AKADÉMIAI DOKTORI ÉRTEKEZÉS

1

AKADÉMIAI DOKTORI ÉRTEKEZÉS

Kóczy László Áron

Versengés és együttm¶ködés koalíciós játékokban

Budapest, 2018

2

Tartalomjegyzék

Jelölések v

1. El®szó 1

2. Alapfogalmak és jelölések 3

2.1. Matematikai jelölések . . . 3

2.1.1. Számok . . . 3

2.1.2. Halmazok . . . 4

2.1.3. Vektorok és mátrixok . . . 5

2.1.4. Gráfok . . . 6

2.2. Nonkooperatív játékok . . . 6

2.2.1. Normális alakú játékok . . . 6

2.2.2. Extenzív alakú játékok . . . 8

2.3. Karakterisztikus függvény alakú játékok . . . 9

2.3.1. Tulajdonságok . . . 11

2.3.2. Megoldásfogalmak: a mag . . . 13

2.3.3. Megoldásfogalmak: értékek . . . 17

3. Partíciós függvény alakú játékok 21 3.1. Fogalmak . . . 21

3.1.1. Externáliák . . . 22

3.1.2. Dominancia . . . 23

3.2. Megoldásfogalmak: a mag általánosításai . . . 25

3.2.1. Az α- ésω-mag . . . 25

3.2.2. Dezintegrációs várakozások . . . 27

3.2.3. A fúziós vagy m-mag . . . 28

3.2.4. Aδ-mag . . . 28

3.2.5. Rekurzív modellek . . . 29

3.3. Módosított partíciós függvény alakú játékok . . . 37

3.3.1. Diszkrét partíciós függvény alakú játékok . . . 37

3.3.2. Hálózati játékok . . . 37

ii TARTALOMJEGYZÉK

4. A mag implementációja 39

4.1. A váltakozó ajánlattételi alkumodell . . . 39

4.2. Rögzített kizetések . . . 41

4.3. Teljesen kiegyensúlyozott játékok . . . 42

4.3.1. Egy folytonos idej¶ alkumodell . . . 42

4.3.2. Sorrend-független egyensúlyi koalíció struktúrák . . . . 44

4.4. Általános partíciós függvény alakú játékok . . . 47

4.4.1. Egy kétszakaszos koalíció-alakítási játék . . . 48

4.4.2. Szekvenciális koalíció-alakítás . . . 49

4.5. Összegzés . . . 55

4.A. Az implementációs tétel bizonyítása . . . 55

5. Környezetvédelmi alkalmazások 59 5.1. Nemzetközi környezetvédelmi egyezmények . . . 59

5.2. Közlegel®k problémája egy halastóban . . . 61

5.2.1. A halastó elméleti modellje . . . 62

5.2.2. Szimulációk . . . 63

5.3. A túlnyúló halállományok halászata . . . 64

5.3.1. A bioökonómiai modell . . . 64

5.3.2. A partíciós függvény . . . 65

5.4. Folyómegosztás . . . 66

5.4.1. Folyómegosztási doktrínák . . . 67

5.4.2. Az elméleti modell . . . 68

5.4.3. Folyásirányban növekv® elosztás . . . 69

5.4.4. A súlyozott hierarchikus elosztás . . . 69

5.4.5. Telíthet® játékosok . . . 71

6. Hálózati alkalmazások 75 6.1. Forgalomirányítás . . . 75

6.2. Villamosenergia-hálózatok . . . 76

6.2.1. Az elektromos hálózatok zikája . . . 76

6.2.2. Tulajdonságok . . . 78

6.2.3. A modell korlátai és ezek feloldása . . . 83

6.3. Párosítás externáliákkal . . . 83

6.4. Szabadkereskedelmi zónák és vámuniók . . . 84

6.A. Az ötszemélyes hálózat megoldása . . . 85

7. Hatalmi indexek 89 7.1. Szavazási játékok . . . 89

7.2. Legkisebb nyer® koalíciók . . . 92

7.2.1. A Möbius transzformáció és az osztalékok . . . 93

7.2.2. Alternatív kifejezések . . . 95

7.2.3. Példák . . . 97

7.2.4. Diszkusszió . . . 99

TARTALOMJEGYZÉK iii

7.3. Általánosított súlyozott szavazási játékok . . . 100

7.3.1. Hiányzó képvisel®k egy parlamentben . . . 100

7.3.2. Általánosított hatalmi mértékek . . . 104

7.3.3. A Magyar Országgy¶lés . . . 105

7.3.4. Összegzés . . . 107

7.4. Konvex szavazási játékok . . . 108

7.4.1. Konvex játékok . . . 108

7.4.2. A pápai konklávé . . . 110

7.5. Stratégiai hatalmi indexek . . . 117

7.5.1. Stratégiai veszekedés . . . 120

7.5.2. Barátságos egyensúly . . . 124

7.5.3. Stratégiai hatalmi indexek a gyakorlatban . . . 126

7.A. A Shapley érték karakterizációja . . . 127

7.B. A barátságos egyensúlyi halmaz egyértelm¶ . . . 129

7.C. Algoritmus . . . 131

8. Hatalmi indexek az Európai Unióban 133 8.1. A lisszaboni reform . . . 133

8.1.1. Az el®zmények . . . 133

8.1.2. Hatalmi indexek . . . 137

8.1.3. Összefoglalás . . . 140

8.2. A Brexit . . . 140

8.2.1. Adatok és eredmények . . . 141

8.2.2. Félresikerült alkukísérlet? . . . 142

8.3. További tagkilépések vizsgálata . . . 143

8.3.1. A hatalmi indexek változása . . . 144

8.3.2. Összefoglalás . . . 145

8.A. Hatalmi indexek a Lisszaboni Szerz®dés után . . . 147

8.B. Az EU tagállamok statisztikai adatai . . . 150

iv TARTALOMJEGYZÉK

Jelölések

· komplex konjugált . . . 3

\ halmaz különbség . . . 4

∈ halmaz eleme reláció . . . 4

2^S S hatvány halmaza . . . 4

∼ hasonlóság reláció . . . 11

⊂ valódi részhalmaz . . . 4

⊆ részhalmaz. . . .4

∨ maximum operátor . . . 124

|·| abszolút érték . . . 3

|hseti| halmaz számosság . . . 4

d·e fels® egész rész. . . .3

b·c egész rész . . . 3

(·)₊ pozitív rész . . . 3

dom^δ δ-dominancia . . . 25

dom dominancia reláció. . . 15

dom^δ_M δ-domináció azM által . . . 24

dom_S dominancia az S koalíció révén . . . 15

= egyenl®ség . . . 5

> vektor reláció: (szigorúan) nagyobb, koordinátánként nagyobb vagy egyenl® . . . 5

≥ vektor reláció: nagyobb, vagy egyenl® . . . 5

vektor reláció: koordinátánként (szigorúan) nagyobb . . . 5

_hplayeri egyéni preferencia . . . 15

_hseti csoportos preferencia . . . 15

∅ üres halmaz. . . .4

α súlyvektor . . . 69

β Banzhaf-index . . . 89

δ diszkontfaktor . . . 40

ε kis pozitív valós szám. . . .48

η azon koalíciók száma, melyekreikritikus . . . 89

ι triviális sorrend. . . .67

λ kiegyensúlyozó súlyprol . . . 14

λ_S azS koalíció súlya . . . 14

π permutáció . . . 5

vi TARTALOMJEGYZÉK

πf függvény permutációja . . . 5

π^ij az iésj játékosokat felcserél® permutáció. . . .11

ρ arányos kvóta . . . 101

ρ rangsor . . . 5

σ|_ht σ korlátozása ah^trészjátékra . . . 51

σ−i az N\ {i}játékosok kevert stratégiája. . . .7

σ_i^t ilépése at id®pillanatban . . . 50

φ érték . . . 18

φ_i az ijátékos értéke . . . 18

Γ a karakterisztikus függvény alakú játékok halmaza . . . 10

Γ játék . . . 8

Γˆ a súlyozott szavazási játékok halmaza . . . 88

Γˆ₀ a súlyozott szavazási játékok halmaza 0-val való kiterjesztése . . . 88

Γ(k) a kcsomóponthoz tartozó részjáték . . . 9

∆^v(C) C osztaléka av játékban . . . 91

∆(X) az X feletti kevert stratégiák halmaza. . . .7

Π(S) S partícióinak halmaza . . . 4

Π(S)˜ S permutációi . . . 5

P(S) S lehetséges rangsorai. . . .5

Σ kevert stratégiák halmaza. . . .30

Φ Shapley-érték . . . 19

Φ_i az iShapley-értéke . . . 19

Ω a kizetés-kongurációk halmaza. . . .16

Ω^∗(N, V) stacionárius-következetes egyensúlyi kizetés kongurációk halma- za . . . 54

