! "$#%&'
(*)),+.-0/21435769857:<;=.-
>?A@BDC :EGF2HJI5K @MLN@ KPOM8082QKRQS/.5O,:TQRUDV0:W1X: @ 6Y1*Z
L OMU[Q\I5K @M]&@^_] F0O,KRQRU`O ^bac@
t
3 @ KedfUV @ : @ 6Yg ^ 57:6YQR/ ] 57/hg: ^ g7H,g7:G5 Bjikal I5KRmR:[O,Uon @ UT1/0Ked @ K @ Hp
Ke5qX,r57/tsq6uQR/ ^v@ V0:TQR6uO,K*I57K @M]&@^ I57KRmS:[OMU @ sw3 @ XMr.QSU
xzy
6uO ^ :TQ|{.1fU @ K @ H,1 ^ n @ U L /&OMK}EGF2/0H-B
8 Bt~\ / ^ U[0HD57Ksn.1XMr @
t
V @ : @ 6g ^ 57:z6YQRKer57/g7: ^ g7HM57QS:G5Ke5U L@ a V2:TQR6OMK B I5K @M]&@^ g7KI2X,X,3gwZ
/fr5I57KS2KS:WfKH,1:TKSO ^ 1U @ 6Y5qX,1fK ] OMU[n @ KR6 @*L O,/z-
max{ x 1 − x 2 − x 3 − x 4 + t · x 5 }
n @
x 1 − 2x 2 ≤ 1 x 2 − 2x 3 ≤ 2 x 3 − 2x 4 ≤ 3 x 4 − 2x 5 ≤ 4
t?2 5qX,r57/
A m× n
Z%57U6uO ^ :TQ|{zsb ∈ R m 1fU L Z
Ke1Vf3f57H ^ 1:-F ^@ U[U[F0HJ65qX&s2n21,X,r @ML@ KSO,8280Q
:W5/ ] U L 57:G57HH ,L 0KV1/ ^ 1fU @ / @*L 5qX,r.QRH657X*Z
1K ] n @^ d0
Wj
Ax = b
sx > 0
%
yA ≥ 0
syb ≤ 0
sy ( A | b ) 6= 0
a!lDLq^ HM5KRK ^ 5n0O ^ 65qXf6NF ^@^ /0Qcsn21,X,r @ML
Wj
Z
57U[857KSQ
x
g7U @q
Z%57U[857KSQ
y
357H ^ 1f:W1fHhH ,L 0KV1/ ^ 1U @ / @*L 5qX,r.QRHKeg ^ 5 L QSH-
x > 0
@*L^ EW5ZKe57/ ^ Qcsn21,XMr @*L
x
6YQR/ ] 57/HM16uV1/257/0UT5NV1MZ L Q^ m3-(A|b)
@ML^@ 6uO ^ :TQ|{.1 ^ EW57K KRQs @ 6YQ^@*LA
Z8dK2/fr57:T0/2Hp.X,rfsMn21,X,rb
Z ^ n21 LqL Oq3f57U[U L 0HpE$1U L KR1V0HMg7/ ^ -B
v? 11f: ] QS/0O ^ O LqL@@ML@ KSO,8280Qv6uO ^ :GQ{ a@ 3 @ KedfU ^ 57U ^ I KM^T^¡B¢@*L
M x,y
6 @*^ :W1fQ ] 1 ^ - lDL
x
sy
g7: ^ gZHM57H ^ fKI2X,X57/6YQSHM1f:£Ke57U Lo@*L
M x,y
6 @^ :G1Q ] X: @¤ HF0Uj¥
1 0 2 0 0 2 0 −1 3 0 x 0 0 6 0 y
¦ ?§l 8 @ K1K ]&@ KSQ<OM80:[OM/¨KSO ^ n @^ d©Xf:[OIH :G6 @^ :G1Q ] E @ Ke57XMr5/
A
s @ EW1808ª1K]0@ KRQS/«KSO ^ n @^ dgB
-¬ : @*¤ HF0U @ HZ%5 @*L
A ∨ A
s&QSKRKR5 ^ 35 @MLA ∨ B
6 @*^ :G1fQ ] 1H2¥1 3
4
5
2 3
1
2
4 5
t?® 57HQS/ ^ U[2H @ML F ^`@ML d2XMr./ HV2:G1f82KRg76 @¯@ML 1/°U[V5 QSO,KRQRUz57UT5 ^ 5Q ^ s @ 6uQRHM1f: @ Xf:TO*I2V1f/ ^ E @ Qf5qXMrU L@ Z
80O,Krf1U
n
ZU Lq X U[p U @ QR/n.57Ker5 L HM5 ] /.5H±57Kcs @*L g7Ke57HuU[p2Ker @ QzV5 ] QeX @ 3g7XV1f/ ^ 1fHY57F0HKRQ ] 5U L Q ^ O731KZ U`O*XOq3@ K
@*L 1f/.1fU
@
H-²cX
@ML
Z5fs*n.1XMr5
L
57/U[V5
QSO,KRQSU5UT5
^
57H:G5
@*L 57KR
@,]
O,UT1/
^`@
/F2K
^
3
2
Z @
V0V2:G1{2QR6uO
QedfU
@ KRX,1:TQ ^ 69F0U£1V ^ QR6uO,KRQRU¯65qX,1fK ] OMU ^¢@,] ¥
³v? F ^@ U[U[F2H65qX&sn.1XMr Keg ^ 5 L QRH
(2 − m 1 )
Z @ V2V0:G1{2QR6uO QedfU @ KRX,1:TQ ^ 69F0U @P m | prec | C max
I5K|Z
@M]&@^ : @ s´n @ QRU[6Y57: ^ sn21,X,r @ V0:G5 5 ] 57/ Q @ X:[OI\V1/ ^ 1U @ / 5qX,rµgKR8fK$OMKRK- a _57KSKe LqL 0H @ /0/ @ H @*L
57Ke
@M]
OMUT1f/¶82Q
L
1/fr.m
^
O,U·/2g7KRH0K°H
Lq
K
^^
g7/fr./.5H
@ n @ U L /&OMK
@^
O ^ s\6YQSU
L
57:TQR/
^·@
KRQSU
^
OMU·
^
5765
L
g7U
(2 − m 1 )
Z @ V0V0:W1{2QS6uO QRdU @ KeX,1f:TQ ^ 6NF0U @P m|prec|C max I5K@M]&@^ : @ -B
¸º¹e»G¼¾½¡¿*½jÀÁwÂ\ï»GÄ¡Áw¼¾¿*ÅjÆÅ¡ÇÁ¡ÈÆ»WÄwÉG¿»WÆÈW¡ÊwÈÌË»GÃÍÇ*½jÆÈGËÅ¡¼¾Ç*½ÀÎϸºÐc»GË¿4»G¼¾Âj»GÈWÉGÆÐc»ÑÅ¡¼Ò¼¾Î£ÃÑÓ4˽¡Ô¾¿Õ$Ö¡×$Ø,»GÐcÙ¡Ï
Ú »GëÆÈWÛÂqÆÉGÄ¡»GƴïԾ˿»W˹e»W¼|½¡¿½jÀÁ¡ÀvÂqÛ¼ÒÊw˼¾½¡Øн$ÜÒÐËÔSÝ¿»Ì¡ÉGÐÞcÛÂMÝÇ4ÁwÄ¡ß½¢à,»T½j¿Á¡ÀÀ¿Áw¼ÒÄwÁwÈG½jÀâáGãäåTæçèRé*áWãwå`ê.éå[ë
ãNó&þÿì7èRé .é4å9ìqíMý,è ç*áGé
½z¸¹e»G¼¾½¡¿*½jÀ
max{cx : Ax ≤ b}
½¡¼¾½¡Â Ý*½¡ÇÁ¡¼A =
1 −2 0 0 0
0 1 −2 0 0
0 0 1 −2 0
0 0 0 1 −2
, b =
1 2 3 4
, c = 1 −1 −1 −1 t .
