x ≥ 2 ≥ 1max( x +3 y ) y ≤ 2 x +3 y ≤ x +11 yxy

Algoritmuselmélet

Lineáris és egészérték ˝u programozás

Katona Gyula Y.

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 1 / 6

A Lineáris Programozás probléma

LP

Bemenet: Az x₁,x₂, . . . ,x_m változókat tartalmazó lineá- ris egyenl ˝otlenségek.

Kérdés: Vannak-e olyan x₁,x₂, . . . ,x_m számok, amelyek kielégítik az összes egyenl ˝otlenséget?

Optimalizációs változat: Mekkora max(c₁x₁ + . . .+c_mx_m), ha

x₁,x₂, . . . ,x_m kielégíti az egyenl ˝otlenségeket? Ezt célfüggvénynek

hívjuk.

y≤2x+ 3 y≤x+ 11

x≥2 y

x y≥1 max(x+ 3y)

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 2 / 6

A Lineáris Programozás probléma

Tétel

A Lineáris Programozás probléma P-ben van.

Legjobb algoritmus (Karmarkar): v^3,5e, ahol v a változók száma, e az egyenletek „összmérete”.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 3 / 6

Az Egészérték ˝u Lineáris Programozás probléma

IP

Bemenet: Az x₁,x₂, . . . ,x_m változókat tartalmazó lineá- ris egyenl ˝otlenségek.

Kérdés: Vannak-e olyanx₁,x₂, . . . ,x_m egészek, amelyek kielégítik az összes egyenl ˝otlenséget?

Optimalizációs változat: Mekkora max(c₁x₁ + . . .+c_mx_m), ha

x₁,x₂, . . .x_m kielégíti az egyenl ˝otlenségeket és mindegyik egész?

y≤2x+ 3 y≤x+ 11

x≥2 y

x y≥1 max(x+ 3y)

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 4 / 6

Az Egészérték ˝u Lineáris Programozás probléma

Tétel

Az IP probléma NP-teljes.

Bizonyítás.

IP ∈ NP: tanú egy megoldás, (bár nehéz belátni, hogy a megoldás polinom méret ˝u!) √

Belátjuk, hogy SAT ≺ IP

(x₁ ∨ ¬x₂ ∨x₅)∧(x₂ ∨ ¬x₃ ∨x₆) ∧(¬x₂ ∨x₃ ∨x₅ ∨ ¬x₆) =⇒ 0 ≤ x₁ ≤ 1;0 ≤ x₂ ≤ 1;. . .;0 ≤ x₆ ≤ 1

x₁ + (1− x₂) +x₅ ≥ 1 x₂ + (1− x₃) +x₆ ≥ 1

(1 −x₂) +x₃ +x₅ + (1− x₆) ≥ 1

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 5 / 6

Tétel

A G gráf kromatikus számának meghatározását felírhatjuk IP problémaként.

Bizonyítás.

Legyen V(G) = {v₁, . . . ,v_n}

Változók: ∀i,j ∈ [1..n]-re x_ij legyen 1, ha v_i színe j

∀i ∈ [1..n]-re w_i, legyen 1, ha van j szín ˝u pont Célfüggvény: min_j P

w_j (= max_j P

−w_j) Egyenl ˝otlenségek:

∀i,j ∈ [1..n]-re 0 ≤ x_ij ≤ 1; 0 ≤ w_j ≤ 1, azaz minden változó értéke csak 0 vagy 1 lehet

∀i ∈ [1..n]-re 1 ≤ P

j x_ij ≤ 1 azaz minden csúcsnak pont egy színe van

∀{u,v} ∈ E(G)-re és ∀j ∈ [1..n]-re x_uj + x_vj ≤ 1, azaz egy él két végpontja nem lehet j szín ˝u

∀i,j ∈ [1..n]-re x_ij ≤ w_j, azaz ha valamelyik pont színe j, akkor van j szín ˝u pont

Az IP probléma megoldása megfelel egy minimális számú színt használó színezésnek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 6 / 6