I. Grundbegriffe für Festigkeitslehre
1. Durchbiegung von Balken
Im Kapitel 10 wurde bereits die Gleichung 10.9. für einen Biegestab gezeigt, in der Zusammenhang zwischen Krümmungsradius (ρ) und Biegemoment (M) enthalten ist.
Es soll dieser Zusammenhang erneut gezeigt werden, weil für uns zur Analyse der Balkenbiegung den Ausgangspunkt bedeutet.
(11.1)
In der analytischen Geometrie wird ρ dann als positiv betrachtet, wenn man die Kurve in positiver Richtung der
Achse z folgt, und sich der Krümmungsmittelpunkt vom Beobachter nach links befindet (Abb. 11.1.). , wo g die Krümmung bedeutet.
Abb. 11.1 Verformung eines Biegestabes
Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Animation 5: Durchbiegung eines Balkenträgers
Da ein positives Moment +M von links eine negative ρ verursacht, dementsprechend muss ein Vorzeichenwechsel durchgeführt werden:
(11.2)
Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Animation 6: Durchbiegung eines Einfeldbalkens
Die Abb. 11.2. enthält einen eingespannten Balkens sowie die geometrischen Parameter, die zur Bestimmung der Verformung notwendig sind.
Abb. 11.2 Verformung eines eingespannten Balkens
Einer davon ist der Neigungswinkel der Tangenten (φ) , und er wird dann positiv, wenn deren Winkel gegen Uhrzeigersinn gerichtet ist.
Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Der zweite Parameter heißt Verschiebung (y). Dafür ist das Vorzeichen einfach zu ermitteln: nach oben ist sie positiv zu betrachten, aber nach unten wird sie negativ. Die Verschiebung kann durch die Funktion angegeben werden. Nach Ableitung dieser Funktion erhält man den Neigungswinkel der Tangenten, oder kurz die Neigung:
(11.3)
Für kleinen Winkel kann die Annäherung tgφ=φ eingesetzt werden. Für die Ingenieurpraxis reicht diese Genauigkeit aus, da für die Konstruktionen und Tragwerke nur kleine Verformungen erlaubt werden.
Nach der erneuten, zweiter Ableitung nach z der Gleichung 11.3.:
(11.4)
Es wurde die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie erstellt.
Die Neigung der Balken nach der Gleichung 11.3.
(11.5)
2. Die Verformungsenergie des Biegestabes
Die spezifische Verformungsenergie kann für den Biegestab mittels der Normalspannung σ ermittelt werden:
(11.6)
In der Gleichung σ die Normalspannung und ε die Dehnung bedeuten. Die beiden Größen sind als zur Stabachse gerichtete Koordinaten zu verstehen. Für die Dehnung (ε) siehe die Gleichung (5.2.).
In einem elementaren Volumenelement dV=dA·dz speicherte Verformungsenergie aus der Gleichung 11.6.:
(11.7)
Nach einsetzen der Zusammenhang erhalten wir:
(11.8)
Die Verformungsenergie für einen Stab der Länge l :
(11.9)
Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
(Der Ausdruck in eckigen Klammern bedeutet praktisch das Flächenträgheitsmoment!)
Wenn das Moment M keine stetige Funktion der Koordinate z ist, so kann die Integralrechnung für einzelnen Bereich nur schrittweise durchgeführt werden.
Dieser Zusammenhang - zuletzt als 11.2. - wurde bereits mehrmals eingesetzt:
(11.10 )
Aus den zwei letzten Gleichungen folgt, dass die Verformungsenergie:
(11.11 )
und
(11.12 ) Also die Arbeit auf den Balken wirkenden Momenten mit der Verformungsenergie gleich sind.
(11.13 )
3. Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe
Bei Biegebeanspruchungen wird das Stabelement durch zur Querschnittsebenen orthogonal gerichteten Ebene wirkende Kräftepaare belastet. Es werden homogene Beanspruchungen untersucht, dass heißt außer Biegung gibt es keine andere Beanspruchung.