ÈGÉWÐcÀt½A¹e»W¼|½¡¿*½À¿4Ó*Å¡¼¾ÔÒƽ
min{yb : yA = c, y ≥ 0}
Ï È ÀzÐcÉGÆcÈG¼¾» À»WÆ»Gà4à»WËDÂ7ÔÒܾС½´ÉWÆz½¡Èy = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 )
Þc»G¼ÒÊw¼¾ÉWÆcÀ½¡¼Ò½¡¼¾Ã¢½¡Èj½
min{y 1 + 2y 2 + 3y 3 + 4y 4 }
Ç*½
y 1 = 1
y 2 − 2y 1 = −1 y 3 − 2y 2 = −1 y 4 − 2y 3 = −1
−2y 4 = t
y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ≥ 0
à
Ú
ß7Ô¾¼jÅ¡Ëj½¡¼ÒÎÝDÇÁwġߨ½ ØÐcԾâš¼o¹e»G¼¾½¡¿*½jÀ »GÄ¡ß¡»G˼ÒÕ¡À¼Ò»GËÆcÉGÄwÐc»GË¿4ÆÈG»Wл ï»GÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎeØÉW¼¾¿*Å¡Ó4¼
x i = 0
Ýi = 1, 2, 3, 4, 5
ï»GÄwÁ¡¼¾¿*Å¡Æ Ï!Ä¡ß½¡ÈÌÔ¾Æï»GÐÀvÀÉWÀ»G¼v»GË¿ÆcÈG»WÐÁwØ4ÀԾ⽡¼¾ÔÒÈTÅ¡¼¾Å¡Æ"¡ʡËqß ,Ý¡Ï4Ï"ÉWÀ»G¼vÆcÈG»GÐcÔ¾ËÀA½¯ØÐÔÒÃ\Å¡¼¹e»W¼|½¡¿*½ÀÙWÉG¼¹eÛÄwÄ ¡ÉGËßw»$½¡ÂqÂjÁwÐÉWÆÙGƽ¡Â½¡Âq¡ÁwÐâ¹e»G¼ÒÛ¼¾ÐcÕw¼Â¡ÁwÐc¼|ÅjÀÁwÆâ½\ï»GÄwÁw¼Ò¿*Å¡ÆcÇ*½¡¼¾Ã¢½¡ÈGÅ¡ËÝ4ǽ\½¢¿4Ó*Å¡¼¾ÔÒÆv»GÄ¡ß¡»G˼ÒÕ¡À¼Ò»GË"!
ÆcÉGÄwÐc»GË¿ÆcÈG»Wлkï»GÄ¡Áw¼¾¿Ç½jÀÎÏ
¸ ¿Ó*Åj¼¾Ô¾Æ¢¹e»G¼¾ÜÒКƽ¡Â¡Á¡Ð\½¡Ø,Á¡ÀÀD»W¼¾ÆcÕuË4ÉGÄ¡ß»GÄ¡ß¡»G˼һWÀà,Õw¼´½j¿Î¿4Ô¾ÂMÝzÇÁ¡Ä¡ß
y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = 1
Ï#!Ä¡ß½¡Èy 1 , y 2 , y 3 , y 4 ≥ 0
¹e»W¼ÒÀÉWÀ»W¼¾»WÂJ½¡È»GÄjßw»WÀ¼¾»WË ÆcÈGÎwà*½[ÞcÊ$¡Õ¿ÓÅ¡¼¾ÔÒÆDâ»WÄwÁw¼¾¿Å¡Æн½¡Ó4ÀÁ¡Ã\½jÀÔ¾ÂqÓƽ¡ËJÀ»W¼Þc»GÆcÛ¼¾Ë4»GÂMÏ ÈG»G ÆcÈG»GÐcÔ¾ËÀ½¿4Ó*Å¡¼¾ÔÒÆ2Ðc»GË¿4ÆÈG»WÐÉWË»G£ï»GÄwÁ¡¼¾¿Ç*½ÀÎwÆšĽ⽡ÈzÓ4ÀÁw¼¾ÆcÎÝ−2y 4 = t
»GÄ¡ß¡»G˼һWÀcÀÕw¼q¹eÛÄwÄ%¼|ÅÀÆÈWÔ¾ÂMÝÇÁwÄ¡ßØ,ÁwËÀÁwƽ¡Ë½
t = −2
ÉWÐcÀÉWÂqлâ»WÄwÁw¼¾¿4Ç*½jÀÎ4Ï2»WÇ*ÅjÀ½£ØÐÔÒÃ\Åj¼fÙGÉW¼Ò¹eÛÄ¡Ä wÉWËqß¡»k½jÂ7ÂjÁwÐvÉGÆâÙGƽ¡ÂD½¡Âq¡Á¡Ðâ¹e»W¼¾Û¼ÒÐÕw¼,¡ÁwÐc¼|ÅjÀÁwÆGÝ4Ç*½
t = −2
Ïö £þÿì7èeéé4å&9ìqíMý,è ç*áGé
¼¾ÕwÆcÈGÊwÐDï»GÄ¡ÃÑÓ4À%½ÀRÞcÓÂMÝzÇ4ÁwÄ¡ß('*),+ÉWÆ-'/.0+»WÄ¡ß7ÆÈW»GÐÐc»NË4»Gà ¼Ò»GÇ» ÀDâ»WÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎÏ
.»GÄ¡ß7ÛÂ_¹e»W¼PÝ"ÇÁwÄjßâÉWÄwÔ¾Æ<ÉGƼ¾»WÄ¡ßw»WË
x
ÝvÔ¾¼Ò¼¾» À1w»y
»WÄ¡ß!!»WÄ¡ßâ»WÄwÁw¼Ò¿*Å¡ÆGÏ32Å¡ÐÎÞc»W¼¾»WÈGÈGÛ4Â_¡ÉWÀc¹eÉG¼Ò»G¡ÉWØØ,»GËb½¡ÈyAx
ÆcÈGÁwÐcÈT½jÀÁ¡À4
0 ≤ (yA)x = y(Ax) = yb ≤ 0
Ï576ÿÀÀ0 ≤ (yA)x
!ÿÇ»Gȧ¹e»W¼¾Ç*½jÆÈGËÅ¡¼ÒÀÓÂMÝ&ÇÁwÄ¡ßyA ≥ 0
ÉGÆx > 0
8¡½j¼|½¡Ã¯Ô¾ËÀ½ÌâÅjÀÐÔ:9ÆcÈGÁwÐcÈTÅ¡Æ¿»;ËܾÙWÔ¾ÎÞÅjÀ< Ý
y(Ax) = yb ≤ 0
!!ÇÁwÈvØ,»G¿ÔÒÄѽ¡È ÀTÝqÇÁwÄjßAx = b
ÉWÆyb ≤ 0
Ï=?>ÅjÀǽjÀÎÝ ÇÁ¡Ä¡ß°»WȯÙWƽ¡Â°½¡Âq¡ÁwÐ@j½¡¼¾Î¡ÆÓ¼ÒÇ*½jÀ˽\â»WÄÝÇ*½yb = 0
ÉGÆ(yA)x = 0
Ծƹe»WËË*Å¡¼Ò¼¾Ë*½4Ï È$½¡ÈGÁwËqà*½jË9½¡Èy(A|b) 6= 0
¹e»W¼ÒÀÉ À»W¼Ã¯Ô|½ÀÀA¼¾»WÇ»WÀ»WÀ¼¾»GËA.ǽ
yb = 0
Ý2½jÂ7ÂjÁwÐÆÈGÛ4Â7ÆcÉGÄwÂjÉGØؽ¡ÈyA
ÆcÁwÐB¡»GÂÀÁ¡Ðk¡Á7ÁwÐc¿Ô¾Ë*ÅÀ%Å¡ÔÂjÊwÈGÊ¡ÀcÀkÂj»G¼Ò¼¼Ò»GÄ¡ß¡»GË Ë»WâËqÓ¼Ò¼|½CR½¡ÈT½¡ÈAØ,ÁwÈGÔÀÜ:%ÆÈTÅjÃÝ*½jâÔÒàÕw¼x > 0
ïÔ|½ÀÀ(yA)x > 0
ÂjÊDw»WÀ¡»WÈGÔ¾ÂMÏ2»WÄ¡ß7ÛÂo¹e»G¼Ã¯ÁwÆcÀGÝÇÁwÄ¡ßE'/.0+\Ë»Wà ï»GÄ¡Áw¼¾¿Ç½jÀÎ%FÙGÉW¼¾ÓËÂoà,»G¼¾ÅjÀË4ÔPÝÇÁ¡Ä¡ß½¡Âq¡ÁwÐG'*),+\Ô¾Äw»WËÏIH½-'/.0+4!ÿÀ´¹e»W¼ÀÓ¿"!
Ë*ÅjËÂoܾÐcËÔJ!Ç*½jÄ¡ßwÁwâšËßwÁ¡ÆK$»WÄ¡ßw»W˼¾Õ¡À¼¾»WËÆÉWÄwлWË¿ÆÈW»GÐk½¡¼|½¡Âqà*½jËݽ¡Âq¡ÁwÐ̽¡¼ÒÂj½j¼¾Ã¢½¡ÈGÇ*½ÀË*Å¡Ë4½MLM½¡Ð½¡Æ*!!¼¾»WââÅjÀ0F¿»
½¡È
y(A|b) 6= 0
¹e»W¼ÒÀÉWÀ»W¼v»GÈWÀ¢¼|ÅÀÆÈWÎw¼|½jļһGÇ» À» À¼¾»WËËÉ<À»WÆÈGÔSϸÈGÁ¡Ë7ཡ˼¾ÅjÀÆcÈGÔ¾ÂMÝÇÁ¡Ä¡ßYÇ*½9½N'/.0+лGË4¿ÆÈW»GÐË4»GÂy
ï»GÄwÁ¡¼¾¿*šƽ4ݽ¡ÂqÂjÁwÐ
α · y
ÔÒƴâ»WÄwÁw¼Ò¿*Å¡ÆÀ» ÀÆcÈGÕw¼Ò»GÄw»WÆα > 0
!ÿн4ÏO!Äjß½¡Èy(A|b) 6= 0
¹e»W¼ÒÀÉ À»W¼ÒÀÅjÀc¹eÁwĽ¡¼ÒÃ\½¡ÈWÇ*½jÀeÞcÓÂyA ≥ 0
Ýyb ≤ 0
Ç»G¼ßw» ÀÀܾÐcÇ*½jÀeÞcÓÂMÝ¡ÇÁwÄjßy(−A|b) ≤ 0
Fy(A|b) 6= 0
Ø»W¿Ô¾Ä´Ëß7Ô¾¼:jÅ¡Ë£»GÂ7Ôj½¡¼Ò»GËÆy(−A|b) 6= 0
!/j½¡¼PÏ
ÈG»WÂ<ÆÈG»WÐÔÒËqÀ½¡È
y(−A|b)
ÆÁ¡ÐBw»WÂÀÁwÐâÔÒË¿»GË¡Á¡Ã¢Ø,ÁwË»WËƻ˻GïØ,ÁwÈGÔÀÜ\ÉGÆ5¡½jËÂjÊwÈWÀÛÂ<Ë»GĽÀܧԾÆGÏ!Ä¡ß½£¹e»GËÀÔ
α · y
