Matematikai jelölések

A játékelmélet eredetileg Közép-Európa füstös kávéházaiban jelent meg, ahol a vendégközönség szeretett volna minél jobb teljesítményt mutatni a kor olyan népszer¶ társasjátékaiban, mint például a sakk. Ekkor még nem volt világos, hogy a matematika szerepet kaphat-e ezekben a kérdésekben: a kor legendás sakk-világbajnoka, Lasker álláspontja szerint a stratégia csökkenti a játékos mozgásterét; rendszerint azzal nyert, hogy egy váratlan lépéssel összezavarta ellenfelét, majd pszichológiailag dominálta a játékot (Leonard, 2010).

Neumann János pókerezni szeretett és bízott a matematikában: a blöö-lés matematikai modelljét kívánta megalkotni. Kit¶n® fejszámoló lévén abból indult ki, hogy ha mégoly komplikált is a modell, képes lesz az eredményeket fejben kiszámolni. Nem tudni, hogy Neumann pókerjátéka mennyit köszön-het ennek, de a Minimax Tétel (von Neumann, 1928) bizonyításával letette a játékelmélet alapkövét. 1930-ban Princetonba költözött, ahol a munkát Morgensternnel folytatták: Könyvük (von Neumann és Morgenstern, 1944) hatalmas siker lett és a mai napig hatással van a játékelméletre.

Neumann munkássága azt is eldöntötte, hogy a játékelmélet matematikai alapokon nyugszik. Az alábbiakban rá is térünk az eredmények bemutatásá-hoz szükséges alapvet® matematikai fogalmak és jelölések bemutatására. A fontosabb jelöléseket a tárgymutató el®tt, kigy¶jtve is megtaláljuk.

2.1.1. Számok

Jelölje N={1,2, . . .} a természetes számokat, N0={0,1, . . .} az Nhalmaz nullával való kib®vítését, R a valós, R+ a nemnegatív valós, R++ a pozitív valós, Cpedig a komplex számokat!

Jelölje |x| az x valós szám abszolút értékét, (x)₊ a pozitív részét (ahol (x)₊=xhax≥0, egyébként 0),bxcaz (alsó) egész részét, dxe pedig a fels®

egész részét! A z=a+bikomplex szám komplex konjugáltjaz=a−bi.

4 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK 2.1.2. Halmazok

Az egymástól különböz® objektumok: számok, játékosok, stb. gy¶jteményét halmaznak nevezzük, jelölésére aR, S, T, . . . nagybet¶ket, a benne tartalma-zott objektumok, az elemei jelölésére ai, j, . . . kisbet¶ket használjuk. Ha i eleme azS halmaznak, ennek jelölései∈S. Ha minden i∈S elemre teljesül, hogyi∈T, akkorSaT halmaz részhalmaza, azazS⊆T. UgyanakkorS⊂T valódi részhalmaz, haS⊆T, de S6=T. Az S részhalmazainak halmaza azS hatványhalmaza, jelölése2^S={T|T⊆S}.

Az S és T halmazok különbsége S\T ={i|i∈S, i6∈T}. Legyen S⁻ⁱ=

=S\{i}ésS⁺ⁱ=S∪{i}. AzS komplementer halmazaS=N\S, aholN az objektumok teljessége. Az S halmaz számossága |S|, amely véges halmazok esetén egyszer¶en a halmaz elemeinek száma. Az egyelem¶ halmazt szinglinek is nevezzük. Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, jelölése∅.

Partíciók

Spartíciójának nevezzük ésP(S)-sel jelöljük azS halmaz elemeinek elosztá-sát diszjunkt, nemüres halmazokba, azaz aP(S) ={S₁, S₂, . . . , S_k}partíció kielégíti a Si 6=∅, Si∩Sj =∅ minden i6=j-re, és Sk

i=1Si =S feltételeket.

LegyenPˆ=S

S∈PS a P által partícionált halmaz.

A partíció, mint halmaz elemei, az úgynevezett blokkok, vagy de Clip-pel és Serrano (2008), illetve Grabisch és Funaki (2012) szóhasználatával atomok deníció szerint nemüresek. Bizonyos modellekben mégis célszer¶ egy vagy több üres halmazt is a partíció részének tekinteni, ilyenkor kiterjesztett partíciókról beszélünk.

Egy adottShalmaz partícióinak halmazaΠ(S). Egyn∈Nelem¶ halmaz partícióinak számát az úgynevezett Bell-számok adják meg (Bell, 1934).B0=

= 1ésB₁= 1nyilvánvaló, nagyobb számokra a B_n+1=Pn k=0

n k

B_k rekurzív képlet alkalmazható.

Egy adott S halmazra és P partícióra jelölje P(S,P) = [

C∈P,C∩S6=∅

S

az S partnereinek halmazát, amely nem más, mint S koalíciót metsz® P-be beágyazott koalíciók uniója (Owen, 1995, Denition XIII.1.3). A deníció szerintS⊆P(S,P) és haS∈ P, akkor P(S,P) =S. A

P_S={T |T=C∩S, C∈ P, T 6=∅}

halmazt a P partíció S halmazra való korlátozásának nevezzük. Legyen P,Q ∈Π(S). Ha minden S ∈ P beágyazott koalícióhoz létezik olyan T ∈

∈ Q, hogy S⊆T, akkor azt mondjuk, hogy a Q partíció durvább, mint P, illetve P nomabb, mintQ, azaz Q>P.