φ^∗ stratégiai hatalmi index . . . 120

a lépés. . . .8

b_i ihaszonfüggvénye . . . 67

e tagsági függvény . . . 14

ei beáramlás azi területén . . . 67

e(l) az l él végpontjai . . . 37

f(l) termelési függvény . . . 62

f(x, a) the node followingxafter action a. . . 8

g gráf. . . .6

g^N játékospárok az N halmazban. . . .37

h history . . . 42

h^α(v) az α súlyokkal súlyozott hierarchikus kimenetel . . . 70

hk történelem klépés után . . . 40

h(s) lehetséges történelem az sálláshoz . . . 53

h^t a tid®pillanatban csonkolth történelem . . . 51

i, j, ... players. . . .7

i, j, ... halmaz eleme . . . 4

i^t javaslattev® a tid®pillanatban . . . 50

i(x) active player at node x. . . .8

TARTALOMJEGYZÉK vii

kⁱ ak el®tti játékos aziéskközötti úton. . . .70

k^C a kritikus játékosok száma aC koalícióban. . . .89

k^C(W) a C koalícióban aW szerint kritikus játékosok száma . . . 89

l munka. . . .62

le azeélhez tartozó késlekedési függvény . . . 75

n number of players. . . .7

p aktuális teljesítmény-betáplálási vektor . . . 76

p hiányzási valószín¶ség . . . 100

p javaslat . . . 42

¯ p maximális áramtermelés, vagy fogyasztás. . . .76

p^t az él® javaslat atid®pillanatban . . . 42

q az egységnyi munka személyes költsége . . . 62

q kvóta . . . 88

¯ q energiaátviteli kapacitásvektor . . . 77

rank(·) mátrix rang. . . .6

t egy id®pillanat. . . .42

t átruházási terv . . . 29

u kizetésfüggvény . . . 7

u_i ihasznosságfüggvénye . . . 68

uT aT halmazra vonatkozó egyetértési játék . . . 11

v, w, ... karakterisztikus függvény . . . 10

v^∗ az externáliamentes karakterisztikus függvény . . . 23

v^α α-karakterisztikus függvény . . . 23

v^γ γ-karakterisztikus függvény . . . 27

v^ω ω-karakterisztikus függvény . . . 26

ˆ v szuperadditív fed®játék . . . 12

v^m fúziós (m-) karakterisztikus függvény. . . .28

w egy hálózat értékfüggvénye. . . .37

w súlyvektor . . . 48

w súlyvektor . . . 88

w^t súlyvektor atid®pillanatban él® javaslatban . . . 50

x a játékfa egy csúcsa. . . .8

x kizetés-vektor . . . 13

x(σ, h) kizetésvektor aσ stratégiáth alapján követve . . . 53

x(σ, s) várható kizetés a σ stratégiát azsállásból követve . . . 53

xi ivízfogyasztása. . . .67

x_i azijátékos kizetése . . . 13

xi azx vektori-hez tartozó koordinátája . . . 5

xi(σ) ikizetéseσ esetén . . . 51

x_i(h) istratégiája ah információs halmazon . . . 9

x(S) azS koalíció tagjainak összes kizetése . . . 13

xT xkorlátozása a R^T hipersíkra . . . 5

x(S) azx vektorS-hez tartozó koordinátáinak összege. . . .5

(x,P),(y,Q), . . . kizetés-kongurációk. . . .16

viii TARTALOMJEGYZÉK

A aktív játékosok . . . 48

A csomópont-él incidencia mátrix . . . 76

A^t a javaslatot már elfogadó játékosok részhalmaza atid®pillanatban42 A(x) az x csomópontban elérhet® lépések halmaza . . . 8

ATS abszolút területi szuverenitás . . . 67

A(P) a P partícióhoz tartozó elosztások . . . 24

B szuszceptancia mátrix . . . 77

B(n, p) binomiális eloszlás. . . .101

Bz Banzhaf mérték. . . .89

B^D diagonális szuszceptancia mátrix . . . 77

C koalíció . . . 22

C mag . . . 13

C^γ γ-mag . . . 27

C^m fúziós vagy m-mag . . . 28

C_r(N, v) the r-core of (N, v). . . 31

CSC a koalíció-struktúrás mag . . . 16

CSDC a koalíció-struktúrás dominancia mag . . . 16

D_i az i-nél gyengén torkolatközelibb. . . .67

DC dominancia mag . . . 15

E Nash-egyensúlyok. . . .30

E az élek halmaza. . . .75

EGK Európai Gazdasági Közösség. . . .131

Γ˜ az általánosított szavazási játékok halmaza . . . 100

Γ˜ a partíciós függvény alakú játékok halmaza . . . 22

H(x) az x csomópont információs halmaza . . . 8

I az elosztások halmaza . . . 13

I inaktív játékosok . . . 48

KGST Kölcsönös Gazdasági Segítés Tanácsa. . . .132

L a lehetséges élek halmaza . . . 37

L gráf élei. . . .6

L^t a játékot elhagyó játékosok at id®pillanatban . . . 42

M villamosenergia-hálózat vezetékeinek halmaza . . . 76

N a játékosok halmaza . . . 7

N gráf csúcsai . . . 6

N^t aktív játékosok a tid®pillanatban . . . 42

OIDC a kívülálló-független dominancia mag . . . 17

OIECS sorrend-független egyensúlyi koalíció struktúrák. . . .46

P_i^∗ρ igyenge el®dei a ρ rangsorban . . . 5

P_i^ρ az iel®dei aρ rangsorban. . . .5

P_i^t az iáltal tehet® javaslatok a tid®pillanatban . . . 50

P(S,P) partnerek halmaza . . . 4

RC^α rekurzív mag . . . 35

RC₁^α egyszer¶ rekurzív mag . . . 32

RC^ω optimista rekurzív mag . . . 35

TARTALOMJEGYZÉK ix

RC₁^ω optimista egyszer¶ rekurzív mag . . . 33

S, T, ... koalíció . . . 4

S S komplementer halmaza . . . 4

S/g S g-vel való hányadosa, azaz partíciója összefügg® komponensekre.6 Φ Shapley-Shubik-index . . . 89

S_i ikevert stratégiáinak halmaza . . . 7

Si, Sj, ... az S partíciójának elemei. . . 4

S⁺ⁱ S az ielem hozzáadásával . . . 4

S⁻ⁱ S az ielem nélkül . . . 4

S_i^ρ ikövet®i aρ rangsorban . . . 5

S^t atid®pontban el® javaslat által megcélzott játékosok halmaza . . . 50

S_k^t koalíció atid®pillanatban javasolt partícióban . . . 50

SCE stacionárius-következetes egyensúlyok halmaza . . . 54

SECS stacionárius egyensúlyi koalíció struktúra . . . 41

T gyökeres játékfa. . . .8

T id® . . . 42

TIBS vízgy¶jt®-területek országainak területi integrációja . . . 67

T(S,P) az(S,P) beágyazott koalíció összesített externáliái . . . 23

T(P) aP mellett lehetséges átruházási tervek halmaza. . . .30

U a játékosuniverzum . . . 10

U_i azi-nél gyengén forrásközelibb játékosok halmaza . . . 67

UTI korlátlan területi integritás . . . 67

V hálózati függvény . . . 38

V, W, ... partíciós függvény . . . 21

V^R a maradék partíciós függvény azRkomplementer partíció függvénye- ként . . . 31

X a stratégiahalmazok halmaza. . . .7

X, Y, ... egy játékfa csúcsainak halmaza . . . 8

Xi istratégiáinak halmaza . . . 7

Z levelek halmaza . . . 8

m_ij aMmátrix i, j-edik eleme . . . 6

M,N mátrix . . . 5

` élek halmaza, vagy hálózat. . . .38

B kiegyensúlyozott koalíciórendszer . . . 14

B^t joger®s koalíciók at id®pillanatban . . . 42

E a beágyazott koalíciók halmaza . . . 22

E^∗ egy hálózatba ágyazott koalíciók halmaza . . . 37

F A nyer® koalíciók barátságos halmazai . . . 123

H a lehetséges történelmek halmaza . . . 51

H az információs halmazok halmaza . . . 9

H(σ) aσ stratégia esetén lehetséges történelmek halmaza . . . 53

H(σ, s) aσ stratégia esetén azsállást realizáló stratégiák halmaza . . . 53

H_i azon információs halmazok halmaza, aholiaktív . . . 9

H(s) lehetséges történelmek azsálláshoz. . . .53

x TARTALOMJEGYZÉK

K a kritikus játékost tartalmazó nyer® koalíciók halmaza . . . 117

L a multigráfok halmaza . . . 38

L konvex geometria . . . 106

L^t a játékot elhagyó játékosok partíciója a tid®pillanatban. . . .42

M a legkisebb nyer® koalíciók halmaza . . . 89

M az M(v)halmaznak a lezárása az unió operátorra nézve . . . 95

Mˆ a legkisebb nyer® koalíciókba tartozó szavazók halmaza . . . 125

M(v) a nyer® koalíciók halmaza az (N, v) játékban. . . .89

P,Q,R partíció . . . 4

Pˆ a P által partícionált halmaz. . . .4

P(σ) a σ által generált partíció . . . 41

P/g P és ghányadosa összefügg® komponensekbe. . . .6

P(S) S partíciója. . . .4

P_S P korlátozása S-re . . . 4

S^t partíció a tid®pillanatban él® javaslatban . . . 50

U torkolatvidéki szomszéd függvény . . . 72

W a nyer® koalíciók halmaza. . . .87

W(v) a nyer® koalíciók halmaza az (N, v) játékban. . . .88

C komplex számok . . . 3

N természetes számok . . . 3

N0 természetes számok és a 0. . . .3

R valós számok. . . .3

R+ nemnegatív valós számok . . . 3

R++ pozitív valós számok . . . 3

R^S vektortér, melynek dimenzióit azS halmaz deniálja . . . 5

1. fejezet

El®szó

Jjátékelmélettel 1998 óta foglalkozom, ekkor kezdtem el vizsgálni Magyar- ország uniós csatlakozását stratégiai szempontból. Érdekl®désem kés®bb is megmaradt és kutatásaimat a vámúniókra is oly jellemz® externáliák ko- operatív játékokon belüli kezelése, illetve az Unió hatalmi mechanizmusai, majd általánosabban: a hatalmi indexek és értékek vizsgálatának témakö- rében folytattam. Az MTA doktori disszertációm témájául is a kooperatív n-szerepl®s játékelmélet két f® megközelítését, s nem egyéb, a kockázati mér- tékekkel foglalkozó, vagy a tudománymetriai kutatásaimat választottam, mi- vel ezek az eredmények összefügg® területet alkotnak és az eredményeimet önállóan, vagy atalabb társszerz®kkel értem el. A disszertáció támaszkodik a Games and Economic Behavior, Homo Oeconomicus, Journal of Mathema- tical Economics, Mathematical Social Sciences, Social Choice and Welfare, Theory and Decision folyóiratokban megjelent publikációimra. A partíciós függvény alakú játékokat sokkal részletesebben tárgyalom a Springer gon- dozásában Partition Function Form Games címmel megjelent monográám- ban.

