Konvex konjugálás/Legendre-transzformáció

Legyen 𝐼 :ℝ→[0,∞] a következő képpen értelmezve:

ha𝑥∈(𝑥,𝑥), akkor a¯

𝐼ˆ^′(𝜆) = 𝑥 (1.6)

egyenletnek létezik egyetlen 𝜆^∗(𝑥)∈(𝜆,𝜆)¯ megoldása és

𝐼(𝑥) = 𝑥𝜆^∗(𝑥)−𝐼(𝜆ˆ ^∗(𝑥)) (1.7) 7. Állítás (𝐼(⋅) függvény tulajdonságai:). Az 𝐼 : (𝑥,𝑥)¯ →(0,∞) függvény (1) végtelenszer differenciálható,

(2) szigorúan konvex, (3)

𝐼(E(𝜉)) = 0, (1.8)

(és természetesen 𝐼(𝑥)>0 minden 𝑥∕=E(𝜉)-re).

(4) 𝐼(⋅) alulról félig folytonos, következésképp:

𝐼(𝑥) = lim

𝜀→0𝐼(𝑥+𝜀), 𝐼(¯𝑥) = lim

𝜀→0𝐼(¯𝑥−𝜀), (5)

𝑥∕∈[𝑥,𝑥]¯ −re: 𝐼(𝑥) = ∞.

Állítás bizonyítása: (1) Differenciálhatóság: 𝐼(⋅) differenciálhatósága egye-nesen következik 𝐼(⋅)ˆ differenciálhatóságából.

(2) Konvexitás: (3.4)–(1.7)-ből 𝐼^′(𝑥) =𝜆^∗(𝑥) +(

𝑥−𝐼ˆ^′(𝜆^∗(𝑥)))

𝜆^∗′(𝑥) = 𝜆^∗(𝑥).

Még egy differenciálás után, (3.4)-et újból felhasználva, 𝐼^′′(𝑥) = 𝜆^∗′(𝑥) = (

𝐼ˆ^′′(𝜆^∗(𝑥)))⁻¹

>0.

(3) Világos, hogy

𝜆^∗(E(𝜉)) = 0 amiből, (1.7) útján (1.8) adódik.

1. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI BEMELEGÍTÉS 11 (4) Az alulról félig folytonosság abból következik, hogy 𝐼(⋅) folytonos

függ-vények családjának szuprémuma (def. alapján).

(5) A (1.3), (1.4) és (1.5)-ből következik.

8. Tétel (NET, H. Cramér). Legyenek 𝜉_𝑗 i.i.d. valószínűségi változók, 𝐹(⋅) eloszlásfüggvénynyel és (𝑎, 𝑏) valós intervallum. Ekkor

−1

1. Megjegyzés. Kevésbé precíz, de szemléletesebb megfogalmazásban:

P

(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛

𝑛 ≈𝑥

)

= exp{−𝑛𝐼(𝑥) +𝑜(𝑛)}. (1.9) Cramér-tétel bizonyítása: Feltehetjük, hogy

𝑚 :=E(𝜉)< 𝑎 < 𝑏. való-színűségi változóra, majd a 𝐼ˆfüggvény értelmezését.

A fenti egyenlőtlenség minden𝜆 >0-ra igaz, következésképpen P

(2) Alsó becslés: Legyen𝑦∈(𝑎, 𝑏)∩(𝑥,𝑥),¯ (𝑦−𝜀, 𝑦+𝜀)⊂(𝑎, 𝑏)és𝜆^∗ :=𝜆^∗(𝑦).

eloszlású i.i.d valószínűségi változók. Ha 𝐹_𝑛-el, illetve 𝐹_𝑛^∗-el jelöljük a 𝜉₁+𝜉₂ +⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛, illetve 𝜉₁^∗+𝜉₂^∗+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑛^∗ valószínűségi változók

Ezt használva a következő egyenlőtlenségsorozatot kapjuk:

P Mivel, a NSzT alapján

P

1. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI BEMELEGÍTÉS 13

2. Házi feladat. Számoljuk ki az𝐼(𝜆)ˆ és𝐼(𝑥)függvényeket a𝐺𝐴𝑈(𝑚, 𝜎²), 𝐸𝑋𝑃(𝜇), 𝐵𝐸𝑅(𝑝), 𝐵𝐼𝑁(𝑛, 𝑝), 𝐺𝐸𝑂𝑀(𝑝) és 𝑃 𝑂𝐼(𝜆) eloszlásokra.

3. Házi feladat. Ugyanezen eloszlásokra „bizonyítsunk naivul”, azaz (1.9) alapján és a

𝑛! =𝑒^−𝑛𝑛^𝑛√

2𝜋𝑛 (1 +𝑜(1)) Stirling-formula segítségével nagy eltérés becslést.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [26], [3], [6], [18], [1], [31], [30].

A statisztikus fizika tárgya;

kanonikus eloszlás; Ising-modell

2.1. A statisztikus fizika tárgya

Sok azonos, egymással kölcsönható kis (elemi, atomi, . . . ) komponensből felépülő nagy rendszer globális viselkedésének leírása.

∙ Sok:

1. limeszben végtelen sok: termodinamikai limesz, vagy 2. eleve végtelen: végtelen rendszerek Gibbs-állapotai.

Mi az első megközelítést fogjuk tekinteni.

∙ Globális viselkedés: Néhány, ún. intenzív paraméterrel jellemezhető (pl.

hőmérséklet, nyomás, kémiai potenciál). További releváns mérhető mennyiségek: (extenzív) átlagok (pl. sűrűség, mágnesezettség).

∙ Egyensúly: Időtől független, statikus jellemzők.

∙ Nemegyensúly: Időbeli fejlődés, időfüggő jelenségek.

Már az egyensúly definíciója is gond. Kielégítő, de matematikailag szinte kezelhetetlen:

tetszőleges nemegyensúly dinamika

𝑡→ ∞ egyensúly.

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 15

2.2. A kanonikus eloszlás

∙ Álapottér:

Ω :={a rendszer lehetséges állapotainak halmaza}.

Egyelőre véges, később lesz lokálisan kompakt, metrikus is. Természetes Borel 𝜎-algebrával.

∙ Hamilton-függvény:

𝐻 : Ω−→ℝ 𝐻(𝜔)az 𝜔 állapot energiája.

∙ Kanonikus/Gibbs-eloszlás: 𝑑𝜇(𝜔) = 1

𝑍(𝛽)exp{−𝛽𝐻(𝜔)}𝑑𝜈(𝜔). (2.1) Ahol:

∘ 𝜈: a priori szabad mérték az állapottéren (természetes – pl. szim-metria – megfontolások alapján választjuk meg),

∘ 𝛽 = 1/𝑇 >0: inverz hőmérséklet,

∘ exp{−𝛽𝐻(𝜔)}: Boltzmann- (vagy Gibbs)-faktor, az𝜔 állapot re-latív súlya,

∘ 𝑍(𝛽): állapotösszeg, stat-szumma, partíciós függvény – szerepe:

normáló tényező, hogy a 𝜇valószínűségi mérték legyen.

∙ Egyensúlyi statisztikus fizika: fizikailag releváns változók (i.e. 𝑓 : Ω→ ℝ függvények) 𝜇 szerinti eloszlását, statisztikai tulajdonságait vizsgál-juk.

Indoklás: Tekintsünk egy véges rendszert Ω ={1,2, . . . , 𝑛}

állapottérrel és 𝜈 a priori eloszlással (pl. egyenletes). Továbbá, 𝑁 azonos előbbiből álló szuper-rendszert, aminek állapottere

Ω^𝑁 :={𝜔= (𝜔₁, 𝜔₂, . . . , 𝜔_𝑁)∣𝜔_𝑘 ∈Ω, 𝑘 = 1,2, . . . , 𝑁}.

Egyszerűség kedvéért egyelőre hanyagoljuk el a komponens rendszerek köl-csönhatási energiáját. Ekkor a szuper-rendszer teljes energiája

𝐻_𝑁(𝜔) = 𝐻(𝜔₁) +𝐻(𝜔₂) +⋅ ⋅ ⋅+𝐻(𝜔_𝑁).

Legyen a szuper-rendszer (komponensenkénti átlag) energiája adott:

1

𝑁𝐻_𝑁(𝜔)∈(𝜖, 𝜖+𝑑𝜖)

Kérdés: e feltétel mellett mi az𝜔₁ (vagy bármely 𝜔_𝑘) eloszlása?

Válasz: pontosan a (2.1)-beli 𝜇, azzal a 𝛽-val, amely mellett

⟨𝐻⟩= 1

9. Állítás (Nagy eltérés következménye).

