• Nem Talált Eredményt

x 1 − 2x 2 ≤ 1 x 2 − 2x 3 ≤ 2 x 3 − 2x 4 ≤ 3 x 4 − 2x 5 ≤ 4

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "x 1 − 2x 2 ≤ 1 x 2 − 2x 3 ≤ 2 x 3 − 2x 4 ≤ 3 x 4 − 2x 5 ≤ 4"

Copied!
4
0
0

Teljes szövegt

(1)

! "$#%&'

(*)),+.-0/21435769857:<;=.-

>?A@BDC :EGF2HJI5K @MLN@ KPOM8082QKRQS/.5O,:TQRUDV0:W1X: @ 6Y1*Z

L OMU[Q\I5K @M]&@^_] F0O,KRQRU`O ^bac@

t

3 @ KedfUV @ : @ 6Yg ^ 57:

6YQR/ ] 57/hg: ^ g7H,g7:G5 Bjikal I5KRmR:[O,Uon @ UT1/0Ked @ K @ Hp

Ke5qX,r57/tsq6uQR/ ^v@ V0:TQR6uO,K*I57K @M]&@^ I57KRmS:[OMU @ sw3 @ XMr.QSU

xzy

6uO ^ :TQ|{.1fU @ K @ H,1 ^ n @ U L /&OMK}EGF2/0H-B

8 Bt~\ / ^ U[€0HD57Ks‚n.1XMr @

t

V @ : @ 6ƒg ^ 57:z6YQRKer57/

g7: ^ g7HM57QS:G5Ke5U L„@…a V2:TQR6OMK B I5K @M]&@^‡† g7KˆI€2X,X,3gwZ

/fr5‰I57KS€2KS:WŠfK‹H,1:TKSO ^ 1U @ 6Y5qX,1fK ] OMU[n @ KR6 @*L O,/z-

max{ x 1 − x 2 − x 3 − x 4 + t · x 5 }

n @

x 1 − 2x 2 ≤ 1 x 2 − 2x 3 ≤ 2 x 3 − 2x 4 ≤ 3 x 4 − 2x 5 ≤ 4

Œt?2 5qX,r57/

A m× n

Z%57U6uO ^ :TQ|{zs

b ∈ R m

1fU L Z

Ke1Vf3f57H ^ 1:‚-ŽF ^@ U[U[F0HJ6ƒ5qX&s2n21,X,r @ML‘@ KSO,8280Q

:W5/ ] U L 57:G57HH ,L €0K’V1/ ^ 1fU @ / @*L 5qX,r.QRH6ƒ57X*Z

1K ] n @^ d0“

”W•j–

Ax = b

s

x > 0

”%—‚–

yA ≥ 0

s

yb ≤ 0

s

y ( A | b ) 6= 0

a!lDLq^ HM5KRK ^ 5n0O ^ 6ƒ5qXf6NF ^@^ /0Qcs˜n21,X,r @ML

”W•j–

Z

57U[857KSQ

x

g7U @

”™—q–

Z%57U[857KSQ

y

357H ^ 1f:W1fHhH ,L €0K

V1/ ^ 1U @ / @*L 5qX,r.QRHšKeg ^ 5 L QSH-

x > 0

@*L‚^ EW5‚Z

Ke57/ ^ Qcs‹n21,XMr @*L

x

6YQR/ ] 57/›HM16uV1/257/0UT5NV1MZ L Q^ mˆ3‹-

(A|b)

@ML‚^œ@ 6uO ^ :TQ|{.1 ^ EW57K  KRQs @ 6YQ^@*L

A

Zž8dK2/fr57:T€0/2H‡p.X,rfsMn21,X,r

b

Z ^ n21 LqL Oq3f57U[U L €0H

pE$1U L KR1V0HMg7/ ^ -B

Ÿv?  11f: ] QS/0O ^ O LqL@ƒ@ML‡@ KSO,8280Qv6uO ^ :GQˆ{ a@ 3 @ KedfU ^ 57U ^ I  KM^T^¡B¢@*L

M x,y

6 @*^ :W1fQ ] 1 ^ - lDL

x

s

y

g7: ^ g‚Z

HM57H ^ ŠfKI€2X,XŠ57/6YQSHM1f:£Ke57U Lo@*L

M x,y

6 @^ :G1Q ] X: @¤ HF0Uj¥

1 0 2 0 0 2 0 −1 3 0 x 0 0 6 0 y

¦ ?§l 8 @ K1K ]&@ KSQ<OM80:[OM/¨KSO ^ n @^ d©Xf:[OI‘H  :G6 @^ :G1Q ] E @ Ke57XMr5/

A

s @ EW1808ª1K]0@ KRQS/«KSO ^ n @^ dg

B

-

¬ : @*¤ HF0U @ HZ%5 @*L

A ∨ A

s&QSKRKR5 ^ 35 @ML

A ∨ B

6 @*^ :G1fQ ] 1H2¥

1 3

4

5

2 3

1

2

4 5

­t?® 57HQS/ ^ U[€2H @ML F ^`@ML d€2XMr./  HœV2:G1f82KRg76 @¯@ML 1/°U[V5 † QSO,KRQRUz57UT5 ^ 5Q ^ s @ 6uQRHM1f: @ Xf:TO*I2V1f/ ^ E @ Qf5qXMrU L@ Z

80O,Kˆrf1U

n

ZžU Lq X † U[p † U @ QR/„n.57Ker5 L HM5 ] /.5H±57Kcs @*L g7Ke57HuU[p2Ker @ QzV5 ] QeX @ 3g7XV1f/ ^ 1fHY57F0HKRQ ] 5U L Q ^ O731KˆZ U`O*XOq3

@ K

@*L 1f/.1fU

@

H-²cX

@ML

Z™5fs*n.1XMr‡5

L

57/‡U[V5

†

QSO,KRQSU5UT5

^

57H:G5

@*L 57KRŠ

@,]

O,UT1/

^`@

/F2K

^

3

2

Z @

V0V2:G1{2QR6uO

†

QedfU

@ KRX,1:TQ ^ 69F0U£1V ^ QR6uO,KRQRU¯6ƒ5qX,1fK ] OMU ^¢@,] ¥

³v? ŽF ^@ U[U[F2H6ƒ5qX&sn.1XMr…Keg ^ 5 L QRH

(2 − m 1 )

Z @ V2V0:G1{2QR6uO † QedfU @ KRX,1:TQ ^ 69F0U @

P m | prec | C max

I5K|Z

@M]&@^ : @ s´n @ QRU[6Y57: ^ sn21,X,r @ V0:G5 † 5 ] 57/ † Q @ X:[OI\V1/ ^ 1U @ /…5qX,rµgKR8ŠfK$OMKRK- a Ž_57KSKeŠ LqL €0H @ /0/ @ H @*L

