TECHNISCHE MECHANIK II. Festigkeitslehre

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TECHNISCHE MECHANIK II.

Festigkeitslehre

Dr. Endre Gelencsér

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TECHNISCHE MECHANIK II. Festigkeitslehre

Dr. Endre Gelencsér Veröffentlicht 2014

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Inhaltsverzeichnis

I. Grundbegriffe für Festigkeitslehre ... 1

1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. ... 4

1. Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre ... 4

2. Festigkeitseigenschaften des Materials ... 5

3. Die spezifische innere Kraft, als Spannung ... 6

4. Das einfache Hookesche Gesetz ... 7

5. Die Maßänderung in Querrichtung ... 8

6. Die Schubspannungen und deren Dualität ... 8

7. Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte ... 10

2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. ... 14

1. Der allgemeine Spannungszustand ... 14

3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Span-nungszustandes. 22 1. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen ... 22

2. Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes ... 24

4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver-schiebungsfeldes (Ableitung des Tensors). Rotationstensor. Formänderungstensor. ... 32

1. Die räumliche Formänderung ... 32

5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen ... 40

6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. ... 45

7. Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers ... 50

8. Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. ... 54

1. Die Spannungsanalyse. ... 54

2. Analyse der Verformung ... 56

3. Die elastische Verformungsenergie ... 57

9. Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. ... 61

1. Durch Eigengewicht belasteter Stab. ... 61

2. Der Stab gleicher Festigkeit. ... 62

3. Die Formänderungsenergie ... 64

10. Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. ... 67

1. Die Beanspruchung durch eine Querkraft ... 67

2. Die Biegebeanspruchung ... 68

3. Schubspannungen in einem Biegestab ... 71

11. Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. 77 1. Durchbiegung von Balken ... 77

2. Die Verformungsenergie des Biegestabes ... 80

3. Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe ... 81

4. Schiefe Biegung ... 82

12. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. ... 85

1. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt ... 85

2. Verformungsenergie für elastische Torsion. ... 89

3. Torsion dünnwandiger Rohre ... 90

13. Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. ... 96

14. Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern. ... 104

15. Festigkeitsberechnung ... 109

16. Die Mohrsche Spannungstheorie. ... 111

17. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. ... 116

18. Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano. ... 123

1. Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte ... 123

2. Der Satz von und der Vertauschungssatz von Maxwell ... 126

(4)

TECHNISCHE MECHANIK II.

Festigkeitslehre

3. Der Satz von Castigliano ... 129

19. Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. ... 144

1. Die Differentialgleichung der elastischen Linie ... 144

2. Gleichungen der Biegelinie ... 146

20. Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen ... 157

21. Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung. 163

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Teil I. Grundbegriffe für

Festigkeitslehre

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Inhaltsverzeichnis

1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen.

Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. ... 4

1. Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre ... 4

2. Festigkeitseigenschaften des Materials ... 5

3. Die spezifische innere Kraft, als Spannung ... 6

4. Das einfache Hookesche Gesetz ... 7

5. Die Maßänderung in Querrichtung ... 8

6. Die Schubspannungen und deren Dualität ... 8

7. Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte ... 10

2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. ... 14

1. Der allgemeine Spannungszustand ... 14

3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Span-nungszustandes. ... 22

1. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen ... 22

2. Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes ... 24

4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver-schiebungsfeldes (Ableitung des Tensors). Rotationstensor. Formänderungstensor. ... 32

1. Die räumliche Formänderung ... 32

5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen ... 40

6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. ... 45

7. Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers ... 50

8. Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. ... 54

1. Die Spannungsanalyse. ... 54

2. Analyse der Verformung ... 56

3. Die elastische Verformungsenergie ... 57

9. Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. ... 61

1. Durch Eigengewicht belasteter Stab. ... 61

2. Der Stab gleicher Festigkeit. ... 62

3. Die Formänderungsenergie ... 64

10. Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. ... 67

1. Die Beanspruchung durch eine Querkraft ... 67

2. Die Biegebeanspruchung ... 68

3. Schubspannungen in einem Biegestab ... 71

11. Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. ... 77

1. Durchbiegung von Balken ... 77

2. Die Verformungsenergie des Biegestabes ... 80

3. Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe ... 81

4. Schiefe Biegung ... 82

12. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. ... 85

1. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt ... 85

2. Verformungsenergie für elastische Torsion. ... 89

3. Torsion dünnwandiger Rohre ... 90

13. Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. ... 96

14. Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern. ... 104

15. Festigkeitsberechnung ... 109

16. Die Mohrsche Spannungstheorie. ... 111

17. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. ... 116

18. Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano. ... 123

1. Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte ... 123

2. Der Satz von und der Vertauschungssatz von Maxwell ... 126

3. Der Satz von Castigliano ... 129

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Grundbegriffe für Festigkeitslehre

19. Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie,

und aus der Gleichungen der Biegelinie. ... 144

1. Die Differentialgleichung der elastischen Linie ... 144

2. Gleichungen der Biegelinie ... 146

20. Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen ... 157

21. Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung. ... 163

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Kapitel 1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz,

elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung,

Dimensionierung. Dualität der

Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der

Festigkeitslehre.

1. Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre

Die Festigkeitslehre ist ein Wissenschaftsbereich der Physik, näher betrachtet der Mechanik, in der zur Dimensionierung von Konstruktionen und Maschinen notwendige Zusammenhänge erforscht werden.

Die Ermittlung von geometrischen Daten durch Außenwirkungen oder durch eingeprägte Kräfte belasteter Konstruktionsbauteile durch Festigkeitsberechnung wird Dimensionierung bezeichnet. Ziel der Dimensionierung ist die Spannung oder die Verformung zwischen vorher bestimmten grenzwerten zu halten.

Die Aufgabe der Festigkeitslehre bildet die Erarbeitung zur Dimensionierung notwendigen Verfahren und Zusammenhänge.

In der Statik werden die Objekte der Mechanik (Massenpunkt, starrer Körper, Konstruktion) in Ruhelage analysiert, in der die Kräfte und Momente ein Gleichgewichtssystem bilden, dementsprechend die stehen unter statischer Belastung . Die analysierten Objekte wurden als absolut steif behandelt, und wird vorausgesetzt, dass die ursprüngliche Geometrie des starren Körpers bei beliebigen Belastungen unverändert bleibt. In der Festigkeitslehre werden die Körper auch in Ruhelage analysiert, aber eine elastische Verformung ist erlaubt.

Infolge statischer Belastung durch eingeprägte Kräfte wird der Festkörper elastisch Deformiert, aber nach der Entlastung erhält der Festkörper seine vorherige Geometrie, es werden keine bleibenden Verformungen hervorgerufen.

Für die Materialeigenschaften der Bauteile sollen einige weitere Voraussetzungen, Begrenzungen betroffen werden, da die Festigkeitslehre als Wissenschaftsbereich heutzutage ein viel breiteres Spektrum an Materialen enthält. Wie vorausgesetzt, hier werden nur die Werkstoffe behandelt, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

• kontinuum (kontinuierliche Massenverteilung),

• homogen (gleiche physikalische Eigenschaften für jeden Punkt),

• isotropes (gleiches Verhalten in beliebigen Richtungen).