!!нMwÁwË*½À¡Á¡ÈGÎ £Ã¢»WÄ ;*Ä¡ß¡»G¼ÒÉGÆ$âԾ½jÀÀ̹e»G¼À»GÇ4»WÀRÞcÛ4Â,ÝÇÁ¡Ä¡ß½¡Èy(−A|b)
ÆÁwÐw»WÂqÀÁwЯ¡Á7ÁwпÔÒË*ÅjÀÅ¡Ô¾Ë*½jÂNÊwÆcÆÈW»GÄw»¼Ò»GÄ¡¹eÊw¼Þc»Gàà
−1
ÏP
ÆÆÈW»W¹eÁwÄ¡¼|½¡¼:¡½½¹e»WËÀÔ¾»W¡» À4Þc»G¼¾Ê¡¼Þc»
1
½QJÿÙGÆÓ4Ø*½¡»GÄjß KÁwÆcÈG¼ÒÁwØw»GÂÀÁwÐcÀDÉWÆ\¼Ò»GÄ¡ß¡»GË
u = (−A|b) · 1
Rj½¡Ä¡ß7ԾƢ½
(−A|b)
ÁwÆcÈG¼¾Á¡Ø*½¡Ô¾Ë½¡Â¢Ê¡ÆÆÈW»GÄw»4 ÏH½Q'/.0+Ë»Wà ï»GÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎݽjÂ7ÂjÁwÐvË»Gà â»WÄwÁw¼¾¿4Ç*½jÀÎѽ¡Èy(−A|b) ≤ 0
Ýyu ≤ −1
Ðc»GË¿ÆcÈG»WÐDÆ»Gà RÇ4Ô¾ÆÈW»GË
yu = y((−A|b) 1 ) = (y(−A|b)) 1
ÉWØؽ¡È
y(−A|b)
¡Á7ÁwпÔÒË*ÅjÀÅ¡Ô¾Ë*½j±ÊwÆÆcÈG»WÄw»DÏ
Ðл
Ø,»G¿ÔÒÄSÀн¡ËÆÈWØÁ¡Ë*Å¡¼|ÅjÆÓ4À%Å¡ËTâšн¡¼Ò½¡¼¾Ã¢½¡ÈGǽjÀRÞcÓ½ULM½¡Ð½¡Æ*!!¼¾»Wââ½ÆcÈGÁwÂÅ¡ÆcÁwÆz½j¼|½¡ÂGÞÅjÀV7â»WË¿ÆÈW»GÐcÁwØ4ÀÔÒÃ\½j¼¾Ô¾ÈGÅ¡¼|ÅjÆ
ÂjÊwËßW,Ý?wÏYX4ÏO"É À»G¼ ϸÈWÀA½¡Ø7ÞcÓ4Â,ÝÇ4ÁwÄ¡ß°¼ÒÉWÀ»GÈGÔÒ°½¡È
x ∈ R n
Ýx ≥ 0
w»WÂqÀÁwÐAÉGÆA½λ, µ ≥ 0
ƽ¡¼|ÅjÐÁwÂMÄ¡ß¡ÝÇÁwÄ¡ß(−A)x + λb + µu = 0
ÉGÆ(−µ) < 0
ÏZR6ÿÀÀ½[L,½jн¡Æ!ÿ¼¾»Wââ½$Å¡¼ÒÀ½¡¼2Äw½¡Ð½¡ËÀÅ¡¼ÒÀ(n + 2)
!!¿ÔÒâ»WËÈGÔÒÎwÆÁ¡ÆÈG¼ÒÁwØw»WÂqÀÁwÐ Ó4ÀÁw¼¾ÆcÎkÂjÉWÀUb
!ÿË»GÂMÝÔ¾¼¾¼Ò»WÀBw»u
!!Ë*½¡Â£Ã¯»GÄj¹e»G¼¾»W¼¾Õ &ÂjÁÁwÐc¿Ô¾ËÅjÀ%Å`ÞÅÀÞc»W¼¾Êw¼ÀÛÂλ
!\¡½j¼PÝÔ¾¼Ò¼¾» À1w»µ
!\w»W¼PÝ7½¡È»WÈG»WÂ\»G¼ÒÇ*½¡Ä¡ßwÅ¡ÆÅ4j½¡¼ ½¡Ø,Á¡ÀÀvÁ¡ÆÈG¼ÒÁwØw»WÂqÀÁwÐcÀØ,»G¿ÔÒÄx
!!ÆÈW»G¼SÏ=µu = µ(−A|b)1 = (−A)·(µ 1)+µb
A(x + µ 1) = (λ + µ)b
Ô:w»W¼
x ≥ 0
Ýλ ≥ 0
ÉGƵ > 0
eÓ4ÀΡààÔ(−µ) < 0
ïÔ|½ÀÀ Ý»WÈGÉWÐcÀλ + µ > 0
ÉWÆx + µ 1 > 0
Ï àà,Õw¼ 7Ô¾ÆcÈGÁwËÀ j½¡¼ÒÎwà*½¡Ë<¡ÊD¡»WÀÂj»GÈWÔ¾ÂMÝÇ4ÁwÄ¡ß '*),+â»WÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎ%4½jÈ1
λ + µ (x + µ 1 )
w»WÂqÀÁwÐââ»WÄwÁw¼¾¿Å¡Æ½4ϸ ¹e»G¼¾½¡¿*½jÀ»GÄjß\âšÆÔÒ£¼¾»WÇ»WÀÆÉGÄ¡»GÆtï»GÄwÁ¡¼¾¿*Å¡ÆÅ¡Ë*½¡Âѽ¡¼|½¡Ø4ÄwÁwË¿Á¡¼|½jÀ½½Ì¡ÊDw» À¡»WÈGÕÏT.»GÂqÔÒËqÀÆÛÂ\½ÌÂjÊ$¡»WÀ!