Az értekezésem tehát a sokszerepl®s koalíciós kooperatív játékokkal fog- lalkozik, melyek a játékosok közötti együttm¶ködés formáját vizsgálják: mely játékosok alkotnak koalíciót és hogyan oszlik meg közöttük az együttm¶ködés gyümölcse. Ezeket a játékokat hagyományosan a külhatásokat, azaz externá- liákat gyelmen kívül hagyó karakterisztikus függvény alakban adjuk meg.

Az externáliás koalíciós játékokat is leíró partíciós függvény alakban Thrall és Lucas (1963) megadott játékoknál sokáig igyekeztünk miel®bb megsza- badulni az externáliáktól, majd a kapott karakterisztikus függvény alakú játékot megoldani. Gyakorlatilag Chander és Tulkens (1997) indította el azt a gondolkodást, aminek eredménye egy jelent®sen kib®vült irodalom és sok új eredmény (Hafalir, 2007; Huang és Sjöström, 2010; Kóczy, 2018b), me- lyek az externáliákat közvetlenül és stratégiai modellezéssel kezelik. A sok új eredmény ugyanakkor különböz® modelleket is takar és ismét felmerül a kérdés, hogy melyik modellt®l mondhatjuk, hogy kell®en alátámasztott

2 1. FEJEZET. ELŽSZÓ és jól használható. Az értekezésemben a rekurzív mag (Kóczy, 2007) tulaj- donságait vizsgálom, illetve kitérek az externáliás koalíciós játékok néhány alkalmazására.

Az értékek egyik népszer¶ felhasználási területe a szavazók hatalmi befo- lyásának mérése szavazási helyzetekben: Egy szavazás is felfogható ugyanis koalíciós játéknak, ahol a szavazók egy csoportjának értéke a döntésképes- ségének megfelel®en 0 vagy 1. Ilyen szavazási helyzet egy parlament, ahol az egyes frakciók alkotják a szavazókat, s a frakciók egyes csoportjai pedig a nyer®, vagy veszt® koalíciókat. Egy hatalmi mérték a szavazók a priori hatalmi befolyását, vagy a befolyásból való részesedését mutatja meg, így a hatalmi mértékek nem veszik gyelembe az egyes frakciók ideológiai, vagy éppen stratégiai összeférhetetlenségét. A hagyományos megközelítés abból a szempontból is furcsa, hogy maximálisnak veszi az 50% feletti részesedés- sel rendelkez® pártok, vagy akár kormányok hatalmi befolyását, holott nem példátlan, hogy a képvisel®k hiányzása miatt az ellenzék kerüljön (relatív) többségbe. Az általánosított szavazási játékok gyelembe veszik a hiányzáso- kat és ezzel sokkal árnyaltabb képet kaphatunk a parlamenti er®viszonyokról.

Az értekezésben két további kiterjesztést is vizsgálok.

Az értekezés felépítése megfelel a tartalomnak. A 2. fejezet egy általános bevezet®, melyben ismertetem a használt jelöléseket fogalmakat. A következ®

négy fejezet foglalkozik partíciós függvény alakú játékokkal. A 3. fejezetben a speciális fogalmakat vezetem be, a 4. fejezet elméleti eredményekkel, a rekur- zív mag implementációjával foglalkozik, míg az alkalmazásokat két csoportra bontottam: az 5. fejezet környezetvédelmi kérdésekkel, a 6. fejezet pedig há- lózati alkalmazásokkal foglalkozik. A hatalmi indexek tanulmányozása nem igényel speciális jelölést, vagy fogalmakat, ezért már a 7. fejezetben ráté- rek a hatalmi indexekkel kapcsolatos elméleti eredményekre. A bemutatott elméleti modellek nagy részét gyakorlati problémák ihlették, hiszen a ha- talmi indexeket széles körben használjuk szavazási helyzetek kiértékelésére.

Az utolsó, 8. fejezetben egy ismert alkalmazás, az Európai Unió Tanácsá- nak hatalmi viszonyait vizsgáljuk a szabályok, illetve a tagok változásának tükrében.

Végül köszönöm feleségemnek, Vizy Anitának a disszertáció átolvasását, Cseh Ágnesnek és Csóka Péternek a kritikai észrevételeket; szerz®társaim- nak és kollégáimnak a közös munkát, beszélgetéseket, az el®adások hallga- tóságának és a névtelen bírálóknak a kritikákat. A disszertációban szerepl®

eredmények többsége az OTKA NF 72610 és 109354 K kutatási pályázatai és az MTA Lendület programjának (LD-004/2010) támogatásával készült. Kü- lön köszönöm Anitának, Lackónak, Micinek, Palkónak, Istinek és az egész családomnak a türelmet és bíztatást.

Kóczy Á. László

2. fejezet

Alapfogalmak és jelölések

2.1. Matematikai jelölések

A játékelmélet eredetileg Közép-Európa füstös kávéházaiban jelent meg, ahol a vendégközönség szeretett volna minél jobb teljesítményt mutatni a kor olyan népszer¶ társasjátékaiban, mint például a sakk. Ekkor még nem volt világos, hogy a matematika szerepet kaphat-e ezekben a kérdésekben: a kor legendás sakk-világbajnoka, Lasker álláspontja szerint a stratégia csökkenti a játékos mozgásterét; rendszerint azzal nyert, hogy egy váratlan lépéssel összezavarta ellenfelét, majd pszichológiailag dominálta a játékot (Leonard, 2010).

Neumann János pókerezni szeretett és bízott a matematikában: a blöö- lés matematikai modelljét kívánta megalkotni. Kit¶n® fejszámoló lévén abból indult ki, hogy ha mégoly komplikált is a modell, képes lesz az eredményeket fejben kiszámolni. Nem tudni, hogy Neumann pókerjátéka mennyit köszön- het ennek, de a Minimax Tétel (von Neumann, 1928) bizonyításával letette a játékelmélet alapkövét. 1930-ban Princetonba költözött, ahol a munkát Morgensternnel folytatták: Könyvük (von Neumann és Morgenstern, 1944) hatalmas siker lett és a mai napig hatással van a játékelméletre.

Neumann munkássága azt is eldöntötte, hogy a játékelmélet matematikai alapokon nyugszik. Az alábbiakban rá is térünk az eredmények bemutatásá- hoz szükséges alapvet® matematikai fogalmak és jelölések bemutatására. A fontosabb jelöléseket a tárgymutató el®tt, kigy¶jtve is megtaláljuk.

2.1.1. Számok

Jelölje N={1,2, . . .} a természetes számokat, N0={0,1, . . .} az Nhalmaz nullával való kib®vítését, R a valós, R+ a nemnegatív valós, R++ a pozitív valós, Cpedig a komplex számokat!

Jelölje |x| az x valós szám abszolút értékét, (x)₊ a pozitív részét (ahol (x)₊=xhax≥0, egyébként 0),bxcaz (alsó) egész részét, dxe pedig a fels®

egész részét! A z=a+bikomplex szám komplex konjugáltjaz=a−bi.

4 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK 2.1.2. Halmazok

Az egymástól különböz® objektumok: számok, játékosok, stb. gy¶jteményét halmaznak nevezzük, jelölésére aR, S, T, . . . nagybet¶ket, a benne tartalma- zott objektumok, az elemei jelölésére ai, j, . . . kisbet¶ket használjuk. Ha i eleme azS halmaznak, ennek jelölései∈S. Ha minden i∈S elemre teljesül, hogyi∈T, akkorSaT halmaz részhalmaza, azazS⊆T. UgyanakkorS⊂T valódi részhalmaz, haS⊆T, de S6=T. Az S részhalmazainak halmaza azS hatványhalmaza, jelölése2^S={T|T⊆S}.

Az S és T halmazok különbsége S\T ={i|i∈S, i6∈T}. Legyen S⁻ⁱ=

=S\{i}ésS⁺ⁱ=S∪{i}. AzS komplementer halmazaS=N\S, aholN az objektumok teljessége. Az S halmaz számossága |S|, amely véges halmazok esetén egyszer¶en a halmaz elemeinek száma. Az egyelem¶ halmazt szinglinek is nevezzük. Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, jelölése∅.

Partíciók

Spartíciójának nevezzük ésP(S)-sel jelöljük azS halmaz elemeinek elosztá- sát diszjunkt, nemüres halmazokba, azaz aP(S) ={S₁, S₂, . . . , S_k}partíció kielégíti a Si 6=∅, Si∩Sj =∅ minden i6=j-re, és Sk

i=1Si =S feltételeket.