𝜀→0lim lim

egyenlet egyetlen megoldása. (Fizikus jelölés: −𝛽 az előző fejezet 𝜆-ja.) Bizonyítás helyett formális számolás: Legyen 𝜉 diszkrét

P(𝜉=𝐸_𝑘) = 𝑝_𝑘, ∑

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 17

Cramér tételét alkalmazva:

P

(𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 ∈(𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀) )

≈exp{−𝑁 𝐼(𝑥) +𝑜(𝑁)}

P

(𝜉₂+𝜉₃+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 −1 ∈(𝑁(𝑥−𝜀)−𝐸_𝑘

𝑁 −1 ,𝑁(𝑥+ +𝜀)−𝐸_𝑘

𝑁 −1 )

)

≈exp{−(𝑁 −1)𝐼(𝑥+𝑥−𝐸_𝑘

𝑁 ) +𝑜(𝑁)}

azaz P

(

𝜉₁ =𝐸_𝑘

𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

𝑁 ∈(𝑥−𝜀, 𝑥+𝜀) )

≈𝑝_𝑘exp{(𝑁 𝐼(𝑥)−(𝑁−1)𝐼(𝑥+ (𝑥−𝐸_𝑘)/𝑁))−(𝑜(𝑁)−𝑜(𝑁))}

=𝑝𝑘exp{𝐼(𝑥)−𝐼^′(𝑥)(𝑥−𝐸𝑘) +𝑜(1)}

→exp{𝐼(𝑥)−𝑥𝐼^′(𝑥)}exp{𝐼^′(𝑥)𝐸_𝑘}𝑝_𝑘. Az utolsó lépésben a

𝑜(𝑁)−𝑜(𝑁) =𝑜(1)

becslés a Cramér-tétel bizonyításánál finomabb érvelésből következik. E rész-leteket mellőzzük. A fenti kifejezésekben

𝐼^′(𝑥) = 𝜆^∗(𝑥) +(

𝑥−𝐼ˆ^′(𝜆^∗(𝑥)))

𝜆^∗′(𝑥) = 𝜆^∗(𝑥),=−𝛽 𝐼(𝑥)−𝑥𝐼^′(𝑥) =𝐼(𝑥)−𝑥𝜆^∗(𝑥) = −𝐼(𝜆ˆ ^∗(𝑥)) =−ln𝑍(𝛽).

Azaz pontosan a jól normált kanonikus eloszlást kaptuk!

4. Házi feladat. Legyen (𝑣₁, 𝑣₂, . . . , 𝑣_𝑁)∈ℝ^𝑁 egyenletes eloszlású a 𝑣₁²

2 + 𝑣₂²

2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑣_𝑁²

2 =𝑁 𝜖

gömbfelületen, ahol𝜖∈(0,∞)rögzített. Határozzuk meg𝑣₁határeloszlását:

𝑁→∞lim P(𝑣₁ < 𝑥) =?

5. Házi feladat. Legyen(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑁)∈ℝ^𝑁+ egyenletes eloszlású az 𝑥₁+𝑥₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑥_𝑁 =𝑁 𝜖

szimplexen, ahol 𝜖∈(0,∞) rögzített. Határozzuk meg 𝑥₁ határeloszlását:

𝑁→∞lim P(𝑣₁ < 𝑥) =?

6. Házi feladat. [26] III. fejezet, 34. feladat (154. oldal): A kanonikus eloszlás egy alternatív jellemzése: Legyen

P(𝜉=𝐸_𝑖) =𝑝_𝑖, ∑

𝑖

𝑝_𝑖 = 1

diszkrét eloszlás (𝐸_𝑖= energia értékek, spektrum). Az eloszlás 𝑞_𝑖 referencia-eloszlásra vonatkozó relatív entrópiája:

𝑆 =−∑

𝑖

𝑝_𝑖ln𝑝𝑖

𝑞_𝑖, azátlagos („belső”) energia:

𝑈 =∑

𝑖

𝑝_𝑖𝐸_𝑖, aszabad energia:

𝐹 =𝑈 − 1 𝛽𝑆.

Határozzuk meg azt a 𝑝^∗_𝑖 eloszlást, ami a szabad energiát minimalizálja.

(Használjuk a Lagrange-féle multiplikátor módszert.) Válasz: a keresett eloszlás éppen a

𝑝^∗_𝑖 = 1

𝑍(𝛽)𝑒^{−𝛽𝐸𝑖}𝑞_𝑖 kanonikus eloszlás.

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 19

2.3. Az Ising-modell

„. . . sok elemi apróból összeálló nagy rendszer . . . ”. A legegyszerűbb válasz-tás: az elemi, apró komponensek két állapotúak: {−1,+1}. Az 𝑁 darab elemiből álló nagy rendszer állapottere:

Ω_𝑁 :={−1,+1}^𝑁 ={𝜎= (𝜎₁, 𝜎₂, . . . , 𝜎_𝑁) :𝜎_𝑘=±1}, ∣Ω_𝑁∣= 2^𝑁 (Az egyes 𝜎𝑖-k „klasszikus spinek”.)

A Hamilton-függvény: egy spin energiája önmagában = −ℎ𝜎_𝑖; a legegy-szerűbb kölcsönhatás: (𝑖, 𝑗)pár kölcsönhatási energiája =−𝐽_𝑖,𝑗𝜎_𝑖𝜎_𝑗. A rend-szer teljes energiája:

𝐻𝑁(𝜎) =−1 2

𝑁

∑

𝑖,𝑗=1

𝐽𝑖,𝑗𝜎𝑖𝜎𝑗−ℎ

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎𝑖.

Az első összegben az 𝑖 = 𝑗 ‘átlós’ tagoknak semmi jelentősége: akár el is hagyhatjuk őket. Ez az Ising-modell Hamilton-függvénye.

Interpretáció: 𝜎_𝑖-k kis mágnes tűcskék, amik így: ↑ vagy így: ↓ tudnak állni; kölcsönhatnak egy ℎkülső mágneses térrel és páronként egymással. Ha 𝐽_𝑖,𝑗 >0: az (𝑖, 𝑗) spin pár energiája így: ↑↑, ↓↓kicsi, így: ↑↓,↓↑ nagy, azaz:

szeretnek párhuzamosan állni: ferromágneses kölcsönhatás. Ha 𝐽_𝑖,𝑗 < 0: az (𝑖, 𝑗) spin pár energiája így: ↑↑, ↓↓ nagy, így: ↑↓, ↓↑ kicsi, azaz szeretnek ellen-párhuzamosan állni: antiferromágneses kölcsönhatás. Egyelőre többnyi re a ferromágnesessel fogunk foglalkozni.

𝐽_𝑖,𝑗 tartalmazza a rendszer geometriai struktúráját. Néhány nevezetes példa:

∘ 1 dimenziós modell:

𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈ {1,2, . . . , 𝑁}, 𝐽_𝑖,𝑗 =

{1 ha ∣𝑖−𝑗∣= 1 0 ha ∣𝑖−𝑗∣ ∕= 1 és peremfeltételek.

∘ 𝑑 dimenziós modell:

𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈Λ⊂ℤ^𝑑, 𝐽_𝑖,𝑗 =

{1 ha ∣𝑖−𝑗∣= 1 0 ha ∣𝑖−𝑗∣ ∕= 1 és peremfeltételek

∘ Ising-modell tetszőleges 𝒢 = (𝒱,ℰ)gráfon:

Az igazán érdekes dolgok 𝑁 → ∞ termodinamikai limeszben történnek!

2.4. A nyomás / szabadenergia

Az állapotösszeg és a nyomás (vagy szabadenergia – fizikai interpretáció sze-rint, erre visszatérünk):

𝑍_𝑁(𝛽, ℎ) := ∑

Miért érdekes? (Azon túl, hogy 𝑍_𝑁 a Gibbs-mérték normáló faktora.) Fizi-kailag releváns mennyiségek meghatározhatóak belőle. Pl. az átlagos mág-nesezettség így:

Vagy aszuszceptibilitás (azaz a mágnesezettség érzékenysége a külső mágne-ses tér változására), így:

𝜒_𝑁(𝛽, ℎ) = 1

A nyomás valószínűségszámítási jelentése: fix 𝛽 mellett ℎ 7→ 𝑝_𝑁(𝛽, ℎ) analóg a nagy eltérés tétel-beli 𝜆 7→ 𝐼(𝜆)ˆ logaritmikus momentum generáló függvénnyel.

2. A STATISZTIKUS FIZIKA TÁRGYA 21 10. Állítás (A termodinamikai nyomás konvexitása). Fix 𝛽 mellett, ℎ 7→

𝑝_𝑁(𝛽, ℎ) konvex függvény.

Nyomás konvexitásának bizonyítása.

𝜒_𝑁(𝛽, ℎ) = 1

2. Megjegyzés. Ez az Állítás egy általánosabb (később tárgyalt) konvexitás speciális esete.

Milyen érdekességekre számíthatunk𝑁 → ∞termodinamikai limeszben?

