A nyomás konvexitása

𝐴:0∈𝐴

∣𝐽_𝐴∣

∣𝐴∣ <∞. (4.3)

Értelme: spinenkénti átlagos energia véges. Párkölcsönhatás esetén: 𝐽_{𝑥,𝑦} :=

𝐽𝑥−𝑦 és a (4.3) feltétel: ∑

𝑧∈ℤ^𝑑

𝑎𝑏𝑠𝐽_𝑧 <∞.

11. Házi feladat. A termodinamikai limesz létezésének tétele eltolásinva-riáns kölcsönhatással, (4.3) feltétel mellett könnyen általánosítható.

4.4. A nyomás konvexitása

Legyen Λ⊂ℤ^𝑑 véges és 𝐴, 𝐵 ⊂Λ. Könnyen ellenőrízhető, hogy

∂𝑍Λ

∂𝐽_𝐴 =⟨𝜎_𝐴⟩_Λ,

∂²𝑍_Λ

∂𝐽_𝐴∂𝐽_𝐵 =⟨𝜎_𝐴𝜎_𝐵⟩_Λ− ⟨𝜎_𝐴⟩_Λ⟨𝜎_𝐵⟩_Λ, amiből következik, hogy

{𝐽} 7→𝑝Λ

és a termodinamikai limeszben

{𝐽} 7→𝑝

a{𝐽}paramétereknekegyüttesen konvex függvénye. Hasonló módon látható, hogy

1

𝛽 =𝑇 7→𝑝 is konvex.

Két út áll előttünk:

(1) 𝑝(𝛽, ℎ)explicit kiszámolását kísérelhetjük meg bizonyos – többnyíre két-dimenziós – modellekben;

(2) 𝑝(𝛽, ℎ) kvalitatív elemzése, explicit kiszámolás nélkül.

Az explicit kiszámolás külön tudomány („exactly solvable models” ld. pl.

[2]), a 2-d Ising-modell megoldásával kezdődött (Lars Onsager, 1944), [2] a tökéletes irodalom. Mi a második utat – azaz: a kvalitatív elemzését – fogjuk követni.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [2], [13], [28].

Analitikusság I:

Kirkwood – Salsburg-egyenletek

5.1. Az Ising-rácsgáz

Az rácsgáz modell teljesen ekvivalens az eddig tárgyalt mágneses Ising-modellel. Jelen céljainkra (e jegyzeten belül) kényelmesebb formalizmust biztosít. Viszont mindvégig hangsúlyozni fogjuk az ekvivalenciát: az ered-ményeket végül átfogalmazzuk a mágneses Ising-modellre is.

Fizikai tér: 𝑥, 𝑦,⋅ ⋅ ⋅ ∈ℤ^𝑑 vagy annak egy véges Λ része. Az állapottér:

Ω_Λ:={𝑛= (𝑛_𝑥)𝑥∈Λ:𝑛_𝑥= 0,1}={0,1}^Λ.

Értelmezés: 𝑛 egy rácsgáz mikroszkopikus állapotát írja le. Rácspontonként legfeljebb egy részecske lehet (kemény mag): 𝑛_𝑥 = 0 – nincs részecske az 𝑥 ∈Λ rácspontban; 𝑛_𝑥 = 1 – van részecske az 𝑥 ∈ Λ rácspontban. A teljes részecske számot ∣𝑛∣-el jelöljük:

∣𝑛∣=∑

𝑥∈Λ

𝑛_𝑥. A Hamilton-függvény:

𝐻_Λ(𝑛) = 1 2

∑

𝑥,𝑦∈Λ

Φ(𝑥−𝑦)𝑛_𝑥𝑛_𝑦.

Értelmezés: az𝑥, 𝑦 ∈ℤ^𝑑 rácspontokban ülő részcske-pár kölcsönhatási ener-giájaΦ(𝑥−𝑦) = Φ(𝑦−𝑥). Feltesszük, hogy

Φ(0) = 0.

5. ANALITIKUSSÁG I 39 Azaz: nincs ‘önkölcsönhatás’. Stabilitási feltétel (ld. az előző fejezet (4.3) feltételét):

∑

𝑧∈ℤ^𝑑

∣Φ(𝑧)∣=𝑀 <∞. (5.1) Legyen

𝜑:= ∑

𝑧∈ℤ^𝑑

Φ(𝑧). (5.2)

A nagykanonikus állapotösszeg:

𝑍_Λ(𝛽, 𝜇) = ∑

𝑛∈Ω_Λ

exp{−𝛽𝐻_Λ(𝑛) +𝛽𝜇∑

𝑥∈Λ

𝑛_𝑥}

=

∣Λ∣

∑

𝑁=0

𝑧^𝑁𝑄_Λ(𝛽, 𝑁), ahol 𝜇 akémiai potenciál,

𝑧 = exp{𝛽𝜇}

a fugacitás és

𝑄_Λ(𝛽, 𝑁) = ∑

ΩΛ∋𝑛:∣𝑛∣=𝑁

exp{−𝛽𝐻_Λ(𝑛)}

akanonikus állapotösszeg. (A szavak persze nem fontosak, de jó megjegyezni őket: azonos mennyiségeknek más-más a fizikai jelentésük attól függően, hogy mágneses- vagy rácsgáz modellként értelmezzük a problémánkat.)

Ekvivalencia a mágneses Ising-modellel:

𝑛_𝑥 = 𝜎_𝑥+ 1

2 , 𝜎_𝑥 = 2𝑛_𝑥−1, (5.3)

Φ(𝑥−𝑦) = −4𝐽𝑥−𝑦, 𝐽𝑥−𝑦 =−Φ(𝑥−𝑦)

4 , (5.4)

𝜇= 2ℎ−2∑

𝑥∈ℤ^𝑑

𝐽_𝑥, ℎ= 𝜇

2 −

∑

𝑥∈ℤ^𝑑Φ(𝑥)

4 , (5.5)

𝑝_gáz(𝛽, 𝜇) =𝑝_mágnes(𝛽,2ℎ+𝜑/2), 𝑝_mágnes(𝛽, ℎ) =𝑝_gáz(𝛽, 𝜇/2−𝜑/4). (5.6)

5.2. Korrelációs függvények

Jelöljük ℱ(ℤ^𝑑)-vel aℤ^𝑑 rács véges részhalmazainak halmazát:

ℱ(ℤ^𝑑) = {𝐴∈ 𝒫(ℤ^𝑑) :∣𝐴∣<∞}

Véges Λ⊂ℤ^𝑑-ra definiáljuk a következő korrelációs függvényt:

𝜌_Λ:𝒫(Λ)→[0,1], 𝜌_Λ(𝐴) = ⟨∏

𝑥∈𝐴

𝑛_𝑥⟩_Λ.

És a termodinamikai limeszben

𝜌:ℱ(ℤ^𝑑)→[0,1], 𝜌(𝐴) = lim

Λ↗ℤ^𝑑

𝜌_Λ(𝐴), (5.7)

amennyiben a határérték létezik és egyérelmű. Célunk: a 𝜌(⋅) korrelációs függvény elemzése.

Ha mágneses nyelven beszélnénk a következő korrelációs függvényt tekin-tenénk:

𝑚_Λ(𝐴) =⟨∏

𝑥∈𝐴

𝜎_𝑥⟩_Λ =⟨∏

𝑥∈𝐴

(2𝑛_𝑥−1)⟩_Λ

= ∑

𝐵∈𝒫(𝐴)

(−1)^{∣𝐴∖𝐵∣}2^∣𝐵∣𝜌_Λ(𝐵).

12. Házi feladat. Az alább tárgyaltMöbius inverziós formulát alkalmazva mutassuk meg, hogy

𝜌_Λ(𝐴) = 2^{−∣𝐴∣} ∑

𝐵∈𝒫(𝐴)

𝑚_Λ(𝐵).

Tehát megint azt látjuk, hogy a rácsgáz és a mágneses megfogalmazás ekvivalens egymással: egyikből a másikat könnyen megkaphatjuk. Kizárólag kényelmi okokból válaszottuk a rácsgáz inerpretációt.

