szeretnek ellen-párhuzamosan állni: antiferromágneses kölcsönhatás. Egyelőre többnyi re a ferromágnesessel fogunk foglalkozni.

𝐽_𝑖,𝑗 tartalmazza a rendszer geometriai struktúráját. Néhány nevezetes példa:

∘ 1 dimenziós modell:

𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈ {1,2, . . . , 𝑁}, 𝐽_𝑖,𝑗 =

{1 ha ∣𝑖−𝑗∣= 1 0 ha ∣𝑖−𝑗∣ ∕= 1 és peremfeltételek.

∘ 𝑑 dimenziós modell:

𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈Λ⊂ℤ^𝑑, 𝐽_𝑖,𝑗 =

{1 ha ∣𝑖−𝑗∣= 1 0 ha ∣𝑖−𝑗∣ ∕= 1 és peremfeltételek

∘ Ising-modell tetszőleges 𝒢 = (𝒱,ℰ)gráfon:

𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈ 𝒱, 𝐽_𝑖,𝑗 =

{1 ha (𝑖, 𝑗)∈ ℰ 0 ha (𝑖, 𝑗)∈ ℰ/

∘ Curie – Weiss-modell = az előbbi 𝒢=𝒦_𝑁-el 𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈ {1,2, . . . , 𝑁}, 𝐽_𝑖,𝑗 =

{₁

𝑁 ha 𝑖∕=𝑗

0 ha 𝑖=𝑗

Az igazán érdekes dolgok 𝑁 → ∞ termodinamikai limeszben történnek!

2.4. A nyomás / szabadenergia

Az állapotösszeg és a nyomás (vagy szabadenergia – fizikai interpretáció sze- rint, erre visszatérünk):

𝑍_𝑁(𝛽, ℎ) := ∑

𝜎∈Ω_𝑁

exp{−𝛽𝐻(𝜎)}

= ∑

𝜎∈Ω_𝑁

exp{𝛽 2

𝑁

∑

𝑖,𝑗=1

𝐽_𝑖,𝑗𝜎_𝑖𝜎_𝑗 +𝛽ℎ

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖} 𝑝_𝑁(𝛽, ℎ) := 1

𝛽𝑁 ln𝑍_𝑁(𝛽, ℎ)

Miért érdekes? (Azon túl, hogy 𝑍_𝑁 a Gibbs-mérték normáló faktora.) Fizi- kailag releváns mennyiségek meghatározhatóak belőle. Pl. az átlagos mág- nesezettség így:

𝑚_𝑁(𝛽, ℎ) := ⟨∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖⟩

𝑁 = 1

𝛽𝑁

∂𝑍_𝑁

∂ℎ (𝛽, ℎ) = ∂𝑝_𝑁

∂ℎ (𝛽, ℎ).

Vagy aszuszceptibilitás (azaz a mágnesezettség érzékenysége a külső mágne- ses tér változására), így:

𝜒_𝑁(𝛽, ℎ) = 1 𝛽

∂𝑚_𝑁

∂ℎ (𝛽, ℎ) = 1 𝛽²

∂²𝑝_𝑁

∂ℎ² (𝛽, ℎ).

A nyomás valószínűségszámítási jelentése: fix 𝛽 mellett ℎ 7→ 𝑝_𝑁(𝛽, ℎ) analóg a nagy eltérés tétel-beli 𝜆 7→ 𝐼(𝜆)ˆ logaritmikus momentum generáló függvénnyel.

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 21 10. Állítás (A termodinamikai nyomás konvexitása). Fix 𝛽 mellett, ℎ 7→

𝑝_𝑁(𝛽, ℎ) konvex függvény.

Nyomás konvexitásának bizonyítása.

𝜒_𝑁(𝛽, ℎ) = 1 𝛽²

∂²𝑝_𝑁

∂ℎ² (𝛽, ℎ) (2.2)

= 1 𝑁

1 𝛽²𝑍_𝑁

∂²𝑍_𝑁

∂ℎ² − 1 𝑁

( 1 𝛽𝑍_𝑁

∂𝑍_𝑁

∂ℎ )2

=

〈(∑𝑁

𝑖=1(𝜎_𝑖− ⟨𝜎_𝑖⟩)

√𝑁

)2〉

≥0.