Tegyük fel, hogy a következő limeszek léteznek 𝑝(𝛽, ℎ) = lim

és hogy lim𝑁→∞ és ∂/∂ℎ felcserélhetők, azaz 𝑚(𝛽, ℎ) = 1 Ezeket szigorúan be fogjuk látni: a (2.3), (2.4), (2.5) termodinamikai lime-szek épeszű esetekben léteznek, a (2.6), (2.7) azonosságok pedig érvényesek azokban a (𝛽, ℎ) pontokban, amelyekben a limeszfüggvények szép simák.

∙ Magas hőmérsékleten 𝛽 < 𝛽_𝑐: ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) konvex, analitikus (hason-lóan 𝜆 7→𝐼ˆ(𝜆)-hoz). És

ℎ→0lim𝑚(𝛽, ℎ) =𝑚(𝛽,0) = 0.

Azaz: a rendszer belső ℤ2 szimmetriája nem sérül. A 𝜎_𝑖 valószínűségi változók ∑𝑁

𝑖=1𝜎𝑖/𝑁 normált összegének viselkedése kvalitatíve nagyon hasonló az i.i.d. val. változókéval.

∙ Alacsony hőmérsékleten 𝛽 > 𝛽_𝑐: (Ferromágneses kölcsönhatás (𝐽_𝑖,𝑗 >

0) esetén.) ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) konvex, de ℎ = 0-ban nem analitikus: első deriváltja szakad (ellentétben𝜆 7→𝐼ˆ(𝜆)-vel).

ℎ↘0lim𝑚(𝛽, ℎ) =𝑚(𝛽,0+)>0

ℎ↗0lim𝑚(𝛽, ℎ) =𝑚(𝛽,0−) =−𝑚(𝛽,0+)<0

Azaz: a rendszer belső ℤ² szimmetriája sérül. A 𝜎𝑖 valószínűségi vál-tozók ∑𝑁

𝑖=1𝜎_𝑖/𝑁 normált összege a NSzT és a NET szempontjából egyaránt az i.i.d.-ktől minőségileg lényegesen eltérő módon viselkedik.

𝛽 > 𝛽𝑐, ℎ= 0 paraméter értékeknél elsőrendű fázisátmenet van.

∙ A kritikus hőmérsékleten𝛽 =𝛽_𝑐: A szuszceptibilitás divergál

𝛽→𝛽lim𝑐

𝜒(𝛽,0) =𝜒(𝛽_𝑐,0) =∞,

(2.2) alapján állíthatjuk, hogy a CHT sérül: a kritikus fluktuációk a normálisaknál lényegesen (nagyságrendileg) nagyobbak. 𝛽 =𝛽_𝑐, ℎ= 0 paraméter értéknélmásodrendű fázisátmenet van.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [25], [26].

3. fejezet

A Curie – Weiss-modell

3.1. A modell; termodinamikai limesz és termo-dinamikai függvények

Az állapottér:

Ω_𝑁 :={𝜎 = (𝜎₁, 𝜎₂, . . . , 𝜎_𝑁) :𝜎_𝑖 =±1}.

A Hamilton-függvény:

𝐻_𝑁(𝜎) :=− 1 2𝑁

𝑁

∑

𝑖,𝑗=1

𝜎_𝑖𝜎_𝑗 −ℎ

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖

‘Mean field’ (‘átlag tér’) elmélet, mert minden spin egy ℎ_eff = 1

𝑁

𝑁

∑

𝑗=1

𝜎_𝑗 +ℎ

effektív, átlagos mágneses térrel hat kölcsön. (_𝑁¹ helyett választhatnánk per-sze _𝑁^𝐽 kölcsönhatási együtthatókat: a 𝐽-t beolvasztjuk a𝛽-ba.) A modellnek triviális a geometriai struktúrája! Minden spin-pár egyformán hat kölcsön.

Jelöljük a teljes mágnesezettséget 𝑀-el:

𝑀 :=

𝑁

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖, 𝑀 ∈ {−𝑁,−𝑁 + 2, . . . , 𝑁 −2, 𝑁}.

Ekkor

𝐻_𝑁 =−1 2

𝑀²

𝑁 −ℎ𝑀, (3.1)

azaz a Hamilton-függvény csak𝑀-en keresztül függ a𝜎 spin konfigurációtól.

Legyen𝑟 (illetve𝑁 −𝑟) a ↑ (illetve↓) spinek száma:

A Stirling-formula alkalmazásával a következő kifejezést kapjuk:

ln𝑐_𝑁(𝑟) =𝑁(

Felhasználva (3.2)-t és (3.3)-at a termodinamikai nyomásra a következő kife-jezést kapjuk

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = sup

−1≤𝑥≤1

(𝛽ℎ𝑥−Φ_𝛽(𝑥)).

3. A CURIE – WEISS-MODELL 25 Természetesen sup_{−1≤𝑥≤1} helyett sup_𝑥∈ℝ-t is írhattunk volna. Azaz: rögzí-tett 𝛽 mellett, ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) pontosan 𝑥 7→ 𝛽⁻¹Φ𝛽(𝑥) konvex konjugáltja.

Szükségünk lesz a 𝑥7→Φ_𝛽(𝑥) függvény első két deriváltjára:

Φ^′_𝛽(𝑥) = 1

2ln1 +𝑥

1−𝑥 −𝛽𝑥= tanh⁻¹(𝑥)−𝛽𝑥, Φ^′′_𝛽(𝑥) = 1

1−𝑥² −𝛽.

Az 𝑥 7→ Φ_𝛽(𝑥) és 𝑥 7→ Φ^′_𝛽(𝑥) függvények grafikus képe az 1. és 2. ábrán látható. Lényeges különbség van 𝛽 < 1 és 𝛽 > 1 között! Míg 𝛽 < 1-re 𝑥 7→ Φ𝛽(𝑥) szigorúan konvex, 𝑥 7→ Φ^′_𝛽(𝑥) szigorúan növekvő, 𝛽 > 1-re ez nem áll. A kritikus hőmérséklet: 𝛽_𝑐= 1.

IDE JONNEK AZ ABRAK

3.2. A termodinamikai függvények meghatáro-zása

Legyen 𝑚(𝛽, ℎ) a

Φ^′_𝛽(𝑚) =𝛽ℎ (3.4)

„jó” megoldása: ahol egy megoldás van otta megoldás, ahol több megoldás van (kettő vagy három) ott az a megoldás, amelyiknek az előjele megegyezik ℎ előjelével (ld. a 2. ábrát). Az alábbiak a (3.4) egyenlet ekvivalens alakjai:

tanh⁻¹(𝑚)−𝛽𝑚 =𝛽ℎ (3.5)

𝑚 = tanh(

𝛽(𝑚+ℎ)) A nyomásra a következő kifejezést kapjuk:

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = 𝛽ℎ𝑚−Φ_𝛽(𝑚)

=𝛽ℎ𝑚− 1

2ln1−𝑚²

4 −𝑚tanh⁻¹(𝑚) + 𝛽 2𝑚²

=−1

2ln1−𝑚² 4 +𝑚(

𝛽ℎ−tanh⁻¹(𝑚)) +𝛽

2𝑚² (3.5)-öt felhasználva azt kapjuk, hogy

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = −1

2ln1−𝑚²(𝛽, ℎ)

4 −𝛽

2𝑚²(𝛽, ℎ).

A szuszceptibilitás kiszámolása: az 𝑚 = ∂𝑝

∂ℎ = 1 𝛽

( 1

1−𝑚² −𝛽 )

𝑚∂𝑚

∂ℎ egyenletből azt kapjuk, hogy

𝜒(𝛽, ℎ) = 1 𝛽

∂𝑚

∂ℎ(𝛽, ℎ) = 1−𝑚²(𝛽, ℎ) 1−𝛽(1−𝑚²(𝛽, ℎ)). Mindebből látható, hogy

(1) 𝛽 < 𝛽_𝑐 = 1-re (azaz 𝑇 > 𝑇_𝑐 = 1-re): ℎ 7→ 𝑚(𝛽, ℎ) monoton növekvő, analitikus; ℎ7→𝑝(𝛽, ℎ) szigorúan konvex,analitikus; 𝜒(𝛽, ℎ)véges.

(2) 𝛽 > 𝛽𝑐 = 1-re (azaz 𝑇 < 𝑇𝑐 = 1-re): ℎ 7→ 𝑚(𝛽, ℎ) monoton növekvő, de ℎ = 0-ban nem folytonos: 𝑚(𝛽,0+) = −𝑚(𝛽,0−) > 0; ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) szigorúan konvex, deℎ= 0-bannem analitikus: az első deriváltja szakad;

𝜒(𝛽, ℎ)véges.