57KeŠ

@M]

OMUT1f/¶82Q

L

1/fr.m

^

O,U·/2g7KRH€0K°H

Lq

K

^^

g7/fr./.5H

@ n @ U L /&OMK

@^

O ^ s\6YQSU

L

57:TQR/

^·@

KRQSU

^

OMU·€

^

576ƒ5

L

g7U

(2 − m 1 )

Z @ V0V0:W1{2QS6uO † QRdU @ KeX,1f:TQ ^ 6NF0U @

P m|prec|C max

I5K@M]&@^ : @ -B

¸º¹e»G¼¾½¡¿*½jÀÁwÂ\ï»GÄ¡Áw¼¾¿*ÅjƙšÇÁ¡È’Ɓ»WÄwÉG¿»WƁÈW¡ÊwÈÌË»GÃÍÇ*½jƁÈGËÅ¡¼¾Ç*½À™ÎϸºÐc»GË¿4»G¼¾Âj»GÈWÉGƁÐc»ÑÅ¡¼Ò¼¾Î£ÃÑÓ4ː½¡Ô¾¿Õ$Ö¡×$Ø,»GÐcÙ¡Ï

Ú »GëƁÈWÛÂqƁÉGÄ¡»GƴïԾ˿»W˝¹e»W¼|½¡¿½jÀ™Á¡ÀvÂqÛ¼ÒÊwˉ¼¾½¡ØЁ½$ÜÒЁËÔSÝ¿»Ì¡ÉGЈÞcÛÂMÝÇ4Áwġߝ½¢à,»T½j¿Á¡ÀÀ¿Áw¼ÒÄwÁwÈG½jÀâáGã‚ä‚åTæçèRé*áWãwå`ê.éå[ë

(2)

ãNó&þÿì7èRé .é4å9ìqíMý,è ˜ç*áGé

½z¸›¹e»G¼¾½¡¿*½jÀ

max{cx : Ax ≤ b}

½¡¼¾½¡Â Ý*½¡ÇÁ¡¼

A =

1 −2 0 0 0

0 1 −2 0 0

0 0 1 −2 0

0 0 0 1 −2

 , b =

 1 2 3 4

, c = 1 −1 −1 −1 t .

ÈGÉWÐcÀt½A¹e»W¼|½¡¿*½À‹¿4Ó*Å¡¼¾ÔÒƙ½

min{yb : yA = c, y ≥ 0}

Ï È ÀzÐcÉGÆcÈG¼¾» À™»WƁ»Gà4à»WËDÂ7ÔÒܾС½´ÉWÆz½¡È

y = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 )

Þc»G¼ÒÊw¼¾ÉWÆcÀ

½¡¼Ò½¡¼¾Ã¢½¡Èj½

min{y 1 + 2y 2 + 3y 3 + 4y 4 }

Ç*½

y 1 = 1

y 2 − 2y 1 = −1 y 3 − 2y 2 = −1 y 4 − 2y 3 = −1

−2y 4 = t

y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ≥ 0

à

Ú

ß7Ô¾¼jÅ¡Ëj½¡¼ÒÎÝDÇÁwġߨ½ ØÐcԾâš¼o¹e»G¼¾½¡¿*½jÀ »GÄ¡ß¡»G˼ÒÕ¡À™¼Ò»GËÆcÉGÄwÐc»GË¿4ƁÈG»WЁ»…ï»GÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎeØÉW¼¾¿*Å¡Ó4¼

x i = 0

Ý

i = 1, 2, 3, 4, 5

ï»GÄwÁ¡¼¾¿*Å¡Æ Ï!ġߜ½¡ÈÌԾƁï»GÐÀvÀ™ÉWÀ»G¼v»GË¿ÆcÈG»WЁÁwØ4ÀÔ¾Ã¢½¡¼¾ÔÒÈTÅ¡¼¾Å¡Æ"¡ʡËqß ,Ý¡Ï4Ï"ÉWÀ»G¼vÆcÈG»GÐcԾ˂ÀA½¯ØЁÔÒÃ\Å¡¼

¹e»W¼|½¡¿*½ÀÙWÉG¼¹eÛÄwÄ ¡ÉG˂ßw»$½¡ÂqÂjÁwÐÉWÆÙGƁ½¡Â½¡Âq¡ÁwÐâ¹e»G¼ÒÛ¼¾ÐcÕw¼Â¡ÁwÐc¼|ÅjÀÁwÆâ½\ï»GÄwÁw¼Ò¿*Å¡ÆcÇ*½¡¼¾Ã¢½¡ÈGÅ¡ËÝ4ǽ\½¢¿4Ó*Å¡¼¾ÔÒÆv»GÄ¡ß¡»G˼ÒÕ¡À™¼Ò»GË"!

ÆcÉGÄwÐc»GË¿ÆcÈG»WЁ»kï»GÄ¡Áw¼¾¿Ç½jÀ™ÎÏ

¸ ¿Ó*Åj¼¾Ô¾Æ¢¹e»G¼¾ÜÒЙšƁ½¡Â¡Á¡Ð\½¡Ø,Á¡ÀÀD»W¼¾ÆcÕuË4ÉGġ߄»GÄ¡ß¡»G˼һWÀ™à,Õw¼´½j¿Î¿4Ô¾ÂMÝzÇÁ¡Ä¡ß

y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = 1

Ï#!ġߏ½¡È

y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ≥ 0

¹e»W¼ÒÀÉWÀ™»W¼¾»WÂJ½¡È‘»GÄjßw»WÀ¼¾»WË ÆcÈGÎwà*½[ÞcÊ$¡Õ„¿ÓÅ¡¼¾ÔÒÆDâ»WÄwÁw¼¾¿Å¡ÆÐ½ƒ½¡Ó4À™Á¡Ã\½jÀÔ¾ÂqÓƁ½¡ËJÀ™»W¼Þc»GÆcÛ¼¾Ë4»GÂMÏ ÈG»G ÆcÈG»GÐcԾ˂À½¿4Ó*Å¡¼¾ÔÒÆ2Ðc»GË¿4ƁÈG»WЁÉWË»G£ï»GÄwÁ¡¼¾¿Ç*½À™ÎwƁšĂ½â½¡ÈzÓ4ÀÁw¼¾ÆcÎÝ