2. Megjegyzés. Ez az Állítás egy általánosabb (később tárgyalt) konvexitás speciális esete.

Milyen érdekességekre számíthatunk𝑁 → ∞termodinamikai limeszben?

Tegyük fel, hogy a következő limeszek léteznek 𝑝(𝛽, ℎ) = lim

𝑁→∞𝑝_𝑁(𝛽, ℎ), (2.3)

𝑚(𝛽, ℎ) = lim

𝑁→∞𝑚_𝑁(𝛽, ℎ), (2.4)

𝜒(𝛽, ℎ) = lim

𝑁→∞𝜒_𝑁(𝛽, ℎ), (2.5)

és hogy lim𝑁→∞ és ∂/∂ℎ felcserélhetők, azaz 𝑚(𝛽, ℎ) = 1

𝛽

∂𝑝

∂ℎ(𝛽, ℎ) (2.6)

𝜒(𝛽, ℎ) = 1 𝛽

∂𝑚

∂ℎ(𝛽, ℎ) = 1 𝛽²

∂²𝑝

∂²ℎ(𝛽, ℎ) (2.7) Ezeket szigorúan be fogjuk látni: a (2.3), (2.4), (2.5) termodinamikai lime- szek épeszű esetekben léteznek, a (2.6), (2.7) azonosságok pedig érvényesek azokban a (𝛽, ℎ) pontokban, amelyekben a limeszfüggvények szép simák.

∙ Magas hőmérsékleten 𝛽 < 𝛽_𝑐: ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) konvex, analitikus (hason- lóan 𝜆 7→𝐼ˆ(𝜆)-hoz). És

ℎ→0lim𝑚(𝛽, ℎ) =𝑚(𝛽,0) = 0.

Azaz: a rendszer belső ℤ2 szimmetriája nem sérül. A 𝜎_𝑖 valószínűségi változók ∑𝑁

𝑖=1𝜎𝑖/𝑁 normált összegének viselkedése kvalitatíve nagyon hasonló az i.i.d. val. változókéval.

∙ Alacsony hőmérsékleten 𝛽 > 𝛽_𝑐: (Ferromágneses kölcsönhatás (𝐽_𝑖,𝑗 >

0) esetén.) ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) konvex, de ℎ = 0-ban nem analitikus: első deriváltja szakad (ellentétben𝜆 7→𝐼ˆ(𝜆)-vel).

ℎ↘0lim𝑚(𝛽, ℎ) =𝑚(𝛽,0+)>0

ℎ↗0lim𝑚(𝛽, ℎ) =𝑚(𝛽,0−) =−𝑚(𝛽,0+)<0

Azaz: a rendszer belső ℤ² szimmetriája sérül. A 𝜎𝑖 valószínűségi vál- tozók ∑𝑁

𝑖=1𝜎_𝑖/𝑁 normált összege a NSzT és a NET szempontjából egyaránt az i.i.d.-ktől minőségileg lényegesen eltérő módon viselkedik.

𝛽 > 𝛽𝑐, ℎ= 0 paraméter értékeknél elsőrendű fázisátmenet van.

∙ A kritikus hőmérsékleten𝛽 =𝛽_𝑐: A szuszceptibilitás divergál

𝛽→𝛽lim𝑐

𝜒(𝛽,0) =𝜒(𝛽_𝑐,0) =∞,

(2.2) alapján állíthatjuk, hogy a CHT sérül: a kritikus fluktuációk a normálisaknál lényegesen (nagyságrendileg) nagyobbak. 𝛽 =𝛽_𝑐, ℎ= 0 paraméter értéknélmásodrendű fázisátmenet van.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [25], [26].

3. fejezet

A Curie – Weiss-modell

3.1. A modell; termodinamikai limesz és termo- dinamikai függvények

Az állapottér:

Ω_𝑁 :={𝜎 = (𝜎₁, 𝜎₂, . . . , 𝜎_𝑁) :𝜎_𝑖 =±1}.