Âj»GÈGÕ$¼ÒԾ˻GÅ¡ÐÔÒÆØ4ÐÁwÄwн¡Ã¯Á¡À4
Ax = b
Ýx ≥ µ 1
Ý
max : µ
ÏO È»GÄ¡ßn + 1
¡Åj¼ÒÀÁ¡ÈGÎwƹe»G¼¾½¡¿*½jÀGÝx
ÂjÁÁ¡Ð¿ÔÒË*ÅjÀ%ÅjÔ¾Ë\ÂqÜ:Û4¼µ
ÔÒÆ jÅ¡¼ÒÀÁwÈGÎÏ
Âq¡Á¡Ðv½Ì¹e»G¼¾½¡¿*½jÀà»W¼¾Ô#'*),+AлWË¿ÆÈW»GÐ⽡Âq¡Á¡ÐtÉGÆ"ÙWƽ¡Â\½¡Âq¡ÁwÐ"ï»GÄwÁ¡¼¾¿Ç*½ÀÎÝqÇ*½£½Ì¹e»WËÀÔ¼ÒԾ˻GÅ¡ÐÔÒÆØÐcÁwÄwн¡Ã
Ðc»GË¿ÆcÈG»Wлvâ»WÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎ S½jâÔ7»GÂ7Ôj½¡¼Ò»GËÆ
Ax = b
ï»GÄwÁ¡¼¾¿Ç*½ÀÎwÆÅ¡ÄÅ4j½¡¼8fÉWƽÃ\½ 9ÔÒÃÑÓïÉGÐcÀÉGÂj»#j½¡Ä¡ßË»Wõ¼¾É À»WÈGÔ¾ÂMÝ j½¡Ä¡ßÑØÁwÈWÔÒÀÜ,Ï¡¸¼¾Â½¡¼¾Ã¢½¡È,¡½½¿4Ó*½¡¼¾ÔÀ%Å¡ÆÀÉ À»G¼Àj½¡¼ÒÎwà*½¡Ë$½C'/.0+4!ÿ»GÆлWË¿ÆcÈG»GÐï»GÄwÁw¼Ò¿Ç*½jÀÎwÆÅjÄÅ4¡½j¼4»GÂ7Ôj½¡¼Ò»GËÆÅj¼¾¼¾ÜÀ%Å¡ÆÀ½¡ØÓ4ËÂMÏ
ð tþÿì7èRé .é4åG9ìqíMý,è ç*áGé¡»G¼ÒÊw¼Þc»k½DÃ\ÅjÀÐÔ 9Á¡ÆÈG¼ÒÁwØ*½¡ÔÀ e»Gàà,»GËN½§ÆÁwÐcлWË¿à,»GË
a
Ýb
Ýc
ÉWÆd
ÏO>ÅjÀǽjÀÎÝÇÁwÄ¡ß Ç*½x = 6
ÝM½¡Âq¡Á¡Ðc = 2a
F*Ç*½¡ÆcÁw˼Òν¡ËÝ*Ç*½y = −3
Ý,½¡Âq¡ÁwÐb = −2d
ÏM¸ÈÌÔÒÆâÂjÊwËËßw»WËo¼|ÅjÀÆÈWÔ¾ÂMÝ*ÇÁwÄ¡ß<ǽx 6= 6
ÉGÆy 6= −3
Ý*½¡Âq¡Á¡Ðv½ÑÃ\ÅjÀÐÔ9$ÁwÆcÈG¼ÒÁwØ*½Ñ¼¾ÔÒË»TÅjÐԾƽ¡Ë¢¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WËÏÄ¡ßw½¡ËÔ¾Æ"»Wġߧ»W¼¾ÂjÉGØÈW»G¼ÒÀαa + βb + γc + δd
¼¾ÔÒË»TÅ¡ÐcÔ¾Æ ÂjÁwÃÑàÔÒË*Å¡ÙGÔÒÎÑ»G¼ÒÆÕ£ÉWÆ"Ç*½¡Ð⽡¿ÔÒÂ$¡Á7ÁwпÔÒË*ÅjÀÅ`ÞÅjÀtÙWƽ¡Âa
ÉWÆc
Ç*½À%Å¡ÐcÁwÈGÈG½Ñâ»WÄݽÑâšÆÁ7¿ÔÒÂj½ÀzÉWƽÑË4»GÄ¡ß¡»G¿ÔÒ¡»WÀâÙWƽ¡Âb
ÉGÆd
Ï,¸ÈÌ»G¼ÒÕwààÔ.»GÆc»WÀà,»GËØ,ÉG¼Ò¿*Å¡Ó¼2½¡Èα + 2γ
ÝÔÒ¼¾¼¾» À1¡»3α + x · β
½\ÂjÉWÀ´ÂjÁÁwÐc¿Ô¾ËÅjÀ%½4Ý,½¡Ã¯Ô¾Â<½jÈx 6= 6
»WÆ»WÀà»WË ÙWƽ¡Âα = β = 0
!!н½¡¿4Ë*½¡Â°»WÄ¡ß½¡ÐÅ¡ËÀÑ×$!ÿÀ4F½<âšÆÁ7¿Ô¾Â»GÆc»WÀÐc»\½jÈ¢»W¼¾¼¾»WËÕwÐcÈGÉGÆAÇ*½jÆÁw˼ÒÎÏØ,ÙGÔ¾Á¡Ë*Å¡¼¾ÔÒƽ¡Ë½<âÅjÀÐcÔ:9¿» À»WÐïԾË*Å¡Ë4ƽ\ÔÒÆ¡ʡËËßw»GËÂqÔ¾ÆcÈTšïÜÒÀÇ*½jÀÎ
(x − 6)(2y + 6)
F,¼|ÅjÀÆÈWÔ¾ÂMÝÇ4ÁwÄ¡ß»GÈÑÙWƽ¡Â½¡Èx = 6
j½¡Ä¡ß½¡Èy = −3
»WÆ»WÀà»W˼һGÆÈ×4Ï
!ġߢ½¡È
x 6= 6
Ýy 6= −3
»GÆc»WÀà,»GËM x,y
½¡È
U 4 , 4