−2y 4 = t

»GÄ¡ß¡»G˼һWÀcÀ™Õw¼q¹eÛÄwÄ%¼|ŐÀ™ÆÈWÔ¾ÂMݐÇÁwÄ¡ßØ,Áw˂À™ÁwƁ½¡Ë

½

t = −2

ÉWÐcÀ™ÉWÂqЁ»Ã¢»WÄwÁw¼¾¿4Ç*½jÀ™Î4Ï

2»WÇ*ÅjÀ½£ØЁÔÒÃ\Åj¼fÙGÉW¼Ò¹eÛÄ¡Ä wÉWËqß¡»k½jÂ7ÂjÁwÐvÉGÆâÙGƁ½¡ÂD½¡Âq¡Á¡Ðâ¹e»W¼¾Û¼ÒЁÕw¼,¡ÁwÐc¼|ÅjÀÁwÆGÝ4Ç*½

t = −2

Ï

ö £þÿì7èeé˜é4å&9ìqíMý,è ˜ç*áGé

¼¾ÕwÆcÈGÊwÐDï»GÄ¡ÃÑÓ4À%½ÀRÞcÓÂMÝzÇ4ÁwÄ¡ß('*),+‡ÉWÆ-'/.0+‡»WÄ¡ß7ƁÈW»GЁÐc»NË4»Gà ¼Ò»GÇ» ÀDâ»WÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎÏ

.»GÄ¡ß7ÛÂ_¹e»W¼PÝ"ÇÁwÄjߏâÉWÄwÔ¾Æ<ÉGƝ¼¾»WÄ¡ßw»WË

x

ÝvÔ¾¼Ò¼¾» À1w»

y

»WÄ¡ß!!»Wġߏâ»WÄwÁw¼Ò¿*Å¡ÆGÏ32šЁΐÞc»W¼¾»WÈGÈGÛ4Â_¡ÉWÀc¹eÉG¼Ò»G¡ÉWØØ,»GËb½¡È

yAx

ÆcÈGÁwÐcÈT½jÀÁ¡À4

0 ≤ (yA)x = y(Ax) = yb ≤ 0

Ï576ÿÀÀ

0 ≤ (yA)x

!ÿÇ»Gȧ¹e»W¼¾Ç*½jƁÈGËÅ¡¼ÒÀÓÂMÝ&ÇÁwÄ¡ß

yA ≥ 0

ÉGÆ

x > 0

8¡½j¼|½¡Ã¯Ô¾Ë‚À½ÌâÅjÀÐÔ:9ÆcÈGÁwÐcÈTÅ¡Æ¿»;ËܾÙWԾΐށÅjÀ< Ý

y(Ax) = yb ≤ 0

!!ÇÁwÈvØ,»G¿ÔÒÄѽ¡È ÀTÝqÇÁwÄjß

Ax = b

ÉWÆ

yb ≤ 0

Ï=?>˜ÅjÀ™Ç½jÀ™ÎÝ ÇÁ¡Ä¡ß°»WȯÙWƙ½¡Â°½¡Âq¡ÁwÐ@j½¡¼¾Î¡ÆÓ¼ÒÇ*½jÀ™Ë½\â»WÄÝÇ*½

yb = 0

ÉGÆ

(yA)x = 0

Ծƹe»WËË*Å¡¼Ò¼¾Ë*½4Ï È$½¡ÈGÁwËqà*½jË9½¡È

y(A|b) 6= 0

¹e»W¼ÒÀ™É À™»W¼Ã¯Ô|½ÀÀA¼¾»WÇ»WÀ»WÀ¼¾»GËA.ǽ

yb = 0

Ý2½jÂ7ÂjÁwÐƁÈGÛ4Â7ÆcÉGÄwÂjÉGØؽ¡È

yA

ÆcÁwÐB¡»G‚À™Á¡Ðk¡Á7ÁwÐc¿Ô¾Ë*ŐÀ%Å¡ÔÂjÊwÈGÊ¡ÀcÀkÂj»G¼Ò¼¼Ò»GÄ¡ß¡»GË Ë»WâËqÓ¼Ò¼|½CR½¡ÈT½¡ÈAØ,ÁwÈGÔÀ™Ü:%ƁÈTÅjÜÝ*½jâÔÒàÕw¼

x > 0

ïÔ|½ÀÀ

(yA)x > 0

ÂjÊDw»WÀÂ¡»WÈGÔ¾ÂMÏ

2»WÄ¡ß7ÛÂo¹e»G¼Ã¯ÁwÆcÀGÝÇÁwÄ¡ßE'/.0+\Ë»Wà ï»GÄ¡Áw¼¾¿Ç½jÀ™Î%FÙGÉW¼¾ÓËÂoà,»G¼¾ÅjÀ™Ë4ÔPÝÇÁ¡Ä¡ß‡½¡Âq¡ÁwÐG'*),+\Ô¾Äw»WËÏIH½-'/.0+4!ÿÀ´¹e»W¼ÀÓ¿"!

Ë*ÅjËÂoܾÐcËÔJ!Ç*½jÄ¡ßwÁwâš˂ßwÁ¡ÆK$»WÄ¡ßw»W˼¾Õ¡À¼¾»WËƁÉWÄwЁ»W˿ƁÈW»GÐk½¡¼|½¡Âqà*½jËݘ½¡Âq¡ÁwÐ̽¡¼ÒÂj½j¼¾Ã¢½¡ÈGÇ*½À™Ë*Å¡Ë4‰½MLM½¡ÐÂ½¡Æ*!!¼¾»WââÅjÀ0F¿»

½¡È

y(A|b) 6= 0

¹e»W¼ÒÀÉWÀ™»W¼v»GÈWÀ¢¼|ŐÀ™ÆÈWÎw¼|½jć¼Ò»GÇ» À™» À™¼¾»WËËÉ<À™»WƁÈGÔSϸÈGÁ¡Ë7ཡ˄¼¾ÅjÀ™ÆcÈGÔ¾ÂMÝÇÁ¡Ä¡ßYÇ*½9½N'/.0+‰Ð»GË4¿ÆÈW»GЁË4»GÂ

y

ï»GÄwÁ¡¼¾¿*šƁ½4ݽ¡ÂqÂjÁwÐ

α · y

ÔÒƴâ»WÄwÁw¼Ò¿*šƒÀ™» À™ÆcÈGÕw¼Ò»GÄw»WÆ

α > 0

!ÿЙ½4ÏO!Äjߑ½¡È

y(A|b) 6= 0

¹e»W¼ÒÀ™É À™»W¼ÒÀÅjÀc¹eÁwĂ½¡¼ÒÃ\½¡ÈWÇ*½jÀeÞcÓÂ

yA ≥ 0

Ý

yb ≤ 0

Ç»G¼ßw» ÀÀܾÐcÇ*½jÀeÞcÓÂMÝ¡ÇÁwÄjß

y(−A|b) ≤ 0

F

y(A|b) 6= 0

Ø»W¿Ô¾Ä´Ë‚ß7Ô¾¼:jÅ¡Ë£»GÂ7Ôj½¡¼Ò»GËÆ

y(−A|b) 6= 0

!/j½¡¼PÏ

ÈG»WÂ<ƁÈG»WЁÔÒËqÀ’½¡È

y(−A|b)