Die Spannungsmatrix kann folgender Form erstellt werden:
(11.14 )
Es handelt sich um dann gerade Biegung , wenn der Momentvektor des wirkenden Kräftepaars einer der Hauptträgheitsachsen des Querschnittes zusammenfällt.
Die Normalspannung für den Punkt der Koordinate y:
(11.15 )
wo M das Biegemoment, Ix das Flächenträgheitsmoment auf die Schwerpunktsachse bedeutet.
M und y müssen in der Gleichung vorzeichengerecht eingesetzt werden, und dadurch wird auch das Vorzeichen für die Normalspannung (σ) erstellt.
Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Für einen Biegestab gerader Stabachse, belastet durch das Moment M wird Vorausgesetzt, dass die Belastungsebene die senkrechte x, y Ebene ist. Die Auslegung des Querschnittes kann Vernachlässigt werden.
Es wird weiterhin noch Vorausgesetzt, dass die Verformung elastisch ist, also das Hookesche Gesetz dafür verwendet werden kann. Die Querschnitte bleiben auch nach der Verformung Ebenen (siehe Kapitel 10).
4. Schiefe Biegung
Es handelt sich um dann schiefe Biegung , wenn der Momentvektor des wirkenden Kräftepaars keiner der Hauptträgheitsachsen des Querschnittes zusammenfällt.
Soll das Prinzip der Superposition eingesetzt werden, so kann die schiefe Biegung jederzeit zur Summe zwei gerader Biegungen zurückgeführt werden.
Zur Ermittlung der Spannungen steht uns der folgende Zusammenhang zur Verfügung:
(11.16 )
M 1 und M 2 sind die Komponente des Momentes M in den Hauptrichtungen 1 und 2 sowie I 1 und I 2 die Hauptträgheitsmomente bedeuten.
Mit dem Winkel (α) zwischen Momentvektor und Hauptrichtung 1:
M1=M·cosα und M2=M·sinα
Abb. 11.3 Erklärung zur schiefen Biegung BEISPIEL 11.1
Es ist der Festigkeitsnachweis für den skizzierten Biegestab (Abb. 11.4) durchzuführen, wenn das Biegemoment 8 kNm und die zulässige Spannung σzul=180MPa beträgt. Es soll auch der Krümmungsradius ermittelt werden!
(E=210 GPa)
Es handelt sich um eine Aufgabe der geraden Biegung, weil der Querschnitt symmetrisch ist, und das Biegemoment auch in der Symmetrieebene wirkt.
Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Abb. 11.4 Die Schwerpunktlage:
Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes Ix :
Die maximalen Zug- und Druckspannungen in den Randfasern:
Da
der Balken hat den Festigkeitsnachweis für Biegung bestanden.
Den Krümmungsradius erhält man:
AUFGABE 11.2
Es ist das maximale Biegemoment für den skizzierten Balkenträger aus Profilstahl I 260 (Abb. 11.5) zu ermitteln, wenn die Belastung durch eines Rades der Laufkatze in der ungünstigsten Laststelle bei l = 1,4 m mit F=50 kN beträgt!
Es ist der Festigkeitsnachweis durchzuführen, wenn die zulässige Spannung σzul=180MPa!
Es soll auch der Krümmungsradius für den Balken ermittelt werden! (E=210GPa)
Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von
Balken. Schiefe Biegung.