5.3. Számolás

Legyen𝐴 ∈ ℱ(ℤ^𝑑) és𝑥∈ℤ^𝑑. Értelmezzük a kövekezőket:

𝑈(𝐴) := 1 2

∑

𝑦,𝑧∈𝐴

Φ(𝑦−𝑧) 𝑊(𝑥, 𝐴) :=∑

𝑦∈𝐴

Φ(𝑥−𝑦) (5.8)

5. ANALITIKUSSÁG I 41 Ezek fizikai értelme világos: 𝑈(𝐴) az 𝐴 halmazt teljesen elfoglaló részecs-kék egymással való teljes kölcsönhatási energiája, 𝑊(𝑥, 𝐴) pedig az 𝑥-ben levő részecskének az 𝐴 halmazt teljesen elfoglaló részecskékkel való teljes kölcsönhatási energiája. Ezek segítségével az állapotösszegre és a korrelációs függvényre következő kifejezéseket kapjuk:

𝑍_Λ= ∑

𝐵:𝐵⊂Λ

𝑧^∣𝐵∣exp{−𝛽𝑈(𝐵)}

𝜌_Λ(𝐴) = 1 𝑍Λ

∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

𝑧^∣𝐵∣exp{−𝛽𝑈(𝐵)}

= 1 𝑍_Λ

∑

𝐶:𝐶⊂Λ∖𝐴

𝑧^{∣𝐴∪𝐶∣}exp{−𝛽𝑈(𝐴∪𝐶)} (5.9)

Legyen 𝐴 ∕=∅ és válasszunk egy teszőleges 𝑥 ∈ 𝐴-t. Jelöljük 𝐴^′ = 𝐴∖ {𝑥}.

𝐶∩𝐴=∅ esetén a következő azonosság adódik:

𝑈(𝐴∪𝐶) =𝑊(𝑥, 𝐴) +𝑊(𝑥, 𝐶) +𝑈(𝐴^′∪𝐶).

Ezt felhasználva (5.9)-ből a következő kifejezést kapjuk:

𝜌_Λ(𝐴) = 1

𝑍_Λ𝑧𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥,𝐴)} ∑

𝐶:𝐶⊂Λ∖𝐴

𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥,𝐶)}𝑧^{∣𝐴′∪𝐶∣}𝑒^{−𝛽𝑈(𝐴′∪𝐶)}. (5.10)

5.4. Möbius inverziós formula

LegyenΛvéges halmaz. Értelmezzük az𝑓 :𝒫(𝐴)→ℝfüggvények halmazán a következő két transzformációt:

𝑓ˆ(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

𝑓(𝐵) 𝑓ˇ(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣}𝑓(𝐵)

15. Állítás (Möbius inverziós formula). Tetszőleges 𝑓 : 𝒫(𝐴) → ℝ függ-vényre

ˆˇ

𝑓 =𝑓 =𝑓.ˇˆ

Möbius inverziós formula bizonyítása:

ˆˇ

𝑓(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

𝑓(𝐵) =ˇ ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

∑

𝐶:𝐵⊂𝐶⊂Λ

(−1)^{∣𝐶∖𝐵∣}𝑓(𝐶)

= ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶) ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂𝐶

(−1)^{∣𝐶∖𝐵∣} = ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶)𝛿_𝐶,𝐴 =𝑓(𝐴).

ˇˆ

𝑓(𝐴) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣}𝑓ˆ(𝐵) = ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣} ∑

𝐶:𝐵⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶)

= ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶) ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂𝐶

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣} = ∑

𝐶:𝐴⊂𝐶⊂Λ

𝑓(𝐶)𝛿_𝐶,𝐴 =𝑓(𝐴).

5.5. Számolás folytatása

A Möbius inverziót alkalmazva (5.9)-ből a következő azonosságot kapjuk:

1

𝑍_Λ𝑧^∣𝐴∣exp{−𝛽𝑈(𝐴)}= ∑

𝐵:𝐴⊂𝐵⊂Λ

(−1)^{∣𝐵∖𝐴∣}𝜌_Λ(𝐵). (5.11)

5. ANALITIKUSSÁG I 43 Ezt behelyettesítjük (5.10)-be

𝜌_Λ(𝐴) A fenti levezetés első lépése (5.11) behelyettesítése (5.10)-be. A második lépésben𝐸 =𝐷∖𝐴. A harmadik lépésben a két összegzés sorrendjét cseréltük fel. Végül a negyedik lépésben a𝑊(𝑥, 𝐶)(5.8)-beli definícióját helyettesítjük be.

Értelmezzük a következő magfüggvényt:

𝒦:ℤ^𝑑× ℱ(ℤ^𝑑)→ℝ, 𝒦(𝑥, 𝐷) := ∏

𝑦∈𝐷

(𝑒^{−𝛽Φ(𝑥−𝑦)}−1)

. (5.13) Természetesen 𝒦(𝑥,∅) = 1 és 𝒦(𝑥, 𝐷) = 0, ha 𝑥 ∈ 𝐷. A 𝒦(𝑥, 𝐷) magfügg-vényt felhasználva (5.12)-ből azt kapjuk, hogy

𝜌_Λ(∅) = 1

ha𝑥∈𝐴∕=∅ és𝐴^′ =𝐴∖ {𝑥}.

A alább definiált Banach-térben fogunk dolgozni:

B={

Természetesen 𝜌_Λ(⋅) (és 𝜌(⋅), amennyiben az (5.7) limesz létezik) eleme a B Banach-térnek. Jelöljük Π_Λ-val a következő projekció operátorokatB-ben:

[Π_Λ𝑓] (𝐴) := 𝜒_Λ(𝐴)𝑓(𝐴), ahol 𝜒_Λ(𝐴) :=

{1 ha 𝐴⊂Λ 0 ha 𝐴∕⊂Λ. Triviális ellenőrizni, hogyΠ_Λ korlátos, sőt

∥Π_Λ∥= 1.

Minden ∅ ∕=𝐴 ∈ ℱ(ℤ^𝑑)-hez rendeljük kanonikus módon egy 𝑥_𝐴 ∈𝐴 elemét

— pl. 𝑍^𝑑 egy tetszőleges, de fix lineáris rendezésében lehet 𝑥𝐴 = min𝐴, ami egyértelműen meghatározott. Továbbá legyen𝐴^′ =𝐴∖ {𝑥_𝐴}. Az alábbi eredmények természetesen függetlenek lesznek az𝑥_𝐴∈𝐴elem kanonikus ki-választásától. Adott𝑧 ≥0mellett értelmezzük a következő lineáris operátort B felett:

ahol 𝑀 és 𝜑 az (5.1), (5.2)-ben megadott konstansok.

Bizonyítás. Az (5.15) korlát két egyszerű becslésből adódik. Előszőr:

−𝑊(𝑥_𝐴, 𝐴) = −∑

𝑦∈𝐴

Φ(𝑦−𝑥_𝐴) = ∑

𝑦∈ℤ^𝑑∖𝐴

Φ(𝑦−𝑥_𝐴)−𝜑≤𝑀−𝜑,

5. ANALITIKUSSÁG I 45 amiből adódik, hogy

0< 𝑧𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥𝐴,𝐴)}

1 +𝑧𝑒^{−𝛽𝑊(𝑥𝐴,𝐴)} ≤ 𝑧𝑒^{𝛽(𝑀−𝜑)}

1 +𝑧𝑒^{𝛽(𝑀−𝜑)}. (5.16) Másodszor:

∑

𝐷∈ℱ(ℤ𝑑):

∅∕=𝐷⊂𝐴^𝑐

∣𝒦(𝑥, 𝐷)∣≤¹ ∑

𝐷∈ℱ(ℤ𝑑):

𝐷∕=∅

∣𝒦(𝑥, 𝐷)∣

=2 ∑

𝐷∈ℱ(ℤ𝑑):

𝐷∕=∅

∏

𝑦∈𝐷

𝑒^{−𝛽Φ(𝑥−𝑦)}−1

=3 ∏

𝑦∈ℤ^𝑑

{𝑒^{−𝛽Φ(𝑦)}−1 + 1}

−1

≤4 exp{∑

𝑦∈ℤ^𝑑

𝑒^{−𝛽Φ(𝑦)}−1 } −1

≤5 exp{∑

𝑦∈ℤ^𝑑

(𝑒^{∣𝛽Φ(𝑦)∣}−1) } −1

≤6 exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1 (5.17) Az első lépés triviális. A második lépésben a 𝒦(𝑥, 𝐷) magfüggvény (5.13)-beli értelmezését használtuk. A harmadik lépés egy egyszerű kombinatorikai azonosság. A negyedik lépésben az 1 + 𝑎 ≤ 𝑒^𝑎, 𝑎 ∈ ℝ egyenlőtlenséget használjuk. Az ötödik lépés újból triviális. Végül a hatodik lépés a 𝑒^𝑎 + 𝑒^𝑏 ≤ 𝑒^𝑎+𝑏 + 1, 𝑎𝑏 ≥0 egyenlőtlenségből következik. (5.16)-ból és (5.17)-ből következik (5.15).