ƁÁ¡ÐBw»W‚À™ÁwÐâÔÒË¿»G˝¡Á¡Ã¢Ø,ÁwË»WËƁ»Ë»GïØ,ÁwÈGÔÀ™Ü\ÉGÆ5¡½j˜ÂjÊwÈWÀÛÂ<Ë»GĂ½À™Ü§Ô¾ÆGÏ!ġߝ½£¹e»G˂ÀÔ

α · y

!!Й½MwÁwË*½À™Â¡Á¡ÈGÎ £Ã¢»WÄ ;*Ä¡ß¡»G¼ÒÉGÆ$âԾ½jÀÀ̹e»G¼À™»GÇ4»WÀRÞcÛ4Â,ÝÇÁ¡Ä¡ßƒ½¡È

y(−A|b)

ƁÁwÐw»WÂqÀÁwЯ¡Á7ÁwЁ¿ÔÒË*ÅjÀ™Å¡Ô¾Ë*½jÂNÊwÆcƁÈW»GÄw»

¼Ò»GÄ¡¹eÊw¼Þc»Gàà

−1

Ï

P

ƁƁÈW»W¹eÁwÄ¡¼|½¡¼:¡½‡½‡¹e»W˂À™Ô¾»W¡» À4Þc»G¼¾Ê¡¼Þc»

1

½QJÿÙGƁÓ4Ø*½¡»GÄjß KœÁwÆcÈG¼ÒÁwØw»G‚ÀÁwÐcÀDÉWÆ\¼Ò»GÄ¡ß¡»GË

u = (−A|b) · 1

Rj½¡Ä¡ß7ԾƢ½

(−A|b)

ÁwÆcÈG¼¾Á¡Ø*½¡Ô¾Ë½¡Â¢Ê¡ÆÆÈW»GÄw»4 ÏH½Q'/.0+Ë»Wà ï»GÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎݽjÂ7ÂjÁwÐvË»Gà â»WÄwÁw¼¾¿4Ç*½jÀ™Îѽ¡È

y(−A|b) ≤ 0

Ý

yu ≤ −1

Ðc»GË¿ÆcÈG»WÐDƁ»Gà RÇ4ԾƁÈW»GË

yu = y((−A|b) 1 ) = (y(−A|b)) 1

ÉWØ؏½¡È

y(−A|b)

¡Á7ÁwЁ¿ÔÒË*ÅjÀ™Å¡Ô¾Ë*½j±ÊwƁÆcÈG»WÄw»DžÏ

ЁЁ»

Ø,»G¿ÔÒÄSˆÀ™Ð½¡ËƁÈWØÁ¡Ë*Å¡¼|ÅjÆÓ4À%Å¡ËTâšн¡¼Ò½¡¼¾Ã¢½¡ÈGǽjÀRÞcÓ½ULM½¡ÐÂ½¡Æ*!!¼¾»Wââ½ÆcÈGÁwšÆcÁwÆz½j¼|½¡ÂGށÅjÀV7â»W˿ƁÈW»GÐcÁwØ4À™ÔÒÃ\½j¼¾Ô¾ÈGÅ¡¼|ÅjÆ

ÂjÊw˂ßW,Ý?wÏYX4ÏO"É À™»G¼ ϸÈWÀA½¡Ø7ÞcÓ4Â,ÝÇ4ÁwÄ¡ß°¼ÒÉWÀ»GÈGÔÒ°½¡È

x ∈ R n

Ý

x ≥ 0

w»WÂqÀÁwÐAÉGÆA½

λ, µ ≥ 0

Ɓ½¡¼|ÅjЁÁwÂMÄ¡ß¡ÝÇÁwÄ¡ß

(−A)x + λb + µu = 0

ÉGÆ

(−µ) < 0

ÏZR6ÿÀÀ’½[L,½jЁ½¡Æ!ÿ¼¾»Wââ½$Å¡¼ÒÀ™½¡¼2Äw½¡Ð™½¡Ë‚À™Å¡¼ÒÀ

(n + 2)

!!¿ÔÒâ»WËÈGÔÒÎwÆÁ¡ÆÈG¼ÒÁwØw»WÂqÀÁwÐ Ó4ÀÁw¼¾ÆcÎkÂjÉWÀU

b

!ÿË»GÂMÝÔ¾¼¾¼Ò»WÀBw»

u

!!Ë*½¡Â£Ã¯»GÄj¹e»G¼¾»W¼¾Õ &ÂjÁÁwÐc¿Ô¾ËÅjÀ%Å`ށŐÀÞc»W¼¾Êw¼À™ÛÂ

λ

!\¡½j¼P݂Ծ¼Ò¼¾» À1w»

µ

!\w»W¼PÝ7½¡È»WÈG»WÂ\»G¼ÒÇ*½¡Ä¡ßwšƙÅ4j½¡¼ ½¡Ø,Á¡ÀÀvÁ¡ÆÈG¼ÒÁwØw»WÂqÀÁwÐcÀØ,»G¿ÔÒÄ

x

!!ƁÈW»G¼SÏ=

(3)

µu = µ(−A|b)1 = (−A)·(µ 1)+µb

A(x + µ 1) = (λ + µ)b

Ô:w»W¼

x ≥ 0

Ý

λ ≥ 0

ÉGÆ

µ > 0

eÓ4À™Î¡ààÔ

(−µ) < 0

ïÔ|½ÀÀ žÝ»WÈGÉWÐcÀ

λ + µ > 0

ÉWÆ

x + µ 1 > 0

Ï àà,Õw¼ 7Ô¾ÆcÈGÁw˂À j½¡¼ÒÎwà*½¡Ë<¡ÊD¡»WÀ™Âj»GÈWÔ¾ÂMÝÇ4ÁwÄ¡ß '*),+â»WÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎ%4½jÈ

1

λ + µ (x + µ 1 )

w»WÂqÀÁwÐââ»WÄwÁw¼¾¿Å¡Æ™½4Ï

¸ ¹e»G¼¾½¡¿*½jÀ‹»GÄjß\âšƁÔÒ£¼¾»WÇ»WÀÆÉGÄ¡»GÆtï»GÄwÁ¡¼¾¿*šƁšË*½¡Âѽ¡¼|½¡Ø4ÄwÁwË¿Á¡¼|½jÀ™½½Ì¡ÊDw» À™Â¡»WÈGÕÏT.»GÂqÔÒËqÀÆÛÂ\½ÌÂjÊ$¡»WÀ!