Abb. 11.5
AUFGABE 11.3
Es ist die Verformungsenergie (die Arbeit des Biegemomentes) für den skizzierten Balkenträger aus Profilstahl I 260 (Abb. 11.6) zu ermitteln, wenn die Belastung durch eines Rades der Laufkatze in der ungünstigsten Laststelle bei l = 1,4 m mit F=50 kN beträgt! (E=210GPa)
Abb. 11.6
Kapitel 12. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Wenn ein prismatisches Stabelement durch solchen Kräftepaare belastet wird, deren Ebene zur Querschnittsebenen parallel gerichtet ist, wird die Beanspruchung Torsion bezeichnet. Daraus folgt, dass der Vektor des Torsionsmomentes zur Querschnittsebenen orthogonal steht. Das Moment, durch die Torsionsbeanspruchung hervorgerufen wurde, wird T Torsionsmoment genannt. Für einen allgemeinen Querschnitt können die Spannungen und die Verformungen infolge der Torsion sündhaft kompliziert ermittelt werden, deswegen wird hier die Analyse nur für die Querschnitte Kreis und Kreisring vorgeführt. Zuletzt werden einige Zusammenhänge für Torsion dünnwandiger Rohre mitgeteilt.
1. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt
Die Abbildung 12.1 stellt ein Stabelement der Breite dz eines Kreisquerschnittes dem Radius „r” dar. Die Grenzflächen des Stabelementes werden durch zwei Gleichgrosse aber gegeneinander gerichtete Torsionsmomente „T” belastet.
Abb. 12.1 Verformung eines zylindrischen Stabes infolge Torsionsbeanspruchung
Die Querschnitte werden um den Stabachse verdreht, aber ihre Geometrie bleibt unverändert, dass heißt sie bleiben mit sich zusammenfallend.
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Bei Torsion für Stäbe mit Kreis- und Kreisringquerschnitt wird der Querschnitt nur um die Achse z verdreht, dementsprechend alle andere Verschiebungen Null betragen.
Es soll das Gleichgewicht einer Scheibe der Dicke dz analysiert werden (Abb. 12.2.)
Abb. 12.2 Spannungs- und Verformungsanalyse für ein Stabelement der Dicke dz
Es werden nur die relativen Verschiebungen untersucht, deswegen wird Angenommen, das der Querschnitt an der einen Seite - an der Abbildung der Querschnitt links – bewegt sich nicht, und es wird nur in der rechten Seite eine Verdrehung um dφ in der Querschnittsebene hervorgerufen.
Die mit der Stabachse ursprünglich parallele Mantellinie AA1 wird zur Stabachse z um einen Winkel von γ verdreht.
Die Bogenlänge kann durch zwei verschiede Weise erstellt werden:
(12.1) und daraus
(12.2)
Der Querschnitt wird als eine Einheit verdreht, so , also der Winkel γ wird gleichzeitig mit dem Radius größer.
Auf Basis des Hookeschen Gesetzes:
(12.3)
In der Gleichung 12.3. G und Konstante, der Winkel γ befindet sich in einer, auf dem Radius orthogonaler Ebene.
Es kann festgelegt werden, dass die Schubspannungen (τ) die im beanspruchten Querschnitt entstehen, mit dem Radius ρ in linearem Zusammenhang, und darauf orthogonal gerichtet sind.
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Im Querschnitt werden keine Normalspannungen hervorgerufen. Daraus folgt, dass das Torsionsmoment mit der Resultierende der Schubspannungen gleich ist.
Soll für den Kreisquerschnitt (siehe Abb. 12.3.) die Formänderungsgleichung des tordierten Stabes aufgrund der Momentengleichgewichtsbedingung konstruiert werden.
Abb. 12.3 Querschnitt eines durch Torsionsmoment „T” belasteten Stabes Das elementare Moment des Flächenelementes ΔdA:
(12.4) Die Momentengleichgewichtsgleichung:
(12.5)
Aus der Gleichung 12.3. soll τ eingeschrieben werden:
(12.6)
(12.7)
In dem Zusammenhang ist es der Ausdruck auffallend, was eigentlich das polare Flächenträgheitsmoment auf den Schwerpunkt des Querschnittes bedeutet. Auch das in der Gleichung einzusetzen:
(12.8)
(12.9)
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Da aus dem Zusammenhang 12.3. folgt, so
(12.10 Die Formänderungsgleichung eines tordierten Stabes der Länge l:
(12.14 )
Daraus folgt
(12.15 )
wo φ die relative Verdrehungswinkel zwischen den Endquerschnitten des Stabes der Länge l.