Die Bauteile sind in der Ingenieurpraxis meistens sogenannte prismatische Stäbe. Ein Stab wird als prismatischer Stab genannt, wenn die Länge des Stabes viel größer als die Abmessung des Querschnittes beträgt. Der Stab ist erst dann prismatisch, wenn ein beliebiger Querschnitt in der Richtung des Normalenvektors des Schwerpunktes (orthogonaler Einheitsvektor) verschoben wird, dass heißt die

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Grundbegriffe für Festigkeitslehre.

Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung,

Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung.

Dualität der Schubspannungen.

Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der

Festigkeitslehre.

Querschnitte zueinander parallel, ohne Verdrehung gerichtet sind. Die Line durch die Schwerpunkte bildet die Stabachse. Die Stabachse kann gerade oder gekrümmt sein, der Querschnitt Stabes kann konstant oder veränderlich gestaltet werden.

In der elementaren Festigkeitslehre werden prismatischer Stäbe gerader Stabachse, für reiner Zug, Druck, Querkraft, Biegung, und Torsion behandelt.

2. Festigkeitseigenschaften des Materials

Solange ein starrer Körper - infolge beliebiger Belastung - nicht verformt werden kann, dagegen ein Festkörper durch die eingeprägten Kräfte wird elastisch deformiert. Die Art, der Betrag der Belastung, und infolge deren Wirkung hervorgerufene Verformung sowie das Gesetzt zwischen beider Kennwerte ist nicht unabhängig von den Materialeigenschaften des Festkörpers. Die Festigkeitseigenschaften des Materials müssen dementsprechend bestimmt werden. Sie können am einfachsten mittels Zugproben ermittelt werden.

Zu einer Zugprobe soll aus dem Werkstoffmaterial vorher ein Probestab normierter Abmessungen angefertigt werden. Dieser Probestab wird mit einer Festigkeitsprüfmaschine bis zum Bruch auf Zug belastet. Bei einem Zugversuch werden die Werte der Zugkraft und der Dehnung des Probestabes von der Festigkeitsprüfmaschine genau registriert.

Abb. 1.1 Probestab und Zugdiagramm

Die erste Strecke des Zugdiagramms zwischen den Punkten „0” und „a” bildet einen Geraden, dementsprechend wird es proportionales, oder elastisches Bereich genannt.

Wenn die Zugkraft F nicht höher als Fa beträt, so wird die Probestab elastisch verformt, und nach der Entlastung erhält seine ursprüngliche Abmessung.

Im elastischen Bereich wird es keine bleibende Verformung verursacht. Diese Materialeigenschaft wird als Elastizität bezeichnet.

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Festigkeitslehre.

(1.1) Die spezifische Dehnung erhält man, wenn die elastische Verformung ( Δl ) mit der Ausgangslänge des Probestabes (l0 ) vergleicht:

(1.2)

3. Die spezifische innere Kraft, als Spannung

Sei ein Bauteil durch externe Kräfte belastet, so werden dadurch im Werkstoff des Bauteiles innere Kräfte hervorgerufen. Soll der Bauteil die Probestab eines Zugversuches betrachtet werden, der durch Zugkraft belastet wird. Die Wirkung dieser Zugkraft erregt in einem, auf die Längsachse orthogonalem Querschnitt des Probestabes ein gleichmäßig verteilte Kraftsystem, deren Intensität σ beträgt.

Nehmen wir an, dass der belastete Probestab entlang diesem Querschnitt verteilt wird. So muss im Querschnitt auf den untersuchten Teil des Probestabes das gleichmäßig verteilte Kraftsystem als externe Belastung aufgetragen werden. Wirkung des

Abb. 1.2 Interpretation der Zugspannung

Wenn sich ein Körper in Ruhelage befindet, dann bilden die Kräfte und Momente der Belastung ein Gleichgewichtssystem. Daraus folgt, dass diese Feststellung alle beliebige Teile des Körpers oder Systems, auch für das Probestab-Teil gültig ist. Die Gleichgewichtsgleichung:

(1.3)

Laut Erfahrungen ist die Intensität das verteilte Kraftsystem an allen Punkten des Querschnittes Konstant, so kann σ vor das Integralzeichen geschrieben werden. Anderseits sind Kräfte nach der z Koordinate gerichtet, dadurch kann statt der Vektorgleichung einfach eine Skalargleichung formuliert werden:

(1.4) daraus die Intensität der inneren Kräfte:

(1.5)

Die Intensität der inneren, entlang des Querschnittes verteilten Kräfte ist die Spannung.

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Festigkeitslehre.

4. Das einfache Hookesche Gesetz

Da der Begriff Spannung definiert und eingeführt wurde, soll erneut das Zugdiagramm (siehe Abb.1.1) analysiert werden. Die erste Strecke des Zugdiagramms ist linear, deren Steigung (Richtungstangente) konstant ebenso ist:

(1.6)

Wenn auf die senkrechte Koordinatenachse des Diagramms statt Zugkraft, die damit proportionale Spannung, auf die waagerechte Koordinatenachse des Diagramms statt Dehnung, die damit proportionale Größe, die spezifische Dehnung aufgetragen werden, dann bleibt die Charakter des Diagramms theoretisch unverändert, da alle beide Variablen mit einem Konstanten dividiert wurden:

(1.7)

Die oben interpretierte Konstante ist der Elastizitätsmodul und wird mit der Buschstabe E bezeichnet, deren Maßeinheit N/m². Eindeutige Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt.

Der Wert des Elastizitätsmoduls ist auch bei Raumtemperatur leicht Temperaturabhängig. Damit die (1.7.) Gleichung in endgültiger Form:

(1.8) das Grundgesetz der Festigkeitslehre , das einfache Hookeschen Gesetz.

Das folgende Diagramm erhält man als der Zusammenhang zwischen Spannung und spezifische Dehnung.

Abb. 1.3 Zugdiagramm

wo σ P – die Proportionalitätsgrenze,

σ F – die Steckgrenze (in der Werkstoffkunde R e), σ B – die Zugfestigkeit (in der Werkstoffkunde R m).

(12)

Festigkeitslehre.

Nach Vereinbarung wurde es festgelegt, das die Elastizitätsgrenze ist die Spannung, die 0,02 % bleibende Dehnung verursacht ( σ 0,02 ). Zur Proportionalitätsgrenze bedeutet die Spannung, zu der die 0,05 % bleibende Dehnung gehört ( σ 0,05 ). Die einheitliche Streckgrenze im belasteten Zustand bedeutet eine bleibende Dehnung 0,2 % ( σ 0,2 oder R p0,2).

5. Die Maßänderung in Querrichtung

Der Zugstab wird in der Zugrichtung länger, und gleichzeitig in Querrichtung kürzer.

Die Zugversuche mit Probestäben haben bewiesen, dass die spezifischen Dehnungen in Längsrichtung und die spezifischen Dehnungen in Querrichtung miteinander proportional sind, deren Wert konstant ist:

(1.9)

Die Konstante ν wurde nach dem französischen Physiker Siméon Denis Poisson (1781–1840) ernannt. Der Querkontraktionsfaktor ist eindeutige Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt. In der Praxis werden dafür dimensionslose Werte zwischen 0,25 und 0,4 eingesetzt.