LegyenPˆ=S

S∈PS a P által partícionált halmaz.

A partíció, mint halmaz elemei, az úgynevezett blokkok, vagy de Clip- pel és Serrano (2008), illetve Grabisch és Funaki (2012) szóhasználatával atomok deníció szerint nemüresek. Bizonyos modellekben mégis célszer¶ egy vagy több üres halmazt is a partíció részének tekinteni, ilyenkor kiterjesztett partíciókról beszélünk.

Egy adottShalmaz partícióinak halmazaΠ(S). Egyn∈Nelem¶ halmaz partícióinak számát az úgynevezett Bell-számok adják meg (Bell, 1934).B0=

= 1ésB₁= 1nyilvánvaló, nagyobb számokra a B_n+1=Pn k=0

n k

B_k rekurzív képlet alkalmazható.

Egy adott S halmazra és P partícióra jelölje P(S,P) = [

C∈P,C∩S6=∅

S

az S partnereinek halmazát, amely nem más, mint S koalíciót metsz® P-be beágyazott koalíciók uniója (Owen, 1995, Denition XIII.1.3). A deníció szerintS⊆P(S,P) és haS∈ P, akkor P(S,P) =S. A

P_S={T |T=C∩S, C∈ P, T 6=∅}

halmazt a P partíció S halmazra való korlátozásának nevezzük. Legyen P,Q ∈Π(S). Ha minden S ∈ P beágyazott koalícióhoz létezik olyan T ∈

∈ Q, hogy S⊆T, akkor azt mondjuk, hogy a Q partíció durvább, mint P, illetve P nomabb, mintQ, azaz Q>P.

2.1. MATEMATIKAI JELÖLÉSEK 5 Permutációk

Egy permutáció egy halmaz önmagára való bijektív leképezése. JelöljeΠ(S)˜ egy adott S halmaz permutációinak halmazát, a halmaz tipikus eleme π.

Az S halmaz i elemének permutált képe πi. Kézenfekv® halmazok mellett részhalmazok, partíciók, s®t függvények permutációjáról beszélni: egy adott π∈Π(N˜ )permutációra, azS⊆N részhalmaz permutált képeπS={πi|i∈S}, ebb®l aP ∈Π(S) partíció permutált képe adja magát: πP ={πS_i|Si∈ P}. Egy adottΞ halmazra és annak X∈Ξ elemére azf : Ξ→R függvény per- mutációja teljesíti, hogy

(πf)(X) =f(πX). (2.1)

A rangsorok olyan speciális permutációk, amelyek egy halmaz elemeit sorrendbe állítják. Jelölje egy adott S halmaz lehetséges rangsorait P(S), egy lehetséges rangsort pedig ρ! Bármely adottρ∈P(S) rangsorra és i∈S elemre legyenP_i^ρ={j|ρj < ρi}⊂Saz el®dök,P_i^∗ρ={j|ρj≤ρi}⊂S a gyenge el®dök, végülS_i^ρ={j|ρj > ρi} ⊂S a követ®k halmaza.

2.1.3. Vektorok és mátrixok

Vegyünk egy tetsz®leges S halmazt! Ekkor az R^S vektortér nem más, mint az az |S|-dimenziós vektortér, melynek koordinátái megfeleltethet®k az S halmaz elemeinek. Ekkor azx∈R^S valós vektori∈S-hez tartozó koordiná- táját x_i jelöli. Jelölje x_T = (x_i)_i∈T x korlátozását vetületét a T ⊂S hipersíkra, illetve legyenx(T) =P

i∈T x_i! Az x ésy valós vektorokra

x=y ha xi=yi minden i∈S koordinátára, x≥y ha xi≥yi minden i∈S koordinátára,

x > y ha x≥y, de x6=y, azaz x_i≥y_i minden i∈S koordinátára és létezik olyanj∈S, hogyxj> yj, végül

xy haxi> yi minden i∈S koordinátára.

Az x¹, x², ..., x^k vektorok lineárisan függetlenek, haPk

j=1λ^jx^k= 0akkor és csak akkor teljesül, haλ^j=0mindenj=1, ..., kértékre, azaz egyik vektor sem írható fel a többi pozitív vagy negatív súlyokkal súlyozott átlagaként. A x¹, x², ..., x^klineárisan független vektorok bázist alkotnak aR^kvektortérhez.

A p∈R^S vektor valószín¶ség-eloszlás az S halmazon ha p_i≥0 minden i∈S elemre és p(S) = 1.

EgyMmátrix egyazon vektortérhez tartozó vektorok vektorának tekint- het®. Így egy valós M∈R^S×T mátrix az S és T halmazokon értelmezett,

6 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK bár a gyakorlatban egyszer¶en egy |S| × |T| valós mátrixról beszélünk. A mátrixokat vastag nagybet¶vel jelöljük.

Jelöljemij az Mmátrixi, j-edik elemét! Egy mátrix transzponálása so- rainak és oszlopainak a felcserélését jelenti; az eredménytMtranszponáltját M^T jelöli. AzMkomplex mátrixM^†ermitikus transzponáltja az azNmát- rix, melyrenij=mji, azaz a konjugált mátrix transzponáltja. AzMmátrix rangja a lineárisan független oszlopok száma; jelöléserank(M).

2.1.4. Gráfok

A g= (N, L) páros egy gráf, ahol N a gráf csúcsait, vagy csomópontjait, L⊆2^N×N ={ij|i, j∈N} pedig az éleit jelöli. Az S⊆N részhalmazon ér- telmezett gráfok halmazátG(S) jelöli; G(N) helyett egyszer¶enG-t írunk.

Összefügg®ség Azi₀i₁, i₁i₂, . . . ik−1i_kösszefügg® élek sorozata egy sétát alkot i=i₀ és j=i_k között. Ha csak akkor i_g=i_h ha g=h, akkor a sétát útnak, ha i=j, akkor az utat körnek nevezzük. Egy g gráf összefügg®, ha bármelyik két csúcsa között létezik egy út. Egy összefügg® komponens, vagy komponensg egy maximális összefügg® részgráfja.

Az N csúcshalmaz bármely S részhalmazára és bármely g∈G gráfra jól deniált S/g∈Π(S) (S halmaz g-vel való hányadosa, Myerson, 1977).

Ezt a jelölést használva mondhatjuk azt is, hogy a g akkor összefügg®, ha N/g={N}.

Hasonló módon, egy tetsz®leges P ∈Π partícióra a P/g hányados a P partíció atomjainakg-vel való hányadosa:

P/g=∪_S∈PS/g. (2.2)

Fák A fa egy összefügg® körmentes gráf. Egy fában bármely két csúcs között pontosan egy út létezik. Egyes fáknak van egy különleges csúcsa, amit gyökérnek nevezünk. A gyökeres fa egy olyan fa, amelyben van gyökér.

2.2. Nonkooperatív játékok

Rátérünk a játékelméleti modellekre, kezdve két nonkooperatív játékelméleti modellel, a normális és extenzív alakú játékokkal.

2.2.1. Normális alakú játékok

Játékokkal modellezzük a döntéshozók, azaz játékosok közötti koniktusokat.

A játékosok egy vagy több lépés közül választhatnak, a választott lépések és a játékszabály határozzák meg a játék eredményét és ezzel a játékosok

2.2. NONKOOPERATÍV JÁTÉKOK 7 kizetését. A normális alak a legegyszer¶bb játékforma, amely a játékosok egyidej¶leg hozott, egyszeri döntését vizsgálja.

2.2.1. Deníció (Normális alakú játék). Egy normális alakú játék egy(N, X, u) hármas, ahol N ={1,2, . . . , n} a játékosok halmaza, X= (Xi)i∈N a straté- giaprolok halmaza és u:X1×X₂×. . .×Xn−→R^N kizetésfüggvény.

2.1. táblázat. K®-papír-olló 2. játékos

k® papír olló

k® 0, 0 -1, 1 1, -1

1. játékos papír 1, -1 0, 0 -1, 1

olló -1, 1 1, -1 0, 0

Vegyük például az ismert k®-papír-olló játékot, melynek kizetéseit a 2.1 tábla tartalmazza. Az 1. játékos sorokat, a 2. játékos oszlopokat választ és ez együttesen határozza meg, hogy ki nyer. Itt a nyerésért +1, a vesztésért -1 kizetés jár, míg döntetlen esetén mindkét játékos kizetése 0. A megfelel®

sor/oszlop kombinációhoz tartozó számpárból az els® az 1. játékos, a második a 2. játékos kizetése. Aki valaha is játszotta ezt a játékot tudja milyen fontos, hogy a játékosok a lépésüket, a jelet egyidej¶leg mutatják. Ellenkez®

esetben egy játékos mindig tud úgy reagálni a másik lépésére, hogy ezzel megnyerje a játékot.

Mi ebben, vagy egy tetsz®leges normális alakú játékban a nyer® stratégia?

Olyan stratégiákat keresünk, amelyeket racionális, kizetés-maximalizáló já- tékosok választanának. Egy játék megoldása tehát egy stratégia minden egyes játékos számára, azaz egy stratégiaprol. Fontos hangsúlyozni, hogy a megoldásunk semmilyen bels®, vagy titkos információt nem használ, nem arról van szó, hogy belelátunk a játékosok lapjaiba, így ugyanezt a meg- oldást egy tetsz®leges játékos is megtalálhatja. Érdekes, hogy miközben a játékosok teljesen szabadon választanak stratégiát, képesek vagyunk válasz- tásukat megjósolni és erre a játékostársak is képesek. Ezért is nevezzük a játék megoldását egyensúlynak. Ez az egyensúly egy önmeger®sít® jóslat ab- ban az értelemben, hogy a játékosok a megoldás ismeretében, vagy annak ellenére is a megoldás által jósolt egyensúlyi stratégiákat választják.