Âj»GÈGÕ$¼ÒԾ˻GšЁÔÒÆØ4ЁÁwÄwЁ½¡Ã¯Á¡À4

Ax = b

Ý

x ≥ µ 1

Ý

max : µ

ÏO È»GÄ¡ß

n + 1

¡Åj¼ÒÀ™Á¡ÈGÎwƹe»G¼¾½¡¿*½jÀGÝ

x

ÂjÁÁ¡Ð¿ÔÒË*ÅjÀ%ÅjÔ¾Ë\ÂqÜ:Û4¼

µ

ÔÒÆ jÅ¡¼ÒÀÁwÈGÎÏ

Âq¡Á¡Ðv½Ì¹e»G¼¾½¡¿*½jÀà»W¼¾Ô#'*),+AЁ»W˿ƁÈW»GÐ⽡Âq¡Á¡ÐtÉGÆ"ÙWƙ½¡Â\½¡Âq¡ÁwÐ"ï»GÄwÁ¡¼¾¿Ç*½À™ÎÝqÇ*½£½Ì¹e»W˂À™Ô¼ÒԾ˻GšЁÔÒƋØÐcÁwÄwЁ½¡Ã

Ðc»GË¿ÆcÈG»WЁ»vâ»WÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎ S½jâÔ7»GÂ7Ôj½¡¼Ò»GËÆ

Ax = b

ï»GÄwÁ¡¼¾¿Ç*½À™ÎwƁšĂÅ4j½¡¼8fÉWƽ’Ã\½ 9ÔÒÃÑÓïÉGÐcÀÉGÂj»#j½¡Ä¡ßË»Wõ¼¾É À™»WÈGÔ¾ÂMÝ j½¡Ä¡ßÑØÁwÈWÔÒÀÜ,Ï¡¸¼¾Â½¡¼¾Ã¢½¡È,¡½½¿4Ó*½¡¼¾ÔÀ%Å¡ÆÀ™É À™»G¼Àj½¡¼ÒÎwà*½¡Ë$½C'/.0+4!ÿ»GÆЁ»WË¿ÆcÈG»GÐï»GÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎwƙÅjĂÅ4¡½j¼4»GÂ7Ôj½¡¼Ò»GËÆÅj¼¾¼¾ÜÀ%Å¡ÆÀ

½¡ØÓ4ËÂMÏ

ð tþÿì7èRé .é4åG9ìqíMý,è ˜ç*áGé¡»G¼ÒÊw¼Þc»k½DÃ\ÅjÀÐÔ 9‰Á¡ÆÈG¼ÒÁwØ*½¡ÔÀ e»Gàà,»GËN½§ÆÁwÐcЁ»WË¿à,»GË

a

Ý

b

Ý

c

ÉWÆ

d

ÏO>˜ÅjÀ™Ç½jÀ™ÎÝÇÁwÄ¡ß Ç*½

x = 6

ÝM½¡Âq¡Á¡Ð

c = 2a

F*Ç*½¡ÆcÁw˼Ò΂½¡ËÝ*Ç*½

y = −3

Ý,½¡Âq¡ÁwÐ

b = −2d

ÏM¸ÈÌÔÒÆâÂjÊwË˂ßw»WËo¼|ÅjÀÆÈWÔ¾ÂMÝ*ÇÁwÄ¡ß<ǽ

x 6= 6

ÉGÆ

y 6= −3

Ý*½¡Âq¡Á¡Ðv½ÑÃ\ÅjÀÐÔ9$ÁwÆcÈG¼ÒÁwØ*½Ñ¼¾ÔÒË»TÅjЁԾƁ½¡Ë¢¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WËÏÄ¡ßw½¡ËÔ¾Æ"»Wġߧ»W¼¾ÂjÉGØÈW»G¼ÒÀ

αa + βb + γc + δd

¼¾ÔÒË»TÅ¡ÐcÔ¾Æ ÂjÁwÃÑàÔÒË*Å¡ÙGÔÒÎÑ»G¼ÒƁգÉWÆ"Ç*½¡ÐÃ¢½¡¿ÔÒÂ$¡Á7ÁwЁ¿ÔÒË*ÅjÀ™Å`ށÅjÀtÙWƙ½¡Â

a

ÉWÆ

c

Ç*½À%Å¡ÐcÁwÈGÈG½Ñâ»WÄݽÑâšƁÁ7¿ÔÒÂj½ÀzÉWƽÑË4»GÄ¡ß¡»G¿ÔÒ¡»WÀâÙWƙ½¡Â

b

ÉGÆ

d

Ï,¸ÈÌ»G¼ÒÕwààÔ.»GÆc»WÀ™à,»GˑØ,ÉG¼Ò¿*Å¡Ó¼2½¡È

α + 2γ

ÝÔÒ¼¾¼¾» À1¡»

3α + x · β

½\ÂjÉWÀ´ÂjÁÁwÐc¿Ô¾ËÅjÀ%½4Ý,½¡Ã¯Ô¾Â<½jÈ

x 6= 6

»WƁ»WÀà»WË ÙWƙ½¡Â

α = β = 0

!!Ё½œ½¡¿4Ë*½¡Â°»Wġ߂½¡ÐÅ¡Ë‚ÀÑ×$!ÿÀ4F˜½<âšƁÁ7¿Ô¾Âœ»GÆc»WÀ™Ðc»\½jÈ¢»W¼¾¼¾»WËÕwÐcÈGÉGÆAÇ*½jƁÁw˼ÒÎϒØ,ÙGÔ¾Á¡Ë*Å¡¼¾ÔÒƙ½¡Ë‘½<âÅjÀ™ÐcÔ:9

¿» À™»WЁïԾË*Å¡Ë4ƙ½\ÔÒÆ¡ʡË˂ßw»GˇÂqÔ¾ÆcÈTšïÜÒÀÇ*½jÀ™Î

(x − 6)(2y + 6)

F,¼|ÅjÀÆÈWÔ¾ÂMÝÇ4Áwġߜ»GÈÑÙWƙ½¡Â‰½¡È

x = 6

j½¡Ä¡ßœ½¡È

y = −3

»WƁ»WÀà»Wˉ¼Ò»GƁÈ×4Ï

!ġߢ½¡È

x 6= 6

Ý

y 6= −3

»GÆc»WÀ™à,»GË

M x,y

½¡È

U 4 , 4

ÓË4ÔÒ¹eÁwÐcà Ã\½jÀÐÁwÔÒ¿¿*½¡¼4Ô¾ÈGÁ¡Ã¢ÁwÐ¹Ï È’Ë‚ßÔÒ¼jÅ¡Ë¢ÄwЙ½ ;Â7Ó4Æ04àšЁï»G¼ß

$ÉG¼D¹R½$Ðc»GØÐc»GÈW»G˂À%Å¡¼Þ½4ÏH½

x 6= 6

Ý¿4»

y = −3

ÝM½¡ÂqÂjÁwÐ

a

Ý

b

ÉGÆ

c

¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WË»GÂQe»GȽѹe»G˂À™ÔÒÇ»GÈAË*½jÄ¡ßwÁwË<Ç*½jƁÁw˼Ò΂½¡Ë ÔÒË¿ÁwÂjÁw¼¾Ç*½À™Î žÏO!ġߑ½Dâ½jÀ™ÐcÁwÔ¾¿oÔÒ¼Òßw»WË¡Á¡ÐÔÒÆ´ÄwЙ½ ;*ÂqÓÆ0˜Ð»WØЁ»WÈG»WËqÀ™Å¡¼Þ½<»GÄjßQXÉW¼o¹R½4ݘ½¡Ã¯»G¼ß7Ë»G‰½¡È$»GÄ¡ß7Ծ‰ÉG¼¾É À¡ÉWÀ