Die spezifischen Dehnungen in Längsrichtung und die spezifischen Dehnungen in Querrichtung haben entgegensetzten Vorzeichen, daraus folgt:

(1.10) Es ist ganz leicht nachzuweisen, dass für den Wert des Querkontraktionsfaktors ein oberer Grenzwert, ein Maximum zu bestimmen ist. Es soll ein Volumenelement deren Kantenlänge eins betragen auf Zug belastet werden. Die Kanten des Volumenelementes werden in Zugrichtung länger, und gleichzeitig in den zwei, darauf orthogonalen Querrichtungen kürzer. Für die Volumenänderung kann geschrieben werden, wie folgt:

(1.11) Es wurde die Annäherung getroffen, dass die spezifischen Dehnungen klein sind, dementsprechend deren Produkt vernachlässigt werden kann. Da der Volumenelement auf Zug belastet wurde, dadurch wird ein Volumenänderung ΔV > 0 verursacht, aus der Gleichung 1.11. auch e (1-2 ν ) > 0 folgt, dementsprechend ist für den Querkontraktionsfaktor nur ν < 0,5 möglich.

6. Die Schubspannungen und deren Dualität

Da die Spannung Wirkungslinie und Richtungssinn besitzt, deswegen soll als Vektor behandelt werden. Der Spannungsvektor schließt meistens einen Winkel mit der Ebene des untersuchten Querschnittes ein. Die Normalkomponente des Spannungsvektors ist parallel zur Richtung des Normalvektors des Querschnittes gerichtet, und wird als σ bezeichnet. Die Schubkomponente des Spannungsvektors liegt in der Querschnittsfläche – orthogonal zu σ - und wird als Schubspannung, τ bezeichnet.

(1.12)

wo V die Querkraft, die sich in der Ebene des Querschnittes A befindet:

(13)

Festigkeitslehre.

Abb. 1.4 Die Querkraft und ihre Wirkung

Der Resultierende in der Querschnitt A verteilte Schubspannungen und die Querkraft ein Gleichgewichtsystem bilden:

(1.13)

Laut Erfahrungen ist die Intensität der verteilten Schubspannung τ an allen punkten des Querschnittes Konstant, deswegen kann τ vor das Integralzeichen geschrieben werden, und so erhält man die Gleichung 1.12. erneut.

Die Normanspannung σ verursacht die Dehnung, von der Schubspannung τ wird eine Winkelveränderung, Gleitung hervorgerufen. Das eingespannte Volumenelement soll an einer Fläche mit der Schubspannung τ belastet, Abb. 1.5.

Abb. 1.5 Von der Schubkraft verursachte Winkelveränderung

Innerhalb des elastischen Bereiches - laut Erfahrungen - gibt es für die Schubspannung und die Winkelveränderung ( γ ) ein linearer Zusammenhang, es kann durch das Hookesche Gesetz für Schub ausgedrückt werden:

(1.14)

wo G als so genannter Schubmodul betrachtet werden kann, deren Maßeinheit N/m². G ist eine Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt.

Nehme man aus dem, mit Querkraft belasteten Querschnitt A ein Volumenelement mit den Kantenlängen dxdydz aus. Die Belastung des Würfels soll an der, mit dem Querschnitt parallelen Fläche τ betragen, die darauf orthogonal stehende Fläche soll mit der Schubspannung τ 1 belastet werden, siehe Abb. 1.6.:

(14)

Festigkeitslehre.

Abb. 1.6 Die Dualität der Schubspannungen

Um die Schubspannungsdifferenzen an den gegenüber liegenden Flächen zu eliminieren, soll eine Moment- Gleichgewichtsgleichung in Bezug des Punktes „A“ formuliert werden:

(1.15) daraus τ = τ 1 folgt. Aufgrund des Prinzips der Dualität von Schubspannungen steht fest: wenn eine beliebige Fläche des Volumenelementes mit einer Schubspannung τ belastet wird, dadurch wird in der, darauf orthogonal stehender Fläche eine Gleichgröße Schubspannung τ hervorgerufen.

7. Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte

Die Materialkennwerte in den einfachen, elastischen Grundgesetzen des Werkstoffes (1.8.; 1,10. und 1.14.), der Elastizitätsmodul (E), der Schubmodul (G) und der Querkontraktionsfaktor ( ν ) sind nicht unabhängig voneinander. Es soll der Zusammenhang zwischen den elastischen Materialkennwerten erklärt werden

Es soll ein Volumenelement (Würfel) mit der Kantenlänge l laut der Abb. 1.7 beansprucht werden. An zwei gegenüber liegenden Flächen sind mit der Normalspannung σ auf Zug, an den zwei anderen, gegenüber liegende Fläche sind mit der Gleichgrößen Normalspannung σ auf Druck belastet.

Abb. 1.7 Reine Schub durch gleichzeitigen Zug und Druck

(15)

Festigkeitslehre.

Das Volumenelement soll mit den Ebenen von 45° aufgeteilt werden.

Die Fläche A1D1 wird mit reinen Schub belastet, und die Resultierenden an den Seitenflächen:

(1.16)

Aufgrund des Krafteckes folgt:

(1.17)

Die Querkraft V wird an der Fläche A 0 verteilt:

(1.18)

damit beträgt die Schubspannung an der, auf die Gerade A1-D1 orthogonal stehenden Fläche:

(1.19)

Da das Problem mit Absicht speziell formuliert wurde, der Betrag der Schubspannung und der Betrag der Normalspannung gleich sind.

Zunächst soll die elastische Verformung untersucht werden.

Abb. 1.8 Verformungen

Infolge der Wirkung der Normalspannung σ1 wird die Kante AD verlängert, die in der Querrichtung positionierte Kante AB wird geschrumpft, und die Wirkung der Normalspannung σ2 verursacht eine kürzere Kante AB, die Kante AD wird aber länger:

(16)

Festigkeitslehre.

(1.20)

(1.21)

Mit σ = σ 1 = - σ 2 die vorherigen Gleichungen, wie folgt:

(1.22)

(1.23)

Da die Absolutwerte beider Dehnungen gleich sind, können sie ohne Indexe geschrieben werden:

|Δl1|=|Δl2|=Δl:

(1.24)

Aus dem rechtwinkligen Dreieck :

(1.25)

Mit der trigonometrischen Zusammenhang für die Tangente zweier Winkeln, und mit der Annäherung für kleinen γ Winkeln auch tg ( γ / 2) ≈ γ/ 2 gilt, so kann einfach durch mathematische Denkweise geschrieben werden:

(1.26)

Durch Vergleich der obigen Gleichungen:

(1.27)

Es sollen die Gleichungen 1.19. die 1.14. und 1.14. in den Zusammenhang 1.27. eingetragen, so erhält man:

(17)

Festigkeitslehre.

(1.28)

und die Gleichung kann mit der Spannung σ Vereinfacht werden, so haben wir den Zusammenhang zwischen den elastischen Materialkennwerten erhalten:

(1.29) In der Praxis kann der Querkontraktionsfaktor durch Messung sehr kompliziert bestimmt werden, deswegen wird dessen Wert anhand von Elastizitätsmodul und Schubmodul aus der Gleichung 1.29. berechnet.

BEISPIEL 1.1

Die Elastizitätsmodul für Messing beträgt E = 116 GPa, der Gleitmodul G = 42 GPa. Es ist die Querkontraktionszahl zu bestimmen!

Der Zusammenhang zwischen Materialkennwerte für elastische Werkstoffe beschreibt die Gleichung 1.29:

daraus die Querkontraktionszahl für Messing:

AUFGABE 1.2

Die Elastizitätsmodul für Glas beträgt E = 72 GPa, die Querkontraktionszahl ν = 0,23. Es ist der Gleitmodul zu bestimmen!