Vegyünk tehát egy tetsz®leges i∈N játékost! Jelölje Si= ∆(Xi) az Xi

halmaz felett értelmezett valószín¶ségi eloszlások halmazát. A σ_i∈S_i való- szín¶ségi eloszlásokat azijátékos kevert stratégiájának nevezzük; jelöljeσ−i

az i-t®l különböz® játékosok kevert stratégiáját. Így σ= (σi, σ−i) A kevert stratégiák halmaza ∆(X) = (∆(X_i))_i∈N.

A kizetésfüggvény könnyen kiterjeszthet® kevert stratégiákra is:

ui(σ1, . . . , σn) =X

x∈X

Y

j∈N

σj(xj)ui(x). (2.3)

8 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK 2.2.2. Deníció (Nash-egyensúly, Nash, 1950, 1951). Egy (N, X, u) nor- mális alakú játékra a σ^∗ ∈∆(X) kevert stratégiaprol Nash-egyensúly ha bármelyi∈N játékosra ésσ_i∈∆(X_i) kevert stratégiájára

u_i(σ^∗)≥u_i σ_i, σ_−i^∗

. (2.4)

Nash (1950, 1951) majd (Debreu, 1952; Glicksberg, 1952; Fan, 1953) a normális alakú játékok széles körére igazolta Nash-egyensúlyi stratégiapro- l(ok) létezését.

2.2.2. Extenzív alakú játékok

Míg a normális alakú játékok egyik f® motívuma a döntések szimultán jellege, a tökéletesen egyidej¶ döntések meglehet®sen ritkák a való életben. Gyako- ribb, hogy egy játékos lépése megváltoztatja a játék állását, ez lesz az új status quo, majd a további játékosok az új állás meggyelése után válasz- tanak lépést. A normális alak nem tudja az id®beliséget befogadni, így, ha ez fontos a játékban, egy másik játékalak természetesebb modellt alkot. Az úgynevezett extenzív alakú játékokban a játék menetét egy gyökeres játékfa írja le.

2.2.3. Deníció (Extenzív alak, Kuhn, 1953). Egy véges extenzív alakú játék Γ egy (N, T, i, f, u, H)-hatos, amelyet a következ® elemek alkotnak:

egy N = 1,2, . . . , n játékoshalmaz,

egy T gyökeres fa, melynek csúcsai X és Z ⊂X levelei (azaz befejez®

csúcsai) ,

egy i:X\Z → N függvény, amely bármely nem befejez® x csúcsra megadja a hozzá tartozó, éppen aktív játékost,

az x∈X\Z csomópontban elérhet® lépések A(x) halmaza,

egy f : (X\Z)×A→X függvény, amely meghatározza, hogy az x cso- mópontból aza∈A(x) lépéssel melyik csomópontba jutunk,

egy u:Z→R^N kizetésfüggvény, amely minden levélhez egy kizetés- vektort rendel, végül

egy H:X\Z →2^X függvény, mely meghatározza, hogy az i(x) aktív játékos mely csomópontokat nem tudja az x-t®l megkülönböztetni. A H(x)halmaztxinformációs halmazának nevezzük, melyre teljesül, hogy bármelyx⁰∈H(x) eseténi(x) =i(x⁰), A(x) =A(x⁰), ésH(x) =H(x⁰). Amikor egy játékos stratégiát választ, a stratégia minden egyes informá- ciós halmazra ahol aktív meghatároz egy lépést. Mivel a különböz®

információs halmazokat a többi játékos lépéseinek eredményeképpen éri el,

2.3. KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY ALAKÚ JÁTÉKOK 9 mondhatjuk, hogy a többiek lépéseinek ismerete nélkül, de azokat feltételezve választ stratégiát. Ennek érdekes példája egy olyan döntés, amely különbö- z® levelek közötti választást tesz lehet®vé, hiszen itt feltételezve, hogy a korábbi lépések a játékot ide juttatták a játék kimenete csak ezen az elemi döntésen múlik, mely a megfelel® kizetések összehasonlítása után egy- értelm¶. Miután az utolsó döntéseket tisztáztuk, hasonló módon járhatunk el az utolsó el®tti döntésekkel és így tovább. A fordított indukció általában is m¶ködik, s ezt a gondolatot formalizálja a részjáték-tökéletesség, illetve a részjáték-tökéletes egyensúly fogalma (Selten, 1965, 1975).

Az egyensúly bevezetése el®tt további jelöléseket vezetünk be. Legyen H az információs halmazok halmaza, ezen belülH_i azon információs halmazok halmaza, aholiaktív. Egy stratégia egy x_i(h)függvény, mely mindenh∈ H_i információs halmazhoz egya∈A(h)lépést rendel. A korábbiakhoz hasonlóan a stratégiák halmazán értelmezett valószín¶ségi eloszlásokat kevert stratégi- ának nevezzük. Jelölje∆(X_i) a kevert stratégiák halmazát!

2.2.4. Deníció (Részjáték). Egy adottΓjátékban a kcsomóponthoz akkor tartozik egy Γ(k) részjáték, ha a k nem terminális csomópontból és az abból lépések sorozatával elérhet® csomópontokból állóY halmazra teljesül, hogy ha l∈Y, akkor H(l)⊂Y. Ekkor Γ(k) áll

I. a csomópontok Y halmazából és

II. az eredeti játék lépéseinek, információs halmazainak és kizetéseinek az Y halmazra való korlátozásából.

Így már könnyen megadhatjuk a következ® egyensúly-fogalmat.

2.2.5. Deníció (Részjáték-tökéletes egyensúly, Selten, 1965, 1975). A σ stratégiaprol részjáték-tökéletes egyensúly, ha minden részjátékban Nash- egyensúly.

Minden részjáték-tökéletes egyensúly Nash-egyensúly, de ez fordítva nem igaz.

2.3. Karakterisztikus függvény alakú játékok

Bár az extenzív alak kit¶n®en alkalmas a játékosok közötti összetett kölcsön- hatások modellezésére, ahogy a játék három-, négy- vagy többszemélyessé válik, ezek hamar követhetetlenné válnak. Az eddigi modellek els®sorban a játékosok között versengéssel foglalkoztak, de több játékos között felmerül az egymásért, vagy egymás ellen való összefogás és a játékok megértésének célja a játékosok közötti együttm¶ködés jobb megértése. Ezekben az n-személyes játékokban gyakran feltételezzük a teljes együttm¶ködést, ekkor a játék célja az együttm¶ködés gyümölcseinek elosztása. Kooperatív játékokban a straté- giák rejtettek, implicitek, s csak az együttm¶ködés formájában, közvetetten

10 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK jelennek meg. Bár az elnevezés alapján úgy t¶nik, mintha a kooperatív és a nonkooperatív játékok közötti különbség az együttm¶ködés és annak hiánya lenne, valójában mindkét esetben megengedjük az együttm¶ködést, de annak formája eltér®. Ennél fontosabb, hogy kooperatív játékokban a megállapodá- sok joger®sök, míg nonkooperatív játékokban a játékosok mindig szabadon választják stratégiáikat szerencsés esetben a választás az együttm¶ködésre esik. Ebben a szakaszban karakterisztikus függvény alakú kooperatív játéko- kat vizsgálunk.

Mint oly sok más játékelméleti fogalmat, a karakterisztikus függvényt is von Neumann és Morgenstern (1944) vezette be. Vegyünk egy sokszerepl®s, normális alakú játékot, ahol a játékosok egy csoportja együtt kíván m¶ködni és ezért egy koalíciót alkot. Feltételezzük, hogy a koalíció tagjai rendelkez- nek egy közös pénzzel, amelynek a segítségével korlátozás és veszteség nélkül tudják hasznosságukat egymás között átruházni vagy átváltani. Az úgyne- vezett átváltható hasznosságú (TU) játékokban egy koalíció tagjainak célja a koalíció együttes kizetését maximalizálni, így aC koalíció egy kompozit játékost alkot aXC =Q

i∈CXi stratégia-halmazzal. Von Neumann és Mor- genstern (1944) ugyanakkor feltételezik azt is, hogy a komplementer koalíció is megalakul, s ezzel az eredeti sokszemélyes játék kétszemélyessé egyszer¶- södik. AC koalíció játékbeli kizetése jellemz® rá, ezértC karakterisztikus értékének nevezzük.

Ma már a karakterisztikus függvény deníciója teljesen általános. Ve- gyük a játékosok végesN halmazát. A részhalmazokat koalícióknak hívjuk, speciális esetként ideértve az üres halmazt és az összes játékost tartalmazó nagykoalíciót is.

2.3.1. Deníció. Egy karakterisztikus függvény alakú játék egy(N, v) pár, mely az N játékoshalmazból és a minden koalícióhoz egy valós értéket (az üres halmazhoz nullát) rendel®

v: 2^N−→R karakterisztikus függvényb®l áll.