Es ist leicht einzusehen, dass die bisher erzielten Ergebnisse auch für den Kreisringquerschnitt geeignet sind, hier bedeutet aber Ip das polare Flächenträgheitsmoment des Kreisringes.
Zur Dimensionierung dient der Zusammenhang 12.12.:
(12.16 )
hier bedeutet das polare Widerstandsmoment.
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Animation 7: Darstellung der Torsion an einer Kreide
2. Verformungsenergie für elastische Torsion.
Bei Torsion entstehen nur Schubspannungen und Winkelveränderungen, die entlang des Querschnittes konstant sind.
Die spezifische Verformungsenergie aufgrund der Gleichung 12.3.:
(12.17 )
Für ein Stabelement kann die speicherte Verformungsenergie mittels dem Zusammenhang 12.6.
folgendermaßen erstell werden:
(12.18 )
Hier soll der Ausdruck erneut eingesetzt werden, so erhalten wir in einem Stabelement mit Kreis-, oder Kreisringquerschnitt gespeicherte spezifische elastische Verformungsenergie für reine Torsion:
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
(12.19 )
In der Praxis wird für Festigkeitsberechnungen diese Gleichung verwendet.
3. Torsion dünnwandiger Rohre
Bei der Analyse dünnwandiger Rohre werden solche prismatische Stäbe untersucht, bei denen die Entfernung zwischen den Grenzflächen, die Wanddicke im Vergleich zu den anderen Abmessungen des Querschnittes ausreichend klein beträgt.
Abb. 12.4 Torsion dünnwandiges Rohres
Es wird Angenommen, das im Querschnitt keine Normalspannungen entstehen, und die Schubspannungen zur mittleren Linie rk der Wanddicke parallel gerichtet sind, (Abb. 12.4), sowie der Betrag der Schubspannung entlang der Wandstärke konstant ist.
Es wird die Annäherung τ(p)=τ=konstant verwendet.
Die Gleichgewichtsgleichung:
(12.20 ) Laut der Annäherung rk·τ=konstant, deswegen kann vor dem Integral geschrieben werden
(12.21 Nach Neuordnung der Gleichung die Schubspannung:
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
(12.24 )
Der Ausdruck Ak=π·rk2 ist praktisch die Fläche des Kreises mit dem Radius rk . So sind wir bei dem Bredtschen Formel gelandet.
Bei der Anwendung fällt es auf dass die maximale Schubspannung bei minimaler Wandstärke entsteht.
(12.25 ) Ein weiterer Vorteil des Bredtschen Formels liegt daran , dass nicht nur für Kreis-, und Kreisringquerschnitt, sondern auch für Querschnitte variabler Wandstärke geeignet ist.
BEISPIEL 12.1
Die skizzierte Kurbelwelle (Abb. 12.5.) wird durch die Einzelkraft F=6kN belastet. Der Radius des Kurbelarmes r=0,3m. Die Kurbelwelle wurde aus Stahl Fe 490-2 gefertigt.
Es ist der notwendige Wellendurchmesser und die spezifische Verdrehung für eine Länge l=0,5m zu ermitteln.
Die zulässige Schubspannung für das Werkstoff Fe 490-2 aus einer geeigneten Tabelle entnommen τzul=54MPa, der Gleitmodul G=80000MPa.
Abb. 12.5
Das Torsionsmoment als Belastung für die Welle:
T = F·r =6000N·0,3m=1800Nm
Die Schubspannung aus der Grundgleichung für Torsion
Daraus der Durchmesser der Welle:
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Nach oben gerundet der Durchmesser:
d = 60 mm.
Der Verdrehungswinkel in Bogenmaß:
Für eine Länge von l = 1 m:
Die Verdrehung im Grad ausgedrückt:
Dieser Wert ist viel größer als in der Praxis übliche 0,25 ° /m. Deswegen muss auch diese Anforderung bei der Dimensionierung erfüllt werden.