(18)

Kapitel 2. Der allgemeine Spannungszustand:

Spannungszustand in der

elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor.

1. Der allgemeine Spannungszustand

Durch die äußeren Kräfte werden in einem belasteten, beliebig gestalteten Bauteil im Werkstoff des Bauteiles innere Kräftesysteme, Spannungen hervorgerufen. Der Konstrukteur muss diese Kennwerte unbedingt wissen, da die Hauptursachen sind, die zur Zerstörung (zum Beispiel Bruch) des Bauteiles grundsätzlich beitragen. In einem Dimensionierungsprozess werden die geometrischen Daten des Bauteiles ermittelt. Hier bedeutet eine wesentliche Anforderung die Tatsache, dass die maximale Spannung im Werkstoff kleiner als die Elastizitätsgrenze, oder in einigen Ausnahmefällen kleiner als die Streckgrenze betragen soll. Die Bauteile werden meistens durch die Spannungen Zerstört.

Ein Spannungszustand kann erst dann als bekannt geklärt werden, wenn in einem beliebigen Punkt des untersuchten Bauteiles an allen Richtungen gehörenden Spannungen vorhanden sind, selbstverständlich für beliebigen Belastungsfällen. Diese Anforderung ist mit der jetzigen Rechnertechnik und Informatik leicht zu erfüllen. In der Praxis eingesetzte Konstruktionsprogramme enthalten ein so genanntes Segment oder Hilfsprogramm zur FEM (Finiten Elementen Methode) Analyse, damit zur Geometrie des entworfenen Bauteiles ein räumlicher Netz mit einer wirklich guter Annäherung angepasst wird.

Es müssen die notwendigen Materialkennwerte und dann auch die Belastungen – Gleichgewichtskraftsysteme - des Bauteiles angegeben werden, so werden vom Programm in allen Knotenpunkten des Netzes die Deformationen und Spannungen errechnet. Alle Ergebnisse werden dann dem Konstrukteur anschaulich dargestellt, um den Spannungszustand des Bauteiles analysieren zu können.

Die Zeichnungen, Entwürfe der Konstruktion können mit dem Programm leicht verändert werden, an den Stellen wo die Spannungen zu hoch sind, soll der Bauteil verstärkt werden, wo die Spannungen zu klein sind, dort können die geometrischen Daten kleiner sein, dadurch kann der Bauteil leichter werden.

Zum erfolgreichen Einsatz der FEM Programme müssen vom Ingenieur die allgemeinen Zusammenhänge - der allgemeine Spannungszustand und der allgemeine Verformungszustand - darauf die Algorithmen des Programms basiert sind, unbedingt beherrscht werden.

Durch die allgemein interpretierten Belastungen werden in einem beliebigen Punkt P des Bauteiles (entlang der Schnittfläche), an der Ebene (Flächenelement), mit dem durch den Punkt P geführte Normalvektor n die Spannung q n hervorgerufen:

Abb. 2.1 Spannungen in der endlichen Umgebung des Punktes P Interpretation des Spannungsvektors:

(19)

Der allgemeine Spannungszustand:

Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und

Spannungstensor.

(2.1)

wo Δ B die Resultierende des verteilten Kraftsystems der Fläche ΔA bedeutet.

Wenn die Umgebung des Punktes P unendlich klein gewählt wird, so erhält man die Abb. 2.1 in modifizierter Form.

Abb. 2.2 Spannungen in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P

Mit den Symbolen der Abb. 2.2 erhält man q n, zur Flächenelement mit dem Normalvektor n gehörende spezifische innere Kraft, den Spannungsvektor. In allgemeinen Belastungsfällen schließt der Spannungsvektor q n mit dem Normalvektor den Winkel υ ein:

Abb. 2.3 Die Komponenten des Spannungsvektors

Die Normalkomponente und darauf orthogonal positionierte Koordinate des allgemein gerichteten Spannungsvektors:

(2.2)

(2.3) Bei gleichgrößer äußere Belastung, zur auf den Einheitsvektor n orthogonal positionierte Fläche mit dem Normalvektor m der Spannungsvektor q m gehört, aber q n und q m sind voneinander nicht unabhängig.

Die zum Punkt P gehörenden alle Spannungsvektoren bilden den Spannungszustand des Punktes P. Der Spannungszustand ist eine Vektor – Vektor Funktion mit zwei Variablen:

(20)

Spannungstensor.

Abb. 2.4 Die zum Punkt P gehörenden Spannungsvektoren

(2.4) Aufgrund des Reziprozitätssatzes von Chauchy:

(2.5) dass heißt in vektorieller Form:

(2.6) Durch das Satz liegt fest: wenn zu einem Einheitsvektor n der Spannungsvektor q n gehört, und durch den, auf n orthogonal gerichtete m der Spannungsvektor q n bestimmt wird, dann die rechtwinkligen Projektionen des aktuellen Spannungsvektors mit den anderen, nicht eigenen Einheitsvektoren den Betrag und das Vorzeichen betrachtet gleich sind. Das Theorem wird hier nicht nachgewiesen, da es grundsätzlich die Dualität der Schubspannungen bedeutet, was bereits vorher bewiesen wurde.

Die Skalarprojektion des Spannungsvektors q n in Richtung des Normalvektors n beträgt σ n:

(2.7) Die Skalarprojektion des Spannungsvektors q n in Richtung des Normalvektors m beträgt τ n:

(2.8) Stellen wir uns vor in der Umgebung des Punktes P einen Volumenelement mit unendlich kleiner Kantenlänge, deren Kanten zur Koordinatenachsen x-y-z des räumlichen Koordinatensystems parallel gerichtet sind:

Abb. 2.5 Das zum Punkt P gehörende Volumenelement

(21)

Spannungstensor.

Zu den Flächenelementen gehörenden Spannungsvektoren:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Nach einsetzen des Reziprozitätssatzes erhält man q xy = q yx, dass heißt τ xy = τ yx, es wurde wieder die Dualität der Schubspannungen erhalten.

Zur eindeutigen Bestimmung des Spannungszustandes (zur Beschreibung) im Punkt P im x-y-z Koordinatensystem sind sechs Skalargrößen notwendig : σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx .

Abb. 2.6 Spannungen an den Seitenflächen des Volumenelements

Es soll überprüft werden, ob die Möglichkeit zur Bestimmung aus einem, in x-y-z Koordinatensystem definierten Spannungszustand einen, in einer beliebigen Richtung n gerichteten Spannungsvektor q n besteht?

Es sei der bekannte, allgemein gerichtete Einheitsvektor n :

Abb. 2.7 Einheitsvektor in allgemeiner Lage

(22)

Spannungstensor.

(2.12)

Zur Flächenelement mit Normalvektor n gehörende Spannungsvektor q n:

(2.13) Laut des Reziprozitätssatzes (2.5.):

(2.14)

(2.15)

(2.16) Die drei oben formulierten Gleichungen sollen in die Gleichung 2.13. eingetragen werden:

so

(2.17)

wo der Spannungstensor im Punkt P ist. Der Spannungszustand kann durch die Matrix des Spannungstensors in einem, zum Beispiel im x-y-z Koordinatensystem definiert werden:

(2.18)

Aus dem Spannungstensor kann dann der Spannungsvektor mit der Gleichung 2.17. zu beliebigen Richtungen ermittelt werden.

