GEORGIUS DE HUNGÁRIA ARITHMETIK ÁJ A.
1499-b ő l.
S Z IL Y K Á L M Á N ÉS H E L L E R Á G O S T r. tagok RÁVONATKOZÓ JE L E N T É S E IV E L .
Ára 30 kr.
BUDAPEST.
KIADJA A MAGYAK TUDOMÁNYOS AKADÉMIA.
1894.
E d d ig k ü lö n m e g je le n t
É R T E K E Z É S E K
a mathematikai tudományok kóréból.
Első kötet. — Második kötet. — Harmadik kötet. — Negyedik kötet.
Ötödik kötet.
H atodik kötet.
I. Konkoly Miklós. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területén I. rész. 1871— 1873. Ára 20 kr. — II. Konkoly Miklós. Hulló csil
lagok megfigyelése a magyar korona területén. II. rész. 1874—1876. Ára 20 kr.
— III. Az 1874. V. (Borelly-féle) Üstökös definitiv pályaszámítása. Közlik dr.
Gruber Lajos és K urländer Ignácz kir. observatorok. 10 kr. — IV. Schenzl Guido. Lehajlás meghatározások Budapesten és Magyarország délkeleti részé
ben. 20 kr. — V. Gruber Lajos. A november-havi hullócsillagokról 20 kr. — VI. Konkoly Miklós. Hultó csillagok megfigyelése a magyar korona területén 1877-ik évben. III. Bész. Ara 20 kr. — VII. Konkoly Miklós. A napfoltok és a napfelületének kinézése 1877-ben. Ara 20 kr. •— V III. Konkoly Miklós.
Mercur átvonulás a nap előtt. Megfigyeltetett az ó-gyallai csillagdán 1878.
május 6-án 10 kr.
fWL
\ KÍÍ
ACADEME*
KÖNYVTARA
H etedik kötet.
I. Konkoly Miklós. Mars felületének megfigyelése az ó-gyallai csillag
dán az 1877-iki oppositió után. Egy táblával. 10 kr. — Konkoly Miklós. Álló csillagok színképének mappirozása. 10 kr. — III. Konkoly Miklós. f Hullócsil
lagok megfigyelése a m agyar korona területén 1878-ban IV. rész. Ára 10 kr.
— IV. Konkoly Miklós. A nap felületének megfigyelése 1878-ban ó-gyallai csillagdán. 10 kr. — VI. H unyady Jenő. A Möbius-féle kritériumokról a kúp
szeletek elméletében 10 kr. — VI. Konkoly Miklós. Spectroscopicus megfigye
lések az ó-gyallai csillagvizsgálón 10 kr. — V III. Dr. Weinek László. Az instrum entális fényliajlás szerepe és Vénus-átvouulás photographiai felvételénél 20 kr. — IX. Suppan Vilmos. Kúp- és hengerfelületek önálló ferde vetítés
ben. (Két táblával.) 10 kr. — X. Dr. Kőnek Sándor. Emlékbeszéd Weninger Vincze 1. t. fölött. 10 kr. — XI. Konkoly Miklós. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona területén 1879-ben. 10 kr. — XII. Konkoly Miklós. Hulló
csillagok radiatio pontjai, levezetve a magyar korona területén tett megfigye
lésekből 1871—1878. végéig 20 kr. -— X III. Konkoly Miklós. Napfoltok meg
figyelése az ó-gyallai csillagvizsgálón 1879-ben. (Egy tábla rajzzal.) 30 kr. —■
XIV. Konkoly Miklós. Adatok Jupiter és Mars physikájához, 1879. (Három tábla rajzzal.) 30 kr. — XV. Kéthy Mór. A fény törése és visszaverése homo
gén isotrop átlátszó testek határán. Neumann módszerének általánosításával és bővítésével. (Székf. ért.) 10 kr. — XVI. K éthy Mór. A sarkított fényrezgés elhajlitó rács által való forgatásának magyarázata, különös tekintettel Fröhlich észleleteire. 10 kr. — XVII. Szily Kálmán. A telitett gőz nyomásának törvé
nyéről. 10 kr. — XVIII. H unyadi Jenő. Másodfokú görbék és felületek meg
határozásáról. 20 kr. — XIX. H unyady Jenő. Tételek azon determinánsokról, melyek elemei adjungált rendszerek elemeiből vannak componálva. 20 kr. —•
XX. Dr. Frölich Izor. Az állandó elektromos áramlások elméletéhez. 20 kr.
XXI. H unyady Jenő. Tételek a componalt determinánsoknak egy különös neméről. 10 kr. — XXII. König Gyula. A raczionális függvények általános elméletéhez. 10 kr. — X X III. Silberstein Salamon. Vonalgeometriai tanul
mányok 20 kr. — XXIV. H unyady János. A Steiner-féle kritériumról a kúp-
GEORGIUS DE HUNGÁRIA ARITHMETIKÁJA.
1499 bSl.
SZILT KÁLMÁN és HELLER ÁGOST r. ta^ok rávonatkozó jelentéseivel.
I.
ELŐLEGESJELENTÉS
Georgius de H ungária 1499, évi arithmétikájáról.
Hellebrant Árpád úr, a m. tud. Akadémia alkönyvtárnoka, az Irodalomtörténeti Bizottság megbízásából az ez idei szünetek alatt is tanulmányokat tett Németországban, hogy a Szabd Károly-féle Régi Magyar Könyvtár III. kötetéhez magyar írók
tól külföldön, nem magyar nyelven kiadott munkákról, ha eddig még föl nem volnának jegyezve, czímmásokat gyűjtsön. Meg
látogatta többek közt a hamburgi városi könyvtárt, és ott egy eolligatumban (Realcat. AC. Yol. VII. p. 37 jelzéssel) talált egy latin nyomtatványt, a mely «Arithmetice summa tripartita Ma
gistri georgij de hung ana» czímet visel és a colophon tanúsága szerint 1499. április havában fejeztetett be.
E fölfedezésével Hellebrant úr nagy szolgálatot tett a ma
gyar irodalomtörténetnek. Eddigelé ugyanis azt hittük, hogy a legelső mathematikai tárgyú munka, a melyet magyar ember írt, az 1577-ben Debreezenben megjelent Arithmetica— és íme most a hamburgi lelet e dátumot majd 80 évvel, 1499-re viszi vissza.
A mint Hellebrant úr ez érdekes leletét velem közölte, azonnal írtam a hamburgi városi könyvtár igazgatóságának', a munka kikölcsönzését kérve. Kérésemnek az igazgatóság a leg-
II SZILY KÁLMÁN ÉS HELLER ÁGOST.
nagyobb készséggel eleget tett, s ezennel szerencsém van Ma
gyarországi György mester 1499; évi Aritlimetikáját a t. osz
tálynak bemutatni.
Az egész nyomtatvány csak 20 oldalra terjed, de mégis öt oldallal terjedelmesebb, mint Pcuerbachnak, a híres bécsi tanár
nak, Regiomontanus mesterének, 1510-ben tanítványai számára kiadott «Opus algorithmi»-ja. György mester az első oldalon elmondja, hogy barátai igen gyakran és több ízben arra kérték, foglalná egybe a gyakorlati Aritlnnetika összeségét, menten min
den fölösleges vagy kevésbbé szükséges részeitől. Szívesen hajlik kérésükre s elhatározza magát, hogy munkáját tágasabb körök számára is közrebocsátja, mert az aritlnnetika gyümölcsei min
denek számára hasznosak, sőt szükségesek is, ú. m. a királyok
nak, vezéreknek, mágnásoknak, nemeseknek, katonáknak, vala
mint a theologia és a philosophia tanulmányozóinak, pnelatu- soknak, szerzeteseknek s világi papoknak, szintúgy a kereske
dőknek és mesterembereknek. Művét három részre osztja: az elsőben az aritlnnetika 9 speciesét: ú. m. a számlálást, össze
adást, kivonást, kétszerezést, felezést, sokszorozást, osztást, ha- ladványokat és a gyökvonást számjegyekkel tárgyalja, a második részben pedig a négy műveletet a számok vetése útján (per projectiles) magyarázza s végül, a harmadik részben a hármas- és arany-szabályt (quas aureas appellant, quia sicut aurum in metallis supremum atque optimum obtinet nomen, sic et ista pars regularum) több rendbeli példával világosítja meg.