13. Házi feladat. Ellenőrizzük a bizonyítás harmadik lépésében szereplő kombinatorikus azonosságot.

Jelöljük11-el a B Banach-tér következő nevezetes elemét:

11(𝐴) =𝛿_𝐴,∅.

(5.14)-ből, továbbá Π_Λ, 𝐾_𝑧 és11 definíciójából látható, hogy 𝜌_Λ a következő B-beli inhomogén lineáris egyenletet elégíti ki:

𝜌_Λ = 11 + Π_Λ𝐾_𝑧𝜌_Λ

(5.15)-ből látható, hogy ha 𝑧 < 1 2

𝑒^{−𝛽(𝑀−𝜑)}

exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1 =𝑐₁(𝛽), (5.18) akkor

∥𝐾_𝑧∥<1 (5.19)

és következésképpen az𝐼−ΠΛ𝐾𝑧 operátor invertálható. Azaz 𝜌_Λ = (𝐼−Π_Λ𝐾_𝑧)⁻¹11.

Ebben a kifejezésben végrehajthatjuk aΛ↗ℤ^𝑑 limeszt és azt kapjuk, hogy (5.18) feltétel mellett

𝜌= (𝐼−𝐾_𝑧)⁻¹11.

A jobb oldali

(𝐼 −𝐾_𝑧)⁻¹ =

∞

∑

𝑛=1

𝐾_𝑧^𝑛

Neumann sorfejtés (5.19) miatt abszolút konvergens és 𝑧 ∈ [0, 𝑐₁(𝛽))-ban analitikus.

Könnyen belátható, hogy a

𝑛_𝑥 →1−𝑛_𝑥

ún. részecske-lyuk transzformációval egy ekvivalens rácsgáz modellt kapunk, azonos hőmérsékleten és

𝑧^′ = 𝑒^𝛽𝜑

𝑧 (5.20)

fugacitással. (A részecske-lyuk transzformációnak a mágneses Ising-modell± spin-tükrözési transzformációja felel meg.) A fenti érvelést erre végrehatva, majd az (5.20) transzformációt mégegyszer – visszafelé – végrehajtva azt láthatjuk, hogy a korrełációs függvények a

𝑧 >2𝑒^𝛽𝑀(

exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1)

=𝑐₂(𝛽) (5.21)

tartományban is analitikus függvényei 𝑧-nek. 𝑐1(𝛽) csökkenő, míg 𝑐2(𝛽) nö-vekvő függvénye 𝛽-nak, továbbá

𝑐₁(0) =∞=𝑐₂(∞), 𝑐₁(∞) = 0 =𝑐₂(0).

5. ANALITIKUSSÁG I 47 Következik, hogy létezik egy 𝛽^∗ ∈(0,∞), úgy, hogy

𝛽 < 𝛽^∗ ⇒ 𝑐2(𝛽)< 𝑐1(𝛽). (5.22) Végül (5.18), (5.21) és (5.22) alapján arra következtetünk, hogy ha 𝛽 < 𝛽^∗ akkor 𝑧 → 𝜌 analitikus az egész 𝑧 > 0 fugacitás tartományban. A 𝑧 → 𝜌 analitikusságából a 𝑧 →𝑝analitikussága is könnyen adódik, mivel a korrelá-ció függvény értéke az egyelemű halmazon pontosan a nyomásnak a kémiai potenciál szerinti első deriváltja:

𝜌({𝑥}) = 1 𝛽

∂𝑝

∂𝜇 =𝑧∂𝑝

∂𝑧. Beláttuk tehát a következő tételt:

17. Tétel (Kirkwood – Salsburg-sorfejtés konvergenciája és analitikusság, rácsgáz nyelven). Fix 𝛽 >0 mellett a

𝜇∈(−∞,ln𝑐₁(𝛽))∪(ln𝑐₂(𝛽),∞)

tartományban a 𝜇 → 𝑝 nyomás és a 𝜇 → 𝜌 korrelációs függvény a kémiai potenciál analitikus függvénye.

Ez (5.3)–(5.6) segítségével könnyen átfogalmazható a mágneses Ising-modellre. Legyen

𝑐₃(𝛽) = 2𝑒^{𝛽2(𝑀−𝜑2)}(

exp{𝑒^𝛽𝑀 −1} −1) .

18. Tétel (Kirkwood – Salsburg-sorfejtés konvergenciája és analitikusság, mágneses nyelven). Fix 𝛽 >0 mellett a

ℎ∈(−∞,−ln𝑐₃(𝛽))∪(ln𝑐₃(𝛽),∞)

tartományban a ℎ→𝑝 nyomás és az ℎ→𝑚 korrelációs függvény a ℎ külső mágneses tér analitikus függvénye.

A fejezethez tartozó irodalom: [13], [28].

Analitikusság II: Lee és Yang tétele

6.1. Egy kis komplex függvénytan

Az alábbi két klasszikus komplex függvénytani tétel és bizonyításuk megta-lálható például a [29] könyvében.

19. Tétel (Vitali tétele). Legyen 𝐷 ⊂ ℂ korlátos, egyszerűen összefüggő, nyilt tartomány olyan, hogy 𝐷∩ℝ ∕= ∅ és 𝑓_𝑛 : 𝐷 → ℂ, 𝑛 ∈ ℕ, függvények teljesítsék az alábbi három feltételt

(i) analitikusak a 𝐷 tartományon,

(ii) egyenletesen korlátosak 𝐷-n, azaz (∃𝑀 < ∞) úgy, hogy sup_𝑛∈ℕsup_𝑧∈𝐷∣𝑓_𝑛(𝑧)∣ ≤𝑀,

(iii)

(∀𝑥∈𝐷∩ℝ) : lim

𝑛→∞𝑓_𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Ekkor: 𝑓 analitikusan kiterjeszthető𝐷∩ℝ-ről 𝐷-re és ha 𝐷^′ ⊂𝐷, akkor 𝐷^′-en az 𝑓_𝑛 függvénysorozat egyenletesen konvergál 𝑓-hez, azaz

𝑛→∞lim sup

𝑧∈𝐷^′

∣𝑓𝑛(𝑧)−𝑓(𝑧)∣= 0.

6. ANALITIKUSSÁG II: LEE ÉS YANG TÉTELE 49 20. Tétel (Hurwitz tétele). Legyen 𝐷 ⊂ ℂ korlátos, nyílt tartomány, 𝑓_𝑛, 𝑛 ∈ℕ és 𝑓 ∕≡0 analitikus függvények 𝐷-n értelmezve, úgy, hogy

(∀𝑧 ∈𝐷) : 𝑓(𝑧) = lim

𝑛→∞𝑓_𝑛(𝑧).

Ha 𝑧₀ ∈𝐷 𝑘-szoros multiplicitású zérushelye 𝑓-nek és 𝑈 olyan környezete 𝑧₀-nak, amelyben 𝑓-nek 𝑧₀-n kívül más zérushelye nincsen, akkor létezik egy olyan 𝑁 ∈ℕ, hogy minden 𝑛 > 𝑁-re 𝑓_𝑛-nek, multiplicitásokat is figyelembe véve, pontosan 𝑘 darab zérushelye van 𝑈-ban

6.2. Alkalmazás az Ising-modellre

A jól ismert párkölcsönhatásos Ising-modellt tekintjük Λ⊂ℤ^𝑑-n:

𝐻_Λ(𝜎) =−1 2

∑

𝑖,𝑗∈Λ

𝐽_𝑖,𝑗𝜎_𝑖𝜎_𝑗−ℎ∑

𝑖∈Λ

𝜎_𝑖.

Vezessük be a

𝑧 = exp{𝛽ℎ}

fugacitás változót és a továbbiakban függvényeinket komplex 𝑧 ∈ ℂ∖ {0}-ra kiterjesztve értelmezzük. Az állapotösszeg:

𝑍_Λ(𝛽, 𝑧) = ∑

𝜎∈ΩΛ

𝑧^{∑𝑖∈Λ𝜎𝑖}exp{𝛽 2

∑

𝑖,𝑗∈Λ

𝐽_𝑖,𝑗𝜎_𝑖𝜎_𝑗}.

Legyen Λ𝑛 ↗ ℤ^𝑑 Van Hove értelemben és tekintsük (rögzített 𝛽 paraméter mellett) az

𝑓_𝑛(𝑧) = (𝑍_Λ𝑛(𝛽, 𝑧))^{1/∣Λ𝑛∣}= exp{𝛽𝑝_Λ𝑛(𝛽,ln𝑧 𝛽 )}

függvényeket. Ezekre a függvényekre próbáljuk meg a fenti tételeket alkal-mazni.

