I. Grundbegriffe für Festigkeitslehre
1. Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte
Infolge Beanspruchungen (Belastungen) werden die Bauteile deformiert, sie erhalten eine neu gestaltete Form.
Die Formänderung wird durch die Arbeit der äußeren Kräfte (Wk) des Tragwerkes hervorgerufen. Es wird vorausgesetzt, dass der Werkstoff des Balkens elastisch ist, so wird diese Arbeit im Bauteil als eine elastische Verformungsenergie (U) , wie in einer Feder gespeichert. Wenn die Belastung entnommen wird (Entlastung) so wird die Energie im Balken frei, der Bauteil erhält erneut seine vorherige Gestalt.
Laut des Energieerhaltungsgesetzes die Arbeit der äußeren Kräfte und die im Bauteil gespeicherte Verformungsenergie gleich sind:
(18.1) Die Energiedichte oder in einer Volumeneinheit gespeicherte (spezifische) elastische Verformungsenergie (u) kann durch den Spannungstensor (der Spannungszustand in einem Punkt des Körpers wird durch den Spannungstensor bestimmt) und durch den Formänderungstensor (der Formänderungszustand in einem Punkt des Körpers wird durch den Formänderungstensor bestimmt) ermittelt werden (Einzelheiten siehe in den vorherigen Kapiteln):
(18.2)
Wie in den vorherigen Kapiteln bereits erörtert wurde, die elastische Verformungsenergie (U) eines prismatischen Stabes der Länge l, Querschnitt A für Zug- oder Druckbeanspruchung für den gesamten
Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti-
und Castigliano.
(18.5)
für Torsionsbeanspruchung
(18.6)
wo
F – durch die Zug- oder Druckbeanspruchung verursachte Normalkraft Funktion, Δl – die Verlängerung oder Längsänderung des Stabes,
Die gesamte Verformungsenergie (U) dementsprechend für eine zusammengesetzte Beanspruchung
(18.7)
Bemerkung: die Arbeit der Schubbeanspruchung kann im Vergleich zur Arbeit der Biegebeanspruchung immer vernachlässigt werden, deswegen wird die Arbeit der Schubbeanspruchung bei der Bestimmung der Verformungsenergie regelmäßig außer Acht gelassen. Es wird angenommen, dass der Balken durch die Kräfte gleichzeitig belastet wird, und deren endgültiger Betrag kontinuierlich erreicht wird, beziehungsweise die Kräfte inzwischen ein Gleichgewichtskraftsystem bilden ( statische Belastung ). Auf diese Weise wird die eigene Arbeit erstellt, dafür ist ein Multiplikator ½ charakteristisch. Es ist aber häufig notwendig die Arbeit der Kraft F für eine, von der Kraft unabhängige Verschiebung (Formänderung) zu bestimmen. Auf diese Weise wird die fremde Arbeit erstellt. Während die Kräfte die so genannte fremde Arbeit erstellen, wirken in realen Größen, also sie wird dynamisch berechnet, der Multiplikator ½ fällt weg! Bei einer Festigkeitsrechnung kann auch solche Verschiebung vorkommen, die tatsächlich nie erreicht wird, es wird nur von uns vorgestellt, es ist nur eine mögliche Verschiebung. Die nennt man virtuelle Verschiebung , und die dadurch erstellte Arbeit ist die virtuelle Arbeit . Die virtuelle Arbeit ist jederzeit äußere fremde Arbeit.
Als nächster Schritt soll der durch Einzelkraft belastete, linear elastischer prismatische Stab, der Länge l, Quereschnitt A (Abb. 18.1) ohne Berücksichtigung der Massenkräfte analysiert werden. Für den Belastungsfall 1 wird das Kraftsystem bestehend aus F 1 auf den Stab kontinuierlich aufgetragen, (statische Belastung). Infolge der Belastung verändert sich die Länge des Stabes. Der Betrag der Längsänderung des Stabes (die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft) soll mit Δl 1 bezeichnet werden.
Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti-
und Castigliano.