A 7 első speciest elég részletesen (noha a felvilágosító pél
dák hiánya miatt itt-ott zavarosan és nehezen érthetően) adja elő; kevesebbet ér a mit a haladványokról mond ; éppenséggel értéktelen pedig az, a mit számok vetéséről és a gyökvonásról beszél. Látszik, hogy legtöbb öröme tolt a hármas-szabályra, vo
natkozó példák megoldásában, mert a húsz oldalból nyolezat kizárólag erre szentel s itt egész világosan meg is bírja magát értetni. Egyik példája, a mely eléggé jellemző a fogós kérdése
ket kedvelő középkorra, a következő :
Egy haldokló ember, kinek neje áldott állapotban van, tes
tamentumában akként rendelkezik: ha az asszony fiút szül, ezer aranyra menő vagyonából két részt kapjon a fiú s egyrészt az asszonjr; ha ellenben leányt szül, akkor az asszony kapjon két
GEOEGIUS DE HUNGÁRIA ARITHMETIKÁJA. I l l
részt és a leány egyet. Meghal az ember s az asszony ikreket szül, még pedig egy fiút s egy leányt. Kérdés, mennyit kap az ezer aranyból — a végrendelet intenti ója értelmében — a fiú, mennyit az asszony és mennyit a leány ? A kérdés egészen he
lyesen van megfejtve.
Az egész munkában mindössze két matliematikai íróra van 'hivatkozás: Boethiusiti és Bravardinusiti. Boethius Arithmeti- káját 1480-ban adták ki Párisban és 1488-ban Augustában ;
llR A V A R D iN u s n a k pedig 1496-ban jelent meg «Geometria specu
lativa» czímű munkája (Heil b r o n n e r, Hist. Matheseos, Lipsise 174:2). Ezeken kívül György mester bizonyára ismerte még vala
melyik spanyol algorista művét is. Ezt abból következtetem, hogy az ezerszer ezret nem nevezi milliónak, mint a hogy az olasz algoristák (pl. Pietro Borgi, Velencze 1484.) már akkor nevez
ték, hanem az akkori spanyol módra cuentusnak, az ezer milliót miionnak, a billiót summának, az ezer billiót drágának, a melyek valószínűleg mind megannyi spanyol divatú elne
vezések.
A ránk nézve legérdekesebb kérdést — vájjon ki lehetett rz a magyarországi György mester? — legutoljára hagytam.
A könyv nyomtatásának helye, a miből gyakran nagy való
színűséggel némi következtetést lehet vonni a szerző kilétére, különösen lakóhelyére nézve, sem a czímlapon, sem a coloplion- ban nincs megnevezve. Szerencsére a könyv szövegéből és a
< oll igát urában levő munkákból e kérdést majdnem teljes bizo
nyossággal meg lehet fejteni.
A könyvlien t. i. több feladat van, a melyekben valaminek az árát kell kiszámítani, vagy pedig az osztalékot, a mi valami nyereségből egy-egy társra esik. A pénznemek, a melyekkel
Györgymester e példákban számol, ime a következők: aureus, ignilis, stuferus, hat, piarca nova, piarca antiqua, duytmarus, bramincusk Hová való pénzek voltak ezek'?
Az «ignilis»-ről Ducange ezt írja: Belgis ickse, nummi
György mester feladataiból következtetve: 1 aureus = 122/s ignilis; 1 ignilis =z 21Aj stuferus ; 1 stuferus = 2 b u t; 1 but — 4 placca nova> 1 placca nova = 2 placca an tiq u a; 1 placca antiqua — 2 duyfma-
" , I duytmarus = 2 bramincus.
IV SZILY KÁLMÁN ÉS HELLER ÁGOST.
argentei nomen vulgo escalin; ez utóbbiról pedig Jur en d eMün- zen-lexiconja: alte brabantische Silbermünze. — «Stuferus»,
Ducangeszerint, Belgis stuyver; ez utóbbiról pedig Ju r e n d e: alté Rechnungs- und silberne Scheidemünze in den Niederlanden und den benachbarten Länderen. — «Placca» (=plaqiiet): halber brabantischer Schilling, alte silberne Scheidemünze in Antwer
pen, Brüssel etc. (Jur. i. li.). «Duytmarus»-t a rendelkezésemre*
álló kézi könyvekben nem találtam ugyan, de a szó előrésze:
dent, doit, duyt (u. o.) alte holländische Scheidemünze aus Kupfer, 2 holländische Pfennige an Werth.
Látjuk ezekből, hogy György mester németalföldi pénz
nemekkel számol, egy oly munkában, a melyet barátai kérésére állított össze. E barátai tehát, minden valószinűség szerint, né
metalföldiek voltak, s így az is igen valószínű, hogy ő maga is Hollandiában tartózkodott, a mikor e munkáját írta.
Egy további adatot, a mely e következtetést még jobban megerősíti, a hamburgi colligatumban György mester Aritlime- tikájával együvé kötött többi munkák nyomtatási helyéből von
hatunk le. E munkák közül kettőt Antwerpenben, egyet Deven- terben s egyet Utreclitben nyomtattak, s ha az utrechti nyomtatás colophonjának betűit a György mester Arithmetik áj ának betűi
vel összehasonlítjuk, azt látjuk, hogy a két betűtypus feltűnően hasonlít egymáshoz, a miből némi valószínűséggel szintén az következik, hogy a mi György mesterünk, mikor Arithmetikáját kiadta, vagy Utreclitben vagy az utrechti püspökség valamely városa ban tartózkodott.
Még nagyobb világosság okáért, bővebben kellett magamat tájékoznom a középkori hollandi pénznemek felől. T. társunk
hoz, Hampel r. t. úrhoz fordultam, ki is szives volt egyenest Utrechtbe írni, a fentnevezett pénznemek felől részletes fölyilá- gosítást kérve.
Utrecht városának levéltárnoka szeptember 23-áról kelt válasza szerint: mindazok a pénznemek, a melyekről föntebb szóltam, az utrechti püspökség Ysselentuli részének, az ú. n.
Oversticlitnek pénzei. Az Oversticht négy városa (Deventer, Kämpen, Zwolle és Groninga) ugyanis 1488. október 27-én el
határozta, hogy egy új ezüstpénzt veret: az overstichti stuvert;
e stuvernek fele volt a but vagy butken; a but negyede a jdacken,
a placken negyede a dny tmer, a duytmer fele a braems vagyis a bramincus.
Mindezekből egész tisztán előtűnik, hogy Magyarországi
Györgymester overstichti pénznemekkel számolt, s hogy e sze
rint barátai, valamint ő maga is, hihetőleg az Overstioht egyik városában laktak.
Megjegyzem még, hogy György minden valószinűség sze
rint, papi ember volt. Ezt több körülményből következtethetjük.
Először is abból, hogy munkáját különös melegséggel ajánlja a papok figyelmébe : doctissimis excellentissimisque viris sacro sanctae theologiae, ecclesiasticis quibuscunque, praelatis et non praelatis, religiosis ac secularibus, sacerdotalique officio adorna
tis. Másodszor abból, hogy külön példát szentel arra a kérdésre, hogy a kanonokok és káplánok miként osztozzanak az ecclesia jövedelmén. Végre abból, hogy minden fejezetet isten segítsé
gül hívásával vezet b e : invocato igitur primo omnipotentis auxilio, sine quo nullum rite fundatur, vagy pedig deo semper favente, favente, altissimo, auxiliante semper omnipotenti deo stb.
De végre is, mit kereshetett Georgius de Hungária 1 UM)-ben az utrechti püspökség Ysselentúli részében ?
Groningában a középkor végén két főiskola volt: a «fratres communis vitae» iskolája és a Szent-Márton templomáé. Ez utóbbi oly híres volt, hogy százával tódultak oda a tanulók Német-, Olasz-, Franczia- és Spanyolországból; a mi György
mesterünket is alkalmasint ez az iskola csalta Groningába.