Ø*ÅjЁÇqÓÈT½jâÁwÆ"ÉW¼¾¼Ò»G¼fÇ4»G¼Òß¡»WÀcÀ™»GÆcÜÒÀeÞcÛÂQR»WÈG»WÂ

b

!!Ë»W§ÉGÆ

d

!ÿË»G¯¹e»G¼¾»W¼¾Ë»WÂ\ï»GÄ žÏ4¸È

x = 6

Ý

y 6= −3

»WƁ»WÀâÆcÈGԾïï»WÀ™ÐcÔ¾ÂqÓÆ

M x,y

!ÿÀÔÒ¼Òß¡»GËÂjÁwÐԾƻGÄ¡ßÑÓġ߂½jËÔ¾¼ßw»G˯ÄwЁÅj¹Ðc»GØÐc»GÈG»W˂À%Å¡¼Þ½4݂ÙGƁ½¡Â$½ØšЁÇqÓÈG½¡Ã¢Á¡ÆÉW¼¾»WÂ

a

!!Ë*½jÂÑÉGÆ

c

!ÿË»GÂ̹e»G¼¾»W¼¾Ë»WÂÑï»GÄÏ ÉGÄwÛ¼M½jÈ

x = 6

Ý

y = −3

»WƁ»WÀà»WË

a

ÉGÆ

b

¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WË»GÂMÝw¿»

c

ÉWÆ

d

Ðc»GË¿4Ё»â½¡È"»G¼ÒƁÕDw»W¼P݂ÔÒ¼¾¼¾» À1¡»t½´Ã\ÅjƁÁ7¿Ô¾Âq½¡¼4ØšЁÇqÓ"!

ÈG½¡Ã¢Á¡ÆGÏ !Äjßѽ’â½jÀ™ÐcÁwÔ¾¿ÌÔ¾¼ßw»GË4¡ÁwÐ&ÔÒÆ0ÄwЁ½ ;*ÂqÓÆwЁ»WØЁ»WÈG»G˂À™Å¡¼Þ½’»WÄ¡ßÉW¼ 4ÀGÝw½¡Ã¯»G¼ß7Ë»GÂâÔÒË¿ÂjÉWÀÉW¼¾ÉWÀ&Ç»G¼ßw»WÀcÀ™»WƁÜÒÀeÞcÛÂ

$! ÑØ*šЁÇqÓÈG½¡Ã¯ÁwÆ"ÉG¼Ò¼¾»G¼SÏ

ø &þÿì7èRé .é4å 9ìqíMý,è ˜ç*áGé Ծ˿4¡ÉWÀââ½jÀ™ÐcÁwÔ¾¿DЁ½¡ËÄTށ½GeÇÔ¾ÆcÈG»WË X£Ø,Áw˂ÀÝ*ÊwÆcƁÈW»W¹eÛÄwÄ¡Õ\ÄwЁÅj¹eÁwÂ\Ðc»GØÐc»GÈW»G˂À%Å¡¼ÞÅ¡Â

ÕwÂj»WÀ< Ýf»WÈGÉWÐcÀ´Ã¯Ô¾Ë¿4¡ÉWÀÊwƁÆcÈG»WÄwÃ\½À™ÐÁ¡Ô¾¿‰Ð½¡ËÄTށ½¢¼Ò»W¹eÊw¼Þc»Gàà!§¼¾»WÇ»WÀGÏ#"ÕjÀTÝ,ØÉW¼¾¿*Å¡Ó4¼2½jÈ

{1, 4}

ÉWÆ´½

{2, 5}

Ç*½j¼¾Ã¢½¡ÈGÁw ïԾ˿4¡ÉWÀâ½jÀ™ÐcÁwÔ¾¿4à*½¡Ëo¹eÛÄwÄw» À™¼Ò»GË»WÂ,ÝÜÒġߑ½¡È

{1, 2, 4, 5}

ïԾ˿ÂjÉWÀÊwÆcƁÈG»WÄwâ½jÀ™ÐcÁwÔ¾¿à½¡Ë‡¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WËOFܾÄjß

A ∨ A

ÉGÆ

A ∨ B

Й½jËÄ[ށ½ÑÔÒÆ$Ï

A ∨ A

!!à*½j˜½jÈGÁwËqà*½¡ËË»Wà âÔÒË¿»WË%$»W¼¾»GÃ&œÇ*½j¼¾Ã¢½¡È¹eÛÄwÄ¡»WÀ™¼Ò»GËÝ4ÇÔ¾ÆcÈG»G˜½¡È wÝ'ÑÉWÆ X£»G¼Ò»Gï»G§ÂjÊwÈGÛ4¼Ã¢ÔÒË¿»GË

A

!ÿà»W¼¾ÔM¹eÛÄwÄw» À™¼¾»W˧ÙGƁ½¡Â ,!!»WÀzÀ%½¡ÐÀ%½¡¼ÒÃ\½¡ÈWÇ*½jÀGÝ7»WÈGÉWÐcÀvïԾ˿»WË

A ∨ A

!ÿà»W¼¾ÔM¹eÛÄwÄw» À™¼¾»W˧¼¾»WÄ¡¹eÊw¼Þc»Gàà¢ÙGƙ½jÂ($!PÀTÏ4¸ÈGÁwËqà*½jË

½¡È

{1, 2, 3}

!½jÀvË»WÃÍÀ%½¡ÐÀ%½¡¼ÒÃ\½¡ÈW΢»W¼¾»GÃ&»GÂ<ïԾ˿D¹eÛÄwÄ¡»WÀ™¼Ò»GË»W wÝ)$ÉGÆVX¢Â¡Ê¡ÈGÛ¼.¡» ÀÀ™ÕjÀ jÅ¡¼|½jƁÈWÀBj½¢½¡ÈÌ»GÄ¡ß7ÔÒÂ7Ç4»GÈ ÇÁ¡ÈGÈTÅ4¡»GÇ» ÀRÞc۝½ X !½ÀTݽ£Ã¢Å¡ÆÔÒÂqÇÁwÈA½* !!» À4FÜÒġߢ¡ÉWÀâÂjÉWÀ™»W¼¾»WÃ+¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WËqÀv½¡Ø4ÓËÂMÝM½¡Ã¯Ô¾ÂqË»GÂ\½¡È´ÓËÔÒΐށ½

A ∨ A

!