ÓË4ÔÒ¹eÁwÐcà Ã\½jÀÐÁwÔÒ¿¿*½¡¼4Ô¾ÈGÁ¡Ã¢ÁwÐ¹Ï ÈËßÔÒ¼jÅ¡Ë¢Äwн ;Â7Ó4Æ04àÅ¡Ðï»G¼ß
$ÉG¼D¹R½$Ðc»GØÐc»GÈW»GËÀ%Å¡¼Þ½4ÏH½
x 6= 6
Ý¿4»y = −3
ÝM½¡ÂqÂjÁwÐa
Ýb
ÉGÆc
¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WË»GÂQe»GȽѹe»GËÀÔÒÇ»GÈAË*½jÄ¡ßwÁwË<Ç*½jÆÁw˼Òν¡Ë ÔÒË¿ÁwÂjÁw¼¾Ç*½ÀÎ ÏO!Ä¡ß½Dâ½jÀÐcÁwÔ¾¿oÔÒ¼Òßw»WË¡Á¡ÐÔÒÆ´Äwн ;*ÂqÓÆ0лWØлWÈG»WËqÀÅ¡¼Þ½<»GÄjßQXÉW¼o¹R½4ݽ¡Ã¯»G¼ß7Ë»G½¡È$»GÄ¡ß7Ô¾ÂÉG¼¾É À¡ÉWÀØ*ÅjÐÇqÓÈT½jâÁwÆ"ÉW¼¾¼Ò»G¼fÇ4»G¼Òß¡»WÀcÀ»GÆcÜÒÀeÞcÛÂQR»WÈG»WÂ
b
!!Ë»W§ÉGÆ
d
!ÿË»G¯¹e»G¼¾»W¼¾Ë»WÂ\ï»GÄ Ï4¸È
x = 6
Ýy 6= −3
»WÆ»WÀâÆcÈGԾïï»WÀÐcÔ¾ÂqÓÆM x,y
!ÿÀÔÒ¼Òß¡»GËÂjÁwÐԾƻGÄ¡ßÑÓÄ¡ß½jËÔ¾¼ßw»G˯ÄwÐÅj¹Ðc»GØÐc»GÈG»WËÀ%Å¡¼Þ½4ÝÙGƽ¡Â$½ØÅ¡ÐÇqÓÈG½¡Ã¢Á¡ÆÉW¼¾»WÂ
a
!!Ë*½jÂÑÉGÆc
!ÿË»GÂ̹e»G¼¾»W¼¾Ë»WÂÑï»GÄÏ ÉGÄwÛ¼M½jÈx = 6
Ýy = −3
»WÆ»WÀà»WËa
ÉGÆb
¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WË»GÂMÝw¿»c
ÉWÆd
Ðc»GË¿4л⽡È"»G¼ÒÆÕDw»W¼PÝÔÒ¼¾¼¾» À1¡»t½´Ã\ÅjÆÁ7¿Ô¾Âq½¡¼4ØÅ¡ÐÇqÓ"!ÈG½¡Ã¢Á¡ÆGÏ !Äjßѽâ½jÀÐcÁwÔ¾¿ÌÔ¾¼ßw»GË4¡ÁwÐ&ÔÒÆ0Äwн ;*ÂqÓÆwлWØлWÈG»GËÀÅ¡¼Þ½»WÄ¡ßÉW¼ 4ÀGÝw½¡Ã¯»G¼ß7Ë»GÂâÔÒË¿ÂjÉWÀÉW¼¾ÉWÀ&Ç»G¼ßw»WÀcÀ»WÆÜÒÀeÞcÛÂ
$! ÑØ*Å¡ÐÇqÓÈG½¡Ã¯ÁwÆ"ÉG¼Ò¼¾»G¼SÏ
ø &þÿì7èRé .é4å 9ìqíMý,è ç*áGé Ծ˿4¡ÉWÀââ½jÀÐcÁwÔ¾¿Dн¡ËÄTÞ½GeÇÔ¾ÆcÈG»WË X£Ø,ÁwËÀÝ*ÊwÆcÆÈW»W¹eÛÄwÄ¡Õ\ÄwÐÅj¹eÁwÂ\Ðc»GØÐc»GÈW»GËÀ%Å¡¼ÞÅ¡Â
ÕwÂj»WÀ< Ýf»WÈGÉWÐcÀ´Ã¯Ô¾Ë¿4¡ÉWÀÊwÆÆcÈG»WÄwÃ\½ÀÐÁ¡Ô¾¿Ð½¡ËÄTÞ½¢¼Ò»W¹eÊw¼Þc»Gàà!§¼¾»WÇ»WÀGÏ#"ÕjÀTÝ,ØÉW¼¾¿*Å¡Ó4¼2½jÈ
{1, 4}
ÉWÆ´½{2, 5}
Ç*½j¼¾Ã¢½¡ÈGÁw ïԾ˿4¡ÉWÀâ½jÀÐcÁwÔ¾¿4à*½¡Ëo¹eÛÄwÄw» À¼Ò»GË»WÂ,ÝÜÒÄ¡ß½¡È{1, 2, 4, 5}
ïԾ˿ÂjÉWÀÊwÆcÆÈG»WÄwâ½jÀÐcÁwÔ¾¿à½¡Ë¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WËOFܾÄjßA ∨ A
ÉGÆA ∨ B
нjËÄ[Þ½ÑÔÒÆ$ÏA ∨ A
!!à*½j˽jÈGÁwËqà*½¡ËË»Wà âÔÒË¿»WË%$»W¼¾»GÃ&Ç*½j¼¾Ã¢½¡È¹eÛÄwÄ¡»WÀ¼Ò»GËÝ4ÇÔ¾ÆcÈG»G˽¡È wÝ'ÑÉWÆ X£»G¼Ò»Gï»G§ÂjÊwÈGÛ4¼Ã¢ÔÒË¿»GËA
!ÿà»W¼¾ÔM¹eÛÄwÄw» À¼¾»W˧ÙGƽ¡Â ,!!»WÀzÀ%½¡ÐÀ%½¡¼ÒÃ\½¡ÈWÇ*½jÀGÝ7»WÈGÉWÐcÀvïԾ˿»WËA ∨ A