További kutatásoknak kell eldönteni, vájjon csakugyan volt-e azon időben Georgius de Hungária Groningában, akár mint tanuló, akár mint tanító; valamint további kutatások fog
ják eldönteni azt a kérdést is, vájjon az a Magyar György do
minikánus szerzetes — kiről Toldy Ferencz a M. Nemzeti Iro
dalom Történetében (II. 57. lap) azt írja, hogy «De ritibus Turearum» czímű kéziratát Rómában in Collegio S. Mariae ad Minervám őrzik — nem egy személy-e a mi György meste
rünkkel ?
Hogy azonban e kutatásokban historikusaink és bibliogra- phusaink résztvehessenek, czélszerű lenne, ha a m. tud. Aka
démia György mester Arithmetik« j át, mielőtt ez Hamburgba
GEORGIUS DE HUNGÁRIA ARITHMETIKAJA. V
VT SZILY KÁLMÁN ÉS HELLER ÁGOST.
visszaküldetnék, híven lemásoltatná és a Mathematikai Érteke
zések során közrebocsátaná.
Budapest, 1893 október 16-án.
Szülj Kálmán r. t.
II.
JELENTÉS
Georgius de Hungária 14-99. évi Aritlmietikájáról. . Szily Kálmán társunk a múlt év október 16-án tartott osz
tályülésünkön a magyar irodalom történetére igen érdekes mü
vet mutatott be: Magister Georgius de Hungária «Arithmetice summa tripartita» czímü 1499-ben megjelent művét. Midőn a bemutató az érdekes irodalmi emléknek kiadását ajánlotta, az osztály alulírottat szólította fel, hogy vizsgálná meg e művet, illetőleg állását, melyet a XY. század végéig megjelent hasonló tárgyú művek sorában elfoglal, és hogy szerezzen biztosságot még azon eshetőség ellen is, hogy vájjon nem áll-e az előttünk fekvő mű más korabeli számtani művekkel az egyszerű compi
latio vagy plagium viszonyában? Minthogy már a bemutató maga a XY. században megjelent számtani könyvek irodalmában igen alaposan körülnézett, alólirottnak feladata e tekintetben igen egyszerű volt. Hogy azonban Györgymester művének hely
zetét korának szakirodaimában meghatározhassam, legyen sza
bad nehány — bár meglehetősen ismeretes — tényre hivat
koznom.
Az arithm etikának a középkortól az újabb korig tartó fejlő
désében három periódust különböztethetünk m eg: a computus, az abacus és az algorismus periódusát. Az első, mely GnRBER'rig ta rt (a XI. századig), a régi róm ai számjegyek használatát m u
ta tja ; a második a késő római columna-számítás, melynek szá
moló köveit: a calculusokat Gerbert 1-től 9-ig terjedő számokkal jegyezte és azokat az abacus columnáiban alkalm azta; végre a harm adik periodus az indiai számjegyek és a zérusjel használa
tával veszi kezdetét.
A XIII. században a jegytelen «jeton»-okkal megrakott
GEORGIUS PE HUNGÁRIA ARITHMETIKÁJA. VII
számoló tábla, az irásmesterség csekély elterjedése miatt, még egyszer győzedelmeskedett, a mi mindenesetre hanyatlásnak tekintendő; azonban a kereskedésnek ép e korszakban létre
jött hatalmas lendülete a számtanra is élesztőleg hatott és oly módszert alkotott, mely a régi columnás abacust egybevetve mutatja a Gerbert-féle számozott calculusokkal és az abacusra átvitt számjegyekkel.
Az indiai számokkal való számítás terjedésére legnagyobb befolyással volt Mohammed ben Musa Alchvarizmiarithmetikai és algebrai tankönyve, kinek nevéből az illetőségi pnedicatum az egész tudományra átragadt, melyet «algorisnms»-nak nevez
tek. Európában Maximus Pla n u d e s, Leonardo Pisano és Sacro
Posco művei honosították meg Alchvarizmi nyomdokain. Meg
különböztet 9 speciest: numeratio, additio, subtractio, duplatio, mediatio, multiplicatio, divisio, progressio és radicatio.
Sacro Bosco művét 1488-ban nyomatták ki első ízben.
V meglevő példányokat felsorolja Favaro. Egyik példány meg
van a zwickaui városi tanács könyvtárában. Czíme : Algorisnms magistri Johannis de Sacro busto ex vetustissimis computantium exemplaribus collectus. — Leonardo Pisano (Fibonaci) Liber Abaci ez. műve (Incipit liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano. Anno M°CC°II0). Kiadta Bómában 1857—62-ig Puoncompagni herczeg. Tartalma : Az indiai számokról, egész és törtszámokkal való műveletek, árúszámítás, regula Elchatayn
11 egula faisi), négyzet- és köbgyök húzás, geometriai szabályok, b ladatok az alchebra és almuchabala köréből.
Az első nyomatott számtani könyvek közzé tartozik a paduai l'RosDociMO-nak a XY. század elején írt, nyomtatásban 1483-ban megjelent «De Algorithmo» czímű műve. Erre, valamint Leo
nardo Pisano könyvére támaszkodik Luca Pa c io l i: Summádé Vrithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalita. Yenet.
i '1-94. Szerzőjét Lucasde Burgo Sancti SEPULCHRi-nak is hívják.
Az első, olasz nyelven megjelent számtan, Pietro Borgo
müve, mely 1482-ben jelent meg először Velenczében (aztán 1484, 1488 és 1489-ben).
Németországi számtani művek e korszakból a következők:
L ithmetica Boethii impressa per Erhardum Ratdolt. Algorith
mus linealis 1490 körül (Lipsiie apud M. Lotter) ; megvan a
VIII SZILY KÁLMÁN ÉS HELLER ÁGOST.
drezdai királyi könyvtárban; csak a vonalon számol, a gyök
vonás hiányzik. — Johann Widmann von Eger: Behende und hubsehe Bedienung auf allen Kaufmannschaft» (1489). — Bam
berger Bechenbuch von 1482. Szerzője Ulrich Wagner, kiadta Heinrich Petzensteiner. Megvan a bamhergi királyi könyvtár
ban és áll kilencz pergamenszeletből. — Bamberger Bechenbuch von 1483. Tisztán kereskedelmi czélokra szánt könyv. Megvan a zwickaui könyvtárban.
Végre említendő még Petrus Sanchez Ciruelo. Tractatus Arithmeticae pratice qui dicitur Algorismus. Paris 1514.
Még egy művet említenek, a Deventerbon 1499-ben meg
jelent Enchiridion A Igorismi, mely állítólag mint unicum az oxfordi könyvtárban őriztetik. Ezen mű után tudakozódván, Nicholson, a Bodleian library könyvtárnoka, arról értesíti Szily
társunkat, hogy a nevezett munka sem a nyomatott könyvekről szóló általános, sem az incunabillákra vonatkozó külön kata
lógusban elő nem fordul.
A felsorolt művek azok, melyekkel, mint előtte megjelen
tekkel, Györgymester műve összehasonlítandó. Sanchez Ciruelo
könyve ugyan később jelent meg, azonban spanyol eredetű szer
zője a XV. század utolsó évtizedében Párisban aritlimetikát tanított és 1495-ben Bradwardinus számtanát adta ki; azon szerző müvét, kiről Györgymester is említést tesz.
Mindenekelőtt kutattam, vájjon nem ismerik-e már az iro
dalomban Magister Georgius könyvét. Günther «Geschichte des mathematischen Unterrichts im Mittelalter» ez. művében csak
ugyan ráakadtam a mű czímére, mint olyanra, mely a Chasles- féle hagyatékban megvolt. Ezen könyvtár 1881-ben nyilvá
nos árverésen eladatott. Az ezen árverésre kiadott katalógus 203-dik lapján 1932. sz. olvasható: Arithmetice summa tripar
tita Magistri Georgii de Hungária incipit feliciter, petit in 4°, gothiquc á longues lignes de 10 feuillets, cárt. Livre fort rare, non cite par do Morgan dans ses Arithmetical hooks. Los carac- téres, gothiquc, de forme lourde et carrée, denotent un produit de presse de Pays-Bas». A ritka művecske elkelt 1881 julius 6-dikán; valószínű, hogy vagy a párisi nemzeti könyvtár vagy Buoncompagni herczeg birtokába került.