A Hamilton-függvény:

𝐻_𝑁(𝜎) :=− 1 2𝑁

𝑁

∑

𝑖,𝑗=1

𝜎_𝑖𝜎_𝑗 −ℎ

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖

‘Mean field’ (‘átlag tér’) elmélet, mert minden spin egy ℎ_eff = 1

𝑁

𝑁

∑

𝑗=1

𝜎_𝑗 +ℎ

effektív, átlagos mágneses térrel hat kölcsön. (_𝑁¹ helyett választhatnánk per- sze _𝑁^𝐽 kölcsönhatási együtthatókat: a 𝐽-t beolvasztjuk a𝛽-ba.) A modellnek triviális a geometriai struktúrája! Minden spin-pár egyformán hat kölcsön.

Jelöljük a teljes mágnesezettséget 𝑀-el:

𝑀 :=

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖, 𝑀 ∈ {−𝑁,−𝑁 + 2, . . . , 𝑁 −2, 𝑁}.

Ekkor

𝐻_𝑁 =−1 2

𝑀²

𝑁 −ℎ𝑀, (3.1)

azaz a Hamilton-függvény csak𝑀-en keresztül függ a𝜎 spin konfigurációtól.

Legyen𝑟 (illetve𝑁 −𝑟) a ↑ (illetve↓) spinek száma:

𝑟= 𝑁+𝑀

2 , 𝑁 −𝑟= 𝑁 −𝑀

2 , 𝑟∈ {0,1,2, . . . , 𝑁}.

Az állapotösszeg:

𝑍𝑁(𝛽, ℎ) = ∑

𝜎∈Ω_𝑁

exp{−𝛽𝐻𝑁(𝜎)}=

𝑁

∑

𝑟=0

𝑐𝑁(𝑟),

ahol

𝑐𝑁(𝑟) = (𝑁

𝑟 )

exp { 𝛽

2𝑁(2𝑟−𝑁)²+𝛽ℎ(2𝑟−𝑁) }

. Nyilvánvaló, hogy

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = lim

𝑁→∞

ln𝑍_𝑁

𝑁 = lim

𝑁→∞

max0≤𝑟≤𝑁ln𝑐_𝑁(𝑟)

𝑁 . (3.2)

Legyen

𝑥= 2𝑟−𝑁

𝑁 , 𝑥∈[−1,1].

A Stirling-formula alkalmazásával a következő kifejezést kapjuk:

ln𝑐_𝑁(𝑟) =𝑁(

𝛽ℎ𝑥−Φ_𝛽(𝑥))

+𝑜(𝑁), (3.3)

ahol Φ_𝛽(𝑥) =

⎧

⎨

⎩ 1−𝑥

2 ln1−𝑥

2 +1 +𝑥

2 ln1 +𝑥

2 − 𝛽𝑥²

2 ha 𝑥∈[−1,1]

∞ ha 𝑥∕∈[−1,1]

Felhasználva (3.2)-t és (3.3)-at a termodinamikai nyomásra a következő kife- jezést kapjuk

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = sup

−1≤𝑥≤1

(𝛽ℎ𝑥−Φ_𝛽(𝑥)).

3. A CURIE – WEISS-MODELL 25 Természetesen sup_{−1≤𝑥≤1} helyett sup_𝑥∈ℝ-t is írhattunk volna. Azaz: rögzí- tett 𝛽 mellett, ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) pontosan 𝑥 7→ 𝛽⁻¹Φ𝛽(𝑥) konvex konjugáltja.

Szükségünk lesz a 𝑥7→Φ_𝛽(𝑥) függvény első két deriváltjára:

Φ^′_𝛽(𝑥) = 1

2ln1 +𝑥

1−𝑥 −𝛽𝑥= tanh⁻¹(𝑥)−𝛽𝑥, Φ^′′_𝛽(𝑥) = 1

1−𝑥² −𝛽.