Legyen 𝐷 ⊂ ℂ∖ {𝑧 : ∣𝑧∣ ≤ 𝜖} olyan tartomány, mint a Vitali-tételben.

Ellenőrízzük az 𝑓_𝑛 függvénysorozatra a Vitali-tétel feltételeit:

(i) VégesΛ-ra

ℂ∖ {0} ∋𝑧 7→𝑍_Λ(𝛽, 𝑧)∈ℂ,

és következésképpen

𝐷∋𝑧7→𝑓_𝑛(𝑧)∈ℂ is, természetesen analitikus.

(ii) Az𝑓_𝑛függvények 𝑛-ben egyenletes korlátossága abból következik, hogy

∣𝑍_Λ(𝛽, 𝑧)∣ ≤

⎛

⎝2 max{∣𝑧∣,∣𝑧∣⁻¹}exp{𝛽sup

𝑖∈ℤ^𝑑

∑

𝑗∈ℤ^𝑑

∣𝐽_𝑖,𝑗∣}

⎞

⎠

∣Λ𝑛∣

.

A fenti egyenlőtlenség jobb oldalán az exponens a stabilitási feltétel miatt véges.

(iii) 𝑓_𝑛 pontonkénti konvergenciája 𝐷∩ℝ-en pedig nem egyéb, mint a ter-modinamikai limesz létezése valós 𝑧 (valós ℎ) esetén.

Vitali tétele alapján tehát következik, hogy az 𝑓_𝑛 = exp{𝛽𝑝_Λ𝑛} függvé-nyek a 𝐷 tartományban konvergálnak egy analitikus 𝑓 függvényhez, amely exp{𝛽𝑝} kiterjesztése valósról komplex𝑧-kre.

Tegyük fel, hogy 𝐷 olyan tartomány, amelyben, véges sok Λ kivételével, 𝑍_Λ(𝛽, 𝑧)-nek nincsen zérushelye, azaz 𝑍_Λ(𝛽, 𝑧), Λ ∈ ℱ(ℤ^𝑑), zérushelyeinek nincsen torlódási pontja 𝐷-ben. Ekkor Hurwitz tétele alapján következik, hogy a fenti limesz 𝑓 függvénynek sincsen zérushelye 𝐷-ben és következés-képpen

𝐷∋𝑧 7→ln𝑓(𝑧)∈ℂ is analitikus. Beláttuk tehát a következőt:

21. Állítás.Legyen𝑇 ⊂ℂ∖{0}a𝑍Λ(𝛽, 𝑧),Λ∈ ℱ(ℤ^𝑑), zérushelyei torlódási pontjainak halmaza. Ekkor

((ℂ∖ {0})∖𝑇)

∋𝑧 7→𝑝(𝛽,ln𝑧 𝛽 )∈ℂ analitikus.

A fázisátmeneti paraméterek azonosításához tehát meg kell határoznunk az𝑇 ⊂ℂ halmazt.

6. ANALITIKUSSÁG II: LEE ÉS YANG TÉTELE 51

6.3. Lee és Yang körtétele

22. Tétel (Lee és Yang körtétele). LegyenΛvéges halmaz ésA = (𝐴_𝑖,𝑗)_{𝑖,𝑗∈Λ} valós szimmetrikus mátrix, amelynek mátrixelemei teljesítik a

∣𝐴𝑖,𝑗∣ ≤1

∣Λ∣-fokú komplex polinom zérushelyei a {𝑧 ∈ℂ:∣𝑧∣ = 1} komplex egységkö-rön vannak.

Lee és Yang körtételének egyenes következménye az alábbi

23. Tétel. Ferromágneses párkölcsönhatású Ising-modell esetén (𝐽_𝑖,𝑗 ≥ 0) minden rögzített 𝛽≥0mellettℎ7→𝑝(𝛽, ℎ)analitikus a ℎ∕= 0tartományban.

Masképp szólva: fázisátmenet csak ℎ= 0-ban lehetséges.

Következmény bizonyítása:

Világos, hogy ferromágneses kölcsönhatás esetán a Lee – Yang-körtétel felté-telei teljesülnek a

𝑃_A(𝑧) = 𝑧^∣Λ∣exp{−𝛽 2

∑

𝑖,𝑗∈Λ

𝐽_𝑖,𝑗}𝑍_Λ(𝛽, 𝑧)

polinomra és következésképp minden Λ ∈ ℱ(ℤ^𝑑)-re és minden 𝛽 ≥ 0-ra 𝑍Λ(𝛽, 𝑧) zérushelyei a komplex egységkörön vannak. Ebből állításunk köz-vetlenül adódik.

Lee – Yang-tétel bizonyítása: PÓTOLANDÓ

6.4. Konklúzió

AKirkwood – Salsburgés aLee – Yang-elméletből együttesen az adódik, hogy ferromágneses párkölcsönhatású Ising-modell fázisátmenetei csak a

ℎ= 0, 𝑇 ≤𝑇^∗ <∞

paraméterértékek mellett lehetségesek. AKirkwood – Salsburg-ból kapott𝑇^∗ természetesen nem optimális (nagyobb a valódi 𝑇_𝑐-nél). (Ábra a táblán.)

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [28], [13], [29], [19], [20].

7. fejezet

Fázisátmenet az Ising-modellben:

Peierls módszere;

Griffiths-egyenlőtlenségek és következményeik

7.1. A fázisátmenet Peierls-féle bizonyítása

Kétdimenziós modellel fogunk foglalkozni. Általánosítás magasabb dimen-zióra magától adódik. Tekintsük a Λ ⊂ ℤ² tartományban az első szomszéd kölcsönhatású ferromágneses Ising-modellt ℎkülső mágneses térrel és szabad peremfeltétellel:

𝐻_Λ(𝜎) =−𝐽 2

∑

∣𝑥−𝑦∣=1

𝑥,𝑦∈Λ

𝜎_𝑥𝜎_𝑦−ℎ∑

𝑥∈Λ

𝜎_𝑥. (7.1)

Világos, hogy a nyomás páros, a mágnesezettség pedig páratlan függvénye ℎ-nak:

𝑝_Λ(𝛽,−ℎ) =𝑝_Λ(𝛽, ℎ), 𝑚_Λ(𝛽,−ℎ) =−𝑚_Λ(𝛽, ℎ).

Ezek a tulajdonságok természetesen a termodinamikai limeszben is öröklőd-nek.

Célunk a következő tétel belátása:

24. Tétel(Rudolf Peierls tétele). Tekintsük a fenti Ising-modellt𝑑≥2-ben.

Létezik 𝛽_𝑐<∞ (𝑇_𝑐>0), úgy, hogy rögzített 𝛽 > 𝛽_𝑐 (𝑇 < 𝑇_𝑐) mellett

ℎ↘0lim𝑚(𝛽, ℎ) = lim

ℎ↘0 lim

Λ↗ℤ²

𝑚_Λ(𝛽, ℎ) =𝑚(𝛽,+0) >0, (7.2) ami ℎ7→𝑚(𝛽, ℎ) páratlan volta miatt pontosan az elsőrendű fázisátmenetet jelenti.

Peierls tételének bizonyítása. A (7.1)-ben szabad peremfeltétellel definiált Ha-milton-függvény mellett értelmezzük𝐻˜_Λ-t +peremfeltétellel:

𝐻˜_Λ(𝜎) =𝐻_Λ(𝜎)−𝐽 ∑

𝑥∈∂⁻Λ

𝜎_𝑥,

ahol ∂⁻Λ aΛ tartomány belső határa:

∂⁻Λ ={𝑥∈Λ :dist(𝑥,Λ^𝑐) = 1}.

˜

𝑝_Λ,𝑚˜_Λ-val jelöljük a𝐻˜_Λ-nak megfelelő termodinamikai mennyiségeket. A ter-modinamikai limesz létezésének bizonyításakor láttuk, hogy a limesz mennyi-ségek nem függenek a peremfeltételtől:

Λ↗lim𝑍²𝑝_Λ(𝛽, ℎ) =𝑝(𝛽, ℎ) = lim

Λ↗ℤ²

˜

𝑝_Λ(𝛽, ℎ), (7.3) lim

Λ↗𝑍²

𝑚_Λ(𝛽, ℎ) = 𝑚(𝛽, ℎ) = lim

Λ↗ℤ²

˜

𝑚_Λ(𝛽, ℎ).