A számtani művek irodalmát átkutatva, arra a meggyőző-
GEORGIUS DE HUNGÁRIA ARITHMETIKÁJA. IX
(lésre jutottam, hogy Györgymester műveeskéje semmiféle más, előtte megjelent műhöz nem áll oly természetű viszonyban, melyből arra lehetne következtetni, hogy szerzője azokat meg nem engedhető mértékben igénybe vette volna. Nagyobb biztos
ság kedvéért azokkal a szakféríiakkal érintkezésbe léptem, kik a mathematikai irodalmat évek óta folj'tatott tanulmányozás alapján ismerik, ű. m. Günthermüncheni, Cantor heidelbergi és Curtze thorni tanár urakkal. Mind a három előtt György
mester műve teljesen ismeretlen, Curtze, kinek a szóban forgó művecskének kefelevonatát elküldtem, s ki azt nagy érdeklődés
sel áttanulmányozta, róla a következő szavakkal nyilatkozik:
«Es ist eine wohl abgerundete Darstellung des damals gäng und gebe Stoffes, welcher mehr oder weniger in allen um jene Zeit geschriebenen oder gedruckten Lehrbüchern des Bechnens sich findet. Der eigentümliche Name «cuentus» für Million und «milon» für 1000 Millionen, «summa« für Billion, «draga»
für 1000 Billionen sind, einzig undallein aus der Arithmetice pratice seu Algorismi tractatus des Pedro Sanchez Ciruelo,.
eines Spaniers bekannt«. Minthogy Sanchez Bradwardinus*
«Arithmetica speculativa» ez. könyvét 1495-ben kiadta és ez az egyedüli szerző, kinek nevét Györgymester említi, azért Curtze. nem tartja túlmerésznek azt a véleményt, hogy Magister Geor
gius Párisban Sanchez Ciruelo tanítványa volt és számtani elő
adásait látogatta. Ezen okból kívánatosnak tartja, hogy a ma
gyar szerző műve a Sancheztől 1495-ben kiadott Bradwardin- féle «Arithmetica speculativa» és az 1514-ben megjelent Sanchez- féle «Tractatus arithmeticae» czímű munkájával hasonlíttassék össze. Szily Kálmán társunk kérésére Párisban élő hazánkfia, Kont Ignácz, prof. au College Pollin, tényleg összehasonlította a kérdéses műveket. íme itt az eredmény: «Az 1514-ből való tractatus 20 lapon eléggé sűrűn nyomtatva körülbelül annyit ad, mint a magyar, tán többet, de sehol példákat, mint a ma
gyar. Az 1495-ből való nyomat (azaz a Bradwardinus kiadás)
* Thomas Bredwardin (de Bradwardina) Hartfieldben született Chichester mellett 1290 körül. Valószínű, hogy a ferencziek rendjéhez tartott. 1325 óta az oxford, egyetem procuratora (proctor) volt. Pestisben halt meg 1349 augusztus 26-ikán.
X SZILY KÁLMÁN ÉS HELLER ÁGOST.
felsőbb régiókban mozog, s a magyar művel semminemű kap
csolatban nem áll.»
A harmadik rész példáiról Curtze úgy nyilatkozik, hogy ezek közül némelyik az akkori kor minden számtani könyvének elkerülhetetlen kellékét alkotja. így p. o. az ALCUiN-féle «propo
sitiones ad acuendos iuvenes»-ban előfordul az «octava regula de lepore fugiente» és a «decimaregula de agozinante». Curtze
épen most a müncheni udvari és állami könyvtár 14908-dik kéziratát tanulmányozza, melyben a «duodecima regula de situ»
és a «decima sexta regula de quantitate abdita» német nyelven ép oly módon meg van fejtve, mint ezt Györgymester teszi.
Ezen kézirat kelte 1456.
A mit a magyarországi szerző mint első könyvet foglal egybe, azt később «tollal való számolás»-nak nevezték, a második könyvben foglaltat pedig «a vonalon való számo
lás »-nak.
Szilytársunk még arra nézve is iparkodott tudomást sze
rezni, hogy hol élt és írt az «Arithmetice summa tripartita» szer
zője. Kérésére dr. Müller, az utrecliti tartomány állami levél
tárnoka Györgymester személyét és tartózkodása helyét illető kutatásokat végzett. Lényegben negativ eredményre jutott.
Györgymester aligha tartózkodott Groningában, hol abban az időben könyvsajtó sem volt és hol püspöki templom sem léte
zett. Valószínűbb, hogy Deventerben az Overstichtnek e tekin
télyes városában élt, noha az ottani volt Lebinus szerzettől még meglevő okiratokban neve sehol sem fordul elő.
A mi a mű nyomását és a használt betűket illeti, az össze
hasonlítás kiderítette, hogy az utrecliti Bentsentől használt be
tűkhöz hasonlítanak ugyan, de velők nem azonosak. Teljesen megeg}Teznek azonban azokkal, melyeket a Schoonhoven melletti Sz. Mihály klastrom nyomdájában használtak. Ez a nyomda 1495-től 1528-ig működött. Minthogy azonban Schoonhoven nem fekszik az Overstichtben, úgy látszik, hogy a mű nem nyo
matott e tartományban.
Mindent összefoglalva György mesterről és számtani mű
véről a következő véleményt alkothatjuk.
1. Magyarorszagi Györgymester lehetett Sanchez Ciruelo, híres számtan-tanárnak tanítványa Párásban, később azonban
GEORGIUS DE HUNGÁRIA ARITHMETIKÁJA. XI
mindenesetre Hollandiában élt, talán Deventer ben az Over- stichtben.
2. Az «Arithmetice summa tripartita» ez. művecske némi valószinűséggel a Schoonlioven melletti Sz. Mihály klastrom nyomdájában készült.
3. György mester müve legalább két példányban van meg, melyek egyike a hamburgi városi könyvtárban őriztetik; a má
sodik Chasles könyvhagyatékával elárvereztetett. Epenséggel nincs kizárva, hogy még egyik-másik könyvtár valamely colliga- tumában lappang egy-egy példány.
4. A mü, Szilytársunk ismertetése előtt, a tudományos iro
dalomban teljesen ismeretlen volt, noha Güntherpuszta czímét egy helyen említi.
5. Saját tanulmányozás és a legilletékesebb szakemberekkel folytatott véleménycsere alapján kimondhatom, hogy György
mester arithmetikája semmiféle, ugyanazon korból származó számtani könyvvel nem áll olyan nexusban, melynek következ
tében a művet egyszerű compilatiónak lehetne tekinteni.
Mindezek alapján kimondhatónak tartom, hogy Magister Georgius de Hungária «Arithmetice summa tripartita» czímű, 1499-ben megjelent művének kiadása és az érdekelt körökben való terjesztése hazai tudományos irodalmunk érdekében igen kívánatosnak látszik.
Budapest, 1894 junius hó 10-én.
Heller Ágost r. t.
Georgius de Hungária Arithmetikájárnak 1499-iki kiadásában levő sa jtó h ib á k :
2. lap alulról 10. sor : ragulas olv. regulas.
4. « felülről 10. « : millsies olv. millesies.
5. « « 10. « : substractione olv. subtractione.
5. « « 11. '( : substractione olv. subtractione.
5. t « 17. « : substrahatur olv. subtrahatur.
6. <\ « 14. « : delet olv. delete.
8. « « 2. « : vtranque olv. vtramque.
11. « « 2. « : fuit olv. fuerit.
11. « 11. « : qusadam olv. quasdam.
13. « 8. (( : preponatur olv. proponatur.
14. « alulról 2. « : sinificationes olv. signifiationes.
17. « « 1. « : 1 stuferos olv. 10 stuferos.
19. « felülről 7. « : 10000 olv. 1000.
23. « « 7. « : canonicis olv. capellanis.
24. « « 2. « : edicicare olv. edificare.
24. « « 17. « : multipiica olv. multiplica.
Arithmetice summa tripartita
Magistri Georgij de Hungária incipit feliciter.