Die Komponente des Spannungsvektors in Richtung des Normalvektors n beträgt:

(2.19) Die Schubspannung in der Ebene des Flächenelementes kann am einfachsten aus dem Satz von Pythagoras bestimmt werden:

(23)

Spannungstensor.

(2.20)

wo aus der Gleichung 2.13. bereits zur Verfügung steht

(2.21)

BEISPIEL 2.1

Der Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt:

Es ist die durch den Einheitsvektor n bestimmte Normalspannung σn und die darauf orthogonale Schubspannung τn zu ermitteln, wenn

Zu den Einheitsvektor n gehörende Spannungsvektor aus der Gleichung 2.17.:

Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Spannungsvektors (2.19.):

Aufgrund der Gleichung 2.21.:

Dann die Schubspannung in der Ebene des Volumenelementes aus dem Satz von Pythagoras (2.20.):

BEISPIEL 2.2

Es ist für einen reinen Zug beanspruchten Stab (Abb. 2.6) durch den Einheitsvektor n bestimmte Normalspannung σn und die darauf orthogonale Schubspannung τn zu ermitteln!

(24)

Spannungstensor.

Abb. 2.6 Für reinen Zug die Normalspannung in z Richtung:

Die Tensormatrix für den Spannungszustand im Punkt P:

Der Normalvektor n und der darauf orthogonale Einheitsvektor m :

und

Zu den Einheitsvektor n gehörender Spannungsvektor aus der Gleichung 2.17.:

Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Spannungsvektors (2.19.):

Die Schubspannung τn kann mit dem Einheitsvektor m ermittelt werden:

AUFGABE 2.3

(25)

Spannungstensor.

Der Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt. Die Koordinatenachsen bedeuten gleichzeitig die Hauptrichtungen.

Es ist die das Koordinatensystem mit 45° um die Hauptachse x zu drehen, und die Tensormatrix für den Spannungszustand im gedrehten Bezugssystem zu bestimmen!

(26)

Kapitel 3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche

Darstellung des Span- nungszustandes.

1. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen

In einem allgemeinen Fall schließt der, zum Flächenelement mit dem Normalvektor n gehörende Spannungsvektor q n einen Winkel υ ein. Es taucht die Frage auf: gibt es irgendein Flächenelement in der Umgebung des Punktes P, deren Winkel 0 beträgt? Für diesen speziellen Flächenelement ergibt sich τn = 0, so:

(3.1) Die Gleichung 2.17. ist auch jetzt gültig:

(3.2) Da die linken Seiten der obigen Zusammenhänge gleich sind, ist diese Feststellung auch für die rechten Seiten gültig:

(3.3) Ohne Indexen geschrieben und mit Verwendung des Einheitsvektors kann die Gleichung 3.3. in folgender Form ausgedrückt werden:

(3.4) So erhält man ein homogenes, lineares Gleichungssystem für drei Unbekannten, deren gesuchten Größen wie folgt: σ und die drei Koordinaten des Normalvektors n : l, m, n. Zur Lösung notwendige dritte Gleichung zeigt, das n ein Einheitsvektor ist, deren Absolutwert:

(3.5) Für das homogene, lineare Gleichungssystem gibt es dann eine nichttriviale Lösung, wenn der Wert aus dem Koeffizientenmatrix aufgebauter Determinante 0 beträgt, für die Gleichung 3.4. also:

(3.6) dass heißt

(3.7)

Durch Auflösung der Determinante erhalten wir eine charakteristische Gleichung, die für diesen Fall ein Polynom dritten Grades ist:

(27)

Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche

Darstellung des Span- nungszustandes.

(3.8) hier T I, T II und T III bedeuten die Skalar Invarianten des Spannungstensors , deren Wert vom beliebig gewählten Koordinatensystem unabhängig ist. Die Ermittlung von Skalar Invarianten:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Mathematisch kann es bewiesen werden, dass die Wurzeln oder die Eigenwerte der symmetrischen Matrizen die aus charakteristischer Gleichung symmetrischer Matrizen aufgestellten wurden, reelle Zahlen sind. Die Eigenwerte des Spannungstensors – die Wurzeln der Gleichung 3.8. – sind die Hauptspannungen . Die Indexe der Hauptspannungen bedeuten eine Reihenfolge, die mit der Größe der Hauptspannungen eng verbunden ist:

(3.12) Die zu den Eigenwerten (Hauptspannungen) gehörenden Eigenvektoren sind die Hauptrichtungen .

Die Ermittlung der Hauptrichtungen kann aus der folgenden Gleichung durchgeführt werden:

(3.13)

(3.14)

(3.15) Da die Determinante der in Klammern stehendes Koeffizientenmatzes null beträgt, die obigen Gleichungen führen nur zur zwei unabhängigen Lösungen, so müssen als dritte auch die | n i |=1 Vektorgleichungen verwendet werden. Die n 1, n 2 und n 3 Einheitsvektoren (Normalen) bedeuten die Richtungen der Hauptspannungen, oder kurz die Hauptrichtungen.

Die Hauptrichtungen schließen miteinander immer Rechtwinkel ein, so können sie als die Koordinatenachsen eines Koordinatensystems betrachtet werden. Der Nachweis dafür:

(3.16)

(3.17) Nach einsetzen des Reziprozitätssatzes erhält man:

(3.18)

(28)

Durch Verwendung der Gleichungen 3.16. und 3.17. :

(3.19)

(3.20) Das ist erst dann möglich, wenn die Vektoren n 1 und n 2 miteinander einen Rechtwinkel einschließen.

Die auf die Hauptrichtungen orthogonalen Ebenen sind die Spannungshauptebenen . Die Matrix des Spannungstensors im Koordinatensystem der Hauptrichtungen:

(3.21)

Die Skalarinvarianten des Spannungstensors mit den Hauptspannungen ausgedrückt:

(3.22)

(3.23)

(3.24) Ein beliebiger, räumlicher Spannungszustand wird als dreiachsiger Spannungszustand bezeichnet.

2. Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes

Falls die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen vorhanden sind, dann kann der Spannungsvektor q n

beliebiger n Normalen folgendermaßen errechnet werden:

(3.25)

In einem Sonderfall soll sich der Vektor n in der x-y Ebene befinden, dann γ = 90° beträgt, dementsprechend cosγ = 0, und β = 90°- α , also cosβ = sin α , so die Gleichung 3.25:

(3.26)

Die Skalarprojektion des Spannungsvektors in der Richtung des Normalvektors:

(29)

(3.27)

Die Schubspannung in der Ebene der Flächenelemente aus dem Satz von Pythagoras:

(3.28)

Es sollen die vorherigen Gleichungen aus der Koordinatengeometrie verwendet werden, damit:

(3.29)

(3.30)

(3.31) und können die Indexen „n” weglassen, so erhalten die Gleichungen 3.27. und 3.28. deutlich einfachere Form:

(3.32)

(3.33)

Es soll auch berücksichtigt werden, dass für beliebigen Winkeln sin²2α +cos²2α = 1 gültig ist, dadurch können nach quadrieren der Gleichungen die trigonometrischen Komponente eliminiert werden. Dadurch erhalten wir die Gleichung:

(3.34)

Es ist praktisch die Gleichung eines Kreises im Koordinatensystem σ-τ , deren Radius ( σ 1 – σ 2 )/2 beträgt, und dessen Mittelpunkt auf der Achse σ in einer Koordinate ( σ 1 + σ 2 )/2 befindet. Die Gleichung 3.34. bedeutet geometrisch den Mohrschen Kreis des Spannungszustandes:

(30)

Abb. 3.1 Mohrscher Spannungskreis des Spannungszustandes

(31)

Animation 1: Konstruktionsphasen des Mohrschen Trägheitskreises für Flä-chenträgheitsmomente

Durch alle Position in den Ebenen des Koordinatensystems bewegten Einheitsvektoren e je einen Punkt „N”

des Mohrschen Spannungskreises (Mohrscher Hauptkreis) „k” definiert wird, wie es in den ersten drei Abbildungen dargestellt ist. Der doppelte Verdrehwinkel des Einheitsvektors wird in den Mohrschen Spannungskreis immer aus den Punkten S’ eingetragen.