(7.2) bizonyítása a következő három lépésből fog állni:

1. (ez lesz a lényeg!) Belátjuk, hogy elég alacsony hőmérsékleten (azaz elég nagy𝛽 mellett)

˜

𝑚Λ(𝛽,0)≥𝛼 >0 (7.4) Λ-ban egyenletesen — azaz a pozitív𝛼 konstans csak 𝛽-tól függ, Λ-tól nem.

2. ℎ7→𝑝˜_Λ𝛽, ℎ)konvexitása miatt (ezt már beláttuk!) (7.4)-ből következik, hogyℎ≥0-ra

˜

𝑝_Λ(𝛽, ℎ)≥𝑝˜_Λ(𝛽,0) +𝛼ℎ.

7. FÁZISÁTMENET AZ ISING-MODELLBEN 55 3. A fenti egyenlőtlenség természetesen a termodinamikai limeszben is

öröklődik, tehát (7.3)-at használva

𝑝(𝛽, ℎ)≥𝑝(𝛽,0) +𝛼ℎ.

Ebből pedig — 𝑝 konvexitását megint használva — egyenesen adódik (7.2).

A második és harmadik lépés triviális, tehát hátra van még (7.4) bizonyí-tása.

𝜎∈Ω_Λ egy-egyértelműen azonosítható egyΛ = Λ₊(𝜎)∪Λ₋(𝜎)felosztással a következő módon:

Λ₊(𝜎) ={𝑥∈Λ :𝜎_𝑥 = +1}, Λ−(𝜎) ={𝑥∈Λ :𝜎_𝑥 =−1}.

Természetesen

∣Λ₊(𝜎)∣+∣Λ−(𝜎)∣=∣Λ∣,

∣Λ₊(𝜎)∣ − ∣Λ−(𝜎)∣=∑

𝑥∈Λ

𝜎_𝑥. (7.5)

E két azonosságból adódik, hogy

˜

𝑚_Λ(𝛽,0) = ⟨∣Λ₊∣ − ∣Λ−∣⟩^∼₀

∣Λ∣ = 1−2⟨∣Λ−∣⟩^∼₀

∣Λ∣ ,

ahol ⟨. . .⟩^∼₀ a +-peremfeltétellel és ℎ = 0 külső mágneses térrel értelmezett Gibbs-eloszlás szerinti átlagolást jelenti.

Nevezzükelemi kontúrnak aℤ²+ (¹₂,¹₂)(Whitney-féle) duális rácsnak egy egyszerű körét, ami ugyanaz, mint a ℤ² rács éleinek egy olyan véges részhal-maza amely a rácsot két diszjunkt (egy véges és egy végtelen) összefüggő részre osztja. A továbbiakban jelöljük ∣𝛾∣-val a 𝛾 kontúr hosszát. Legyen ΓΛ a Λ = Λ ∪∂⁺Λ-n belüli kontúrok halmaza. (∂⁺Λ a Λ tartomány külső határa.)

𝜎∈Ω_Λ(vagyΛ±) egy-egyértelműen azonosítható egymást át nem metsző Γ_Λ-beli kontúroknak halmazával is. Adott 𝛾 ∈Γ_Λ mellett legyen

𝜒_𝛾(𝜎) =

{1 ha 𝛾 jelen van 𝜎 kontúrjai között 0 ha 𝛾 nincs jelen 𝜎 kontúrjai között

A legkézenfekvőbb izoperimetrikus egyenlőtlenség felhasználásával adódik,

És ebből természetesen

⟨∣Λ₋(𝜎)∣⟩^∼₀ ≤ ∑ Azaz𝑅_𝛾 a 𝛾 által határolt területen belüli spineket megfordítja, a többieket érintetlenül hagyja. Vegyük észre, hogy 𝑅_𝛾 bijekciót létesít Δ_Λ,𝛾 és Δ^∗_Λ,𝛾 között és

𝜎∈Δ_Λ,𝛾-ra 𝐻˜_Λ(𝜎) = ˜𝐻_Λ(𝑅_𝛾𝜎) + 2𝐽∣𝛾∣. Ezt felhasználva, (7.7)-ből azt kapjuk, hogy

⟨𝜒_𝛾(𝜎)⟩^∼₀ =

Ezt behelyettesítve (7.6)-ba azt kapjuk, hogy

⟨∣Λ₋(𝜎)∣⟩^∼₀ ≤ ∑

7. FÁZISÁTMENET AZ ISING-MODELLBEN 57 ahol 𝜈_Λ(𝑟) az𝑟 hosszú kontúrok száma Λ-ban

𝜈_Λ(𝑟) =∣{𝛾 ∈Γ_Λ :∣𝛾∣=𝑟}∣.

Elemi leszámolásból könnyen adódik a következő felső becslés 𝜈_Λ(𝑟)-re:

𝜈Λ(𝑟)≤

{ 0 ha 𝑟 páratlan

∣Λ∣ ⋅4⋅3^𝑟−1 ha 𝑟 páros Végül ezt a becslést használva (7.8)-ból azt kapjuk, hogy

⟨∣Λ₋(𝜎)∣⟩^∼₀

∣Λ∣ ≤ 1 3

∞

∑

𝑘=0

𝑘²exp{2(log 3−2𝛽𝐽)𝑘},

ami tetszőlegesen kicsi, ha 𝛽 elég nagy. Ebből és (7.5)-ből következik, hogy

˜

𝑚Λ(𝛽,0)tetszőlegesen közel lehet1-hez elég nagy𝛽 mellett —Λ-ban egyen-letesen.

7.2. Griffiths – Kelly – Sherman-féle korrelációs egyenlőtlenségek

Legyen Λ véges halmaz és tekintsünk rajta egy általános (tehát nem feltét-lenül pár-) kölcsönhatásos Ising-modellt. Azaz legyen

𝒫(Λ)∋𝐴7→𝐽_𝐴∈ℝ. A Hamilton-függvény

𝐻_Λ(𝜎) =− ∑

𝐴∈𝒫(Λ)

𝐽_𝐴𝜎_𝐴, ahol

𝜎_𝐴=∏

𝑖∈𝐴

𝜎_𝑖.

A Λ, 𝛽, 𝐽𝐴 paramétereket rögzítve tartjuk és az ezektől való függést e részen belül nem jelöljük. A következő tételt fogjuk belátni:

25. Tétel (GKS-egyenlőtlenségek). Ha a kölcsönhatás ferromágneses, azaz

∀𝐴 ∈ 𝒫(Λ) : 𝐽_𝐴≥0, akkor a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:

𝐺𝐾𝑆𝐼 : (∀𝐵 ⊂Λ) : ⟨𝜎_𝐵⟩ ≥0, (7.9)

𝐺𝐾𝑆𝐼𝐼 : (∀𝐵, 𝐶 ⊂Λ) : ⟨𝜎_𝐵𝜎_𝐶⟩ − ⟨𝜎_𝐵⟩ ⟨𝜎_𝐶⟩ ≥0. (7.10)

Azt már régen tudjuk, hogy

⟨𝜎_𝐵⟩=1 𝛽

∂ln𝑍

∂𝐽𝐵

,

⟨𝜎_𝐵𝜎_𝐶⟩ − ⟨𝜎_𝐵⟩ ⟨𝜎_𝐶⟩= 1 𝛽²

∂²ln𝑍

∂𝐽𝐵∂𝐽𝐶

= 1 𝛽

∂⟨𝜎_𝐵⟩

∂𝐽𝐶

= 1 𝛽

∂⟨𝜎_𝐶⟩

∂𝐽𝐵

.

𝑀_𝐴,𝐵 = ⟨𝜎_𝐵𝜎_𝐶⟩ − ⟨𝜎_𝐵⟩ ⟨𝜎_𝐶⟩ = kovariancia mátrix és ebből következik ter-mészetesen, hogy pozitív definit. A (7.10) egyenlőtlenség a mátrixelemek egyenkénti pozitív voltát állítja, ami a pozitív definitségtől logikailag telje-sen független.

A tétel tehát azt állítja, hogy ferromágneses kölcsönhatás esetén a𝜎_𝐴, 𝐴⊂ Λvalószínűségi változók várhatóértékei és korrelációi egyaránt nem-negatívak.

(7.10)-ből az is következik, hogy a ⟨𝜎_𝐵⟩ várhatóértékek a 𝐽_𝐶 ferromágneses kölcsönhatási együtthatóknak monoton növekvő függvényei.

GKS-egyenlőtlenségek bizonyítása: 𝜎 ∈Ω_Λ spinkonfigurációk egy-egyértelmű-en azonosíthatók 𝐸 ∈ 𝒫(Λ)részhalmazokkal a következő módon:

𝜎𝑖 = 1−2𝜒𝐸(𝑖), 𝐸 ={𝑖∈Λ :𝜎𝑖 =−1}.