Der zulässige Verdrehungswinkel im Bogenmaß:
Aus der Formänderungsgleichung:
und der Durchmesser:
dmin=71,6 mm, und nach oben gerundet d=75mm.
Selbstverständlich der Grenzwert für die Schubspannung wird jetzt nicht völlig ausgenutzt, da in der Welle
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Schubspannung hervorgerufen wird.
BEISPIEL 12.2
Auf die skizzierte Welle (Abb. 12.6.) sind drei Scheiben montiert. Durch eine der Scheiben wird die Welle angetrieben (zum Beispiel durch einen Elektromotor), die restlichen zwei Scheiben dienen zu den Antrieben von Arbeitsmaschinen. Es soll ein Entwurf für eine optimale Lösung zur Anordnung der Antriebselemente erarbeitet werden, für diese Variante sind die Durchmesser der Wellen und die Spannungen zu ermitteln.
Daten: T1=450 Nm (Motor), T2=-150 Nm (Arbeitsmaschine), T3=-300 Nm (Arbeitsmaschine). Das negative Vorzeichen bedeutet eine Momentabnahme.
φzul=0,25°/m, l1=0,5m, l2=0,6m, der Gleitmodul G=80000MPa.
Abb. 12.6 Für die Anordnung werden drei Varianten erstellt:
Abb. 12.6.b.: der Antriebsmotor treibt die Scheibe mit T1 = 450Nm an der linken Seite an.
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
Abb. 12.6.c.: der Antriebsmotor mit T1 = 450Nm wird in der Mitte der Welle angeordnet, so das die Scheibe mit T2 = -150 Nm Momentabnahme an der linken Seite befestigt wird.
Abb. 12.6.d.: der Antriebsmotor mit T1 wird ebenso in der Mitte der Welle angeordnet, so das die Scheibe mit T2
= -150 Nm Momentabnahme an der rechten Seite der Welle befestigt wird.
Die Abbildungen 12.6. b., c., d. beweisen eindeutig, dass die Variante der Abbildung 12.6. d. am günstigsten ist.
Die Ursachen: für eine längere Welle beträgt die Torsionsbeanspruchung weniger, und dadurch wird eine kleinere Verdrehung verursacht.
Für alle Varianten kann die Analyse mathematisch durch den Zusammenhang für den Verdrehwinkel durchgeführt werden:
Bemerkung: die Anordnung nach Abb. 12.6.b. ist sehr ungünstig, weil die Verdrehungen der einzelnen Wellen summiert werden:
Aufgrund der Schnittgrößenverlaufe steht fest, dass die Momentübertragung völlig durchgeführt wird, die Welle durch ein Gleichgewichtssystem belastet ist. Die vorzeichenrechte Summe der Torsionsmomente:
T1+T2+T3=0
Aufgrund der Abbildung 12.6. d. der zulässige Verdrehwinkel für die Wellensektion „B“:
und daraus der Durchmesser d 2
d2=40,26mm, aufgerundet d2=45mm Die Schubspannung:
Für die Wellensektion „A“ kann man ähnlich vorgehen. Der Durchmesser d 1:
Beanspruchung durch Torsion.
Torsion dünnwandiger Rohre.
Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt.
Verformungsenergie für Torsion.
d 1=45,74mm, aufgerundet d 1=50mm Die Schubspannung:
AUFGABE 12.3
Durch eine Welle wird bei einer Drehzahl 400 1/min die Leistung 120 kW übertragen.
Die zulässige Schubspannung für den Werkstoff der Welle beträgt 25 N/mm2.
a., Es ist der minimale Durchmesser für eine massive, vollzylindrische Welle zu ermitteln!
b., Es sind die Durchmesser für eine Welle mit Kreisringquerschnitt für D/d=2,5 zu ermitteln!
c., Es soll die Materialeinsparung prozentual ausgedruckt werden, wenn statt eine vollzylindrische Welle Kreisringquerschnitt verwendet wird!