Az 𝑥 7→ Φ_𝛽(𝑥) és 𝑥 7→ Φ^′_𝛽(𝑥) függvények grafikus képe az 1. és 2. ábrán látható. Lényeges különbség van 𝛽 < 1 és 𝛽 > 1 között! Míg 𝛽 < 1-re 𝑥 7→ Φ𝛽(𝑥) szigorúan konvex, 𝑥 7→ Φ^′_𝛽(𝑥) szigorúan növekvő, 𝛽 > 1-re ez nem áll. A kritikus hőmérséklet: 𝛽_𝑐= 1.

IDE JONNEK AZ ABRAK

3.2. A termodinamikai függvények meghatáro- zása

Legyen 𝑚(𝛽, ℎ) a

Φ^′_𝛽(𝑚) =𝛽ℎ (3.4)

„jó” megoldása: ahol egy megoldás van otta megoldás, ahol több megoldás van (kettő vagy három) ott az a megoldás, amelyiknek az előjele megegyezik ℎ előjelével (ld. a 2. ábrát). Az alábbiak a (3.4) egyenlet ekvivalens alakjai:

tanh⁻¹(𝑚)−𝛽𝑚 =𝛽ℎ (3.5)

𝑚 = tanh(

𝛽(𝑚+ℎ)) A nyomásra a következő kifejezést kapjuk:

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = 𝛽ℎ𝑚−Φ_𝛽(𝑚)

=𝛽ℎ𝑚− 1

2ln1−𝑚²

4 −𝑚tanh⁻¹(𝑚) + 𝛽 2𝑚²

=−1

2ln1−𝑚² 4 +𝑚(

𝛽ℎ−tanh⁻¹(𝑚)) +𝛽

2𝑚² (3.5)-öt felhasználva azt kapjuk, hogy

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = −1

2ln1−𝑚²(𝛽, ℎ)

4 −𝛽

2𝑚²(𝛽, ℎ).

A szuszceptibilitás kiszámolása: az 𝑚 = ∂𝑝

∂ℎ = 1 𝛽

( 1

1−𝑚² −𝛽 )

𝑚∂𝑚

∂ℎ egyenletből azt kapjuk, hogy

𝜒(𝛽, ℎ) = 1 𝛽

∂𝑚

∂ℎ(𝛽, ℎ) = 1−𝑚²(𝛽, ℎ) 1−𝛽(1−𝑚²(𝛽, ℎ)). Mindebből látható, hogy

(1) 𝛽 < 𝛽_𝑐 = 1-re (azaz 𝑇 > 𝑇_𝑐 = 1-re): ℎ 7→ 𝑚(𝛽, ℎ) monoton növekvő, analitikus; ℎ7→𝑝(𝛽, ℎ) szigorúan konvex,analitikus; 𝜒(𝛽, ℎ)véges.

(2) 𝛽 > 𝛽𝑐 = 1-re (azaz 𝑇 < 𝑇𝑐 = 1-re): ℎ 7→ 𝑚(𝛽, ℎ) monoton növekvő, de ℎ = 0-ban nem folytonos: 𝑚(𝛽,0+) = −𝑚(𝛽,0−) > 0; ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) szigorúan konvex, deℎ= 0-bannem analitikus: az első deriváltja szakad;

𝜒(𝛽, ℎ)véges.

(3) 𝛽 = 𝛽_𝑐 = 1-re (azaz 𝑇 = 𝑇_𝑐 = 1-re): ℎ 7→ 𝑚(𝛽, ℎ) monoton növekvő;

ℎ7→𝑝(𝛽, ℎ) szigorúan konvex, ℎ∕= 0-ban analitikus, de 𝜒(𝛽𝑐,0) =∞.

A (3.4)állapotegyenlet grafikus megjelenítései a 3. ábrán láthatófázisdi- agrammok.