(3) 𝛽 = 𝛽_𝑐 = 1-re (azaz 𝑇 = 𝑇_𝑐 = 1-re): ℎ 7→ 𝑚(𝛽, ℎ) monoton növekvő;

ℎ7→𝑝(𝛽, ℎ) szigorúan konvex, ℎ∕= 0-ban analitikus, de 𝜒(𝛽𝑐,0) =∞.

A (3.4)állapotegyenlet grafikus megjelenítései a 3. ábrán látható fázisdi-agrammok.

3.3. Kritikus exponensek

Általános fizikus hit, hogy egy Ising-szerű ferromágneses modellben, a(𝑇, ℎ) = (𝑇_𝑐,0) kritikus pont környékén a termodinamikai függvények szinguláris vi-selkedése a következő

𝑚(𝑇,0+)∼ ∣𝑇 −𝑇_𝑐∣^𝛽 amint 𝑇 ↗𝑇_𝑐, 𝜒(𝑇,0+)∼ ∣𝑇 −𝑇𝑐∣^−𝛾 amint 𝑇 ↘𝑇𝑐

𝜒(𝑇,0+)∼ ∣𝑇 −𝑇𝑐∣^−𝛾′ amint 𝑇 ↗𝑇𝑐

∣𝑚(𝑇_𝑐, ℎ)∣ ∼ ∣ℎ∣^1/𝛿 amint ℎ→0

ahol a kritikus exponensek, úgymond, univerzális jellemzők — csak nagyon általános paraméterektől (pl. a dimenziótól) függenek. A Curie – Weiss-modellre a következő exponenseket talaljuk

𝛽= 1

2, 𝛾 =𝛾^′ = 1, 𝛿= 3.

3. A CURIE – WEISS-MODELL 27 7. Házi feladat. Számoljuk ki a fenti exponenseket a Curie – Weiss-modellre.

IDE JON A HARMADIK ABRA

3.4. Mindezek valószínűségszámítási háttere/je-lentése

Tekintsük a

𝜎₁+𝜎₂ +⋅ ⋅ ⋅+𝜎_𝑁

valószínűségi változót a 𝛽 >0, ℎ= 0 paraméterekhez tartozó Gibbs-eloszlás szerint. Ezt hasonlítjuk össze az első órákon tárgyalt

𝜉₁+𝜉₂+⋅ ⋅ ⋅+𝜉_𝑁

i.i.d. összegek viselkedésével, ahol a𝜉_𝑖-k egyenkénti eloszlása azonos a𝜎_𝑖-jével:

P(𝜉_𝑖 =±1) =P(𝜎_𝑖 =±1) = 1

2 (3.6)

Nagy számok törvénye:

E

Amiből következik, hogy

∙ Magas hőmérsékleten, 𝛽 < 𝛽_𝑐:

∑𝑁 𝑖=1𝜎_𝑖

𝑁

−→P 0 csakúgy, mint az i.i.d.-k esetében.

∙ Alacsony hőmérsékleten (𝛽 > 𝛽_𝑐): Azaz: Alacsony hőmérsékleten a NSzT sérül.

Nagy eltérések: Jelölés: 𝜆=𝛽ℎ

Az első jegyzet jelölésével, az𝐼(𝜆)ˆ logaritmikus momentumgeneráló függvény fizikai jelentése: a nyomás:

𝐼(𝜆) = limˆ

∙ Magas hőmérsékleten: 𝜆 7→ 𝐼(𝜆)ˆ konvex és analitikus, csakúgy, mint az i.i.d.-k esetében.

∙ Alacsony hőmérsékleten: 𝜆 7→ 𝐼ˆ(𝜆) konvex de 𝜆 = 0-ban törik, ellen-tétben az i.i.d.-k esetével.

A nagy eltérések valószínűségének exponenciális lecsengését vezérlő 𝐼(𝑥) ráta függvény fizikai jelentése: a szabadenergia:

𝐼(𝑥) =− lim

∙ Magas hőmérsékleten: 𝑥 7→ 𝐼(𝑥) szigorúan konvex, csakúgy, mint az i.i.d.-k esetében.

∙ Alacsony hőmérsékleten: 𝑥7→ 𝐼(𝑥)nem konvex, ellentétben az i.i.d.-k esetével. Azaz: alacsony hőmérsékleten (𝑇 < 𝑇_𝑐) a megszokott NET sérül.

3. Megjegyzés. Véges dimenziós ‘igazi’ geometriai struktúrával rendelkező modelleknél azt fogjuk látni, hogy a megfelelő függvény – a szabadenergia – ugyan konvex, de nem szigorúan konvex, van egy lapos (lineáris) része, ugy néz ki, mint a Φ𝛽(𝑥) függvény alsó konvex burkolója. Ami szintén a megszokott NET sérülését jelzi.

3. A CURIE – WEISS-MODELL 29 Normális fluktuációk magas hőmérsékleten: A várható érték:

E

Magas hőmŕsékleti CHT bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével.

Legyen 𝜑(𝑢)-ra a következő kifejezést kapjuk:

𝜑(𝑢) = amiből az állítás következik.

Kritikus fluktuációk: A következő nem centrális határeloszlás-tételt bi-zonyítjuk a spinösszeg kritikus hőmérsékleti fluktuációira:

12. Tétel (R. S. Ellis és Ch. M. Newman tétele). 𝛽 = 𝛽_𝑐 = 1 és ℎ = 0 paraméter értékek mellett

P Ellis és Newman tételének bizonyítása. Legyen 𝑋 a 𝜎_𝑖-ktől független stan-dard Gauss eloszlású valószínűségi változó. Belátjuk, hogy

P

és (3.8) jobb oldala konvergál (3.7) jobb oldalához, amint𝑁 → ∞, (3.8)-ból a Tétel állítása következik.

A következő levezetésben 𝑍_𝑁 normáló faktorokat jelöl: a különböző kép-letekben nem föltétlenül azonosokat. Legyen

𝐹_𝑁(𝑦) =P

a spinösszeg eloszlásfüggvénye és 𝐺𝑁(𝑦) = P

ahol a𝜉𝑖-k (3.6) eloszlású i.i.d.-k Világos, hogy (3.1) alapján 𝑑𝐺𝑁(𝑦) = 1

𝑍_𝑁𝑒^−𝑦

2

2𝑁𝑑𝐹𝑁(𝑦). (3.10)

3. A CURIE – WEISS-MODELL 31 (3.8) bizonyítása következik:

P

ami pontosan (3.8). Az első lépésben azt használtuk, hogy független való-színűségi változók összegének eloszlásfüggvénye az egyes eloszlásfüggvények konvolúciója. A második lépés triviális. A harmadik lépésben (3.10)-et hasz-náltuk fel. A negyedikben azt, hogy

E

Az ötödik lépés újból triviális. A hatodikban a 𝜓 függvény (3.9) definícióját használtuk. Végül a hetedik lépésben egy 𝑦 := 𝑁^3/4𝑦 változócserét hajtot-tunk végre.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [2], [5].

Ising-modell ℤ ^𝑑 -n;

termodinamikai limesz

4.1. Egydimenziós Ising-modell

Fizikai tér: egydimenziós diszkrét tórusz𝑖, 𝑗,⋅ ⋅ ⋅ ∈ℤ/𝐿 𝐽_𝑖,𝑗 =

{1 ha ∣(𝑖−𝑗) mod 𝐿∣= 1 0 ha ∣(𝑖−𝑗) mod 𝐿∣ ∕= 1 A Hamilton-függvény (mint rendesen):

𝐻_𝐿(𝜎) = −1 2

𝐿

∑

𝑖,𝑗=1

𝐽_𝑖,𝑗𝜎_𝑖𝜎_𝑗 −ℎ

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖 =−

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖𝜎_𝑖+1−ℎ

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖,

periodikus peremfeltételekkel, azaz 𝐿+𝑖=𝑖 mod𝐿 Az állapotösszeg:

𝑍_𝐿(𝛽, ℎ) = ∑

𝜎∈Ω_𝐿

exp{𝛽

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖𝜎_𝑖+1+𝛽ℎ

𝐿

∑

𝑖=1

𝜎_𝑖}.

Legyen𝑇 =𝑇(𝛽, ℎ) a következő 2×2-es mátrix 𝑇 =

(𝑒^𝛽(1+ℎ) 𝑒^−𝛽 𝑒^−𝛽 𝑒^{𝛽(1−ℎ)}

)

13. Állítás.

𝑍_𝐿(𝛽, ℎ) = T𝑟𝑇^𝐿.