Ebben a reprezentációban a𝜎_𝐵 spinszorzatok a következő függvények 𝜎_𝐵 :𝒫(Λ)→ {−1,1}, 𝜎_𝐵(𝐸) := (−1)^{∣𝐵∩𝐸∣}.

𝒫(Λ)kommutatív csoportot képez a

𝐴𝐵= (𝐴∪𝐵)∖(𝐴∩𝐵)

szimmetrikus differenciával, mint szorzással. A csoport semleges eleme az ∅ üres halmaz és minden elem önmaga inverze 𝐵⁻¹ =𝐵. Könnyű ellenőrizni, hogy a𝜎_𝐵függvények eleget tesznek a következő azonoságoknak: (∀𝐵, 𝐶, 𝐸 ∈ 𝒫(Λ)) :

𝜎_𝐵(𝐸) =𝜎_𝐸(𝐵),

𝜎_𝐵𝐶(𝐸) =𝜎_𝐵(𝐸)𝜎_𝐶(𝐸), (7.11) 𝜎_𝐸(𝐵𝐶) =𝜎_𝐸(𝐵)𝜎_𝐸(𝐶). (7.12)

7. FÁZISÁTMENET AZ ISING-MODELLBEN 59 (7.9) bizonyítása: Ebben a reprezentációban

𝑍⟨𝜎_𝐵⟩=¹ ∑

𝐸⊂Λ

𝜎_𝐵(𝐸) exp{𝛽∑

𝐴⊂Λ

𝐽_𝐴𝜎_𝐴(𝐸)} (7.13)

=2 ∑

𝐸⊂Λ

𝜎_𝐵(𝐸)

∞

∑

𝑛=0

𝛽^𝑛 𝑛!

∑

𝐴1,𝐴2,...,𝐴𝑛⊂Λ

𝐽_𝐴1𝜎_𝐴1(𝐸)𝐽_𝐴2𝜎_𝐴2(𝐸). . . 𝐽_𝐴𝑛𝜎_𝐴𝑛(𝐸)

=3

∞

∑

𝑛=0

𝛽^𝑛 𝑛!

∑

𝐴1,𝐴2,...,𝐴𝑛⊂Λ

𝐽_𝐴1𝐽_𝐴2. . . 𝐽_𝐴𝑛 ∑

𝐸⊂Λ

𝜎_𝐵(𝐸)𝜎_𝐴1(𝐸)𝜎_𝐴2(𝐸). . . 𝜎_𝐴𝑛(𝐸)

Az első lépésben ⟨𝜎_𝐵⟩ definícióját használtuk, a második lépésben az ex-ponenciálist sorba fejtettük, a harmadikban pedig az összegzések sorrendjét cseréltük fel (konvergencia problémák nincsenek). De (7.11)-et használva

∑

𝐸⊂Λ

𝜎_𝐵(𝐸)𝜎_𝐴1(𝐸)𝜎_𝐴2(𝐸). . . 𝜎_𝐴𝑛(𝐸) = ∑

𝐸⊂Λ

𝜎_{𝐵𝐴1𝐴2...𝐴𝑛}(𝐸)

=

{2^∣Λ∣ ha 𝐵 =𝐴₁𝐴₂. . . 𝐴_𝑛 0 ha 𝐵 ∕=𝐴1𝐴2. . . 𝐴𝑛

Ezt a kifejezés behelyezve (7.13) jobb oldalára azt láthatjuk, hogy ferromág-neses kölcsönhatás esetén𝑍⟨𝜎_𝐵⟩nem-negatív tagok összegeként állítható elő, ami bizonyítja az első (7.9)-et.

5. Megjegyzés. A fenti bizonyításból az is látszik, hogy ha 𝐵 =𝐴₁𝐴₂. . . 𝐴_𝑛 olyan 𝐴₁, . . . , 𝐴_𝑛-ekkel amelyekhez tartozó 𝐽_𝐴𝑖 kölcsönhatási együtthatók po-zitívak, akkor ⟨𝜎_𝐵⟩ > 0. (Ez a megjegyzés pótolja a hiányzó láncszemet a Lee – Yang-tétel bizonyításában.)

(7.10) bizonyítása: lé-pésben az összeget egyszerűen átrendeztük. A harmadik lélé-pésben a (7.11) és (7.12) azonosságokat használtuk ki. Végül a negyedik lépésben — kihasz-nálva, hogy𝒫(Λ) csoport a szimmetrikus differenciával, mint szorzással — a 𝐺=𝐸𝐹 összegzési változót vezettük be.

Rögzített 𝐺 mellett legyen

𝐽˜_𝐴=𝐽_𝐴(1 +𝜎_𝐴(𝐺)) Világos, hogy

𝐽˜_𝐴 ≥0

és a (7.14) jobb oldalán lévő belső összeg (7.9) alapján nem-negatív:

∑

𝐹∈Λ

𝜎_𝐵𝐶(𝐹) exp{𝛽∑

𝐴∈Λ

𝐽˜_𝐴𝜎_𝐴(𝐹)} ≥0

Mivel1−𝜎_𝐵(𝐺)szintén nem-negatív, (7.14) jobb oldalán a𝐺szerinti összeg minden tagja nem-negatív. Ezzel (7.10)-et is beláttuk.

7.3. A GKS egyenlőtlenségek néhány alkalmazá-sa

1. (7.9) bizonyításának végén tett megjegyzésünknek megfelelően ezt hasz-náljuk a Lee – Yang-tétel bizonyításának egy lépésében.

7. FÁZISÁTMENET AZ ISING-MODELLBEN 61 2. Peierls bizonyításából és (7.10)-ből adódikfázisátmenet bizonyítása az olyan eltolásinvariáns ferromágneses Ising-modellekre ℤ^𝑑-n, amelyekre 𝐽_𝐴= 0 ha∣𝐴∣ páratlan és 𝐽_𝐴 ≥𝑐 >0ha 𝐴={𝑥, 𝑦},∣𝑥−𝑦∣= 1.

3. A Dyson-féle hierarchikus modellre vonatkozó eredményekből és (7.10)-ből következik fázisátmenet egydimenzióshosszú távú párkölcsönhatású Ising-modellre: 𝐽_𝑥,𝑦 ∼(𝑥−𝑦)⁻².

4. Korrelációs függvények létezése a termodinamikai limeszben (monoto-nicitás útján) aKirkwood – Salsburg-féle konvergencia tartományon kí-vül is.

A fejezethez kapcsolódó irodalom: [28], [13], [24], [10], [11], [12], [14].

A klasszikus Heisenberg-modell:

tükrözési pozitivitás és infravörös korlátok

8.1. Folytonos szimmetriájú modellek

Legyen

𝑆^𝜈−1 ={⃗𝑣 = (𝑣1, . . . , 𝑣𝜈)∈ℝ^𝜈 :𝑣₁²+⋅ ⋅ ⋅+𝑣²_𝜈 = 1}

a𝜈dimenziós egységgömb (felület) és tekintsünk egy olyan rács spin-modellt, amelynek egyes spinjei 𝑆^𝜈−1 elemei. Azaz az állapottér:

Ω_Λ =(

𝑆^𝜈−1)Λ

={⃗𝜎=(

⃗ 𝜎(𝑥))

𝑥∈Λ :⃗𝜎(𝑥)∈𝑆^𝜈−1}.

AzΩ_Λ állapottéren a

∏

𝑥∈Λ

𝑑⃗𝜎(𝑥)

empha priori mértéket tekintjük, ahol 𝑑⃗𝜎(𝑥) az 𝑥 ∈ Λ rácspont feletti 𝑆^𝜈−1 gömbfelületen a Haar-mérték. A modell Hamilton-függvénye:

𝐻_Λ(⃗𝜎) =−1 2

∑

∣𝑥−𝑦∣=1

𝑥,𝑦∈Λ

⃗

𝜎(𝑥)⋅⃗𝜎(𝑦), (8.1)

ahol Λ ⊂ ℤ^𝑑 téglatest alakú részhalmaz és periodikus peremfeltételeket te-kintünk. (Ennek elsősorban kényelmi okai vannak.) Az egyensúlyi

Gibbs-8. A KLASSZIKUS HEISENBERG-MODELL 63 eloszlás Ω_Λ-n:

𝑑𝜇_Λ(⃗𝜎) = 1 𝑍Λ

exp{−𝛽𝐻_Λ(⃗𝜎)}∏

𝑥∈Λ

𝑑⃗𝜎(𝑥). (8.2)

𝜈 = 1 esetben ez pontosan a már jól ismert Ising-modell: a Hamilton-függvénynek és a Gibbs-mértéknek globális ℤ2 belső szimmetriája van (spin-tükrözés), ami 𝑑 ≥ 2-ben alacsony hőmérdékleten a termodinamikai limesz-ben spontán módon sérül’ — első rendű fázisátmenetet mutat. Ennek oka (és bizonyítási módja) a Peierls-jelenség: a kontúrok jól definiáltak és egy kontúr energiája a hosszával arányos.