A karakterisztikus függvény alakú játékokat átváltható hasznosságú, vagy TU-játéknak is nevezzük. Az ilyen játékok halmazátΓjelöli. Nem érdektelen az átruházhatósági feltételezés nélküli játékokat vizsgálni, hiszen gyakoriak azok a gyakorlati helyzetek, amelyekben a hasznosság átadása nehéz, vagy egyenesen törvénytelen, de gyakori az is, hogy a hasznosság nem arányos a kizetéssel. Az úgynevezett nemátváltható hasznosságú (NTU) játékokban (Aumann, 1959, 1967) a karakterisztikus függvény a koalíció tagjainak lehet- séges kizetés vektorait határozza meg. Az ilyen játékok jóval összetettebbek és még alapvet® tulajdonságaik általánosítása sem nyilvánvaló (Csóka et al, 2011). Ígéretes az NTU- és externáliás játékok közötti kapcsolat kutatása, de itt a TU játékokra korlátozzuk a gyelmünket.

2.3. KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY ALAKÚ JÁTÉKOK 11 2.3.1. Tulajdonságok

A korai irodalomban a játékot egy U játékosuniverzum játszotta, azonban a játék számára az univerzumnak csak egy véges részhalmaza, egy véges hordozója volt érdekes.

2.3.2. Deníció. AzN véges hordozó aU játékosuniverzumnak olyan rész- halmaza, melyre teljesül, hogyv(S) =v(S∩N) minden S⊂U részhalmazra.

Manapság általában elhagyjuk ezt a komplikált megfogalmazást és egy- szer¶en feltételezzük, hogy a játékosok száma véges, ugyanakkor néha prak- tikus a játékosok közé számolni olyan döntéshozókat, akik csak passzív részt- vev®i a játéknak.

2.3.3. Deníció. Az (N, v) karakterisztikus függvény alakú játékban az i játékos nulla ha

v(S∪ {i}) =v(S) ∀S⊆N. (2.5) 2.3.4. Deníció. Az (N, v) karakterisztikus függvény alakú játékban az i játékos néma ha

v(S∪ {i}) =v(S\ {i}) +v({i}) ∀S⊆N. (2.6) Egy nullajátékos semmihez sem járul hozzá, míg egy némajátékos önma- gában nem értéktelen, de nem együttm¶köd®, azaz egy koalíció kizetéséhez csak a saját, önmagában is elérhet® értékével járul hozzá. Minden nullajáté- kos néma is, de ez fordítva nem igaz. A némajátékosok tagjai minden hordo- zónak, míg a nullajátékosok nem. A két kifejezést mégis gyakran összekeveri az irodalom.

A következ® tulajdonság, a szimmetria szabadon felcserélhet® játékosok- kal foglalkozik. Jelöljeπ^ij∈Π(N˜ )aziésjjátékosokat felcserél® permutációt:

π(i) =j,π(j) =i, ésπ(k) =k hak6∈ {i, j}.

2.3.5. Deníció. Az (N, v) karakterisztikus függvény alakú játékban az i, j játékospár szimmetrikus hav(S) =v(π^ijS). Ekkori∼^vj.

Az(N, v)játék egyszer¶, hav:2^N→{0,1}. Az egyszer¶ játékok speciális, a nemnulla-játékosokra nézve szimmetrikus osztályát alkotják az úgynevezett egyetértési játékok.

2.3.6. Deníció. AzN játékoshalmaz tetsz®leges nemüresT részhalmazára deniáljuk az u_T egyetértési játékot:

u_T(S) =

1, haS⊇T

0, egyébként. (2.7)

Az egyetértési játékok bázist alkotnak a karakterisztikus függvény alakú játékokR^2N terében. Ebb®l következik az alábbi segédtétel.

12 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK 2.3.1. Segédtétel. Minden karakterisztikus függvény alakú játék felírható egyetértési játékok lineáris kombinációjaként:

v= X

∅6=T⊆N

c_Tu_T (2.8)

ahol

c_T =X

S⊆T

(−1)^|T|−1v(T). (2.9)

Bevezet®nkben már utaltunk arra, hogy a klasszikus kooperatív játékel- mélet feltételezi a játékosok teljeskör¶ együttm¶ködését. A feltételezés akkor indokolt, ha az együttm¶ködés valóban gyümölcsöz®:

2.3.7. Deníció. Az(N, v) játék kohéziós ha mindenP ∈Π partícióra, v(N)≥X

S∈P

v(S), (2.10)

azaz, ha minden S∈2^N koalícióra

v(N)≥v(S) +v(N\S). (2.11) Hasonlóan érdekes, ha az együttm¶ködés mindig gyümölcsöz®.

2.3.8. Deníció. Az (N, v) játék szuperadditív ha bármely S, T ∈2^N, S∩

∩T =∅ koalíciókra

v(S∪T)≥v(S) +v(T). (2.12) Ha az egyenl®séget kizárjuk, akkor szigorúan szuperadditív.

A konvexitás (Shapley, 1971) az mondja, hogy nagyobb koalícióval gyü- mölcsöz®bb az együttm¶ködés.

2.3.9. Deníció. Az (N, v) játék konvex ha teljesíti az alábbi ekvivalens állítások valamelyikét (Csóka, Herings, Kóczy, és Pintér, 2011):

v(S) +v(T)≤v(S∪T) +v(S∩T) ∀S, T ⊆N (2.13) v(S∪U)−v(S)≤v(T∪U)−v(T) ∀U ⊆N, S⊂T⊆N\U (2.14) v(S⁺ⁱ)−v(S)≤v(T⁺ⁱ)−v(T) ∀i∈N, S⊂T ⊆N⁻ⁱ. (2.15) A játék szigorúan konvex amennyiben az egyenl®tlenségekben kizárjuk az egyen- l®séget.

Ha egy játék nem szuperadditív, létezik egy vagy több olyan koalíció, amelynek a kizetése alacsonyabb, mint valamely partíciójának a teljes ko- alíciós kizetése. A szuperadditivitás sérülhet szervezési, vagy jogi okokból.

Egy jó vezet® ugyanakkor felismerné ezt és a koalíció helyett ezt a jobb par- tíciót hozná létre, s így itt is tekintsük a következ® deníciót:

2.3. KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY ALAKÚ JÁTÉKOK 13 2.3.10. Deníció. Az (N, v) játék szuperadditív fed®játéka az (N,v)ˆ ka- rakterisztikus függvény alakú játék, melyre

ˆ

v(S) = max

S∈Π(S)v(S). (2.16)

2.3.2. Megoldásfogalmak: a mag

A nonkooperatív játékokhoz hasonlóan itt is szeretnénk megérteni a játékok menetét, de a megoldásfogalmak jelent®sen eltérnek. Korábban egyensúlyo- kat kerestünk: kooperatív játékokban a megegyezések joger®ssé válnak, így tulajdonképpen minden megoldás egyensúlyi. Másrészt a megegyezéshez ve- zet® út rögös és a játékosok nem írnak alá bármilyen megegyezést. Minket pontosan az érdekel, hogy melyek az elfogadható megegyezések.

A kooperatív megoldásfogalmak igazságosság, vagy stabilitás alapúak.

Az el®bbiek alapvet®en a különféle értékek, a Shapley-érték (Shapley, 1953), vagy a nukleólusz (Schmeidler, 1969), ahol a nagykoalíció kizetése külön- böz® elvek alapján kerül szétosztásra. A stabilitás alapú fogalmaknál, mint a mag (Shapley, 1955), vagy az alkuhalmaz (Aumann és Maschler, 1964) továbbra is feltételezzük a játékosok összefogását, de itt az esetlegesen elé- gedetlen játékosok akár ki is léphetnek a játékból. Kérdés, hogy az ezzel való fenyeget®zést komolyan kell-e venni és hogy melyek azok a szerz®dések, amelyek mentesek az ilyen lépésekt®l és végül aláírhatók. El®ször az ilyen fogalmakról lesz szó.

Feltételezve a játékosok közötti összefogást, a feladat a nagykoalícióv(N) kizetésének az elosztása. Jelöljex∈R^N a játékosok kizetés-vektorát! Mivel a nagykoalíció teljes kizetését szét kívánjuk osztani, kizárólag szétosztások- kal foglalkozunk:

2.3.11. Deníció. Az (N, v) játékban az x∈R^N vektor egy szétosztás ha hatékony: x(N) =v(N).

Mely hatékony kizetés-vektorok elfogadhatók? Általában feltételezzük, hogy a játékosokat semmi sem kényszeríti egy megegyezés elfogadására, s így eldönthetik, hogy szeretnék-e elfogadni a javaslatot, vagy sem. A kizetés- vektor egyénileg elfogadható ha egyik játékos sem kap kevesebbet, mint az összefogás nélkül.

2.3.12. Deníció. Az (N, v) játékban az x∈R^N vektor egy elosztás ha I. hatékony, x(N) =v(N), és

II. egyénileg elfogadható, x({i})≥v({i}) ∀i∈N.

Az (N, v) játék elosztásait I(N, v) vagy egyszer¶en I jelöli.

TU-játékokban a koalíciók összetett játékosként viselkednek, így felmerül a kérdés: mi történik azokkal az elosztásokkal, amelyeket egy koalíció nem fogad el? Melyik elosztásokat fogadja el minden koalíció?

14 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK A mag

2.3.13. Deníció. (Shapley, 1955) Az(N, v)játékban a mag, jelöléseC(N, v) az olyan kizetés-vektorokat gy¶jti össze, melyek mindegyike

I. hatékony, x(N) =v(N),

II. egyénileg elfogadható,x(i)≥v(i) ∀i∈N, and III. csoportosan elfogadható,x(S)≥v(S) ∀S∈2^N.

Bár sokan Gilliesnek (1953; 1959) tulajdonítják a magot, ® valójában csak stabil halmazokat (von Neumann és Morgenstern, 1944; Lucas, 1992) vizsgált. Bár minden stabil halmaz tartalmazza a magot, csak Lucas (1967) óta ismert, hogy metszetüknek a mag valódi részhalmaza is lehet (Zhao, 2017).