Q
uoniam ro g a u e ru n t nos sepius et quam plurim um amici n ostri com pendiosam eis sum m am a rith metice practice com pilarem , in qua quidem etiam superflua vel saltem m inus n ecessaria rescinderem , congruum m ihi visum est ac eciam condignum piis eorum precibus fauere atq u e co n d escendere; suauis- sim osque arith m etice perfectionis atq ue fructu s dulcissimos non solum no stris am icis n ecessariisq ue p ro ponere, verum eciam copiosissim e atque ultro con
donare volum us. S u n t enim hi fru ctu s num erorum non modo utiles atque com m odissim i, sed et omnino necessarij om nibus cu iu scu nq ue condicionis ac statu s hom inibus. P rim o videlicet sum m is atq ue m axim is viris, regibus, ducibus, m agn atib usq ue vniuersis in republica, nobilibus etiam q u ib uscunq u e atqu e in rebus maximis, hoc est m ilitary siue bellica in arte se recte exercentibus, vel eciam ex ercere se volen
tibus, non m odicum quin imo quam m axim um p raesta t consilium atqu e iuuam en. Tum etiam doctissim is excel-
2
lentissim isque viris sacro san cte theologie, sacroru m q u e canonum atque in su p e r om nium nobilissim arum par- cium philosophie studijs qui se dedicarunt, tum etiam ecclesiasticis qu ib u scu n q u e p raelatis et non praelatis, religiosis ac secularibus, sacerdotaliqu e officio adornatis, tum eciam m ercatoribus, q ualibuscunque etiam artificibus lau dabilissim arum arcium m echani
carum ac etiam toti u n iu erso necessarii. Inuocato ig itu r prim o om nipotentis auxilio, sine quo nullum rite fu n d atu r exordium , proponim us hanc nostram arith m etice practice sum m am in tre s p arte s vel libros d istin g u ere parciales. Q uorum in prim o (deo sem p er fauente) trac tab im u s de om nibus speciebus a rith m etice p ractice p er figuras, id est cara cteres vsuales eiusdem quo ad integra. In secundo de sp e
ciebus iam dictis p er proiectiles negotiando, sicut per figuras singularissim o ac breuissim o inauditoque nu m eran di modo ludissim e. In tercio denique et vltimo hu ius n o stre sum m e ponem us varias multipli- cesque reg u las de tribi, boc est de trib u s num eris notis elicere q u artu m ignotum et a u re a s ytalorum h u n g aro ru m q u e ragulas, p lu resq u e alias pro condi
tione et v arie tate hom inum cum q u estionibus etiam diuersis. In su p er sin gu larem regulam co n trariam illi de tri, que tam en perfectissim a est et principium atqu e caput om nium reg u la ru m arith m etice perfec
tionis. Itaque om nium n u m erorum eciam sociatorum atq u e asso ciatorum difficultates p er has regulas q uis
que poterit faciliter enodare. Sed quia arithm etice 9 species hoc p raesu ppo n unt, ideo de his, fauente altissim o, prim o dicemus.
3
P ro nőnem sp ecierum alg o risticaru m n u m e ra tione, videlicet additione, subtractio n e, duplatione, m ediatione, m ultiplicatione, diuisione, p ro g ressio n e e t radicu m ex tractio n e intellectu est ad u erten d u m , q u o d n u m e ru s de quo abacu s considerat, est triplex, scilicet digitus, articu lu s et com positus. N um erus d ig itu s est om nis n u m e ru s m inor denario, u t su n t isti: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. D ecim a vero theca, circu lu s, cifra siue figura nichili ap p ellatu r, quoniam p e r se po sita nichil significat; ipsa tam en locum tenens, d at alijs ad significandum . Sim ile exem plum ponit B rau ard in u s de illo signo omnis, quod signum p er se positum nichil significat, additum tam en p ro positioni indefinite facit eam pro p lu rib u s verificari, quam p riu s verificabatu r. N um eru s a rticu lu s d ic itu r ille, qui p otest diuidi in decem p a rte s equales, ita q u o d nichil sit superfluu m neque dim inutum , u t su n t isti: 10, 20, 30, 50, 60, 70, 80, 90, 1000. E t sic de aliis. N u m erus com positus d ic itu r ille, qui co n stat ex p lu rib u s digitis, si prim a fuerit significativa, vel dici
tu r om nis ille num erus, qui est in te r duos articu lo s proxim os, u t su n t isti: 11, 12, 13, 69, 125, 259 etc.
P ro eius p rim a specie, scilicet nu m eratione, est n o tan dum , quod in n u m eration e vnicus tantum m odo n u m eru s siue u n u s ordo figurarum est n ecessarius, et inci
p ien d u m est a p a rte d ex tra p artem sin istram versu s ten d en d o m ore arabum siue heb reorum , qui fu eru n t in u e n to res hu iu s sciencie. Secundo est notandum , quod q u aelibet figura in prim o loco posita, significat p er se, secundo decem , tercio centum , q u arto mille, q u in to decem milia, sexto centum milia, septim o
]*
cueritus, sitié mille millia, octauo decem cueriti siue decies mille millia, nono centum cuenti siue cencies m ille millia, decimo m ilon siue m illesies mille millia, Vndecimo decem m ilones siue decies m illesies mille millia, duodecim o centum m iliones siue centesies m illesies mille millia, decim otercio sum m a siue mil
lesies m illesies mille millia, decim oquarto decem sum m e siue decies m illesies m illesies mille m illia, decim oquinto loco centum sum m e siue cencies m il
lesies m illsies mille millia, decim osexto d rag a siue m illesies m illsies m illesies mille millia, decim osep- tim o decem drage siue decies m illesies m illesies m illesies mille m illia etc. in infinitum m ultiplicando per illos tre s term ino s: decem, centum , mille. Nam secundum Boecium et B rau ard in u m n u m eru s in in finitum usque potest se extendi. T ercio est notandum , quod locus, limes, differentia et figura ap u d algo- rista s pro vna et eadem re supponunt.
De additione.
In additione duo num eri su n t necessarij, nu m e
ru s videlicet, cui fit additio, et scrib en dus est in su p erio ri o rdine p er suas differentias, et n u m eru s addendus, qui debet scribi in inferiori o rdine p er suas differentias, ita quod prim a inferioris ordinis debet poni sub p rim a su p erio ris ordinis et secunda sub etc. Et incipiendum est a p arte dextra. A dd atu r ig itu r prim a inferioris ordinis sibi sup raposite et ex tali additione au t excrescit digitus, au t a rticu lu s a u t
com p o situ s. Si digitus, loco eius delete p o n atu r di
gitus excrescens, si articu lu s, loco eius delete p o n a tu r th e c a et sin is tre tu r a rtic u lu s in proxim am figuram , quae valebit unitatem . E t si non fu erit ibi figura, p o n atu r in loco vacuo. Si autem fu erit figura nichili, loco eius delete p o n a tu r articulus, id est digitus, a quo d en o m in atu r artic u lu s ille. Si com positus, loco eius delete s c rib a tu r p ars com positi et s in is tre tu r a rtic u lu s u t prius.
De substractione.
In su b stractio n e p arifo rm iter duo tantum m odo num eri su n t necessarij, n u m eru s videlicet, a quo fit su b tractio , et scrib en d u s est in su p erio ri ordine p er suas differentias, et num erus, qui debet su b trah i, qui debet scribi in inferiori ordine p er suas differentias;
eodem modo hoc incipiendum est a p a rte dex tra, sicut in additione. S u b s tra h a tu r ig itu r p rim a inferioris o rd in is a sibi su p rap o sita, et illa au t fuerit m aior au t m inor au t equalis. Si m inor, d e le a n tu r ab ea tot vnitates, quot co ntinet inferio ris ordinis. Si equalis, loco eius delete p o n a tu r theca. Si m aior, m aior a m inori su b trah i non potest, p ro c e d a tu r ergo v lteriu s ad figuram sequentem , a qua m u tu an d a est vnitas, im ae respectu p rio ris valebit decem , sic a den ario e t figura priori sim ul co m putatis s u b tra h a tu r infe
rioris ordinis. E t si illa figura, a qua m u tu an d a est vnitas, fuerit vnitas, loco eius delete, p o n a tu r cifra.