Wenn die Lage der Einheitsvektor ( n ), beliebig ist, so befindet sich der Punkt „N” in einem, durch k 1-k 2-k 3

bestimmten Bereich, in einem „Kreisbogendreieck“, wie es die vierte Abbildung zeigt.

(32)

Animation 2: Konstruktionsphasen des Mohrschen Spannungskreises für den Spannungszustand BEISPIEL 3.1

Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben:

Es sind die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln. Der Spannungszustand ist auch mit dem Mohrschen Spannungskreis darzustellen!

Da die Hauptspannungen die Eigenwerte der Matrix sind, so können aus der Mathematik bekannten Methode, durch die Eigenwertrechnung ermittelt werden.

Aus den Gleichungen 3.6-7. erhält man die Determinante und daraus die charakteristische Gleichung:

Durch Auflösung der Determinante, und die Gleichung mit der Maßeinheit dividiert erhalten wir die charakteristische Gleichung (3.8.):

(33)

Die Hauptspannungen sind die Wurzeln des Polynoms dritten Grades:

σ 1 = 438,6 MPa; σ 2 = 11,4 MPa und σ 3 = -70 MPa.

Die Matrix des Spannungszustandes im Bezugssystem der Hauptrichtungen:

Die Ermittlung der Hauptrichtungen kann aus den Gleichungen 3.13-15. durchgeführt werden. Die zu der Hauptspannung σ 1 gehörende Hauptrichtung kann folgendermaßen ermittelt werden:

Nach Einsetzen der konkreten Daten und mit der Maßeinheit dividiert erhält man:

und das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten:

-138,6 x 1 -200 y 1 = 0;

-200 x 1 -288,6 y 1 = 0;

-508,6 z 1 = 0;

Aus der letzten Gleichung z 1 = 0 folgt. Zwar die ersten zwei Gleichungen voneinander linear nicht unabhängig sind, aber das Verhältnis für die Unbekannten wird bestimmt:

Zur Lösung braucht man eine weitere Gleichung. Dieser Zusammenhang enthält Informationen über den Absolutwert oder über den Betrag des Einheitsvektors. Da n 1 Einheitsvektor ist, also dessen Absolutwert beträgt 1.

Die Lösung des Gleichungssystems führt zu den Einheitsvektor n 1, die zur Hauptspannung σ 1 gehört:

Ermittlung der Hauptrichtung n 2 für die Hauptspannung σ 2 :

(34)

Nach einsetzen der konkreten Daten und mit der Maßeinheit dividiert erhält man:

also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten 288,6 x 2 -200 y 2 = 0;

-200 x 2 +138,6 y 2 = 0;

-58,6 z 2 = 0;

Aus der letzten Gleichung z 2 = 0. Das Verhältnis für die Unbekannten aus den zwei vorherigen Gleichungen:

Eine weitere Gleichung führt uns zur Lösung:

Nach der Lösung des Gleichungssystems der Einheitsvektor n 2, die zur Hauptspannung σ 2 gehört:

Der zur Hauptspannung σ 3 gehörende Einheitsvektor n 3:

Die Mohresche Darstellung des Spannungszustandes:

(35)

Abb. 3.2

AUFGABE 3.2

Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt:

Es sind die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln. Der Spannungszustand ist auch mit dem Mohrschen Spannungskreis darzustellen!

(36)

Kapitel 4. Allgemeiner Formänderungszustand:

Verschiebungs-, und

Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver- schiebungsfeldes (Ableitung des Tensors). Rotationstensor.

Formänderungstensor.

1. Die räumliche Formänderung

Für die starren Körper wird vorausgesetzt, dass bei beliebigen äußeren Belastungen ihre Geometrie unverändert bleibt. Das ist eine echt idealistische Vorstellung, weil auch die sprödesten Materialen und/oder Werkstoffe ein wenig deformierbar sind. Die festen Körper behalten dagegen nach den äußeren Wirkungen, Bealastungen - innerhalb eines bestimmten Bereiches - unter der Elastizitätsgrenze die Körper ihrer ursprünglichen Geometrie.

Zur allgemeinen Analyse der elastischen räumlichen Verformung soll ein Element beliebiger Geometrie, kontinuierlicher Massenverteilung gewählt werden, dass durch ein allgemeines äußeres Kraftsystem unter der Elastizitätsgrenze belastet wird.

Der Körper wird infolge der Belastung deformiert: seine Geometrie wird verzerrt, und in bestimmten Richtung werden auch Dehnungen, oder Verkürzungen verursacht. Inzwischen - infolge der Belastung - erricht der Punkt P statt seiner Anfangslage die neue räumliche Position P’.

Abb. 4.1 Allgemeine Interpretation der räumlichen Verschiebung

(37)

Allgemeiner Formänderungszustand:

Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der

elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver- schiebungsfeldes (Ableitung des

Tensors). Rotationstensor.

Formänderungstensor.

Die zwischen den Punkten P und P’ interpretierte Verschiebungsfunktion u und deren drei skalaren Komponenten im Bezugssystem x-y-z:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4) Es wird vorausgesetzt, das im Werkstoff ursprünglich kontinuierlicher Massenverteilung im Verformungsprozess keine Risse, Löcher entstehen, so auch die Verschiebungsfunktionen kontinuierlich, also differenzierbar sind.

Man soll in der elementaren Umgebung des Punktes P eine Kugel mit dem Radius a interpretieren. Während infolge der Belastung sich der Punkt P die Lage P’ bewegt, die Kugel wird auch ermäßigt deformiert:

Abb. 4.2 Die Verschiebung und Deformation des Punktes P in einer kugelförmigen Umgebung

In der Abb. 4.2. wird der Punkt P durch den Ortsvektor r bestimmt, zum Punkt N gehört aber der Ortsvektor r +an . Die Verschiebungsvektor zwischen den Punkten P und P’ ist die Funktion von r , die Verschiebungsfunktion zwischen den Punkten N und N’ ist die Funktion von r +an :

(4.5) Wenn die Verschiebungsfunktion 4.5. in einer Taylor-Reihe zu erklärt wird, und nur die ersten zwei Mitlieder der Taylor-Reihe als Annäherung berücksichtigt werden, ist der Fehler gar nicht groß, weil die Verschiebungen und Deformationen auch sehr klein sind:

(4.6)

wo der Einheitsvektor n :

(38)

(4.7)

Da der Verschiebungsvektor u im Bezugssystem u = ui+vj+wk beträgt, so die partiellen Ableitungen der Gleichung 4.6.:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Dadurch kann das Mitglied in Klammern der Gleichung 4.6. in folgende Form geschrieben werden:

(4.11)

bedeutet den Ableitungtensor des Verschiebungsfeldes u (der Gradient des Verschiebungsfeldes):

(4.12)

Die Matrize des Ableitungtensors ist in allgemeinen nicht symmetrisch.