AUFGABE 12.4
Ein Stab mit dem Durchmesser 25 mm, der Länge 1,5 m wird auf reine Torsion beansprucht.
Beide Ende des Stabes werden durch 300 mm längen Kurbeln mit Einzelkräfte je 200 N belastet.
Es ist der relative Verdrehwinkel des Stabes zu berechnen! Der Gleitmodul G = 80000MPa.
AUFGABE 12.5
Durch eine Welle wird bei einer Drehzahl 250 1/min die Leistung 1470 kW übertragen.
Die zulässige Schubspannung für den Werkstoff der Welle beträgt 60 N/mm2.
Es sind die Durchmesser für eine Welle mit Kreisringquerschnitt für D/d = 1,5 zu ermitteln!
Kapitel 13. Schlanke Druckstäbe.
Elastische und plastische Knickung.
Die Analyse schlanker Druckstäbe wird an einem prismatischen Stab gerader Stabachse mit der Länge „l”
vorgeführt. Der Stab wird durch eine Einzelkraft im Schwerpunkt des Querschnittes, also zentrisch auf Druck belastet. Für eine erste einfache Variante soll der Stab an beiden Enden zu Kugelgelenken befestigt werden, aber eine davon geeignet ist die Verschiebung in Längsrichtung zu gewährleisten. Der Werkstoff des Stabes soll elastisch betrachtet werden, beliebiger Querschnitt und infolge der Druckkraft wird der Stab laut des Hookeschen Gesetzes zusammengeschrumpft.
Abb. 13.1 Die Knickung
In einem durch die Einzelkraft F zentrisch belasteten Stab, der Querschnittsfläche A wird die Spannung hervorgerufen.
In einem Grenzzustand zwischen elastischen und plastischen Verformung, also dann, wenn der Stab infolge einer kritischen Kraft (Fk ) eine labile Lage (Gleichgewichtslage) erreicht, auch die Spannung kann als kritischer Wert betrachtet werden:
(13.1)
Die Knickung auf Druck zentrisch belasteter, gerader Stäbe hat als erste Leonard Euler (1707-1783) untersucht und die Ergebnisse dokumentiert.
Wenn die Druckkraft ihren kritischern Wert erreicht, befindet sich der Stab auch im ausgeknicktem Zustand in Ruhelage. Es soll die Bezugsachse „z” die Längsachse des Stabes bedeuten, und die Bezugsachse „y” in der Verformungsebene orthogonal auf „z” gewählt werden.
Es ist klar zu sehen, dass die Verschiebung in Richtung y nicht nur aus dem zentrischen Druck stammt, sondern der Querschnitt des Stabes wird auch durch ein Moment belastet.
Dieses Biegemoment (M) gewährleistet, dass der gekrümmte Stab seine Ruhelage behalten kann.
Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung.
(13.2) Die Differentialgleichung der elastischen Linie:
(13.3)
wo I2 das kleinste Hauptträgheitsmoment, also das minimale Trägheitsmoment auf die Schwerpunktsache bedeutet. Nach Neuordnung der Gleichung erhalten wir die Eulersche Differentialgleichung:
(13.4)
, wo
(13.5)
Die allgemeine Lösung dieser homogenen, linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
(13.6) wo A und B unbekannten Konstanten bedeuten.
Festlegung der Randbedingungen.
Die waagerechte Verschiebung an beiden Enden des Stabes beträgt Null, daraus folgt:
I. für die Koordinate z = 0 und auch y = 0.
Damit erhält man aus der allgemeinen Lösung B = 0, so das Ergebnis y=A·sinαz
II. für die Koordinate z = l und auch y = 0.
So sind wir bei der Gleichung A·sinαl=0 gelandet, die zwei mögliche Lösungen enthält:
1. A= 0, und y = 0. Es bedeutet das die Stabachse ungekrümmt, dass heißt gerade bleibt.
Diese Variante erfüllt die Anforderungen der Theorie erster Ordnung.