3.3. Kritikus exponensek

Általános fizikus hit, hogy egy Ising-szerű ferromágneses modellben, a(𝑇, ℎ) = (𝑇_𝑐,0) kritikus pont környékén a termodinamikai függvények szinguláris vi- selkedése a következő

𝑚(𝑇,0+)∼ ∣𝑇 −𝑇_𝑐∣^𝛽 amint 𝑇 ↗𝑇_𝑐, 𝜒(𝑇,0+)∼ ∣𝑇 −𝑇𝑐∣^−𝛾 amint 𝑇 ↘𝑇𝑐

𝜒(𝑇,0+)∼ ∣𝑇 −𝑇𝑐∣^−𝛾′ amint 𝑇 ↗𝑇𝑐

∣𝑚(𝑇_𝑐, ℎ)∣ ∼ ∣ℎ∣^1/𝛿 amint ℎ→0

ahol a kritikus exponensek, úgymond, univerzális jellemzők — csak nagyon általános paraméterektől (pl. a dimenziótól) függenek. A Curie – Weiss- modellre a következő exponenseket talaljuk

𝛽= 1

2, 𝛾 =𝛾^′ = 1, 𝛿= 3.

3. A CURIE – WEISS-MODELL 27 7. Házi feladat. Számoljuk ki a fenti exponenseket a Curie – Weiss- modellre.

IDE JON A HARMADIK ABRA

3.4. Mindezek valószínűségszámítási háttere/je- lentése

Tekintsük a

𝜎₁+𝜎₂ +⋅ ⋅ ⋅+𝜎_𝑁

valószínűségi változót a 𝛽 >0, ℎ= 0 paraméterekhez tartozó Gibbs-eloszlás szerint. Ezt hasonlítjuk össze az első órákon tárgyalt

𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

i.i.d. összegek viselkedésével, ahol a𝜉_𝑖-k egyenkénti eloszlása azonos a𝜎_𝑖-jével:

P(𝜉_𝑖 =±1) =P(𝜎_𝑖 =±1) = 1

2 (3.6)

Nagy számok törvénye:

E

⎛

⎝ (∑𝑁

𝑖=1𝜎_𝑖 𝑁

)2⎞

⎠= 2 𝑁

∂ln𝑍𝑁

∂𝛽 (𝛽,0) = 2 ∂

∂𝛽

(𝛽𝑝(𝛽,0))

=𝑚²(𝛽,0)

Var

⎛

⎝ (∑𝑁

𝑖=1𝜎_𝑖 𝑁

)2⎞

⎠= 4 𝑁²

∂²ln𝑍_𝑁

∂𝛽² (𝛽,0) = 4 𝑁

∂²

∂𝛽²

(𝛽𝑝(𝛽,0))

→0.

Amiből következik, hogy

∙ Magas hőmérsékleten, 𝛽 < 𝛽_𝑐:

∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖

𝑁

−→P 0 csakúgy, mint az i.i.d.-k esetében.

∙ Alacsony hőmérsékleten (𝛽 > 𝛽_𝑐):

P (∑𝑁

𝑖=1𝜎𝑖

𝑁 ∈(±∣𝑚(𝛽,0)∣ −𝜀,±∣𝑚(𝛽,0)∣+𝜀) )

→ 1 2 Azaz: Alacsony hőmérsékleten a NSzT sérül.

Nagy eltérések: Jelölés: 𝜆=𝛽ℎ 𝑍_𝑁(𝛽, ℎ) 𝑍_𝑁(𝛽,0) =E

( exp

{ 𝜆

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎𝑖

}) .

Az első jegyzet jelölésével, az𝐼(𝜆)ˆ logaritmikus momentumgeneráló függvény fizikai jelentése: a nyomás:

𝐼(𝜆) = limˆ

𝑁→∞

1 𝑁 lnE

( exp

{ 𝜆

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖 })

=𝛽𝑝(𝛽, ℎ)−𝛽𝑝(𝛽,0).

∙ Magas hőmérsékleten: 𝜆 7→ 𝐼(𝜆)ˆ konvex és analitikus, csakúgy, mint az i.i.d.-k esetében.

∙ Alacsony hőmérsékleten: 𝜆 7→ 𝐼ˆ(𝜆) konvex de 𝜆 = 0-ban törik, ellen- tétben az i.i.d.-k esetével.