à,»G¼ÒÔPÏ ÈGÉWÐcÀ

A ∨ A

ÄwЁ½ ;*ÂqÓÆ0qÐc»GØÐc»GÈG»W˂À%Å¡¼Þ½Ì½¡È½´ÄwЙŐ¹Ýq½¡Ã¢ÔÀ»GÄjߣÇ*Å¡ÐcÁwâÆcÈGÊwÄ¡àÕw¼4Âj½jØÓË ÄjßwÝqÇÁwÄ¡ß J!¼¾»W¼¾ÎwÄw½jÀ™ÓË4ÂK ÐcÎw¼|½ÑÂjÉWÀÉG¼¾» ÀTÏIe¸bÇ*šЁÁ¡Ã¢ÆcÈGÊwÄ$ÉG¼Ò»GÔf¹e»W¼¾»W¼¾Ë»WÂ\ï»GÄC!!Ë4»GÂMÝ,$!!Ë4»G§ÉWÆVX$!!Ë*½¡ÂMÝ*½£¼Ò»G¼¾Î¡Ä‚½jÀ™ÁjÀÀtÉW¼¾»WÂ- !!Ë4»G§ÉWÆ/.D!!Ë»WÂ,Ï

A∨B

!!à,»GË 7ԾƁÈWÁw˂À.Ã\Å¡ÐfâÔÒË¿»GË0v»G¼Ò»GÃ+AÇ*½j¼¾Ã¢½¡È2¹eÛÄ¡Äw»WÀ¼¾»GËfÏ ÈWÀ.¼¾»WÄw»GÄ¡ß7ÆcÈG»GÐààk½¡È1.t»GƁ» À ¡ÉGÄwÔÒÄwØÐcÎwà*Å¡¼¾Å¡Æ™Å4j½¡¼

»W¼¾¼¾»WËÕwÐcÔ¾ÈGË4Ô\Ã\Å¡Ð\¼|ÅjÀcÀ™ÓÂMÝtÇÁ¡Ä¡ß

{1, 2, 4, 5} = {1, 4} ∪ {2, 5}

ÉWÆ<Ç*½¡ÆÁ¡Ë¼¾Î‚½jË

{1, 2, 3, 4} = {1, 4} ∪ {2, 3}

Ý

{1, 2, 3, 5} = {1, 5} ∪ {2, 3}

Ý

{1, 3, 4, 5} = {4, 5} ∪ {1, 3}

ÉWÆ

{2, 3, 4, 5} = {4, 5} ∪ {2, 3}

S½¡Ç4Áw¼Ã¢ÔÒË¿ÔÒįཡ¼ Áw¼Ò¿*½¡¼ÒЙ½AܾÐcÀÓ¯½¡È

A

ÝTÞcÁwààЁ½Ñ½

B

!!à,»G¼¾Ô*¹eÛÄ¡Äw»WÀ¼¾»G˂À< ÏW!Ä¡ß

A ∨ B

½¡È

U 5 , 4

ÓËÔÒ¹eÁ¡ÐÃ â½jÀ™ÐcÁwÔ¾¿¿½¡¼MÔ¾ÈGÁ¡Ã¢ÁwйÝq½¡Ã¯ÔÔÒƁïÉWÀ

ÄwЁ½ ;*ÂqÓÆ,Ðc»GØÐc»GÈW»G˂À%Å¡¼Þ½£»GÄ¡ß%.£ÉG¼<¡ÊwÐWÏ

ã ú Ñþÿì7èRé .é4å-9ìqíMý,è ˜ç*áGé¸Èo½¡¼¾Ä¡ÁwЁÔÀ™ÃÑÓÆ$»W¼¾ÕwÆcÈGÊwЧ»WÄ¡ßâÔÒËԾâš¼¾ÔÒÆÑÆ14¼ÒßWJ¹e»GÆcÈGÜÒÀÕ¡¹RÅjÀ¢Â¡»WЁ»GÆWÝ"»GÈ eâÔÒ˂ÀD½¡È

ïÁwË¿ÞcÓ4§½2´ÐÓÆcÂj½j¼:!½j¼¾ÄwÁwÐcÔÒÀÃÑÓÆZwÉWÄwЁ»WÇ*½`ÞÀ%ÅjƙÅ4j½¡¼¼|ÅjÀÇ*½jÀÎ ‹½£ÆÁ¡Â7ÆcÈGÊwįÁw¼Ò¿*½¡¼|½jÔ,ÂjÊwÈGÛ4¼À%½¡ÐÀ%½¡¼ÒÃ\½¡È

n − 1

¿*½¡Ð™½jàÁ¡À eÉGƧØ,»GÐcƁÈG»oâšƢÉG¼¾» À§Ë»WÃSžÏ àà,»GË_ÂjÉWÀ<Ø*šЁ½jÀ™¼¾½¡Ë¹eÁ¡ÂW„ÙGÆ14ÙGÆ<¼¾»WƁȡÝÀ™»WÇ*ÅjÀ<½NØ*šЙ½À™¼|½j˹eÁw _ÙGÆBÙGÆcÁw¡Á¡ËN¡»WÀÀ

ïԾËÔÒÃ\Åj¼¾Ô¾Æ0ÊwƁÆcÈGÆ14¼ÒßW<Ø*šЁÁ¡ÆÜÒÀ™Å¡Æt½Ì¡ÉWÀ S½kÆcÁwÂqƁÈGÊ¡ÄwÊwË<ƁÈWÁwâÆcÈGÉW¿ÁwÆ<ÙGÆ14ÙGÆv¡ÊwÈ À™ÔÉG¼¾à,Õw¼,Å¡¼Ò¼PÏ ÈWÀv½Ì¹RÅjÇÁwÈV¡É¡»Ë4»GÃ

ÙWƙ½¡Â

Ó¼¾»WÐ!!ÂjÊwÐcÀGÝǽ¡Ë»Gà H½¡Ã¢ÔÒ¼ÒÀÁwË"!!ÂjÊwÐcÀÔÒƋ½¡Ø4ÓËÂMÝÀ»GÇ*ÅjÀt½Ì¼Ò»jšĂšÆcÁw£Ó4À™Å¡ËD½¡ÈÉG¼¾Ç½¡¼¾Ã¢½¡ÈjÅ¡¼ÒÀÁwÈT½À™¼|½jˢ⽡Й½j¿O