2. sinαl=0 αl=n·π, wo n=0,±1,±2,±3...
Diese Lösung kann für negative Zahlen n und für Null nicht interpretiert werden!
All das in die Gleichung 13.5. einzusetzen, und nach Umformung für Fk :
(13.7)
(13.8)
Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung.
Da dieser Zusammenhang von n und auch von I2 abhängig ist, so können unendlich viele Lösungen existieren.
Wir benötigen davon den Minimalwert für Fk, weil das in der Praxis maßgebend ist.
Der Betrag von Fk wird dann minimal, wenn n = 1 und gleichzeitig auch I minimal ist.
Diese letzte Anforderung wurde bereits in der Gleichung 13. 3. erfüllt. Damit die Gleichung:
(13.9)
Damit haben wir den Zusammenhang für die kritische Kraft nach Euler erstellt.
Die kritische Spannung:
(13.10 )
Abb. 13.2 Modellgestaltung für Knickung mit Sinuswelle
In der Gleichung ist der minimalen Trägheitshalbmesser hoch zwei beziehungsweise „der
Trägheitsradius” zu erkennen.
Es ist vorteilhaft der Begriff Schlankheitsgrad einzuführen:
(13.11 )
So die kritische Spannung nach Euler:
Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung.
(13.12 )
Das Ergebnis wurde aus der, auf Basis des Hookeschen Gesetzes erstellten Differentialgleichung der elastischen Linie erzielt.
Logischer weise es ist erst dann gültig, wenn die Knickung bei einer Spannung unter der Proportionalitätsgrenze erfolgt, also:
und dann kann der Grenzwert des Schlankheitsgrades für elastische Knickung erstellt werden:
(13.15 )
Erst dann handelt sich um elastische Knickung, wenn der Schlankheitsgrad des Stabes nicht kleiner als der Grenzwert des Schlankheitsgrades für elastische Knickung beträgt, dass heißt λ≥λ0. Daraus folgt, dass die Theorie für elastische Knickung nur für so genannten schlanke Stäbe verwendet werden kann.
In der Gleichung α·l=n·π (13.7.) soll n = 1 eingesetzt werden, und dann für α umgesetzt führt zu . So
erhalten wir das Ergebnis .
Der Stab folgt in deformiertem Zustand eine halbe Sinuswelle die durch die zwei Gelenke geführt wird. Die halbe Längenwelle bedeutet (jetzt die Länge des Stabes l) die Knicklänge .
Falls die Randbedingungen des Stabes von der Abb. 13.1 abweichen, dann muss die Kicklänge (l 0) durch einen Beiwert „β” korrigiert werden.
(13.16 ) l bedeutet hier die tatsächliche Länge Stabes.
Für häufig eingesetzte Randbedingungen enthält den Beiwert a „β” die Abb. 13.3.
Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung.
Abb. 13.3 Numerische Werte für den Beiwert „β“
Plastische Knickung
Wenn λ<λ0 beträgt, so erfolgt die Knickung außerhalb der elastischen Bereich, also es handelt sich um eine plastische Knickung.
Es wurden zahlreiche Untersuchungen zu diesem Thema durchgeführt, und auch mehrere Hypothesen aufgestellt. Die sind überwiegend sehr zusammengesetzt und kompliziert, deswegen werden hier nicht erörtert.
Eine der besten Annäherungen hat aufgrund von Untersuchungen ein Wissenschaftler ungarischer Abstammung Tetmajer, Lajos (1850-1909) erarbeitet.
Er hat bewiesen, dass die Stäbe außerhalb der elastischen Bereich bei kleineren Spannungen ausknicken als aus
Er hat bewiesen, dass die Stäbe außerhalb der elastischen Bereich bei kleineren Spannungen ausknicken als aus