A nagy eltérések valószínűségének exponenciális lecsengését vezérlő 𝐼(𝑥) ráta függvény fizikai jelentése: a szabadenergia:

𝐼(𝑥) =− lim

𝑁→∞

1 𝑁 lnP

(∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖

𝑁 ≈𝑥

)

= Φ_𝛽(𝑥)− inf

−1≤𝑥≤1Φ_𝛽(𝑥).

∙ Magas hőmérsékleten: 𝑥 7→ 𝐼(𝑥) szigorúan konvex, csakúgy, mint az i.i.d.-k esetében.

∙ Alacsony hőmérsékleten: 𝑥7→ 𝐼(𝑥)nem konvex, ellentétben az i.i.d.-k esetével. Azaz: alacsony hőmérsékleten (𝑇 < 𝑇_𝑐) a megszokott NET sérül.

3. Megjegyzés. Véges dimenziós ‘igazi’ geometriai struktúrával rendelkező modelleknél azt fogjuk látni, hogy a megfelelő függvény – a szabadenergia – ugyan konvex, de nem szigorúan konvex, van egy lapos (lineáris) része, ugy néz ki, mint a Φ𝛽(𝑥) függvény alsó konvex burkolója. Ami szintén a megszokott NET sérülését jelzi.

3. A CURIE – WEISS-MODELL 29 Normális fluktuációk magas hőmérsékleten: A várható érték:

E (∑𝑁

𝑖=1𝜎𝑖

√ 𝑁

)

=𝑚_𝑁(𝛽,0) = 0.

A szórásnégyzet:

E

⎛

⎝ (∑𝑁

𝑖=1𝜎_𝑖

√𝑁

)2⎞

⎠=𝜒_𝑁(𝛽,0)→𝜒(𝛽,0) = 1 1−𝛽. 11. Tétel (CHT magas hőmérsékleten). Ha 𝛽 < 𝛽𝑐= 1, akkor

P (∑𝑁

𝑖=1𝜎𝑖

√𝑁 < 𝑥 )

→

√1−𝛽 2𝜋

∫ 𝑥

−∞

exp {

−1−𝛽 2 𝑦²

} 𝑑𝑦.

Magas hőmŕsékleti CHT bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével.

Legyen

𝜑(𝑢) := 2^−𝑁

𝑁

∑

𝑟=0

(𝑁 𝑟

) exp

{𝛽 2

(2𝑟−𝑁)²

𝑁 +𝑖𝑢2𝑟−𝑁

√𝑁 }

. Akkor

E (

exp {

𝑖𝑢

∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖

√𝑁 })

= 𝜑(𝑢) 𝜑(0). 𝜑(𝑢)-ra a következő kifejezést kapjuk:

𝜑(𝑢) =

∫ ∞

−∞

√𝑑𝑥

2𝜋𝑒^−𝑥2/22^−𝑁

𝑁

∑

𝑟=0

(𝑁 𝑟

) exp

{√

𝛽𝑥+𝑖𝑢

√𝑁 (2𝑟−𝑁) }

=

∫ ∞

−∞

√𝑑𝑥

2𝜋𝑒^−𝑥2/2 [

cosh (√

𝛽𝑥+𝑖𝑢

√𝑁

)]^𝑁

→

∫ ∞

−∞

√𝑑𝑥

2𝜋𝑒^−𝑥2/2exp {1

2(√

𝛽𝑥+𝑖𝑢)² }

= 1

1−𝛽𝑒^{− 𝑡}

2 2(1−𝛽)

Azaz

E (

exp {

𝑖𝑢

∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖

√𝑁 })

→𝑒^{− 𝑢}

2 2(1−𝛽), amiből az állítás következik.