4. ISING-MODELL ℤ^𝐷-N; TERMODINAMIKAI LIMESZ 33 Bizonyítás: Egyszerű számolás.

8. Házi feladat. Igazoljuk a 13. Állítást.

Következésképp a𝑇 mátrix sajátértékeit kell kiszámolnunk, amelyek a 𝜆²−2𝜆𝑒^𝛽cosh(𝛽ℎ) + 2 sinh(2𝛽) = 0

karakterisztikus egyenlet gyökei:

𝜆1,2(𝛽, ℎ) =𝑒^𝛽cosh(𝛽ℎ)±(

𝑒^2𝛽sinh²(𝛽, ℎ) +𝑒^−2𝛽)1/2

. A nyomásra a következő kifejezést kapjuk:

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = lim

𝑁→∞𝛽𝑝_𝐿(𝛽, ℎ) = lim

𝐿→∞

1 𝐿ln(

𝜆^𝐿₁(𝛽, ℎ) +𝜆^𝐿₂(𝛽, ℎ))

= ln max{𝜆1(𝛽, ℎ), 𝜆2(𝛽, ℎ)}.

Azaz

𝛽𝑝(𝛽, ℎ) = ln (

𝑒^𝛽cosh(𝛽ℎ) +

√

𝑒^2𝛽sinh²(𝛽ℎ) +𝑒^−2𝛽 )

.

Tehát az egydimenziós, első szomszéd kölcsönhatású modell termodinamikai nyomását explicit módon ki tudtuk számolni, de az eredmény nem nagyon izgalmas: minden pozitív 𝛽 mellett ℎ 7→ 𝑝(𝛽, ℎ) analitikus. Nincs kritikus jelenség, fázisátmenet. Általában: egydimenziós, rövid kölcsönható sugarú modellekben nincsen fázisátmenet.

9. Házi feladat. Számoljuk ki a termodinamikai nyomást a Bethe-rácson (azaz a𝑞 >2fokú homogén fán). Ez elég hosszadalmas számolás, de megéri a fáradságot, mert tanulságos.

4.2. Ising-modell ℤ

^𝑑

-n

Fizikai tér: 𝑥, 𝑦,⋅ ⋅ ⋅ ∈ℤ^𝑑 (vagy annak egy véges része).

𝐽_𝑥,𝑦 =

{1 ha ∣𝑥−𝑦∣= 1 0 ha ∣𝑥−𝑦∣ ∕= 1

Legyen Λ ⊂ ℤ^𝑑 véges, téglatest alakú része a 𝑑 dimenziós egész rácsnak. A Hamilton-függvény:

𝐻Λ(𝜎) =−1 2

∑

𝑥,𝑦∈Λ

∣𝑥−𝑦∣=1

𝜎𝑥𝜎𝑦−ℎ∑

𝑥∈Λ

𝜎𝑥.

Szabad peremfeltételeket választottunk (választhatunk volna újból periodi-kus peremfeltételeket). Az állapotösszeg természetesen:

𝑍Λ(𝛽, ℎ) = ∑

𝜎∈Ω_Λ

exp{𝛽 2

∑

𝑥,𝑦∈Λ

∣𝑥−𝑦∣=1

𝜎𝑥𝜎𝑦+𝛽ℎ∑

𝑥∈Λ

𝜎𝑥}.

Az első alapkérdés a termodinamikai limesz létezése, azaz létezik-e a követ-kező határérték:

𝑝(𝛽, ℎ) = lim

Λ𝑛↗𝑍^𝑑

𝑝_Λ𝑛(𝛽, ℎ) = lim

Λ𝑛↗ℤ^𝑑

1

𝛽∣Λ_𝑛∣ln𝑍_Λ𝑛(𝛽, ℎ) (4.1) AholΛ_𝑛 ↗ℤ^𝑑 azt jelenti, hogy Λ_𝑛 ⊂Λ_𝑛+1 és ∪_𝑛Λ_𝑛 =ℤ^𝑑. Legyen

∂_𝑟Λ ={𝑥∈Λ :dist(𝑥,Λ^𝑐)≤𝑟}.

Azt mondjuk, hogyΛ_𝑛↗ℤ^𝑑van Hove értelemben, haΛ_𝑛↗ℤ^𝑑és(∀𝑟 <

∞)-re ∣∂_𝑟Λ_𝑛∣

∣Λ𝑛∣ →0

14. Tétel (A termodinamikai limesz létezése.). Ha Λ_𝑛 ↗ ℤ^𝑑 van Hove értelemben, akkor létezik a (4.1)-beli limesz és a termodinamikai nyomás független a választott Λ_𝑛 sorozattól.

Bizonyítás. Két dimenzióban, növekvő oldalhosszú négyzetekre fogjuk belát-ni a tétel állítását. Az általánosítás tetszőleges van Hove értelemben növekvő Λ_𝑛 tartományokra kissé hosszadalmas, de elvileg nem nehéz. Általánosítás tetszőleges dimenzióra triviális.

LegyenΛtetszőleges véges halmaz és 𝐻_Λ, 𝐻_Λ^′ két Hamilton-függvényΩ_Λ -n. Jelöljük

∥𝐻_Λ−𝐻_Λ^′∥:= max

𝜎∈ΩΛ

∣𝐻_Λ(𝜎)−𝐻_Λ^′(𝜎)∣.

4. ISING-MODELL ℤ^𝐷-N; TERMODINAMIKAI LIMESZ 35 Világos, hogy minden 𝜎 ∈Ω_Λ-ra

𝑒^−𝛽∥^𝐻Λ−𝐻_Λ^′∥𝑒^{−𝛽𝐻′Λ(𝜎)} ≤𝑒^{−𝛽𝐻Λ(𝜎)} ≤𝑒^𝛽∥^𝐻Λ−𝐻_Λ^′∥𝑒^{−𝛽𝐻Λ′(𝜎)}, amiből egyenesen adódik, hogy

−∥𝐻_Λ−𝐻_Λ^′∥

∣Λ∣ +𝑝^′_Λ(𝛽, ℎ)≤𝑝_Λ(𝛽, ℎ)≤ ∥𝐻_Λ−𝐻_Λ^′ ∥

∣Λ∣ +𝑝^′_Λ(𝛽, ℎ), azaz

∣𝑝_Λ(𝛽, ℎ)−𝑝^′_Λ(𝛽, ℎ)∣ ≤ ∥𝐻_Λ−𝐻_Λ^′∥

∣Λ∣ . (4.2)

Legyen Λ_𝑛 = (−^𝑛₂,^𝑛₂]²∩ℤ² és 𝑝_𝑛 =𝑝_Λ𝑛. Első lépésként tekintsük az 𝑛 = 2^𝑘 oldalhosszú négyzetek növekvő sorozatát. A Λ₂𝑘+1 négyzetben tekintsük a következő két Hamilton-függvényt:

𝐻₂^𝑘+1(𝜎) = 𝐻_Λ

2𝑘+1(𝜎), 𝐻₂^′𝑘+1(𝜎) = 𝐻_Λ(1)

2𝑘

(𝜎∣_Λ(1) 2𝑘

) +𝐻_Λ(2) 2𝑘

(𝜎∣_Λ(2) 2𝑘

) +𝐻_Λ(3) 2𝑘

(𝜎∣_Λ(3) 2𝑘

) +𝐻_Λ(4) 2𝑘

(𝜎∣_Λ(4) 2𝑘

), ahol Λ⁽¹⁾₂𝑘, . . . ,Λ⁽⁴⁾₂𝑘 a Λ₂^𝑘+1 négyzet négy természetes negyede. Azaz: 𝐻^′ a négy, egymással nem kölcsönható negyed belső energiáinak összege. Világos, hogy

𝑝^′₂𝑘+1(𝛽, ℎ) =𝑝₂^𝑘(𝛽, ℎ).

(4.2)-t alkalmazva azt kapjuk, hogy

∣𝑝₂𝑘+1(𝛽, ℎ)−𝑝₂𝑘(𝛽, ℎ)∣ ≤ 1 2^𝑘, amiből egyenesen következik, hogy

𝑘→∞lim 𝑝₂𝑘(𝛽, ℎ) =: 𝑝(𝛽, ℎ) létezik és

∣𝑝₂𝑘(𝛽, ℎ)−𝑝(𝛽, ℎ)∣ ≤ 1 2^𝑘−1.

Második lépésként tekintsünk tetszőleges oldalhosszú négyzeteket. Az előbbi érvelés könynyen általánosítható a következő képpen: ∀𝑘, 𝑙≥1-re

∣𝑝_𝑘𝑙(𝛽, ℎ)−𝑝_𝑘(𝛽, ℎ)∣ ≤ 2 𝑘.

Ebből pedig az adódik, hogy

∣𝑝_𝑙(𝛽, ℎ)−𝑝(𝛽, ℎ)∣ ≤

≤ ∣𝑝_𝑙(𝛽, ℎ)−𝑝_𝑙2𝑘(𝛽, ℎ)∣+∣𝑝_𝑙2𝑘(𝛽, ℎ)−𝑝₂𝑘(𝛽, ℎ)∣+∣𝑝₂𝑘(𝛽, ℎ)−𝑝(𝛽, ℎ)∣

≤ 2 𝑙 + 2

2^𝑘 + 2 2^𝑘.