A mag a legegyszer¶bb és valószín¶leg a legtöbbet használt koopera- tív megoldásfogalom. Sajnos a deníció sehol sem állítja, hogy létezik ilyen kizetés-vektor, s ha a mag üres, semmilyen segítséget nem ad a játék meg- oldásában. Bondareva (1963); Shapley (1967) a róluk elnevezett tételben az úgynevezett kiegyensúlyozottsági feltétellel szükséges és elégséges feltételt ad a nemüres magra.

Az (N, v) játékban az e: 2^N −→ {0,1}^N függvényt tagsági függvénynek nevezzük ha

e:S7−→e(S)ahol e_i(S) =

(1 ha i∈S

0 egyébként. (2.17) Egyλ∈R+2^N egy kiegyensúlyozó súlyprol ha

X

S∈2^N

λ_Se(S) =e(N). (2.18)

2.3.14. Deníció. A koalíciókBhalmaza egy kiegyensúlyozott koalíciórend- szert alkot, ha létezik olyan λkiegyensúlyozó súlyprol hogy

B=

S∈2^N|λ_S>0 . (2.19) Azokat aBkiegyensúlyozott koalíciórendszereket, melyekhez nincsen olyan B⁰kiegyensúlyozott koalíciórendszer, hogyB⁰⊂B, minimális kiegyensúlyozott koalíciórendszernek nevezzük.

2.3.15. Deníció. Az (N, v) játék kiegyensúlyozott ha bármely B kiegyen- súlyozott koalíciórendszerre és a hozzá tartozó λ kiegyensúlyozó súlyprolra teljesül

X

S∈B

λSv(S)≤v(N). (2.20)

2.3.2. Tétel. (Bondareva, 1963; Shapley, 1967) Az(N, v)játék magja akkor és csak akkor nemüres, ha a játék kiegyensúlyozott.

2.3. KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY ALAKÚ JÁTÉKOK 15 A dominancia mag

Tekintve, hogy a játékosok homo oeconomicusként viselkednek, azi∈N já- tékos azt a kizetés-vektort preferálja, ahol magasabb kizetést kap. Vegyük az x, y∈I(N, v) eloszlásokat! Ha az i játékos az y helyett az x elosztást preferálja, azaz xi > yi, akkor ezt úgy írjuk, hogy x _iy. Mivel mindkét kizetés-vektor elosztás, ezértx_i≥v({i})ésy_i≥v({i}), így mindkét esetben nyereséget hoz az együttm¶ködés, de a nyereség mértéke eltér®. Ha aC koa- líció preferálja azyhelyett azx elosztást, azazxC> yC, akkor ezt úgy írjuk, hogyx_Cy. Vajon hogy tudjaC elérni ezen kizetések bármelyikét? Míg a preferenciák a játékosok, vagy koalíciók vágyait fejezik ki, más kérdés, hogy C el tud-e érni egy x elosztást. Az x elosztás elérhet® aC koalíció számára hax(C)≤v(C). Az elérhet®ségi kapcsolat egy burkolt fenyegetésen alapszik:

az adott y elosztás mellett aC koalíció a kilépését fontolgatja. A kilépéssel még jobban is járna, mint az x elosztással, azonban a kohézió miatt más játékosok rosszabbul, így érdemes megfontolniuk C tulajdonképpen gáláns ajánlatát.

2.3.16. Deníció. Az(N, v) játékban azxelosztás dominálja azy elosztást az S koalíció révén, azaz x dom_S y, ha

I. (Preferencia) x_Sy és II. (Elérhet®ség) x(S)≤v(S).

Az x elosztás dominálja az y elosztást, azaz x dom_S y ha létezik olyan S⊂N koalíció, hogyx dom_S y.

2.3.17. Deníció. Az (N, v) játékban a dominálatlan elosztások halmazát dominancia, vagy D-magnak nevezzük, jelölése DC.

Ha egy elosztást valamely másik elosztás dominál egy S koalíció által, akkor az S koalíció számára csoportosan nem elfogadható, így a C(N, v) magnak nem eleme. Másrészt, haSszámáraxcsoportosan nem elfogadható, csak akkor létezik egy (Sáltal) dominálóy, hav(S)+P

i∈N\Sv({i})≤v(N). Ha ez teljesül mindenS⊂N koalícióra, akkor minden blokkoló koalíció szá- mára létezik egy domináló elosztás.

2.3.3. Tétel. Az(N, v)játékban azC(N, v)mag és aDC(N, v)dominancia- mag egybeesnek hav(S) +P

i∈N\Sv({i})≤v(N) ∀S⊂N. A koalíció-struktúrás mag

A szuperadditivitás vonzó tulajdonság, de könny¶ olyan helyzeteket elkép- zelni, ahol zsúfoltság, vagy más, például jogi okokból egy koalíció értéke kevesebb, mint részeié.

16 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK Az együttm¶ködés lehet nehéz, költséges, vagy törvénytelen, vagy a játékosok különböz® személyes okokból is elvethetik (Au- mann és Drèze, 1974, p. 233)

Ha a játék nem kohéziós, az elosztások halmaza üres.

2.3.18. Deníció. Az(N, v)játékban egy kizetés-konguráció egy xkize- tés vektorból és P partícióból álló (x,P)∈R^N×Π(N) páros, mely hatékony a partíció minden elemére és egyénileg elfogadható

x(S) = v(S) ∀S∈ P (hatékony) (2.21)

x_i ≥ v({i}) ∀i∈N (egyénileg elfogadható). (2.22) A kizetés-kongurációk vizsgálata lehet®séget ad arra, hogy a nagyko- alíció helyett a leghatékonyabb, legnagyobb összkizetést biztosító koalíció- struktúrát vizsgáljuk (l. Yeh, 1986; Rahwan et al, 2007, és hivatkozásai- kat). Másrészt és mi ezt az utat követjük feltételezhetjük, hogy ma- ga a koalíció-struktúra is endogén módon jön létre. Jelölje Ω a kizetés- kongurációk halmazát!

A kohéziós játékokhoz hasonlóan itt is megkövetelhetjük a csoportos el- fogadhatóságot.

2.3.19. Deníció. Az(N, v)játékban aCSC(N, v)koalíció-struktúrás mag, az olyan(x,P)∈Ω kizetés-kongurációk halmaza, melyek mindegyike

I. hatékony, x(S) =v(S) ∀S∈ P,

II. egyénileg elfogadható,x(i)≥v(i) for all i∈N, and III. csoportosan elfogadható,x(S)≥v(S) for all S∈2^N.

A dominancia fogalma is könnyen kiterjeszthet® ezekre a játékokra:

2.3.20. Deníció. Az (N, v) játékban a (x,P),(y,Q)∈Ω(N, v) kizetés- kongurációkra azt mondjuk, hogy az (x,P) kizetés-konguráció dominálja az (y,Q) kizetés-kongurációt, azaz (x,P) domS (y,Q) ha x >Sy és S ∈

∈ P.(x,P) dominálja az(y,Q) kizetés-kongurációt ha létezik olyanS⊂N koalíció, hogy(x,P) dom_S (y,Q).

2.3.21. Deníció. Az (N, v) játékban a CSDC(N, v) koalíció-struktúrás dominancia mag a dominálatlan kizetés-kongurációk halmaza.

2.3.4. Állítás. A koalíció-struktúrás mag és a koalíció-struktúrás dominan- cia mag egybeesnek.

A bizonyítás egyszer¶, l. Kóczy (2018b).

A koalíció-struktúrás mag akkor és csak akkor nemüres, ha a szuperad- ditív fed®játék magja nemüres (Greenberg, 1994).

2.3. KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY ALAKÚ JÁTÉKOK 17 A 2.3.4 állítás szerint a domináció és az elégedettség közötti feszültség megsz¶nik, ha koalíció struktúrás játékokat vizsgálunk. Ugyanakkor a bizo- nyítás feltételezi, hogy az elégedetlen koalíció meghatározhatja a koalíció- struktúrát. A kívülálló-független dominancia gyengíti ezt a befolyást:

2.3.22. Deníció. (Kóczy és Lauwers, 2004) Az (N, v) játékban az a=

=(x,P)kizetés-konguráció a kívülállóktól függetlenül dominálja ab=(y,Q) kizetés-kongurációt aC koalíció révén ha

C1 xC> yC,

C2 P 3C,

C3a P 3S ∀S∈ Q melyre S∩C=∅, és C3b x_N\P(C,Q)=y_N\P(C,Q),

ahol P(C,P) a C partnereinek halmaza a P partícióban.

A változást kieszközl®C koalíciót elhajló koalíciónak nevezzük. Azakívül- állóktól függetlenül domináljab-t ha létezik olyanC∈ P, hogyakívülállóktól függetlenül domináljab-t a C révén.

2.3.23. Deníció. Az (N, v) játékban OIDC(N, v) kívülálló-független do- minancia mag a kívülállóktól függetlenül dominálatlan kizetés-kongurációk halmaza.

2.3.5. Állítás. (Kóczy, 2018b) A kívülálló-független mag és a kívülálló- független dominancia mag egybeesnek.