Si autem fuerit figura nichili, p ro c e d a tu r v lteriu s ad
6
figurám significatiuam et in redeun d o ex o m nibus cifris p e rtra n sitis d ebet fieri figura nouenärij. D einde su b tra h e et secundam inferioris ordinis, de qua et de quibu s om nibus seq u en tib u s operandum est vt de p rim a figura.
Sequitur tie duplatione.
In du plation e vnicus tantum m odo n um erus e st n ecessariu s, n u m eru s videlicet dup lan dus; et inci
piendum est a p a rte sinistra. D upla ig itu r vltim um n u m e ru m et ex tali duplatione au t pro u en iet dig itus au t articu lu s au t com positus. Si digitus, loco eius delete p o n atu r n u m eru s prov en iens; si articu lu s, loco eius delete p o n a tu r th eca et sin is tre tu r articu lu s; Si com positus, loco eius delet p o n atu r p ars com positi et sin is tre tu r articu lus. D einde dupla et penultim am figuram , de q ua et de quibus om nibus operandum est vt de vltim a figura.
Sequitur de mediatione.
In m ediatione simili modo vnicus tantum m od o n u m eru s est necessarius, videlicet m ediandus. E t incipiendum est a p arte dextra. Media ig itu r prim am figuram et illa, si non fuerit significativa, m aneat in tacta; si significativa et par, loco eius delete po
n a tu r eius m edietas, si im par et vnitas, loco eiu s p o n atu r cifra et illa vnitas p o n atu r ex tra figuram in tabula, quae re p re se n ta b it m ediam p artem vnius. Si
7
alius n u m e ru s im p ar ab vnitate, accipe num erum parem im m ediate sub eo contentu m et m edia, de illa vero v n itate operandum est vt prius. D einde m edia et secun dam figuram et de illa, si fu erit par, o p e ra n dum est vt de prim a figura, si im par, au t rep resen - ta b it v n itatem aut alium n u m eru m im parem ab vnitate.
Si vnitatem , loco eius delete p o n a tu r figura nichili et illa vnitas re so lu a tu r in duos quinarios, p rim u s a d d a tu r et vltim us ab y ciatu r; si vero re p re se n ta b it alium n um erum im parem ab vnitate, accipe n u m erum parem im m ediate sub eo contentum et m edia, de illa vero v n itate operand um est vt prius. P a rifo rm iter fac de om nibus alijs figuris seq u en tib u s vt de se
cunda figura.
Sequitur de multiplicatione.
In m ultiplicatione duo n u m eri su n t necessarij, n u m eru s videlicet m ultiplicandus, qui scrib en d u s est in su p erio ri ordine, et ille nom inalem accipit apella- tionem , et n u m erus m ultiplicans in inferiori ordine, qui ad u erbialem capit denom inationem , sed tam en siue m ultiplicans s c rib a tu r inferiu s siue m ultiplicandus, sem per idem eueniet. De qua d a n tu r sex regule.
P rim a quando digitus m u ltiplicat digitum , s u b tra h endus est m inor digitus ab articulo sue denom i
nationis p er differentiam m aioris ad d en ariu m denario sim ul com putato. S ecunda reg u la quando digitus m ultiplicat articulum , ducen du s est digitus in digitum , a <pio d en o m in atu r articulu s, et quilibet digitus vale
bit decem, quilibet vero articu lu s centum . T ercia
8
regula, quando digitus m u ltip licat n um erum com po
situm , ducendus est digitus in v tran q u e partem num eri compositi. Q u arta regula, quando articu lu s m ultiplicat articulum , du cen d us est digitus, a quo d en o m in atu r vnus illorum articu lo ru m in digitum , a quo d en o m in atu r reliq u u s et quilibet digitus valebit centum , quilibet vero a rticu lu s mille. Q uinta regula, quando a rtic u lu s m ultiplicat num erum com positum , ducen du s est digitus, a quo d en o m in atu r articu lu s, in v tram que p artem num eri com positi. Sexta regula est, quando com positus m ultiplicat num erum com positum , ducenda est v traq u e p ars num eri com positi in v tram que p arte m num eri compositi. Nota, quod hic a r ti
culus non extend it se, nisi ad principaliores a rti
culos. P ro h aru m reg u laru m in tellectu est notandum , quod num eri sic su n t scribendi, nam prim a m u lti
plicantis d ebet poni sub vltim a m ultiplicandi. Et d u c a tu r vltim a m ultipli antis in vltim am m ulti
plicandi siue in illam, sub qua est p rim a m ulti
plicantis; et ex tali ductu, si excrescit digitus, scri
b atu r digitus excrescens ex directo su p ra figurám num eri m ultiplicantis. Si articulus, ex directo su p ra figuram num eri m ultiplicantis, sc rib a tu r cifra et sinir s tre tu r articulus. Si com positus, ex directo su p ra figuram num eri m ultiplicantis p o n a tu r p ars com positi e t sin is tre tu r articu lu s; hoc facto ducen d a est et penu ltim a m ultiplicantis in illam, sub qua est prim a m ultiplicantis et qu itqu id excreverit, negociandum est.
v t prius. Et sic liat de om nibus figuris num eri m ulti
plicantis, donec p e ru e n ia tu r ad prim am , que ducenda est in vltim am m ultiplicandi, et ex tali ductu, si ex-
9
crescit digitus, loco su p erio ris delete p o n a tu r d ig itu s excrescens, si articulus, loco su p e rio ris delete p o n atu r cifra et sin is tre tu r articulu s. Si com positus, loco su p e
rio ris delete p o n a tu r p ars com positi et s in is tre tu r articu lu s, vt prius. D einde a n te rio ra n d u s est orclo figure m ultiplicantis p er vnicam differentiam , ita videlicet, quod prim a m u ltiplican tis sit sub p en u ltim a m ultiplicandi, reliq uis sim iliter p er vnicam d ifferen
tiam a n terio ratis; quo facto d u cen d a est vltim a m u lti
plicantis in illam, sub qua est p rim a m ultiplicantis, de qua o p erandum est, vt prius. Nec cessan du m est a tali a n terio ratio n e nec a tali ductu, quou squ e que- libet figura num eri m ultip licantis d u c a tu r in q u am libet m ultiplicandi. Et si prim a m ultip licantis fu erit cifra, et figura sibi su p rap o sita fuerit significatiual tu n c sem per loco eius delete p o n a tu r cifra. Si autem in te r prim am et vltim am m ultiplicantis o c c u rra t cifra, et si ex directo ei su p ra p o n a tu r figura significatiua, relin q u en d a est intacta. Si vero fuerit spácium vacuum , illic scribenda est cifra. Si au tem o c c u rra t in te r prim am et vltim am m ultiplicandi cifra, an te rio ra n d u s est ordo figurarum num eri m ultip licantis p er duas diffe
rentias, quoniam ex d u ctu alicuius in nichilum nichil resultat.
Sequitur de diuisione.