ÉWØØ°½$ƁÁwÂqÆcÈGÊwħÁ¡¼¾¿*½¡¼¾½¡Ô¾à,Îw¼*¹eÁwĢš¼¾¼ÒËÔPÏ ÈÌ˂ß7Ô¾¼:¡Åj˜½jÈÁ¡Ø4À™ÔÒÃ\Å¡¼ÒԾƋâ»WÄwÁw¼¾¿Å¡ÆGÝÇ4ԾƁÈW»G˜ØÁw˂À½¡È

n

¼Ò»GÄwÐcÊDÔÒ¿»Gà4àÉW¼¾à,Õw¼ Å¡¼Ò¼PÏ

ü 0þÿì7èeé˜é4å9ìqí,ý,è.çáGé A.»GÂqÔÒËqÀÆÛÂ<½jÈWÀv½¡È

L

¼¾ÔÒÆcÀ%ÅjÆtÛ4À™»Wâ»WÈGÉWÆcÀTÝM½jÇÁw¼½ÑÄwЁÅj¹.»GÄ¡ß¡»WÀ¼¾»G˝ÉG¼ÒÉGË»W§¡»WÈG¿Õ¡ØÁw˂Àeށ½ e¼¾»GÄjßw»GËu»GÈ

J 1

ѽ¡ÈD»G¼ÒƁÕÝ&½ wÉGÄ¡ØÁw˂À

(J n )

Ø,»G¿ÔÒđ½¡ÈDÓ4ÀÁw¼¾ÆcÎo»G¼¾»Wà ½°¼ÒÔ¾ÆcÀ™Å¡à*½¡ËfÏ

ÈD˂ßÔÒ¼jš˃Ø,Áw¼¾ÔÒËÁwïÔ|Å¡¼ÒÔ¾ÆWÝâ»WÄ !

ÃÑÓÀ%½jÀeÞcÓÂMÝ2ÇÁ¡Ä¡ß9»Wâ»W¼¾¼Ò»WÀÀk½¡ØØ4ЁÁ49ԾâšÙGÔÒÎwÆ´¹R½¡Â‚À™ÁwЁ½‰¼¾»WÄ¡¹e»G¼Þc»Gàà

2 − m 1

Ï2¸È§»GÐc»G¿» À™Ô¹e»G¼|½j¿*½jÀÑ»WġߑÀ™» À™ÆÈWÕw¼¾»WÄw»GÆ

B

(4)

OP T

À»GЁ»WÔ¾à,»GË

B

!/w»W¼fï»GÄw»WÄ¡ßw»WÈGÕ

B 0

à,»Gï»GË» ÀtÔ¾¿4ÕwÔ¾ÄwÉW˂ßw»Ø,»G¿4Ô¾Ä

OP T 0

Ï Âq¡Á¡Ðt˂ßÔÒ¼jÅ¡Ë

OP T 0 ≤ OP T

Ï >˜»WÄ¡ßw»WËD»GÈW»GË ÂqÜ7Û¼

L 0

½

B 0

à»Wâ»WË»WÀÇ»GÈAÀ%½jÐcÀ™Á¡ÈGÎ$¼¾ÔÒÆcÀ%ÅjÆtÛ4À™»Wâ»WÈGÉWƽ¡È

L

ÛÀ™»Gï»GÈWÉGÆcÇ»GÈAÀ%½¡ÐÀ™ÁwÈWÎ$ƁÁwÐcЁ»GË4¿à»WËÏ H½§½jÈ

L 0

Û4À™»Wâ»WÈGÉGÆcà»WË

J n

»G¼Ò¡»WÈG¿ÉWƁ»GÂjÁwÐ

J 1

!!Äjßw»G¼2Ã\ÅjÐVwÉWÄw»GÈ À™ÛË4Â,Ý.½¡ÂqÂjÁwд½¡È

L

ÉGÆ

L 0

Û4À»Gï»GÈWÉGƁ»W°˂ß7Ô¾¼jÅ¡Ë ÓÄj߂½¡Ë*½jË˂ßÔMÔÒ¿Õ¡ÀԾġÉG˂ßw»W¼¾Ë»WÂ,Ï Ôw»W¼

L 0

½jØØЁÁ49ԾâšÙWÔ¾ÎwÆ0¹R½jÂqÀÁwЙ½

2 − m 1

ÉGÆ

OP T 0 ≤ OP T

Ý¡»GÂqÂjÁwСÉGÆcÈVj½¡Ä¡ß7ÓË4Â,Ï H½A½¡È

L 0

ÛÀ™»Gï»GÈWÉGÆcà»WË

J n

»W¼¾Â¡»WÈG¿ÉWƁ»W¡ÁwÐ

J 1

!!Ä¡ß¡»G¼*ïÉGÄAË»Wà wÉGÄ¡»GÈWÀÛËÂMݽ¡Âq¡ÁwЋ½¡È

L

Û4À»Gï»GÈGÉWÆz½

B

à»Wâ»WË»,!

À»GË

max(p 1 + p n , OP T 0 )

ÔÒ¿»GÔÒĒ¹eÁwÄ´À%½¡ÐÀ%½¡Ë4ÔP݂½¡Ã¯Ô4Á¡Ø4À™ÔÒÃ\Å¡¼ÒÔ¾ÆWÝjÇÔÒƁÈW»GË

OP T 0 ≤ OP T

ÉWÆ˂ß7Ô¾¼:jÅ¡Ë

p 1 + p n ≤ OP T

Ý

ÜÒġߧ»Wàà»WË°½¡È´»WƁ» À™à,»GˉÔÒÆ"¡ÉWƁÈG»WË j½¡Ä¡ß7ÓËÂMÏ

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Comenius pansophi{j{nak ihle- tője pedig az a Johann Valentin Andreae volt, aki a m{gikus alkímiai hagyo- m{nyt kív{nta összeegyeztetni a pietista kegyességgel, a

Deczki Sarolta Görföl Balázs Imre Zoltán Karsai György Kiss Attila Atilla Kiss Gabriella Matuska Ágnes Mészáros Zsolt R Müller Péter Reuss Gabriella Tóth Orsolya

Compute the indefinite integrals of the following functions:.. sin(x)x, e 3x x,

1) Síkbeli horizontális felvétele (h” ||x 1,2 ) K-n keresztül 2) h’-re merőlegesen felveszem az új tengelyt(x 1,4 ) 3) Megszerkesztjük K, 1, 2, negyedik képét, ahol 1,2 pontok

The Selmec Museum Library contains the almost complete book collection of the Academy (College) of Mining and Forestry from the period 1735-1918. Three quarters of the library

— Én figyelmeztettem az előbb Hartwieg gróf urat, hogy Tönsberg Olga, aki jó barátnőm volt, minden valószínűség szerint öngyilkossá-1 , got követett el,

[r]

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. Katona