!ÿà»W¼¾ÔM¹eÛÄwÄw» À¼¾»W˧¼¾»WÄ¡¹eÊw¼Þc»Gàà¢ÙGƽjÂ($!PÀTÏ4¸ÈGÁwËqà*½j˽¡È
{1, 2, 3}
!½jÀvË»WÃÍÀ%½¡ÐÀ%½¡¼ÒÃ\½¡ÈW΢»W¼¾»GÃ&»GÂ<ïԾ˿D¹eÛÄwÄ¡»WÀ¼Ò»GË»W wÝ)$ÉGÆVX¢Â¡Ê¡ÈGÛ¼.¡» ÀÀÕjÀ jÅ¡¼|½jÆÈWÀBj½¢½¡ÈÌ»GÄ¡ß7ÔÒÂ7Ç4»GÈ ÇÁ¡ÈGÈTÅ4¡»GÇ» ÀRÞcÛ½ X !½ÀTݽ£Ã¢Å¡ÆÔÒÂqÇÁwÈA½* !!» À4FÜÒġߢ¡ÉWÀâÂjÉWÀ»W¼¾»WÃ+¹eÛ4ÄwÄw»WÀ¼¾»WËqÀv½¡Ø4ÓËÂMÝM½¡Ã¯Ô¾ÂqË»GÂ\½¡È´ÓËÔÒÎÞ½A ∨ A
!à,»G¼ÒÔPÏ ÈGÉWÐcÀ
A ∨ A
Äwн ;*ÂqÓÆ0qÐc»GØÐc»GÈG»WËÀ%Å¡¼Þ½Ì½¡È½´ÄwÐŹÝq½¡Ã¢ÔÀ»GÄjߣÇ*Å¡ÐcÁwâÆcÈGÊwÄ¡àÕw¼4Âj½jØÓË ÄjßwÝqÇÁwÄ¡ß J!¼¾»W¼¾ÎwÄw½jÀÓË4ÂK ÐcÎw¼|½ÑÂjÉWÀÉG¼¾» ÀTÏIe¸bÇ*Å¡ÐÁ¡Ã¢ÆcÈGÊwÄ$ÉG¼Ò»GÔf¹e»W¼¾»W¼¾Ë»WÂ\ï»GÄC!!Ë4»GÂMÝ,$!!Ë4»G§ÉWÆVX$!!Ë*½¡ÂMÝ*½£¼Ò»G¼¾Î¡Ä½jÀÁjÀÀtÉW¼¾»WÂ- !!Ë4»G§ÉWÆ/.D!!Ë»WÂ,ÏA∨B
!!à,»GË 7Ô¾ÆÈWÁwËÀ.Ã\Å¡ÐfâÔÒË¿»GË0v»G¼Ò»GÃ+AÇ*½j¼¾Ã¢½¡È2¹eÛÄ¡Äw»WÀ¼¾»GËfÏ ÈWÀ.¼¾»WÄw»GÄ¡ß7ÆcÈG»GÐààk½¡È1.t»GÆ» À ¡ÉGÄwÔÒÄwØÐcÎwà*Å¡¼¾Å¡ÆÅ4j½¡¼»W¼¾¼¾»WËÕwÐcÔ¾ÈGË4Ô\Ã\Å¡Ð\¼|ÅjÀcÀÓÂMÝtÇÁ¡Ä¡ß
{1, 2, 4, 5} = {1, 4} ∪ {2, 5}
ÉWÆ<Ç*½¡ÆÁ¡Ë¼¾Î½jË{1, 2, 3, 4} = {1, 4} ∪ {2, 3}
Ý{1, 2, 3, 5} = {1, 5} ∪ {2, 3}
Ý{1, 3, 4, 5} = {4, 5} ∪ {1, 3}
ÉWÆ{2, 3, 4, 5} = {4, 5} ∪ {2, 3}
S½¡Ç4Áw¼Ã¢ÔÒË¿ÔÒįཡ¼ Áw¼Ò¿*½¡¼ÒнAܾÐcÀÓ¯½¡ÈA
ÝTÞcÁwààнѽB
!!à,»G¼¾Ô*¹eÛÄ¡Äw»WÀ¼¾»GËÀ< ÏW!Ä¡ßA ∨ B
½¡ÈU 5 , 4
ÓËÔÒ¹eÁ¡Ðà â½jÀÐcÁwÔ¾¿¿½¡¼MÔ¾ÈGÁ¡Ã¢ÁwйÝq½¡Ã¯ÔÔÒÆïÉWÀ
Äwн ;*ÂqÓÆ,Ðc»GØÐc»GÈW»GËÀ%Å¡¼Þ½£»GÄ¡ß%.£ÉG¼<¡ÊwÐWÏ
ã ú Ñþÿì7èRé .é4å-9ìqíMý,è ç*áGé¸Èo½¡¼¾Ä¡ÁwÐÔÀÃÑÓÆ$»W¼¾ÕwÆcÈGÊwЧ»WÄ¡ßâÔÒËԾâš¼¾ÔÒÆÑÆ14¼ÒßWJ¹e»GÆcÈGÜÒÀÕ¡¹RÅjÀ¢Â¡»WлGÆWÝ"»GÈ eâÔÒËÀD½¡È
ïÁwË¿ÞcÓ4§½2´ÐÓÆcÂj½j¼:!½j¼¾ÄwÁwÐcÔÒÀÃÑÓÆZwÉWÄwлWÇ*½`ÞÀ%ÅjÆÅ4j½¡¼¼|ÅjÀÇ*½jÀÎ ½£ÆÁ¡Â7ÆcÈGÊwįÁw¼Ò¿*½¡¼|½jÔ,ÂjÊwÈGÛ4¼À%½¡ÐÀ%½¡¼ÒÃ\½¡È
n − 1
¿*½¡Ð½jàÁ¡À eÉGƧØ,»GÐcÆÈG»oâšƢÉG¼¾» À§Ë»WÃSÏ àà,»GË_ÂjÉWÀ<Ø*šнjÀ¼¾½¡Ë¹eÁ¡ÂWÙGÆ14ÙGÆ<¼¾»WÆÈ¡ÝÀ»WÇ*ÅjÀ<½NØ*šнÀ¼|½j˹eÁw _ÙGÆBÙGÆcÁw¡Á¡ËN¡»WÀÀïԾËÔÒÃ\Åj¼¾Ô¾Æ0ÊwÆÆcÈGÆ14¼ÒßW<Ø*Å¡ÐÁ¡ÆÜÒÀÅ¡Æt½Ì¡ÉWÀ S½kÆcÁwÂqÆÈGÊ¡ÄwÊwË<ÆÈWÁwâÆcÈGÉW¿ÁwÆ<ÙGÆ14ÙGÆv¡ÊwÈ ÀÔÉG¼¾à,Õw¼,Å¡¼Ò¼PÏ ÈWÀv½Ì¹RÅjÇÁwÈV¡É¡»Ë4»GÃ