Kritikus fluktuációk: A következő nem centrális határeloszlás-tételt bi- zonyítjuk a spinösszeg kritikus hőmérsékleti fluktuációira:

12. Tétel (R. S. Ellis és Ch. M. Newman tétele). 𝛽 = 𝛽_𝑐 = 1 és ℎ = 0 paraméter értékek mellett

P (∑𝑁

𝑖=1𝜎𝑖

𝑁^3/4 < 𝑥 )

→

∫𝑥

−∞𝑒^−𝑦4/12𝑑𝑦

∫∞

−∞𝑒^−𝑦4/12𝑑𝑦. (3.7) Ellis és Newman tételének bizonyítása. Legyen 𝑋 a 𝜎_𝑖-ktől független stan- dard Gauss eloszlású valószínűségi változó. Belátjuk, hogy

P ( 𝑋

𝑁^1/4 +

∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖 𝑁^3/4 < 𝑥

)

=

∫𝑥

−∞exp{−𝑁 𝜓(𝑦/𝑁^1/4}𝑑𝑦

∫∞

−∞exp{−𝑁 𝜓(𝑦/𝑁^1/4}𝑑𝑦, (3.8) ahol

𝜓(𝑥) := 𝑥²

2 −ln cosh𝑥. (3.9)

Mivel

𝑋 𝑁^1/4

−→P 0

és (3.8) jobb oldala konvergál (3.7) jobb oldalához, amint𝑁 → ∞, (3.8)-ból a Tétel állítása következik.

A következő levezetésben 𝑍_𝑁 normáló faktorokat jelöl: a különböző kép- letekben nem föltétlenül azonosokat. Legyen

𝐹_𝑁(𝑦) =P ( _𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖 < 𝑦 )

a spinösszeg eloszlásfüggvénye és 𝐺𝑁(𝑦) = P

( _𝑁

∑

𝑖=1

𝜉𝑖 < 𝑦 )

,

ahol a𝜉𝑖-k (3.6) eloszlású i.i.d.-k Világos, hogy (3.1) alapján 𝑑𝐺𝑁(𝑦) = 1

𝑍_𝑁𝑒^−𝑦

2

2𝑁𝑑𝐹𝑁(𝑦). (3.10)

3. A CURIE – WEISS-MODELL 31 (3.8) bizonyítása következik:

P ( 𝑋

𝑁^1/4 +

∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖 𝑁^3/4 < 𝑥

)

=P (√

𝑁 𝑋 +

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖 < 𝑁^3/4𝑥 )

=1 1 𝑍𝑁

∫ 𝑁^3/4𝑥

−∞

∫ ∞

−∞

exp {

−𝑦²−2𝑦𝑧+𝑧² 2𝑁

}

𝑑𝐹_𝑁(𝑧)𝑑𝑦

=2 1 𝑍_𝑁

∫ 𝑁^3/4𝑥

−∞

exp {

−𝑦² 2𝑁

} ∫ ∞

−∞

exp{𝑦𝑧 𝑁

} exp

{

− 𝑧² 2𝑁

}

𝑑𝐹_𝑁(𝑧)𝑑𝑦

=3 1 𝑍_𝑁

∫ 𝑁^3/4𝑥

−∞

exp {

−𝑦² 2𝑁

} ∫ ∞

−∞

exp{𝑦𝑧 𝑁

}

𝑑𝐺_𝑁(𝑧)𝑑𝑦

=4 1 𝑍_𝑁

∫ 𝑁^3/4𝑥

−∞

exp {

−𝑦² 2𝑁

} exp{

𝑁ln cosh 𝑦 𝑁

} 𝑑𝑦

=5 1 𝑍_𝑁

∫ 𝑁^3/4𝑥

−∞

exp {

−𝑁

[(𝑦/𝑁)²

2 −ln cosh(𝑦/𝑁) ]}

𝑑𝑦

=6 1 𝑍_𝑁

∫ 𝑁^3/4𝑥

−∞

exp{−𝑁 𝜓(𝑦/𝑁)}𝑑𝑦

=7 1 𝑍_𝑁

∫ 𝑥

−∞

exp{−𝑁 𝜓(𝑦/𝑁^1/4)}𝑑𝑦,

ami pontosan (3.8). Az első lépésben azt használtuk, hogy független való- színűségi változók összegének eloszlásfüggvénye az egyes eloszlásfüggvények konvolúciója. A második lépés triviális. A harmadik lépésben (3.10)-et hasz- náltuk fel. A negyedikben azt, hogy

E (

exp {

𝑦

𝑁

∑

𝑖=1

𝜉_𝑖 })

=(

cosh(𝑦))𝑁

.