𝑘-val végtelenhez tartva pedig

∣𝑝_𝑙(𝛽, ℎ)−𝑝(𝛽, ℎ)∣ ≤ 2 𝑙.

10. Házi feladat. A Λ↗ℤ² téglalapokra való általánosítás.

4. Megjegyzés. (4.2) alkalmazásával azt is láthatjuk, hogy a termodinami-kai nyomás független a választott peremfeltételektől.

4.3. Kicsit általánosabban

Megengedhetünk több-spin kölcsönhatást is:

𝐴⊂ℤ^𝑑, ∣𝐴∣<∞: 𝐽_𝐴∈ℝ, 𝜎_𝐴= ∏

𝑥∈𝐴

𝜎_𝑥. A formális Hamilton-függvény:

𝐻(𝜎) =− ∑

𝐴:∣𝐴∣<∞

𝐽_𝐴𝜎_𝐴.

Eltolásinvariancia:

(∀𝐴:∣𝐴∣<∞), (∀𝑧 ∈ℤ^𝑑) :𝐽𝐴+𝑧 =𝐽𝐴.

A modell ferromágneses, ha ∀𝐴 𝐽_𝐴 ≥ 0. Eddig vizsgált – legegyszerűbb – eset:

𝐽𝐴 =

⎧

⎨

⎩

ℎ ha 𝐴={𝑥}

1 ha 𝐴 ={𝑥, 𝑦},∣𝑥−𝑦∣= 1

0 egyébként

4. ISING-MODELL ℤ^𝐷-N; TERMODINAMIKAI LIMESZ 37 Végességi feltétel:

∑

𝐴:0∈𝐴

∣𝐽_𝐴∣

∣𝐴∣ <∞. (4.3)

Értelme: spinenkénti átlagos energia véges. Párkölcsönhatás esetén: 𝐽_{𝑥,𝑦} :=

𝐽𝑥−𝑦 és a (4.3) feltétel: ∑

𝑧∈ℤ^𝑑

𝑎𝑏𝑠𝐽_𝑧 <∞.

11. Házi feladat. A termodinamikai limesz létezésének tétele eltolásinva-riáns kölcsönhatással, (4.3) feltétel mellett könnyen általánosítható.

4.4. A nyomás konvexitása

Legyen Λ⊂ℤ^𝑑 véges és 𝐴, 𝐵 ⊂Λ. Könnyen ellenőrízhető, hogy

∂𝑍Λ

∂𝐽_𝐴 =⟨𝜎_𝐴⟩_Λ,

∂²𝑍_Λ

∂𝐽_𝐴∂𝐽_𝐵 =⟨𝜎_𝐴𝜎_𝐵⟩_Λ− ⟨𝜎_𝐴⟩_Λ⟨𝜎_𝐵⟩_Λ, amiből következik, hogy

{𝐽} 7→𝑝Λ

és a termodinamikai limeszben

{𝐽} 7→𝑝

a{𝐽}paramétereknekegyüttesen konvex függvénye. Hasonló módon látható, hogy

1

𝛽 =𝑇 7→𝑝 is konvex.

Két út áll előttünk:

(1) 𝑝(𝛽, ℎ)explicit kiszámolását kísérelhetjük meg bizonyos – többnyíre két-dimenziós – modellekben;

(2) 𝑝(𝛽, ℎ) kvalitatív elemzése, explicit kiszámolás nélkül.

Az explicit kiszámolás külön tudomány („exactly solvable models” ld. pl.

[2]), a 2-d Ising-modell megoldásával kezdődött (Lars Onsager, 1944), [2] a tökéletes irodalom. Mi a második utat – azaz: a kvalitatív elemzését – fogjuk követni.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [2], [13], [28].

Analitikusság I:

Kirkwood – Salsburg-egyenletek

5.1. Az Ising-rácsgáz

Az rácsgáz modell teljesen ekvivalens az eddig tárgyalt mágneses Ising-modellel. Jelen céljainkra (e jegyzeten belül) kényelmesebb formalizmust biztosít. Viszont mindvégig hangsúlyozni fogjuk az ekvivalenciát: az ered-ményeket végül átfogalmazzuk a mágneses Ising-modellre is.

Fizikai tér: 𝑥, 𝑦,⋅ ⋅ ⋅ ∈ℤ^𝑑 vagy annak egy véges Λ része. Az állapottér:

Ω_Λ:={𝑛= (𝑛_𝑥)𝑥∈Λ:𝑛_𝑥= 0,1}={0,1}^Λ.

Értelmezés: 𝑛 egy rácsgáz mikroszkopikus állapotát írja le. Rácspontonként legfeljebb egy részecske lehet (kemény mag): 𝑛_𝑥 = 0 – nincs részecske az 𝑥 ∈Λ rácspontban; 𝑛_𝑥 = 1 – van részecske az 𝑥 ∈ Λ rácspontban. A teljes részecske számot ∣𝑛∣-el jelöljük:

∣𝑛∣=∑

𝑥∈Λ

𝑛_𝑥. A Hamilton-függvény:

𝐻_Λ(𝑛) = 1 2

∑

𝑥,𝑦∈Λ

Φ(𝑥−𝑦)𝑛_𝑥𝑛_𝑦.

Értelmezés: az𝑥, 𝑦 ∈ℤ^𝑑 rácspontokban ülő részcske-pár kölcsönhatási ener-giájaΦ(𝑥−𝑦) = Φ(𝑦−𝑥). Feltesszük, hogy

Φ(0) = 0.

5. ANALITIKUSSÁG I 39 Azaz: nincs ‘önkölcsönhatás’. Stabilitási feltétel (ld. az előző fejezet (4.3) feltételét):

∑

𝑧∈ℤ^𝑑

∣Φ(𝑧)∣=𝑀 <∞. (5.1) Legyen

𝜑:= ∑

𝑧∈ℤ^𝑑

Φ(𝑧). (5.2)

A nagykanonikus állapotösszeg:

𝑍_Λ(𝛽, 𝜇) = ∑

𝑛∈Ω_Λ

exp{−𝛽𝐻_Λ(𝑛) +𝛽𝜇∑

𝑥∈Λ

𝑛_𝑥}

=

∣Λ∣

∑

𝑁=0

𝑧^𝑁𝑄_Λ(𝛽, 𝑁), ahol 𝜇 akémiai potenciál,

𝑧 = exp{𝛽𝜇}

a fugacitás és

𝑄_Λ(𝛽, 𝑁) = ∑

ΩΛ∋𝑛:∣𝑛∣=𝑁

exp{−𝛽𝐻_Λ(𝑛)}

akanonikus állapotösszeg. (A szavak persze nem fontosak, de jó megjegyezni őket: azonos mennyiségeknek más-más a fizikai jelentésük attól függően, hogy mágneses- vagy rácsgáz modellként értelmezzük a problémánkat.)

Ekvivalencia a mágneses Ising-modellel:

𝑛_𝑥 = 𝜎_𝑥+ 1

2 , 𝜎_𝑥 = 2𝑛_𝑥−1, (5.3)

Φ(𝑥−𝑦) = −4𝐽𝑥−𝑦, 𝐽𝑥−𝑦 =−Φ(𝑥−𝑦)

4 , (5.4)

𝜇= 2ℎ−2∑

𝑥∈ℤ^𝑑

𝐽_𝑥, ℎ= 𝜇

2 −

∑

𝑥∈ℤ^𝑑Φ(𝑥)

4 , (5.5)

𝑝_gáz(𝛽, 𝜇) =𝑝_mágnes(𝛽,2ℎ+𝜑/2), 𝑝_mágnes(𝛽, ℎ) =𝑝_gáz(𝛽, 𝜇/2−𝜑/4). (5.6)

5.2. Korrelációs függvények

Jelöljük ℱ(ℤ^𝑑)-vel aℤ^𝑑 rács véges részhalmazainak halmazát:

ℱ(ℤ^𝑑) = {𝐴∈ 𝒫(ℤ^𝑑) :∣𝐴∣<∞}

Véges Λ⊂ℤ^𝑑-ra definiáljuk a következő korrelációs függvényt:

𝜌_Λ:𝒫(Λ)→[0,1], 𝜌_Λ(𝐴) = ⟨∏

𝑥∈𝐴

𝑛_𝑥⟩_Λ.

És a termodinamikai limeszben

𝜌:ℱ(ℤ^𝑑)→[0,1], 𝜌(𝐴) = lim

Λ↗ℤ^𝑑

𝜌_Λ(𝐴), (5.7)

amennyiben a határérték létezik és egyérelmű. Célunk: a 𝜌(⋅) korrelációs függvény elemzése.