ÙWƽ¡Â
Ó¼¾»WÐ!!ÂjÊwÐcÀGÝǽ¡Ë»Gà H½¡Ã¢ÔÒ¼ÒÀÁwË"!!ÂjÊwÐcÀÔÒƽ¡Ø4ÓËÂMÝÀ»GÇ*ÅjÀt½Ì¼Ò»jÅ¡ÄÅ¡ÆcÁw£Ó4ÀÅ¡ËD½¡ÈÉG¼¾Ç½¡¼¾Ã¢½¡ÈjÅ¡¼ÒÀÁwÈT½À¼|½jˢ⽡нj¿O
ÉWØØ°½$ÆÁwÂqÆcÈGÊwħÁ¡¼¾¿*½¡¼¾½¡Ô¾à,Îw¼*¹eÁwĢš¼¾¼ÒËÔPÏ ÈÌËß7Ô¾¼:¡Åj˽jÈÁ¡Ø4ÀÔÒÃ\Å¡¼ÒÔ¾Æâ»WÄwÁw¼¾¿Å¡ÆGÝÇ4Ô¾ÆÈW»GËØÁwËÀ½¡È
n
¼Ò»GÄwÐcÊDÔÒ¿»Gà4àÉW¼¾à,Õw¼ Å¡¼Ò¼PÏü 0þÿì7èeéé4å9ìqí,ý,è.çáGé A.»GÂqÔÒËqÀÆÛÂ<½jÈWÀv½¡È
L
¼¾ÔÒÆcÀ%ÅjÆtÛ4À»Wâ»WÈGÉWÆcÀTÝM½jÇÁw¼½ÑÄwÐÅj¹.»GÄ¡ß¡»WÀ¼¾»GËÉG¼ÒÉGË»W§¡»WÈG¿Õ¡ØÁwËÀeÞ½ e¼¾»GÄjßw»GËu»GÈJ 1
ѽ¡ÈD»G¼ÒÆÕÝ&½ wÉGÄ¡ØÁwËÀ
(J n )
Ø,»G¿ÔÒĽ¡ÈDÓ4ÀÁw¼¾ÆcÎo»G¼¾»Wà ½°¼ÒÔ¾ÆcÀÅ¡à*½¡ËfÏ
ÈDËßÔÒ¼jÅ¡ËØ,Áw¼¾ÔÒËÁwïÔ|Å¡¼ÒÔ¾ÆWÝâ»WÄ !
ÃÑÓÀ%½jÀeÞcÓÂMÝ2ÇÁ¡Ä¡ß9»Wâ»W¼¾¼Ò»WÀÀk½¡ØØ4ÐÁ49ԾâšÙGÔÒÎwÆ´¹R½¡ÂÀÁwн¼¾»WÄ¡¹e»G¼Þc»Gàà
2 − m 1
Ï2¸È§»GÐc»G¿» ÀÔ¹e»G¼|½j¿*½jÀÑ»WÄ¡ßÀ» ÀÆÈWÕw¼¾»WÄw»GÆB
OP T
À»GлWÔ¾à,»GË
B
!/w»W¼fï»GÄw»WÄ¡ßw»WÈGÕB 0
à,»Gï»GË» ÀtÔ¾¿4ÕwÔ¾ÄwÉWËßw»Ø,»G¿4Ô¾ÄOP T 0
Ï Âq¡Á¡ÐtËßÔÒ¼jÅ¡ËOP T 0 ≤ OP T
Ï >»WÄ¡ßw»WËD»GÈW»GË ÂqÜ7Û¼L 0
½B 0
à»Wâ»WË»WÀÇ»GÈAÀ%½jÐcÀÁ¡ÈGÎ$¼¾ÔÒÆcÀ%ÅjÆtÛ4À»Wâ»WÈGÉWƽ¡ÈL
ÛÀ»Gï»GÈWÉGÆcÇ»GÈAÀ%½¡ÐÀÁwÈWÎ$ÆÁwÐcлGË4¿à»WËÏ H½§½jÈL 0
Û4À»Wâ»WÈGÉGÆcà»WËJ n
»G¼Ò¡»WÈG¿ÉWÆ»GÂjÁwÐ
J 1
!!Äjßw»G¼2Ã\ÅjÐVwÉWÄw»GÈ ÀÛË4Â,Ý.½¡ÂqÂjÁwд½¡È
L
ÉGÆL 0
Û4À»Gï»GÈWÉGÆ»W°Ëß7Ô¾¼jÅ¡Ë ÓÄjß½¡Ë*½jËËßÔMÔÒ¿Õ¡ÀԾġÉGËßw»W¼¾Ë»WÂ,Ï Ôw»W¼L 0
½jØØÐÁ49ԾâšÙWÔ¾ÎwÆ0¹R½jÂqÀÁwн2 − m 1
ÉGÆOP T 0 ≤ OP T
Ý¡»GÂqÂjÁwСÉGÆcÈVj½¡Ä¡ß7ÓË4Â,Ï H½A½¡ÈL 0
ÛÀ»Gï»GÈWÉGÆcà»WËJ n
»W¼¾Â¡»WÈG¿ÉWÆ»W¡ÁwÐ
J 1
!!Ä¡ß¡»G¼*ïÉGÄAË»Wà wÉGÄ¡»GÈWÀÛËÂMݽ¡Âq¡Áwн¡ÈL
Û4À»Gï»GÈGÉWÆz½B
à»Wâ»WË»,!À»GË
max(p 1 + p n , OP T 0 )
ÔÒ¿»GÔÒĹeÁwÄ´À%½¡ÐÀ%½¡Ë4ÔPݽ¡Ã¯Ô4Á¡Ø4ÀÔÒÃ\Å¡¼ÒÔ¾ÆWÝjÇÔÒÆÈW»GËOP T 0 ≤ OP T
ÉWÆËß7Ô¾¼:jÅ¡Ëp 1 + p n ≤ OP T
ÝÜÒġߧ»Wàà»WË°½¡È´»WÆ» Àà,»GËÔÒÆ"¡ÉWÆÈG»WË j½¡Ä¡ß7ÓËÂMÏ