In diuisione p arifo rm ite r duo num eri su n t neces- sarij, n u m eru s videlicet diuidendus, qui scrib en dus est in su p erio ri ordine, et n u m eru s d iuidens siiie diuisor, qui sc rib itu r in inferiori ordine. P o test etiam
1Ü
te rtiu s n u m eru s assignari, scilicet n u m eru s exiens sine d en o tan s quotiens. N um erus autem d iu id en d u s sem p er d ebet esse m aior diuisore vel saltem par, si debet fieri diuisio p e r integra. N um erus diuidens et d iu id en d u s sic su n t scribendi, quod vltim a d iuisoris debet poni sub vltim a diuidendi et p enultim a sub p en u ltim a etc. P ro p te r duas autem causas non potest vltim a sub vltim a poni; prim a, quia non potest aliquo- tien s a sibi su p rap o sita subtrahi, secunda, quia licet vltim a a sibi su p rap o sita aliquotiens possit su b trah i, reliq ue tam en non a sibi suprapositis. His itaqu e o rd in atis incipiendum est ab vltim a diuisoris, et con
sidera, q u otiens posset su b trah i a sibi su p rap o sita et a residua, si fu erit residua, ita quod reliq u e sim iliter p ossent su btrah i. E t tu n c scrib en d us est num erus den o tan s quotiens in spacio ex directo supraposito figure, sub q u a est p rim a diuisoris, et non contingit p lu ries s u b tra h e re ab alio, quam nouies, nec m inus quam semel. Hoc facto a n te rio ra n d u s est ordo figure m ultiplicantis p er vnicam differentiam , et negociandum est u t prius. Et quand o cun q ue contingit post an teri- orationem , vt non sem el possit su b trah i n u m eru s diuidens a sibi supraposita, in ordine num eri deno
ta n tis quotiens pon en da est cifra et a n terio ran d e su n t figure iterum p er vnicam differentiam , nec cessan dum est a tali an terio ratio n e, nec a su b tractio n e, nec a num eri den o tan tis q uotiens positione, donec p rim a diuidentis fuerit su b tra c ta a prim a diuidendi. Hoc facto a u t aliquid e rit resid uu m au t nichil; si aliquid, sem per e rit m inor diuisore, et re s e ru e tu r illud in tabula. Si autem velis scire, u tru m bene feceris au t
II ne, m ultiplica nu m eru m d en o tan tem quotiens p er diuisorem , et si aliquid fuit residuum , ad d as ei, et red ib it eadem sum m a, quam p riu s habuisti. Et sic diuisio est probatio m ultip lication is et econtra.
De progressione.
D icunt quidam prog ression em esse duplicem , scilicet n atu ralem siue continuam , et est illa, in qua non o m m ittitu r n u m e ru s; et in tercisam siue discon- tinuam , et est illa, in qua vniform iter o m m ittitu r aliquis n u m eru s interm edius. E t de u tra q u e p o su e ru n t qusadam reg u las satis tam en confusas, q u as om nes om m ittim us, pon en tes quidem de v traq u e p ro gressione vnam. P rim a regula, si p ro g ressio n is n a tu ralis sum m am scire volueris, m edietas in d ifferen ter vel num eri n u m ero ru m vel num eri ex trem o ru m sim ul iu nctoru m m u ltip licetu r p er reliq u um totum et non m ediatum . Et p ateb it summa. S ecu nda regula, si progressio discontin ua h a b u e rit locum in num ero pari, iu n g a n tu r extrem a, cuius m edietas m u ltip licetu r p er nu m erum locorum ; si autem h a b u e rit locum in num ero im pari, n u m eru s locorum m u ltip licetu r p er num erum num erorum . S e c u n tu r regule de p ro g re s
sione h abente se in p ro p o rtio n e dupla, tripla, q u a
d ru p la etc. P rim a regula, quum p ro g ressio n is duple sum m am scire volueris, dupla vltim um , a quo duplato rem oue prim um . P ro g ressio n is au tem trip le deposito prim o ab vltimo rem anentis, eius te rtia p ars cum vltiino ostendit tibi sum m am etc.
12
De radicum extractione.
P ro radicu m ex tractio n e est notandum , quod sicu t duplatio est quedam m ultiplicatio p er binarium et non d istin g u itu r ab ea, et m ediatio est quedam cliuisio: sic p arifo rm iter radicum extractio non est aliud, quam quedam diuisio, hoc est in uentio illius num eri, qui p ro du xit vel q u ad ratu m vel cubicum num erum . S icut enim ductio alicuius num eri in seipsum p ro d u cit num erum quad ratum , sic diuisio illius num eri q u ad rati per eundem num erum sem p er red u cit in num ero quotiens eundem num erum , quem p riu s habuisti, quem ap p ellant radicem . Non est ig itu r aliud ex tra h e re radicem num eri qu ad rati, quam diui- clere ipsum , vt q u a te rn a riu s est n u m erus q u ad ratus, q uia b in a riu s du ctu s in seipsum produ cit eum, qui si d iu id a tu r p er duo, exit in num ero quotiens radix eius. S im iliter 16, qui est pro d u ctu s p er q u atern ariu m , nam q u a te rn a riu s ductu s in se, p ro d u citu r n u m eru s q u ad ratu s, videlicet 16, qui si d iu id atu r per alium num erum , quam p er quatuor, non potest reduci in num ero quotiens n u m eru s q u atern ariu s. In cubicis sim iliter facimus, sed binace vice, vt ducendo q u atu o r p er seipsum bis p ro d u citu r cubicus 64, qui sexage
n ariu s q u a te rn a riu s si d iu id atu r p er quatuor, re d u citu r in num ero quotiens 4 in secunda sui diuisione et p er nullum num erum potest reduci in num ero quotiens ille q u a te rn a riu s radix, nisi p er 4. Est ig itu r
rad icum extractio in n u m eris cubicis re ite ra ta diuisio alicuius num eri p er vnum n um erum in secu n d a diuisione;
, vt ergo b re u ite r dicam us, radicem num eri cubi sic inue- nim us. N um erum propositum diuidim us bis p er eundem num erum , quem si in secu n d a sui diuisione in n u m ero quotiens rep eriam u s, ipsum pro rad ic e illius num eri cognoscim us, si vero non rep erim u s, non fuit ille eius radix. Et si aliquis n u m e ru s p re p o n a tu r et velis scire an cubicus est an ne, m ultiplica aliquem num eru m p e r seipsum bis, quem o p in aris posse p ro d u cere num erum tuu m propositum , et hoc tociens p er varios num eros fac, quousque inuenias, nunc tr a n s cendendo illum num erum , nunc vero m inus in- uen ien do; vt si 24 diuidim us p er 3, bis exit in num ero q uotiens secunda sui diuisione 2 et due tercie. Non est ergo radix eius trin a riu s, q uia non ex eunt 3, et si diuidim us p er 2, exeunt 6 secu n d a sui diuisione.
Si vero diuidim us p er 4, post talem diuisionem exit in num ero quo tiens secu nd a sui diuisione vnum et 2 q u a rte vnius, non est ergo 24 n u m e ru s cubicus, vt iam patet. Sed rad ix in u e n ta est rad ix m aximi num eri cubi, vnde patet, quod radicum extractio nil aliud est, quam quedam diuisio. Si enim sem el diui- dendo deleas num erum pro positum et inu enias in num ero quotiens tu um diuisorem eundem , q u a d ra tu s fuit n u m erus propositus. Si vero bis diuidendo deles n um erum tibi propositum , in u en iasq u e diuisorem eundem in num ero quotiens, cubicus fuit n u m eru s propositus. Finis.
14
Liber secundus de proiectilibus.
Q uoniam aux ilian te sem per om nipotenti deo, locuti sum us de arith m etica practica quo ad integra, re s ta t secundum propositum de arith m etice speciebus, q u ae p er proiectiles iit, prosequim ur, in q ua 5 tantum ponim us species, quae su n t: num eratio, additio, su b tractio, m ultiplicatio et diuisio. S icut in arith m etica p e r figuras fit, q uaelib et figura sequenti loco posita decies tan tu m significat, quantum in praecedenti, eom odo quilibet proiectilis in linea sequenti, hoc est su p e rio re positus, decies tantum significat, quantum in p raecedenti. T am en spacia non su n t eiusdem signi
ficationis cum lineis, quia proiectilis in spacio signi
ficat quinq ue resp ectu linee inferioris et sicut in arith m e tic a ascen d im us p er decem, centum et mille a prim o loco, sic in hoc libro a prim a linea id est inferiori ascendim us. P ro tra h a n tu r ergo linee plu res quo tq u o t volum us cum lineis intersecan tib us, quas in tersecan tes ideo facimus, quia m ulte et v arie sunt appellationes, hoc est vocabula denariorum , scilicet floreni, grossi, bram inci etc. quos si m ultiplicaveris vel diuiseris, pones nunc ab vno latere linearum in tersecan tiu m lineas in longum p ro tractas, nunc ab alio ne fiat confusio in nom inando illos varios denarios.
De additione.
In additione p o n atu r num erus, cui fit addicio, ad lineas et spacia secundum sinificationes linearum et spaciorum , et adde ei, quem vis ad d ere num erum in
15
eadem significationem lin earu m et spaciorum . Ita tam en, quod quando su n t q u in q u e in linea quacunque, illis qu inque leuatis, ponas vnum in spacio su p erio ri illi linee. Et quando su n t duo in spacio, pro illis duobus leu atis ponas vnum in linea su p erio ri illi spacio.