Ha mágneses nyelven beszélnénk a következő korrelációs függvényt tekin-tenénk:

𝑚_Λ(𝐴) =⟨∏

𝑥∈𝐴

𝜎_𝑥⟩_Λ =⟨∏

𝑥∈𝐴

(2𝑛_𝑥−1)⟩_Λ

= ∑

𝐵∈𝒫(𝐴)

(−1)^{∣𝐴∖𝐵∣}2^∣𝐵∣𝜌_Λ(𝐵).

12. Házi feladat. Az alább tárgyaltMöbius inverziós formulát alkalmazva mutassuk meg, hogy

𝜌_Λ(𝐴) = 2^{−∣𝐴∣} ∑

𝐵∈𝒫(𝐴)

𝑚_Λ(𝐵).

Tehát megint azt látjuk, hogy a rácsgáz és a mágneses megfogalmazás ekvivalens egymással: egyikből a másikat könnyen megkaphatjuk. Kizárólag kényelmi okokból válaszottuk a rácsgáz inerpretációt.

5.3. Számolás

Legyen𝐴 ∈ ℱ(ℤ^𝑑) és𝑥∈ℤ^𝑑. Értelmezzük a kövekezőket:

𝑈(𝐴) := 1 2

∑

𝑦,𝑧∈𝐴

Φ(𝑦−𝑧) 𝑊(𝑥, 𝐴) :=∑

𝑦∈𝐴

Φ(𝑥−𝑦) (5.8)

5. ANALITIKUSSÁG I 41 Ezek fizikai értelme világos: 𝑈(𝐴) az 𝐴 halmazt teljesen elfoglaló részecs-kék egymással való teljes kölcsönhatási energiája, 𝑊(𝑥, 𝐴) pedig az 𝑥-ben levő részecskének az 𝐴 halmazt teljesen elfoglaló részecskékkel való teljes kölcsönhatási energiája. Ezek segítségével az állapotösszegre és a korrelációs függvényre következő kifejezéseket kapjuk:

𝑍_Λ= ∑

𝐵:𝐵⊂Λ

𝑧^∣𝐵∣exp{−𝛽𝑈(𝐵)}

𝜌_Λ(𝐴) = 1 𝑍Λ

∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

𝑧^∣𝐵∣exp{−𝛽𝑈(𝐵)}

= 1 𝑍_Λ

∑

𝐶:𝐶⊂Λ∖𝐴

𝑧^{∣𝐴∪𝐶∣}exp{−𝛽𝑈(𝐴∪𝐶)} (5.9)

Legyen 𝐴 ∕=∅ és válasszunk egy teszőleges 𝑥 ∈ 𝐴-t. Jelöljük 𝐴^′ = 𝐴∖ {𝑥}.

𝐶∩𝐴=∅ esetén a következő azonosság adódik:

𝑈(𝐴∪𝐶) =𝑊(𝑥, 𝐴) +𝑊(𝑥, 𝐶) +𝑈(𝐴^′∪𝐶).

Ezt felhasználva (5.9)-ből a következő kifejezést kapjuk:

𝜌_Λ(𝐴) = 1

𝑍_Λ𝑧𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥,𝐴)} ∑

𝐶:𝐶⊂Λ∖𝐴

𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥,𝐶)}𝑧^{∣𝐴′∪𝐶∣}𝑒^{−𝛽𝑈(𝐴′∪𝐶)}. (5.10)

5.4. Möbius inverziós formula

LegyenΛvéges halmaz. Értelmezzük az𝑓 :𝒫(𝐴)→ℝfüggvények halmazán a következő két transzformációt:

𝑓ˆ(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

𝑓(𝐵) 𝑓ˇ(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣}𝑓(𝐵)

15. Állítás (Möbius inverziós formula). Tetszőleges 𝑓 : 𝒫(𝐴) → ℝ függ-vényre

ˆˇ

𝑓 =𝑓 =𝑓.ˇˆ

Möbius inverziós formula bizonyítása:

ˆˇ

𝑓(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

𝑓(𝐵) =ˇ ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

∑

𝐶:𝐵⊂𝐶⊂Λ

(−1)^{∣𝐶∖𝐵∣}𝑓(𝐶)

= ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶) ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂𝐶

(−1)^{∣𝐶∖𝐵∣} = ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶)𝛿_𝐶,𝐴 =𝑓(𝐴).

ˇˆ

𝑓(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣}𝑓ˆ(𝐵) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣} ∑

𝐶:𝐵⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶)

= ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶) ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂𝐶

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣} = ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶)𝛿_𝐶,𝐴 =𝑓(𝐴).

5.5. Számolás folytatása

A Möbius inverziót alkalmazva (5.9)-ből a következő azonosságot kapjuk:

1

𝑍_Λ𝑧^∣𝐴∣exp{−𝛽𝑈(𝐴)}= ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣}𝜌_Λ(𝐵). (5.11)

5. ANALITIKUSSÁG I 43 Ezt behelyettesítjük (5.10)-be

𝜌_Λ(𝐴) A fenti levezetés első lépése (5.11) behelyettesítése (5.10)-be. A második lépésben𝐸 =𝐷∖𝐴. A harmadik lépésben a két összegzés sorrendjét cseréltük fel. Végül a negyedik lépésben a𝑊(𝑥, 𝐶)(5.8)-beli definícióját helyettesítjük be.

Értelmezzük a következő magfüggvényt:

𝒦:ℤ^𝑑× ℱ(ℤ^𝑑)→ℝ, 𝒦(𝑥, 𝐷) := ∏

𝑦∈𝐷

(𝑒^{−𝛽Φ(𝑥−𝑦)}−1)

. (5.13) Természetesen 𝒦(𝑥,∅) = 1 és 𝒦(𝑥, 𝐷) = 0, ha 𝑥 ∈ 𝐷. A 𝒦(𝑥, 𝐷) magfügg-vényt felhasználva (5.12)-ből azt kapjuk, hogy

𝜌_Λ(∅) = 1

ha𝑥∈𝐴∕=∅ és𝐴^′ =𝐴∖ {𝑥}.

A alább definiált Banach-térben fogunk dolgozni:

B={

Természetesen 𝜌_Λ(⋅) (és 𝜌(⋅), amennyiben az (5.7) limesz létezik) eleme a B Banach-térnek. Jelöljük Π_Λ-val a következő projekció operátorokatB-ben:

[Π_Λ𝑓] (𝐴) := 𝜒_Λ(𝐴)𝑓(𝐴), ahol 𝜒_Λ(𝐴) :=

{1 ha 𝐴⊂Λ 0 ha 𝐴∕⊂Λ. Triviális ellenőrizni, hogyΠ_Λ korlátos, sőt

∥Π_Λ∥= 1.

Minden ∅ ∕=𝐴 ∈ ℱ(ℤ^𝑑)-hez rendeljük kanonikus módon egy 𝑥_𝐴 ∈𝐴 elemét

— pl. 𝑍^𝑑 egy tetszőleges, de fix lineáris rendezésében lehet 𝑥𝐴 = min𝐴, ami egyértelműen meghatározott. Továbbá legyen𝐴^′ =𝐴∖ {𝑥_𝐴}. Az alábbi eredmények természetesen függetlenek lesznek az𝑥_𝐴∈𝐴elem kanonikus ki-választásától. Adott𝑧 ≥0mellett értelmezzük a következő lineáris operátort B felett:

ahol 𝑀 és 𝜑 az (5.1), (5.2)-ben megadott konstansok.

Bizonyítás. Az (5.15) korlát két egyszerű becslésből adódik. Előszőr:

−𝑊(𝑥_𝐴, 𝐴) = −∑

𝑦∈𝐴

Φ(𝑦−𝑥_𝐴) = ∑

𝑦∈ℤ^𝑑∖𝐴

Φ(𝑦−𝑥_𝐴)−𝜑≤𝑀−𝜑,

5. ANALITIKUSSÁG I 45 amiből adódik, hogy

0< 𝑧𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥𝐴,𝐴)}

1 +𝑧𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥𝐴,𝐴)} ≤ 𝑧𝑒^{𝛽(𝑀−𝜑)}

1 +𝑧𝑒^{𝛽(𝑀−𝜑)}. (5.16) Másodszor:

∑

𝐷∈ℱ(ℤ𝑑):

∅∕=𝐷⊂𝐴^𝑐

∣𝒦(𝑥, 𝐷)∣≤¹ ∑

𝐷∈ℱ(ℤ𝑑):

𝐷∕=∅

∣𝒦(𝑥, 𝐷)∣

=2 ∑

𝐷∈ℱ(ℤ𝑑):

𝐷∕=∅

∏

𝑦∈𝐷

𝑒^{−𝛽Φ(𝑥−𝑦)}−1

=3 ∏

𝑦∈ℤ^𝑑

{𝑒^{−𝛽Φ(𝑦)}−1 + 1}

−1

≤4 exp{∑

𝑦∈ℤ^𝑑

𝑒^{−𝛽Φ(𝑦)}−1 } −1

≤5 exp{∑

𝑦∈ℤ^𝑑

(𝑒^{∣𝛽Φ(𝑦)∣}−1) } −1

≤6 exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1 (5.17) Az első lépés triviális. A második lépésben a 𝒦(𝑥, 𝐷) magfüggvény (5.13)-beli értelmezését használtuk. A harmadik lépés egy egyszerű kombinatorikai azonosság. A negyedik lépésben az 1 + 𝑎 ≤ 𝑒^𝑎, 𝑎 ∈ ℝ egyenlőtlenséget használjuk. Az ötödik lépés újból triviális. Végül a hatodik lépés a 𝑒^𝑎 + 𝑒^𝑏 ≤ 𝑒^𝑎+𝑏 + 1, 𝑎𝑏 ≥0 egyenlőtlenségből következik. (5.16)-ból és (5.17)-ből következik (5.15).