2.1. MATEMATIKAI JELÖLÉSEK 5 Permutációk

Egy permutáció egy halmaz önmagára való bijektív leképezése. JelöljeΠ(S)˜ egy adott S halmaz permutációinak halmazát, a halmaz tipikus eleme π.

Az S halmaz i elemének permutált képe πi. Kézenfekv® halmazok mellett részhalmazok, partíciók, s®t függvények permutációjáról beszélni: egy adott π∈Π(N˜ )permutációra, azS⊆N részhalmaz permutált képeπS={πi|i∈S}, ebb®l aP ∈Π(S) partíció permutált képe adja magát: πP ={πS_i|Si∈ P}. Egy adottΞ halmazra és annak X∈Ξ elemére azf : Ξ→R függvény per-mutációja teljesíti, hogy

(πf)(X) =f(πX). (2.1)

A rangsorok olyan speciális permutációk, amelyek egy halmaz elemeit sorrendbe állítják. Jelölje egy adott S halmaz lehetséges rangsorait P(S), egy lehetséges rangsort pedig ρ! Bármely adottρ∈P(S) rangsorra és i∈S elemre legyenP_i^ρ={j|ρj < ρi}⊂Saz el®dök,P_i^∗ρ={j|ρj≤ρi}⊂S a gyenge el®dök, végülS_i^ρ={j|ρj > ρi} ⊂S a követ®k halmaza.

2.1.3. Vektorok és mátrixok

Vegyünk egy tetsz®leges S halmazt! Ekkor az R^S vektortér nem más, mint az az |S|-dimenziós vektortér, melynek koordinátái megfeleltethet®k az S halmaz elemeinek. Ekkor azx∈R^S valós vektori∈S-hez tartozó koordiná-táját x_i jelöli. Jelölje x_T = (x_i)_i∈T x korlátozását vetületét a T ⊂S hipersíkra, illetve legyenx(T) =P

i∈T x_i! Az x ésy valós vektorokra

x=y ha xi=yi minden i∈S koordinátára, x≥y ha xi≥yi minden i∈S koordinátára,

x > y ha x≥y, de x6=y, azaz x_i≥y_i minden i∈S koordinátára és létezik olyanj∈S, hogyxj> yj, végül

xy haxi> yi minden i∈S koordinátára.

Az x¹, x², ..., x^k vektorok lineárisan függetlenek, haPk

j=1λ^jx^k= 0akkor és csak akkor teljesül, haλ^j=0mindenj=1, ..., kértékre, azaz egyik vektor sem írható fel a többi pozitív vagy negatív súlyokkal súlyozott átlagaként. A x¹, x², ..., x^klineárisan független vektorok bázist alkotnak aR^kvektortérhez.

A p∈R^S vektor valószín¶ség-eloszlás az S halmazon ha p_i≥0 minden i∈S elemre és p(S) = 1.

EgyMmátrix egyazon vektortérhez tartozó vektorok vektorának tekint-het®. Így egy valós M∈R^S×T mátrix az S és T halmazokon értelmezett,

6 2. FEJEZET. ALAPFOGALMAK ÉS JELÖLÉSEK bár a gyakorlatban egyszer¶en egy |S| × |T| valós mátrixról beszélünk. A mátrixokat vastag nagybet¶vel jelöljük.

Jelöljemij az Mmátrixi, j-edik elemét! Egy mátrix transzponálása so-rainak és oszlopainak a felcserélését jelenti; az eredménytMtranszponáltját M^T jelöli. AzMkomplex mátrixM^†ermitikus transzponáltja az azN mát-rix, melyrenij=mji, azaz a konjugált mátrix transzponáltja. AzMmátrix rangja a lineárisan független oszlopok száma; jelöléserank(M).

2.1.4. Gráfok

A g= (N, L) páros egy gráf, ahol N a gráf csúcsait, vagy csomópontjait, L⊆2^N×N ={ij|i, j∈N} pedig az éleit jelöli. Az S⊆N részhalmazon ér-telmezett gráfok halmazátG(S) jelöli; G(N) helyett egyszer¶enG-t írunk.

Összefügg®ség Azi₀i₁, i₁i₂, . . . ik−1i_kösszefügg® élek sorozata egy sétát alkot i=i₀ és j=i_k között. Ha csak akkor i_g=i_h ha g=h, akkor a sétát útnak, ha i=j, akkor az utat körnek nevezzük. Egy g gráf összefügg®, ha bármelyik két csúcsa között létezik egy út. Egy összefügg® komponens, vagy komponensg egy maximális összefügg® részgráfja.

Az N csúcshalmaz bármely S részhalmazára és bármely g∈G gráfra jól deniált S/g∈Π(S) (S halmaz g-vel való hányadosa, Myerson, 1977).

Ezt a jelölést használva mondhatjuk azt is, hogy a g akkor összefügg®, ha N/g={N}.

Hasonló módon, egy tetsz®leges P ∈Π partícióra a P/g hányados a P partíció atomjainakg-vel való hányadosa:

P/g=∪_S∈PS/g. (2.2)

Fák A fa egy összefügg® körmentes gráf. Egy fában bármely két csúcs között pontosan egy út létezik. Egyes fáknak van egy különleges csúcsa, amit gyökérnek nevezünk. A gyökeres fa egy olyan fa, amelyben van gyökér.