A𝜈≥2esetek a fentitőllényegesen eltérnek. Ekkor a globális belső szim-metria 𝑂(𝜈), a 𝜈 dimenziós tér forgatáscsoportja. Ez 𝜈 ≥ 2 esetekben nem diszkrét, hanem folytonos csoport. Kérdés: ez tud-e sérülni, mely dimenzi-ókban? Világos, hogy a Peierls érv itt nem alkalmazható (pontosabban: meg sem fogalmazható értelmesen).

Szóhasználat: 𝜈 = 1: Ising-modell; 𝜈 = 2: sík rotátor; 𝜈 = 3: klasszikus Heisenberg-modell.

8.2. A hosszú távú rend paraméter

Husszú távú rend paraméternek (long range order parameter) az 𝑟(𝛽) = lim

Λ↗ℤ^𝑑

〈( ∑

𝑥∈Λ⃗𝜎(𝑥)

∣Λ∣

)2

〉

Λ = lim

Λ↗ℤ^𝑑

1

∣Λ∣

∑

𝑥∈Λ

⟨⃗𝜎(0)⃗𝜎(𝑥)⟩_Λ mennyiséget nevezzük. A második egyenlőségben a

⟨⃗𝜎(𝑥)⃗𝜎(𝑦)⟩Λ =⟨⃗𝜎(0)⃗𝜎(𝑦−𝑥)⟩Λ

eltolásinvarianciát használjuk, ami a periodikus peremfeltétel következmánye (Λ diszkrét tórusz). Azt mondjuk, hogy a modellben van (ill. nincs) hosszú távú rend (LRO), ha 𝑟 > 0 (ill. ha 𝑟 = 0). A LRO valószínűségszámítási jelentése világos: a globális belső szimmetria következtében ⟨⃗𝜎(𝑥)⟩_Λ = 0, de LRO megjelenése esetén az 𝑀⃗ = ∑

𝑥∈Λ⃗𝜎(𝑥) teljes mágnesezettségnek

∣Λ∣nagyságrendű makroszkopikus fluktuációi vannak. Tehát a nagy számok törvénye sérül. Ez a spontán szimmetria törés az első rendű fázisátmenet megnyilvánulása, abban az értelemben is, hogy a nyomás nem analitikus

⃗ℎ=⃗0-ban:

26. Tétel (R. Griffiths tétele). Ha 𝑟(𝛽)>0 akkor ℝ^𝜈 ∋⃗ℎ7→𝑝(𝛽, ⃗ℎ)∈ℝ⃗ℎ szerinti első parciális deriváltjai nem folytonosak⃗ℎ =⃗0∈ℝ^𝜈-ban.

6. Megjegyzés. A nyomás most⃗ℎ ∈ℝ^𝜈-nak forgásszimmetrikus függvénye.

E tételt esetleg később bizonyítjuk, ha marad rá időnk. Nem nehéz.

8.3. Eredmények

A negatív eredmény

27. Tétel (Mermin – Wagner-tétel (1967)). Ha 𝜈 ≥ 2, azaz a modellnek folytonos belső szimmetriája van, akkor egy és két dimenzióban bármely véges 𝛽 mellett (azaz bármely pozitív hőmérsékleten) 𝑟(𝛽) = 0, nincsen LRO.

7. Megjegyzés. Emlékezzünk: az Ising-modell diszkrét belső szimmetriá-ja már két dimenzióban is sérült alacsony hőmérsékleten. Itt tehát lénye-ges fizikai különbség van. (Fenomenologikus magyarázat a táblán.) Másfaj-ta, hosszú távú renddel nem járó fázisátmenet elképzelhető (ún. Kosterlitz – Thouless-jelenség – magyarázat a táblánál), de ennek a matematikáját még nem értjük. AMermin – Wagner-tételt később, kvantum-kontextusban fogjuk bizonyítani.

A pozitív eredmény

28. Tétel(Fröhlich – Simon – Spencer-tétel (1976)). Három és magasabb di-menzióban minden 𝜈-re létezik𝛽_𝑐 <∞ (𝑇_𝑐 >0), úgy, hogy 𝛽 > 𝛽_𝑐 (𝑇 < 𝑇_𝑐) mellett 𝑟(𝛽)>0, van LRO.

8. Megjegyzés. A következő előadásokon e tételt fogjuk bizonyítani. A bi-zonyítás módszere — az ún.infravörös korlátok,Gauss-dominanciaés tükrö-zési pozitivitás (infrared bounds, Gaussian domination, reflection positivity)

— nagyon erős, tanulságos, szerteágazó alkalmazási lehetőségekkel.

8.4. Fourier-transzformáció a diszkrét tóruszon, jelölések, konvenciók

Legyen

Λ ={

𝑥= (𝑥₁, . . . , 𝑥_𝑑) :𝑥_𝑖 ∈(−𝐿_𝑖/2, 𝐿_𝑖/2]∩ℤ, 𝑖= 1, . . . , 𝑑}

8. A KLASSZIKUS HEISENBERG-MODELL 65 a 𝑑 dimenziós diszkrét tórusz 𝐿₁, . . . , 𝐿_𝑑 ∈ ℕ oldalhosszakkal. Később fel fogjuk tenni, hogy az 𝐿𝑖 oldalhosszak páros számok. 𝑙²(Λ)aΛ-n értelmezett komplex értékű függvények euklideszi tere a természetes

(𝑓, 𝑔) = ∑

𝑥∈Λ

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

skaláris szorzattal. Λ duális tórusza Λ^∗ ={

𝑝= (𝑝₁, . . . , 𝑝_𝑑) :𝑝_𝑖 = 2𝜋𝑘_𝑖

𝐿_𝑖, 𝑘_𝑖 ∈(−𝐿_𝑖/2, 𝐿_𝑖/2]∩ℤ, 𝑖= 1, . . . , 𝑑}

⊂[−𝜋, 𝜋]^𝑑

𝑙²(Λ^∗) a Λ^∗-on értelmezett komplex értékű függvények Euklideszi tere a (𝑓, 𝑔)∗ = 1

∣Λ∣

∑

𝑝∈Λ^∗

𝑓(𝑝)𝑔(𝑝)

belső szorzattal. A direkt- és inverz Fourier transzformáció:

𝑙²(Λ)∋𝑓 7→𝑓ˆ∈𝑙²(Λ^∗) : 𝑓ˆ(𝑝) := ∑

𝑥∈Λ

𝑒^{𝑖𝑝⋅𝑥}𝑓(𝑥), 𝑙²(Λ^∗)∋𝑓 7→𝑓ˇ∈𝑙²(Λ) : 𝑓ˇ(𝑥) := 1

∣Λ∣

∑

𝑝∈Λ^∗

𝑒^{−𝑖𝑝⋅𝑥}𝑓(𝑝),

ahol

𝑝⋅𝑥=

𝑑

∑

𝑖=1

𝑝_𝑖𝑥_𝑖.

Könnyű ellenőrízni, hogy e két transzformáció unitér:

𝑓, 𝑔∈𝑙²(Λ) : 𝑓ˇˆ=𝑓, ( ˆ𝑓 ,𝑔)ˆ ∗ = (𝑓, 𝑔), 𝑓, 𝑔∈𝑙²(Λ^∗) : 𝑓ˆˇ=𝑓, ( ˇ𝑓 ,𝑔) = (𝑓, 𝑔)ˇ _∗.

A Fourier transzformációt (általában) azért szeretjük, mert az eltolásinvari-áns operátorokat diagonalizálja. Pontosabban, ha

A= (𝐴_𝑥,𝑦)_{𝑥,𝑦∈Λ}

egy olyan mátrix, amelynek mátrixelemei csak az𝑥−𝑦különbségtől függenek (periodikus peremfeltételekkel)

𝐴_𝑥,𝑦 =𝑎(𝑥−𝑦) akkor

[A𝑓](𝑝) = ˆˆ 𝑎(𝑝) ˆ𝑓(𝑝).