13. Házi feladat. Ellenőrizzük a bizonyítás harmadik lépésében szereplő kombinatorikus azonosságot.

Jelöljük11-el a B Banach-tér következő nevezetes elemét:

11(𝐴) =𝛿_𝐴,∅.

(5.14)-ből, továbbá Π_Λ, 𝐾_𝑧 és11 definíciójából látható, hogy 𝜌_Λ a következő B-beli inhomogén lineáris egyenletet elégíti ki:

𝜌_Λ = 11 + Π_Λ𝐾_𝑧𝜌_Λ

(5.15)-ből látható, hogy ha 𝑧 < 1 2

𝑒^{−𝛽(𝑀−𝜑)}

exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1 =𝑐₁(𝛽), (5.18) akkor

∥𝐾_𝑧∥<1 (5.19)

és következésképpen az𝐼−ΠΛ𝐾𝑧 operátor invertálható. Azaz 𝜌_Λ = (𝐼−Π_Λ𝐾_𝑧)⁻¹11.

Ebben a kifejezésben végrehajthatjuk aΛ↗ℤ^𝑑 limeszt és azt kapjuk, hogy (5.18) feltétel mellett

𝜌= (𝐼−𝐾_𝑧)⁻¹11.

A jobb oldali

(𝐼 −𝐾_𝑧)⁻¹ =

∞

∑

𝑛=1

𝐾_𝑧^𝑛

Neumann sorfejtés (5.19) miatt abszolút konvergens és 𝑧 ∈ [0, 𝑐₁(𝛽))-ban analitikus.

Könnyen belátható, hogy a

𝑛_𝑥 →1−𝑛_𝑥

ún. részecske-lyuk transzformációval egy ekvivalens rácsgáz modellt kapunk, azonos hőmérsékleten és

𝑧^′ = 𝑒^𝛽𝜑

𝑧 (5.20)

fugacitással. (A részecske-lyuk transzformációnak a mágneses Ising-modell± spin-tükrözési transzformációja felel meg.) A fenti érvelést erre végrehatva, majd az (5.20) transzformációt mégegyszer – visszafelé – végrehajtva azt láthatjuk, hogy a korrełációs függvények a

𝑧 >2𝑒^𝛽𝑀(

exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1)

=𝑐₂(𝛽) (5.21)

tartományban is analitikus függvényei 𝑧-nek. 𝑐1(𝛽) csökkenő, míg 𝑐2(𝛽) nö-vekvő függvénye 𝛽-nak, továbbá

𝑐₁(0) =∞=𝑐₂(∞), 𝑐₁(∞) = 0 =𝑐₂(0).

5. ANALITIKUSSÁG I 47 Következik, hogy létezik egy 𝛽^∗ ∈(0,∞), úgy, hogy

𝛽 < 𝛽^∗ ⇒ 𝑐2(𝛽)< 𝑐1(𝛽). (5.22) Végül (5.18), (5.21) és (5.22) alapján arra következtetünk, hogy ha 𝛽 < 𝛽^∗ akkor 𝑧 → 𝜌 analitikus az egész 𝑧 > 0 fugacitás tartományban. A 𝑧 → 𝜌 analitikusságából a 𝑧 →𝑝analitikussága is könnyen adódik, mivel a korrelá-ció függvény értéke az egyelemű halmazon pontosan a nyomásnak a kémiai potenciál szerinti első deriváltja:

𝜌({𝑥}) = 1 𝛽

∂𝑝

∂𝜇 =𝑧∂𝑝

∂𝑧. Beláttuk tehát a következő tételt:

17. Tétel (Kirkwood – Salsburg-sorfejtés konvergenciája és analitikusság, rácsgáz nyelven). Fix 𝛽 >0 mellett a

𝜇∈(−∞,ln𝑐₁(𝛽))∪(ln𝑐₂(𝛽),∞)

tartományban a 𝜇 → 𝑝 nyomás és a 𝜇 → 𝜌 korrelációs függvény a kémiai potenciál analitikus függvénye.

Ez (5.3)–(5.6) segítségével könnyen átfogalmazható a mágneses Ising-modellre. Legyen

𝑐₃(𝛽) = 2𝑒^{𝛽2(𝑀−𝜑2)}(

exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1) .

18. Tétel (Kirkwood – Salsburg-sorfejtés konvergenciája és analitikusság, mágneses nyelven). Fix 𝛽 >0 mellett a

ℎ∈(−∞,−ln𝑐₃(𝛽))∪(ln𝑐₃(𝛽),∞)

tartományban a ℎ→𝑝 nyomás és az ℎ→𝑚 korrelációs függvény a ℎ külső mágneses tér analitikus függvénye.

A fejezethez tartozó irodalom: [13], [28].

Analitikusság II: Lee és Yang tétele

6.1. Egy kis komplex függvénytan

Az alábbi két klasszikus komplex függvénytani tétel és bizonyításuk megta-lálható például a [29] könyvében.

19. Tétel (Vitali tétele). Legyen 𝐷 ⊂ ℂ korlátos, egyszerűen összefüggő, nyilt tartomány olyan, hogy 𝐷∩ℝ ∕= ∅ és 𝑓_𝑛 : 𝐷 → ℂ, 𝑛 ∈ ℕ, függvények teljesítsék az alábbi három feltételt

(i) analitikusak a 𝐷 tartományon,

(ii) egyenletesen korlátosak 𝐷-n, azaz (∃𝑀 < ∞) úgy, hogy sup_𝑛∈ℕsup_𝑧∈𝐷∣𝑓_𝑛(𝑧)∣ ≤𝑀,

(iii)

(∀𝑥∈𝐷∩ℝ) : lim

𝑛→∞𝑓_𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Ekkor: 𝑓 analitikusan kiterjeszthető𝐷∩ℝ-ről 𝐷-re és ha 𝐷^′ ⊂𝐷, akkor 𝐷^′-en az 𝑓_𝑛 függvénysorozat egyenletesen konvergál 𝑓-hez, azaz

𝑛→∞lim sup

𝑧∈𝐷^′

∣𝑓𝑛(𝑧)−𝑓(𝑧)∣= 0.

6. ANALITIKUSSÁG II: LEE ÉS YANG TÉTELE 49 20. Tétel (Hurwitz tétele). Legyen 𝐷 ⊂ ℂ korlátos, nyílt tartomány, 𝑓_𝑛, 𝑛 ∈ℕ és 𝑓 ∕≡0 analitikus függvények 𝐷-n értelmezve, úgy, hogy

(∀𝑧 ∈𝐷) : 𝑓(𝑧) = lim

𝑛→∞𝑓_𝑛(𝑧).

Ha 𝑧₀ ∈𝐷 𝑘-szoros multiplicitású zérushelye 𝑓-nek és 𝑈 olyan környezete 𝑧₀-nak, amelyben 𝑓-nek 𝑧₀-n kívül más zérushelye nincsen, akkor létezik egy olyan 𝑁 ∈ℕ, hogy minden 𝑛 > 𝑁-re 𝑓_𝑛-nek, multiplicitásokat is figyelembe véve, pontosan 𝑘 darab zérushelye van 𝑈-ban

Ha 𝑧₀ ∈𝐷 𝑘-szoros multiplicitású zérushelye 𝑓-nek és 𝑈 olyan környezete 𝑧₀-nak, amelyben 𝑓-nek 𝑧₀-n kívül más zérushelye nincsen, akkor létezik egy olyan 𝑁 ∈ℕ, hogy minden 𝑛 > 𝑁-re 𝑓_𝑛-nek, multiplicitásokat is figyelembe véve, pontosan 𝑘 darab zérushelye van 𝑈-ban

In document A statisztikus fizika matematikai módszerei (Pldal 12-0)