Az ötödik lépés újból triviális. A hatodikban a 𝜓 függvény (3.9) definícióját használtuk. Végül a hetedik lépésben egy 𝑦 := 𝑁^3/4𝑦 változócserét hajtot- tunk végre.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [2], [5].

Ising-modell ℤ ^𝑑 -n;

termodinamikai limesz

4.1. Egydimenziós Ising-modell

Fizikai tér: egydimenziós diszkrét tórusz𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈ℤ/𝐿 𝐽_𝑖,𝑗 =

{1 ha ∣(𝑖−𝑗) mod 𝐿∣= 1 0 ha ∣(𝑖−𝑗) mod 𝐿∣ ∕= 1 A Hamilton-függvény (mint rendesen):

𝐻_𝐿(𝜎) = −1 2

𝐿

∑

𝑖,𝑗=1

𝐽_𝑖,𝑗𝜎_𝑖𝜎_𝑗 −ℎ

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖 =−

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖𝜎_𝑖+1−ℎ

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖,

periodikus peremfeltételekkel, azaz 𝐿+𝑖=𝑖 mod𝐿 Az állapotösszeg:

𝑍_𝐿(𝛽, ℎ) = ∑

𝜎∈Ω_𝐿

exp{𝛽

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖𝜎_𝑖+1+𝛽ℎ

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖}.

Legyen𝑇 =𝑇(𝛽, ℎ) a következő 2×2-es mátrix 𝑇 =

(𝑒^𝛽(1+ℎ) 𝑒^−𝛽 𝑒^−𝛽 𝑒^{𝛽(1−ℎ)}

)

13. Állítás.

𝑍_𝐿(𝛽, ℎ) = T𝑟𝑇^𝐿.

4. ISING-MODELL ℤ^𝐷-N; TERMODINAMIKAI LIMESZ 33 Bizonyítás: Egyszerű számolás.

8. Házi feladat. Igazoljuk a 13. Állítást.

Következésképp a𝑇 mátrix sajátértékeit kell kiszámolnunk, amelyek a 𝜆²−2𝜆𝑒^𝛽cosh(𝛽ℎ) + 2 sinh(2𝛽) = 0

karakterisztikus egyenlet gyökei:

𝜆1,2(𝛽, ℎ) =𝑒^𝛽cosh(𝛽ℎ)±(

𝑒^2𝛽sinh²(𝛽, ℎ) +𝑒^−2𝛽)1/2

. A nyomásra a következő kifejezést kapjuk:

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = lim

𝑁→∞𝛽𝑝_𝐿(𝛽, ℎ) = lim

𝐿→∞

1 𝐿ln(

𝜆^𝐿₁(𝛽, ℎ) +𝜆^𝐿₂(𝛽, ℎ))

= ln max{𝜆1(𝛽, ℎ), 𝜆2(𝛽, ℎ)}.

Azaz

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = ln (

𝑒^𝛽cosh(𝛽ℎ) +

√

𝑒^2𝛽sinh²(𝛽ℎ) +𝑒^−2𝛽 )

.

Tehát az egydimenziós, első szomszéd kölcsönhatású modell termodinamikai nyomását explicit módon ki tudtuk számolni, de az eredmény nem nagyon izgalmas: minden pozitív 𝛽 mellett ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) analitikus. Nincs kritikus jelenség, fázisátmenet. Általában: egydimenziós, rövid kölcsönható sugarú modellekben nincsen fázisátmenet.

9. Házi feladat. Számoljuk ki a termodinamikai nyomást a Bethe-rácson (azaz a𝑞 >2fokú homogén fán). Ez elég hosszadalmas számolás, de megéri a fáradságot, mert tanulságos.

4.2. Ising-modell ℤ

-n

Fizikai tér: 𝑥, 𝑦,⋅ ⋅ ⋅ ∈ℤ^𝑑 (vagy annak egy véges része).

𝐽_𝑥,𝑦 =

{1 ha ∣𝑥−𝑦∣= 1 0 ha ∣𝑥−𝑦∣ ∕= 1