Abb. 18.1 Die eigene und die fremde Arbeit Die Arbeit W1 (eigene Arbeit) des Kraftsystems 1 infolge der Formänderung:
(18.8)
Für den Belastungsfall 2 soll das Kraftsystem bestehend aus Einzelkraft F 2 auf den Stab kontinuierlich aufgetragen (Kraftsystem 2). Es soll der durch das Kraftsystem 1 bereits belasteter Stab auch mit dem Kraftsystem 2 belastet werden. Analog zur Kraftsystem 1 wird infolge seiner eigenen Verschiebung Δl 2 auch das zweite Kraftsystem (Kraftsystem 2) Arbeit leisten. Es soll die eigene Arbeit des zweiten Kraftsystems mit W
2 bezeichnet werden. Laut des Superpositionsprinzips eine nachträglich wirkende Kraft F 2 eine gleichgroße Arbeit leistet als sie alleine wäre. (Das Superpositionsprinzip stellt fest, das die Kräfte ihre Wirkungen voneinander unabhängig ausüben!)
(18.9)
Während das zweite Kraftsystem Arbeit leistet, wird vom Kraftsystem 1 eine weitere Arbeit geleistet, da das Kraftsystem 2 an den Stab eine weitere Verschiebung verursacht. Mit anderen Worten ausgedrückt: auf die Einwirkung von F 2 wird die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft F 1 Δl 2 betragen, so die fremde Arbeit der Kraft F 1 während die Kraft F 2 ihre eigene Verschiebung verursacht
(18.10 )
Die Summe dreier Arbeiten:
(18.11 )
Die gesamte Arbeit von der Reihenfolge der Wirkung einzelner Kraftsysteme unabhängig ist, dementsprechend kann die Reihenfolge beliebig gewählt werden, so bleibt die Summe Wk auch unverändert. (Die Formänderungsarbeit ist unabhängig von der Reihenfolge der Kräfte.) In dem Sinne soll die von F 2 durch die, von F 1 verursachte Verschiebung leistete fremde Arbeit (W 21) mit der, die von F 1 durch die, von F 2
verursachte Verschiebung leistete fremde Arbeit (W 12) gleich betragen.
Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti-
und Castigliano.
(18.12 )
Der Zusammenhang 18.12 enthält die Gleichwertigkeit fremder Arbeiten, es ist der Satz von Betti . Laut des Satzes von Betti stimmt die Arbeit irgendeines Gleichgewichtskraftsystems durch, die von einem anderen Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung geleistet wurde, mit der Arbeit eines anderen Gleichgewichtskraftsystems durch, die von dem ersten Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung geleistet wurde überein. Der Satz ist auch für beliebigen Kraftsysteme (für Kraftsysteme die Kräfte, Momente (Kräftepaare) ebenso enthalten) gültig.
Bemerkung: in der oben behandelten Aufgabe bildet die Kraft F 1 nur mit der Reaktionskraft zusammen ein Gleichgewichtsystem. Die Reaktionskraft kann gegen der aktiven Kraft F 1 als eine so genannte passive Kraft behandelt werden, weil der Angriffspunkt der Reaktionskraft kann nicht verschoben werden, so kann die Reaktionskraft auch keine Arbeit leisten.
Die Arbeit der äußeren Kräfte könnte aus der Gleichung 18.1. auch durch die Spannungen und Dehnungen ermittelt werden, da die Arbeit der äußeren Kräfte mit der, im Balken gespeicherten Verformungsenergie gleich beträgt.
(18.13 )
(18.14 ) wo mit U1 und U2 die Verformungsenergie des Kraftsystems 1, sowie die Verformungsenergie des Kraftsystems 2 bezeichnen. Analog zur fremden Arbeiten können auch die Verformungsenergien folgendermaßen formuliert werden:
(18.15 ) wo V der Volumen des Stabes der Abb. 18.1 bedeutet. Wie sich es aus der Gleichung 18.15 eindeutig ergibt, ist der Satz von Betti auch für die Verformungsenergien gültig.