De subtractione.
P o n a tu r num erus, a quo iit subtractio, ad lineas e t spacia secundum significationes eis com petentes, et ab illa s u b tra h a tu r n u m eru s su b tra h e n d u s in eadem significatione lin earu m et spaciorum . E t si ad d id eris iteru m eidem ,quem su b trax isti nu m erum , re d ib it idem num erus, quem p riu s h abuisti, nam su b tra c tio est probatio additionis et retro a g ite r.
De multiplicatione.
P o n a tu r n u m eru s m ultip lican du s ad lineas et spacia. E t pro quolibet proiectili m ultiplicando leuato in q u acunque linea pone nu m erum m ultiplicantem , ab alio la tere linee in tersecan tis in eadem significa
tione lin earu m et sp aciorum eo modo, ac si in p rim a linea fuisset leuatus, incipiendo tam en sem p er a s u p erio re proiectili.
Sequitur de diuisione.
P o n a tu r nu m eru s d iuidend u s ad lineas et spacia.
Et a su p erio re etiam subleuando n um erum diuidentem , pro eodem pone vnum ab alio la tere linee in tersecan tis
16
secundum significationem locorum com petentem . P o st
quam diuiseris, au t aliquid e rit residuum au t nil, si sier re se ru a illud ex tra tabulam . Si vero velis probare, m u lti
plica num erum d enotantem quotiens p er tot, p er quot diuisisti. E t si aliquid est residuum , addas ei et h a bebis eundem num erum , quem prius h a b u isti. F in is Sequitur lib er tercius, qui est de regu lis va riis et m u ltip licib u s, per quas etiam om nes d ifficu ltates quoru m cunq ue num erorum fa ciliter enodantur.
P rim o auxilian te altissim o, ponem us regulas a rith m etice perfectionis, quas au rea s appellant, quia sicut au ru m in m etallis suprem um atq u e optim um obtinet nom en, sic et ista p ars regularum . S u nt enim he regule fru ctu s suauissim i om nibus cu iuscun q ue conditionis ac statu s hom inibus u t patebit. P rim a, quam dicunt de tri, hoc est de trib u s n um eris notis possim us elicere q u a rtu m ig notum ; terciu s enim n u m erus n unquam iit diuisor, sed sem per existit m ultip licato r cum vno illo
rum , cum quo non conuenit in significatione rei. Et te rc iu s num erus, cum quo conuenit in significatione rei, sub illo debet poni, de qua form atur questio talis.
Octo b rach ia panni valent 11 aureos, quantum vale- hunt 97 b rach ia p an n i? Si vis scire, scribe tercium num erum sub prim o hoc
modo et m ultiplica 97 p er 11 et diuide p er 8 et exeunt in num ero quo
tiens 133 cum trib u s octauis.
S ecunda regu la: octo b rach ia panni valent 11 aureos, quot b rach ia panni possunt haberi pro 97
97
11 m ultiplicator.
8 diuisor.
17
a u re is? si vis scire, scribe 97 sub 11 et m ultiplica n o n ag in ta septem p er octo et cl i u i cl e p er vndecem et e ru n t se p tu a g in ta et sex vndecim e, que est sum m a brachiorum , que possent hab eri pro nonaginta septem aureis.
T ercia reg u la de arom atario.
Dicit paterfam ilias se ru ito ri: accipe sex aureos, pro quibus volo h ab ere lib ras zinziberis, piperis, amig- dali, th u ris etc. in equali num ero, ita quod non plus libre habeam vnius, quam a lte riu s pro sex aureis.
Q u eritu r, quot libras habebo de vn o q u o q u e? Responsio:
accipe pro lib ra zinziberis 4 stuferos, p ip eris 6, amig- dali quinque, et th u ris nouem , et adde sim ul et e ru n t v ig in tiq u atu o r diu iso r tuus. D einde m ultiplica sex au reo s in stuferos et diuide p er diuisorem et habebis de vnoquoque septem lib ras et rem a n eb u n t decem et octo stuferi.
Q u arta reg u la de so cietate m ercatorum et lucro.
S u n t tre s m ercato res em entes sim ul m ercancias, q uorum vnus ponit v ig in tiq u atu o r aureos, secun d u s 32 et terciu s 40, qui sim ul faciunt 96 et iteru m u en d u n t et s u p e rlu c ra n tu r centum a u r e o s ; q u an tu m igitur quiuis eorum hab eb it de lu c ro ? S cribe om nes hos num eros hoc modo, et
m ultiplica partem unius- 96 diuisor cuiusque p er lucrum et 24
diuide p er sum m am . E t 32 100 m ultiplicat, p rim u s h ab eb it 25 au reo s 40 lucrum et secu nd us h ab eb it 33
aureo s, 10 stuferos, duas placeas, duos duytm aros, vnuin
2
18
bram incum at nonagesim am sextam partem de 32 bra- mi ncis, et te rciu s bab ebit 41 aureos, viginti stuferos, quinque placeas, vnum cluytm arum et tricesim am se
cundam p artem nonagesim e sexte.
S exta reg u la de tem p ore et societate.
S u n t tre s p on entes denarios pro communi lucro ad tem pus, qu orum vnus ponit 20 au reo s pro q u atu o r m ensibus, secu n d u s 12 pro 5 m ensibus, te rc iu s 25 pro 2 m ensibus. Et su n t lu crati 30 aureos, quantum igitur quilibet eorum debet h ab ere de lucro secundum ratam d en ario ru m et tem p oris eiu s? S cribe prim o omnium denario s distincte cum
tem pore suo et m ulti- 20 4 80 190 diuisor plica cuiuslibet den ario s 12 5 60
p er tem p u s suum , et 25 2 50 ta lite r pro du ctu m con
stitu e tam quam sum m am ab vnoquoque impositam.
P o stea vero fac sum m am vnam agg reg atam ex om ni
bus et o p erare secundum regulam m ercatorum de societate et lucro. E t p rim u s hab ebit duodecem et de 100 et viginti au reis centesim am nonagesim am p a r
tem. E t secundu s h ab eb it 9 au reo s et centesim am nonagesim am p artem de 90 aureis. T erciu s vero sep
tem au reos et centesim am septuagesim am centesim e nonagesim e.
S eptim a reg u la de diuite reliq u en te pecunias indistincte.
E st quidam diues habens quinque filios, quibus relinquit tria m ilia au reo ru m indistincte sic: Volo,
iy p rim us filius m eus, h ab ea t m ediam p artem de trib u s m illibus au reorum , secundus terciam partem , terciu s quartam , q u a rtu s quintam , et q u in tu s sextam . Q u an
tum ig itu r quilibet eorum h ab eb it de trib u s m illibus a u re o ? S cribe prim o pro
quinque filiorum p a rti
bus non d eterm in atis p artes d eterm in a tas hoc modo, et adde om nes simul et e ru n t 4350 diuisor tu u s; deinde m ul
tiplica u n iu scu iu sq u e p artem d eterm in atam per m ulti
plicatorem et diuide p er diuisorem et p ateb it p a rs uniuscuiusque.
1500 d iu isor 10000 4350
750
600 3000 m ultiplicator 500
O ctaua reg u la de lepore fugiente.
F u g it quidam de P a risiis v ersu s Rom am et am bulat quotidie nouem stadia. A lius au tem p e rse q u itu r eum post quinque dies, in quib u s p e ra m b u la u e ra t fugiens q u ad rag in taq u in q u e stadia. E t am b ulat p e r
sequens quotidie 14 stadia. In quot ergo diebus po
terit p erseq u en s co m p reh en d ere fu gien tem ? Si vis scire, scribe num erum stadiorum , que fugiens p eram bulat quotidie et sim ili
ter, que p ersecu to r per- 9 45 d iuidendus am bulat quotidie. D einde 54 5 excessus
considera, quantum ex- diuisor.
cedit persequens fugien
tem. Et p er illa, p er quot excedit, diuide distantiam interm ediam , hoc est num erus, quem p e ram b u lau era t fugiens, priusquam p erseq u en s in cip eret itinerare.
2*