Egy nevezetes operátor: a diszkrét Laplace operátor

Δ = (Δ_𝑥,𝑦)_{𝑥,𝑦∈Λ}, Δ_𝑥,𝑦 =

⎧

⎨

⎩

−2𝑑 ha ∣𝑥−𝑦∣= 0 1 ha ∣𝑥−𝑦∣= 1 0 ha ∣𝑥−𝑦∣>1

−Δpozitív szemidefinit; a Fourier transzformáltja:

𝐷(𝑝) = 2

𝑑

∑

𝑖=1

(1−cos𝑝_𝑖).

A Fourier transzformáció alaptulajdonságait, azonosságait stb. ismertnek feltételezzük és állandóan használni fogjuk.

8.5. A Fröhlich – Simon – Spencer bizonyítás főbb stációi

Bevezetjük a spin-spin pár korreláció függvényt:

𝑐_𝑖,𝑗(𝑥) = 𝑐^Λ_𝑖,𝑗(𝑥) = ⟨⃗𝜎_𝑖(0)⃗𝜎_𝑗(𝑥)⟩_Λ =⟨⃗𝜎_𝑖(𝑦)⃗𝜎_𝑗(𝑦+𝑥)⟩_Λ. (8.3) Mivel az alább következő bizonyításban szereplő azonosságok, becslések stb.

Λ-tól függetlenek (ill. Λ-ban egyenletesek), a jelölések egyszerűsítése végett aΛ-tól való függést nem fogjuk explicit módon jelölni.

A (8.3)-ban definiált korreláció függvények Fourier transzformáltjai:

ˆ

𝑐_𝑖,𝑗(𝑝) =∑

𝑥∈Λ

𝑒^{𝑖𝑝⋅𝑥}𝑐_𝑖,𝑗(𝑥).

8. A KLASSZIKUS HEISENBERG-MODELL 67 (A) Infravörös korlát (IRB) a korreláció függvényekre – ez lesz a bizonyítás lényege. Be fogjuk látni, hogy minden Λ-ra és minden Λ^∗ ∋𝑝∕= 0-ra a

( 1

𝛽𝐷(𝑝)𝛿𝑖,𝑗 −𝑐ˆ𝑖,𝑗(𝑝) )𝜈

𝑖,𝑗=1

mátrix pozitív szemidefinit. Ez egy borzasztó általános korlát: a modell mikro-részleteitől szinte teljesen független.

(B) Egy egyszerű azonosság:

1 =⟨⃗𝜎(0)⋅⃗𝜎(0)⟩_Λ =

(C) Konklúzió: (A)-ból és (B)-ből következik, hogy 1≤ 1

Vegyük észre, hogy ˆ

𝑐_𝑖,𝑗(0) =∑

𝑥∈Λ

⟨𝜎_𝑖(0)⋅𝜎_𝑗(𝑥)⟩_Λ.

Tehát (8.4) ugyanaz mint 1

A jobb oldali második tag egy Riemann-összeg és világos, hogy lim

Mivel 1/𝐷(𝑝) egyetlen szingularitása a 𝑝= 0 pontban van és 𝐷(𝑝) =𝑑𝑝²+𝑂(𝑝⁴), ∣𝑝∣ →0,

a (8.5) jobb oldalán lévő integrál egy és két dimenzióban divergens, de három- és annál magasabb dimenzióban véges. Mindezt összegezve, azt kapjuk, hogy három és magasabb dimenzióban

𝑟(𝛽)≥1− 𝜈 𝛽𝐼_𝑑,

ami elég nagy 𝛽-ra (elég kis hőmérsékleten) pozitív, sőt 1-hez (azaz telítettséghez) tart, amint𝛽 → ∞ (𝑇 →0).

8.6. Az infravörös korlát bizonyítása

A (8.1) Hamilton-függvény következő ekvivalens alakjait fogjuk használni (mikor melyik kényelmesebb):

𝐻_Λ(⃗𝜎) = −1 2

∑

∣𝑥−𝑦∣=1

𝑥,𝑦∈Λ

⃗𝜎(𝑥)⋅⃗𝜎(𝑦)

=−1 2

∑

𝑥,𝑦∈Λ

⃗𝜎(𝑥)⋅Δ_𝑥,𝑦⃗𝜎(𝑦)−𝑑∣Λ∣=−1

2⃗𝜎⋅Δ⃗𝜎(𝑦)−𝑑∣Λ∣

= 1 4

∑

∣𝑥−𝑦∣=1

𝑥,𝑦∈Λ

(⃗𝜎(𝑥)−⃗𝜎(𝑦))2

−𝑑∣Λ∣.

Legyen⃗𝑣(⋅)tetszőleges ℝ^𝜈-beli vektorértékű függvény (vektormező) Λ-n:

Λ∋𝑥7→⃗𝑣(𝑥) = (𝑣₁(𝑥), . . . , 𝑣_𝜈(𝑥))∈ℝ^𝜈 és értelmezzük a következő⃗𝑣-függő állapotösszeget:

𝑍_Λ(⃗𝑣) =

∫

ΩΛ

exp{𝛽

2 (⃗𝜎+⃗𝑣)⋅Δ (⃗𝜎+⃗𝑣)}.

Vegyük észre, hogy 𝑍Λ(⃗𝑣) csak a⃗𝑣(𝑥)−⃗𝑣(𝑦) különbségektől függ. 𝑍Λ(⃗0) = 𝑍_Λ pontosan a (8.2)-beli Gibbs-mérték szokásos állapotösszege. Az alábbi azonosságot könnyű ellenőrízni:

𝑍_Λ(⃗𝑣) = exp{𝛽

2⃗𝑣⋅Δ⃗𝑣}𝑍_Λ(⃗0)⟨exp{𝛽⃗𝑣⋅Δ⃗𝜎}⟩_Λ. (8.6)

8. A KLASSZIKUS HEISENBERG-MODELL 69 29. Tétel. A következő állítások igazak:

(1) A ⃗𝑣 7→𝑍_Λ(⃗𝑣) függvénynek ⃗𝑣 =⃗0-ban globális maximuma van, azaz ∀⃗𝑣:

𝑍_Λ(⃗𝑣)≤𝑍_Λ(⃗0). (8.7) (1’) (Gaussian Domination) ∀⃗𝑣:

⟨exp{⃗𝑣⋅Δ⃗𝜎}⟩_Λ≤exp{− 1

2𝛽⃗𝑣⋅Δ⃗𝑣}. (8.8) (2) ∀⃗𝑣:

𝜈

∑

𝑖,𝑗=1

∑

𝑠,𝑡,𝑥,𝑦∈Λ

𝑣_𝑖(𝑠)Δ_𝑠,𝑥⟨𝜎_𝑖(𝑥)𝜎_𝑗(𝑦)⟩_ΛΔ_𝑦,𝑡𝑣_𝑗(𝑡) =⃗𝑣⋅Δ⟨⃗𝜎⃗𝜎⟩_Λ⋅Δ⃗𝑣

≤ −1

𝛽⃗𝑣⋅Δ⃗𝑣.

(2’) (Infrared Bound) ∀Λ^∗ ∋𝑝∕= 0:

( 1

𝛽𝐷(𝑝)𝛿_𝑖,𝑗−𝑐ˆ_𝑖,𝑗(𝑝) )𝜈

𝑖,𝑗=1

pozitív szemidefinit mátrix.

9. Megjegyzés. A fenti négy állíás logikailag a következőképp viszonyul egymáshoz:

(1) ⇔(1^′)⇒(2) ⇔(2^′).

(1) és (1^′) ekvivalenciája (8.6)-ból közvetlenül adódik, (2) és (2^′) ekvivalen-ciája pedig Fourier transzformáció útján. (8.8)-at másodrendig sorbafejtve

⃗

𝑣 szerint megkapjuk a középső implikációt. Nekünk végülis (2^′)-re lesz szük-ségünk, de az erősebb (1) állítást fogjuk belátni.

A 29. Tétel bizonyítása

30. Állítás (Tükrözési pozitivitás = Reflection positivity). Legyen (Ω, 𝜇) véges mértéktér és

𝐴, 𝐵, 𝐶₁, . . . , 𝐶_𝑙, 𝐷₁, . . . , 𝐷_𝑙 : Ω→ℂ

korlátos, mérhető függvények. A következő egyenlőtlenség igaz:

Tükrözési pozitivitás bizonyítása: 𝑙 = 1-re fogjuk az állítśt bizonyítani, álta-lános 𝑙 ∈ ℕ-re a bizonyítás elvben nem nehezebb, csak a jelölés bonyolódik el.

In document A statisztikus fizika matematikai módszerei (Pldal 40-0)