Ezek az eredmények látványosan bemutatják, hogy milyen robosztus a dominancia reláció, s mindez alátámasztja a mag népszer¶ségét. Felmerülhet a kérdés, hogy lehet-e, vagy érdemes-e a relációt tovább szigorítani. Espinosa és Inarra (2000) modelljében még a partnerek partíciójába sem szólhat bele az elhajló koalíció. Sajnos azonban ezzel kiléphetünk a kizetés-kongurációk halmazából, így a 2.3.5 állítás erre a modellre már nem tartja magát.

2.3.3. Megoldásfogalmak: értékek

A mag egy alapvet®en nonkooperatív szellemiség¶ megoldásfogalom, hiszen a kizetések elosztása az együttm¶ködés megszakításával való fenyegetések hatására alakul ki. Az itt vizsgált megoldások éppen ellenkez®leg, jutalmaz- zák az együttm¶ködést illetve igazságossági alapon osztják el a kizetéseket.

A Shapley-érték

Shapley (1953) a kooperatív játékelmélet teljesen új ágát indította el a (Shap- ley) érték bevezetésével. A Shapley-értéknek többféle megközelítése létezik.

Egy informális megközelítésben a játékosok véletlenszer¶ sorrendben érkez- nek és a koalíció értékének növekedését a legutoljára érkez® játékos eredmé- nyeként ismerjük el. Mivel a játékosok sorrendje tetsz®leges, a Shapley-érték

18 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK nem más, mint a játékosnak a sorrendekre vett átlagos határhozzájárulá- sa. Bár ez nem a játékmenet leírása, hasznos a fogalom megértésében (Mc- Quillin, 2009). Ugyanakkor a modern irodalom több olyan alkufolyamatot is ismer, melyek eredménye a Shapley érték (Gul, 1989).

Egy érték egy olyanφ:N×R^2N→R^N,(i, v)7→φ_i(v)függvény, mely min- den játékoshoz egy valós számot kapcsol. A Shapley-értéket három axióma segítségével vezetjük be: a φ érték akkor rendelkezik a megfelel® tulajdon- sággal, ha teljesíti az axiómában leírt feltételeket.

2.1. Axióma (Anonimitás (eredetileg Szimmetria)). Bármelyπ∈Π(N˜ )per- mutációra ési∈N játékosra

φπi(πv) =φi(v). (2.23)

2.2. Axióma (Hordozó). A v minden N hordozójára X

i∈N

φi(v) =v(N). (2.24)

A hordozó axióma két elemi axiómát von össze, ezek a Hatékonyság és a Nullajátékos Tulajdonság.

2.3. Axióma (Hatékonyság).

X

i∈N

φ_i(v) =v(N). (2.25)

2.4. Axióma (Nullajátékos Tulajdonság). Bármely(N, v) játékra és i∈N nullajátékosra

φ_i(v) = 0. (2.26)

2.5. Axióma (Additivitás). Bármely(N, v) és (N, w) játékokra

φ(v+w) =φ(v) +φ(w). (2.27)

Az additivitásnak egy szigorúbb változata a linearitás:

2.6. Axióma (Linearitás). Bármely (N, v) és (N, w) játékokra és a, b∈R skalárokra

φ(a·v+b·w) =aφ(v) +bφ(w). (2.28) A szimmetrikus vagy ekvivalens játékosok ugyanazt a szerepet játsszák a játékban: felcserélésük nem jár semmilyen hatással. Természetes elvárás, hogy értékük megegyezzen.

2.7. Axióma (Szimmetria). Bármely(N, v) játékra ési, j∈N szimmetrikus játékosokra

φi(v) =φj(v). (2.29)

2.3. KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY ALAKÚ JÁTÉKOK 19 A szimmetrikus értékeket Egyenl®en Kezel®nek is mondjuk.

A felsorolt tulajdonságok mind természetesek. Az els®, Anonimitás el®- írja, hogy a játékosok átnevezése ne befolyásolja értéküket. Shapley (1953) eredeti karakterizációja a hordozó axiómára épül, nevezetesen, hogy a kize- tést a játékhoz hozzájáruló játékosok között kell elosztani. Amikor ezt ketté- bontjuk, két még elemibb tulajdonságot vizsgálunk. A Hatékonyság szerint a nagykoalíció teljes kizetését (de csak ezt) osztjuk el. Másrészt a Nullajátékos Tulajdonság szerint azok, akik nem járulnak hozzá a nagykoalíció kizetésé- hez, azaz a nullajátékosok, nem kapnak semmit. Végül az additivitás (Shap- ley (1953) az aggregálás törvényének nevezi) azt az igényt fejezi ki, hogy képesek legyünk kis, lokális játékokat elemezni, hogy aztán a kizetéseket ezek összegeként határozzuk meg. Tekintve a tulajdonságok elemi jellegét, axiómáknak nevezzük ®ket. Fontos megjegyezni, hogy az axiómák egymástól függetlenek. Shapley (1953) fontos eredménye szerint egyetlen olyan érték lé- tezik, amelyik mindegyik tulajdonsággal rendelkezik. Ennek belátáshoz még egy segédtételre van szükségünk.

2.3.6. Segédtétel. Bármely c∈R+ pozitív valós számra és u_T egyetértési játékra, aholT ⊆N,

Φ_i(cu_T) = c

|T|, hai∈T

O, egyébként. (2.30)

2.3.7. Tétel (Shapley, 1953). Pontosan egy olyan Φ érték létezik, amelyik teljesíti az Anonimitás, Hatékonyság és Additivitás axiómákat: a Shapley- érték. Értékét az (N, v) játék i∈N játékosára az alábbi képlettel számoljuk ki

Φ_i(v) = X

S⊆N

(|S| −1)! (|N| − |S|)!

|N|! v(S)−v(S⁻ⁱ)

. (2.31)

A számítástudományi irodalom általában egy ekvivalens, permutációkban megfogalmazott kifejezést használ:

Φi(v) = 1

|N|!

X

ρ∈P(N)

v(P(ρ, i))−v P⁻ⁱ(ρ, i)

. (2.32)

A Shapley-érték bevezetése óta az egyik legfontosabb kooperatív meg- oldásfogalommá vált; rengeteg cikk foglalkozik tulajdonságaival, számtalan teljes karakterizációja ismert. Ezek közül a monotonitáson alapuló (Young, 1985) az egyik legérdekesebb.

2.8. Axióma (Marginalitás, Young, 1985). Mindeni∈N játékosra és min- den olyan (N, v) és (N, w) játékra melyre teljesül, hogy

v(S)−v(S⁻ⁱ)≥w(S)−w(S⁻ⁱ) ∀S⊆N, (2.33)

φi(v)≥φi(w). (2.34)

20 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK 2.3.8. Tétel (Young, 1985; Pintér, 2015). Pontosan egy olyan érték létezik mely teljesíti a Hatékonyság, Szimmetria és Marginalitás¹ axiómákat, és ez az érték a Shapley-érték.

Érdekes, hogy az axiomatizáció nem használja a Nullajátékos Tulajdon- ságot. A Shapley-érték különböz® teljes karakterizációit Pintér (2009) ismer- teti.

A Shapley-érték számtalan alkalmazása ismert, Csóka (2003), Pintér (2007), Kovács és Radványi (2011) és Balog et al (2011) ad magyar nyelven is elér- het® példákat.

1Young (1985) eredetileg Szimmetriát helyett Anonimitás, a Marginalitást pedig Er®s Monotonitás néven használja.

3. fejezet

Partíciós függvény alakú játékok

3.1. Fogalmak

Ha egy normális alakú játékban a játékosok egy halmaza koalíciót alkot, a koalíció értéke a komplementer ellen játszott játék kizetése. Valójában sem- mi sem írja el® a komplementer koalíció létrejöttét, így érdemes egy olyan, általánosabb esetet is megvizsgálni, ahol a többi játékos tetsz®leges koalíció- kat alkothat. Feltételezve az átruházható hasznosságot, egy-egy ilyen koalí- ció kompozit játékosként viselkedik: a koalíció tagjai a stratégiáikat közösen választják, a cél a minél magasabb összkizetés. Másrészr®l a koalíciók egy- mással szemben nem együttm¶köd®ek, így a koalíciók közötti egyensúlyt egy (vagy több) Nash egyensúly jellemzi.

Zhao (1992) pontosan ezt a modellt vizsgálja és bevezeti a hibrid játék és hibrid megoldás fogalmát, melyben egy adott koalíció-struktúra mellett vizsgálja az egyensúlyokat. A partíciós függvény alakú játékok (Thrall, 1962;

Thrall és Lucas, 1963) vizsgálata során egyszerre szeretnénk két kérdésre is választ kapni: (1) mely koalíciók alakulnak, és (2) hogyan osztják el az egyes koalíciók a kizetésüket. A partíciós függvény alak általánosítja a ka- rakterisztikus függvény alakot, de ha Zhao (1992) játékával vetjük össze, a megfeleltetés nem tökéletes. A hibirid játékokban több Nash egyensúly is kialakulhat, ennek megfelel®en többféle kizetést is kaphatnak a koalíciók az egyensúlytól függ®en. Másrészt egy hibrid játék szükségszer¶en kohéziós, míg a partíciós függvény alakú játék nem, így az utóbbi érdekesebb modellje a partíciók vizsgálatának.

3.1.1. Deníció. (Thrall és Lucas, 1963)] Egy partíciós függvény alakú játék egy (N, V) páros, mely áll egyrészt egy N játékoshalmazból, másrészt egy V : Π−→(2^N −→R) partíciós függvényb®l, ami minden partícióhoz egy karakterisztikus függvényt rendel.