(39)

Es soll die Gleichung 4.11 in 4.6. erneut eingesetzt werden:

(4.13) In der Abbildung 4.2. ist es deutlich zu erkennen, dass aus dem Punkt P in den Punkt N’ zweimal zwei Vektorsummen führen, daraus folgt, dass die zwei Vektorsummen miteinander gleichwertig sind:

(4.14) Mit der Annäherung der Gleichung 4.13.:

(4.15)

also

(4.16) nach einer Dividierung mit a, sowie nach Umstellung der Gleichung:

(4.17)

In der Gleichung 4.17. t n bedeutet den, zu der Richtung n angeordneten Formänderungsvektor

Eine Matrix kann jederzeit als Summe einer symmetrischen und einer asymmetrischen Matrix gestaltet werden.

Diese Feststellung ist auch für die Matrix des Ableitungtensors gültig:

(4.18)

hier bedeutet die transponierte der Matrix . Bei transponieren werden die Zeilen und die Spalten der Matrix ausgetauscht. Es soll der Formänderungstensor :

(4.19)

betragen, und der Rotationstensor kann wie folgt formuliert werden:

(4.20)

Der Matrix des Formänderungstensors ist symmetrisch. Es kann bewiesen werden, dass bei der Ermittlung von Deformationen - wenn der Ausgangspunkt des Bezugssystems im Punkt P festgelegt wird – der Betrag durch den Rotationstensor zugeordneten Vektoren, sowie deren, zueinander eingeschlossenen Winkeln konstant bleiben, also die Rolle des Rotationstensors kann nicht berücksichtigt werden. Aufgrund diese Überlegungen der Formänderungsvektor auf Basis der Gleichung 4.17.:

(40)

(4.21)

Man bestimme die skalaren Komponenten des Formänderungsvektors in Richtung n:

(4.22)

Er wurde eingesetzt, dass das Skalarprodukt der Einheitsvektoren n n = 1 und n ’ n ≈ 1 betragen. Die Skalarkomponente des Formänderungsvektors in Richtung des Normalvektors n bedeutet die spezifische Dehnung in der Richtung n.

Der Einheitsvektor m soll auf den Einheitsvektor n einen Winkel von 90° einschließen. Es ist die Skalarkomponente des Formänderungsvektors in Richtung des Einheitsvektors m zu bestimmen:

(4.23)

da mn = 0, und für kleinen Winkel auch sinυmn≈υmn erfüllt wird. Die Winkeln für den beiden Einheitsvektoren m und n ’ sind im Abb. 4.3. dargestellt:

Abb. 4.3 Die Verschiebung aufeinender orthogonal gerichteten Einheitsvektoren Die Skalarkomponente des Formänderungsvektors t n in Richtung m :

(4.24) Analog zur vorherigen Lösung, die Skalarkomponente des Formänderungsvektors t m in Richtung n :

(4.25) Da bei der Multiplikation einer Matrix mit zwei Vektoren die Vektoren dürfen ausgetauscht werden, die rechten Seiten der Gleichungen 4.24. und 4.25. gleich sind, so muss dass auch für die linken Seiten der Gleichungen gültig sein:

(4.26) Aus der Abb. 4.3. ist es klar zu sehen, das der Winkel zwischen den Einheitsvektoren n und m der ursprünglich 90° betrug, nach der Formänderung um 2υ kleiner wird, also die Winkelveränderung γ:

(4.27)

(41)

und mit der Gleichung 4.25.:

(4.28)

Anhand der bisherigen Ergebnisse kann der Matrix des Formänderungstensors im Bezugssystem x-y-z mit den Einheitsvektoren i , j und k formuliert werden:

(4.29)

Der Formänderungsvektor in Richtung der Koordinatenachse x:

(4.30)

Die spezifische Dehnung in Richtung x aus der Gleichung 4.22.:

(4.31)

Die Winkelveränderung der Vektoren mit den Einheitsvektoren i und j aus der Gleichung 4.28.:

(4.32)

Die Winkelveränderung der Vektoren mit den Einheitsvektoren i und k :

(4.33)

Analog zur vorherigen Methode, aus t y und t z können auch die anderen Elemente des Formänderungstensors 4.29. bestimmt werden:

(42)

Das Ergebnis:

(4.34)

Die Matrize des Formänderungstensors ist symmetrisch. Der Verformungszustand in einem bestimmten Punkt P eines Bauteiles kann erst dann definiert erklärt werden, wenn der Formänderungstensor im Punkt P bekannt ist, dass heißt im Bezugssystem x-y-z die folgenden sechs Kennwerte uns zur Verfügung stehen: εx, εy, εz, γxy, γxz, γzx . Aus der Matrize des Formänderungstensors kann der Formänderungsvektor zu einer beliebigen Richtung ermittelt werden:

(4.35)

BEISPIEL 4.1

Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben:

Es ist die durch den Einheitsvektor n bestimmte Dehnung en und die darauf orthogonale gerichtete Winkelveränderung γn, wenn

Zu den Normalvektor n gehörende Formänderungsvektor aus der Gleichung 4.30.:

Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Formänderungsvektors (4.22.):

(43)

Der Betrag oder Absolutwert des Formänderungsvektors:

Dann die Winkelveränderung in der Ebene des Volumenelementes aus dem Satz von Pythagoras:

AUFGABE 4.2

Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt:

Es ist die das Koordinatensystem mit 45º um die Hauptachse x zu drehen, und die Tensormatrix für den Formänderungszustand im gedrehten Bezugssystem zu bestimmen!

(44)

Kapitel 5. Die

Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen

Der mechanisch belastete Bauteil wird deformiert, damit verbunden die Geometrie in der Umgebung des beliebigen Punktes P auch verändert wird.

Gibt es um den Punkt P eine solche Richtung, die während der Formänderung unverändert bleibt?

Wenn ja, dann so kann der Formänderungsvektor mit dem Einheitsvektor der aktuellen Richtung der Formänderung sowie mit deren gewissen Streckung durch ein Skalarprodukt ausgedrückt werden:

(5.1) Sei der Matrix des Formänderungstensors im Bezugssystem x-y-z bekannt:

(5.2)

Die Gleichung 4.30. ist auch jetzt gültig, damit:

(5.3) Die linken Seiten der Gleichungen 5.1. und 5.3. gleich sind, so muss dass auch für die rechten Seiten der Gleichungen gültig sein:

(5.4) Mit Verwendung des Einheitsvektors die Gleichung 5.3. nach der Umstellung:

(5.5) Analog wie früher bei dem allgemeinen Spannungszustand erhält man hier auch ein homogenes, lineares Gleichungssystem für drei Unbekannten, deren gesuchten Größen wie folgt: ε und die drei Koordinaten des Normalvektors n : l, m, n. Zur Lösung notwendige dritte Gleichung zeigt, das n ein Einheitsvektor ist, deren Absolutwert:

(5.6) Für das homogene, lineare Gleichungssystem gibt es dann eine nichttriviale Lösung, wenn der Wert aus dem Koeffizientenmatrix aufgebauter Determinante 0 beträgt, für die Gleichung 5.5. also:

(5.7) dass heißt

(45)

Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen

(5.8)

Durch Auflösung der Determinante erhalten wir eine charakteristische Gleichung, die für diesen Fall ein Polynom dritten Grades ist:

(5.9) hier S I, S II und S III bedeuten die skalare Invarianten des Formänderungstensors , deren Wert vom beliebig gewählten Koordinatensystem unabhängig ist. Die Ermittlung von skalaren Invarianten:

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Die Eigenwerte des Formänderungstensors – die Wurzeln der Gleichung 5.8. – sind die Hauptdehnungen . Die Indexe der Hauptdehnungen bedeuten eine Reihenfolge, die mit der Größe der Hauptdehnungen eng verbunden ist:

(5.13) Die Ermittlung die Einheitsvektoren der Hauptdehnungen kann mittels der Eigenvektoren aus der folgenden durchgeführt werden:

(5.14)

(5.15)

(5.16) Da die Determinante der in Klammern stehendes Koeffizientenmatzes null beträgt, die obigen Gleichungen führen nur zur zwei unabhängigen Lösungen, so müssen als dritte auch die | n i |=1 Gleichungen verwendet werden. Die n 1, n 2 und n 3 Einheitsvektoren (Normalen) bedeuten die Richtungen der Hauptdehnungen, oder kurz die Hauptdehnungsrichtungen. Die Hauptrichtungen schließen miteinander immer einen Rechtwinkel ein, so können sie als die Koordinatenachsen eines Bezugssystems betrachtet werden.

(46)

Der Matrix des Formänderungstensors im Koordinatensystem der Hauptrichtungen n 1, n 2 und n 3:

(5.17)

BEISPIEL 5.1

Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben:

Es sind die Hauptsdehnungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln!

Da die Hauptdehnungen die Eigenwerte der Matrix sind, so können aus der Mathematik bekannte Methode, durch die Eigenwertrechnung ermittelt werden.

Aus den Gleichungen 5.7-8. erhält man die Determinante und daraus die charakteristische Gleichung:

Durch Auflösung der Determinante, und die Gleichung mit 10^-5 dividiert erhalten wir die charakteristische Gleichung (5.9.):

Die Hauptdehnungen sind die Wurzeln des Polynoms dritten Grades:

ε 1 = 0,00175; ε 2 = 0,00050 und ε 3 = -0,00050.

Die Matrix des Formänderungszustandes im Bezugssystem der Hauptrichtungen:

Die Ermittlung der Hauptrichtungen erfolgt aus den Gleichungen 5.14-16. Die zu der Hauptdehnung ε 1

gehörende Hauptrichtung kann folgendermaßen ermittelt werden:

Nach einsetzen der konkreten Daten und Neuordnung der Gleichung erhält man:

(47)

also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten:

-25 x 1 -50 y 1 = 0;

-50 x 1 -100 y 1 = 0;

-225 z 1 = 0;

Aus der letzten Gleichung ergibt sich z 1 = 0. Zwar die ersten zwei Gleichungen voneinander linear nicht unabhängig sind, aber das Verhältnis zwischen den Unbekannten wird trotzdem bestimmt:

Zur Lösung braucht man noch eine weitere Gleichung. Dieser Zusammenhang enthält Informationen über den Absolutwert oder über den Betrag des Einheitsvektors. Da n 1 ein Einheitsvektor ist, also dessen Absolutwert beträgt 1:

Die Lösung des Gleichungssystems führt zu den Einheitsvektor n 1, die zur Hauptdehnung ε 1 gehört:

Ermittlung der Hauptrichtung n 2 für die Hauptdehnung ε 2 :

Nach einsetzen der konkreten Daten und Neuordnung der Gleichung erhält man:

also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten:

100 x 2 -50 y 2 = 0;

-50 x 2 +25 y 2 = 0;

-50z 2 = 0;

Aus der letzten Gleichung z 2 = 0 folgt. Das Verhältnis für die Unbekannten aus den zwei vorherigen Gleichungen:

(48)

Eine weitere Gleichung führt uns zur Lösung:

Nach der Lösung des Gleichungssystems der Einheitsvektor n 2, die zur Hauptdehnung ��2

gehört:

Der zur Hauptdehnung ε 3 gehörende Einheitsvektor n 3:

AUFGABE 5.2

Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt:

Es sind die Hauptsdehnungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln!

(49)

Kapitel 6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und

Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz.

In der Elastizitätslehre kann der lineare Zusammenhang zwischen Spannungen und der dadurch hervorgerufenen Verformungen mit dem einfachen Hookeschen Gesetzt beschrieben werden. Wenn die Formänderung vorhanden ist, durch eine entsprechende Gleichung können auch die Spannungen im untersuchten Bauteil ermittelt werden. Das Programm für Finiten Elemente berechnet zuerst die Verformungen in allen Knotenpunkten des räumlichen Netzes für das FEM Modell des Bauteiles, erst dann in einem zweiten Zyklus werden die Spannungen für jeden Knotenpunkt bestimmt.

Im Weiteren soll es analysiert werden, welcher mathematische Zusammenhang zwischen dem Formänderungstensor und dem Spannungstensor besteht?

Die elastischen Materialkennwerte laut der Gleichung 1.29. sind nicht unabhängig voneinander:

(6.1) In der elementaren Festigkeitslehre für reine Zugbelastung wird der Zusammenhang zwischen der Formänderung und Spannung durch das einfache Hookesche Gesetz bestimmt. Dies muss auch für die Tensor- Schreibweise erfüllt werden. Der Matrix des Spannungszustandes für einachsigen Zug:

(6.2)

also σ 2 = σ 3 = 0. Hier ist ebenso gültig, dass

(6.3)

und

(6.4)

Damit der Matrix des Formänderungstensors:

(6.5)

(50)

Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz.

Da der erste Skalarinvariante des Spannungstensors für reine Zug T I = σ 1 beträgt, dementsprechend kann die Gleichung nach herausheben von (1+ ν )/E folgendermaßen formuliert werden:

(6.6)

Das Ergebnis bleibt auch dann unverändert, wenn die Zugrichtung mit einer anderen Hauptrichtung gleich ist.

Es soll das Hookesche Gesetz für reinen Schub überprüft werden, inwieweit kann zur bisherigen Methode der Tensor-Schreibweise angepasst werden? Bei reinem Schub existiert auf der Ebene x-y nur die Schubspannung τ , also der Matrix des Spannungszustandes:

(6.7)

Das einfache Hookesche Gesetz kann eingesetzt werden:

(6.8)

Damit der Matrix des Formänderungstensors:

(6.9)

Nach der Verwendung der Gleichung 6.1. und weil der erste Skalarinvariante des Spannungstensors für reine Schub T I = 0 beträgt, dementsprechend kann die Gleichung 6.6. auch für diesen Fall als richtig erklärt werden.

Diese Feststellung ist auch dann gültig, wenn sich die Schubspannung in der Ebene y-z oder z-x befindet. Da der Zusammenhang zwischen Verformung und Spannung linear ist, das Superpositionsprinzip kann verwendet werden. Nach Summieren der Tensorgleichungen (insgesamt sechs!) erhält man das allgemeine Hookeschen Gesetz .

(6.10)

oder

(6.11)

Wenn der Spannungstensor aus dem Formänderungstensor zu bestimmen ist, das soll laut der Gleichungen 6.12.

oder 6.13. erfolgen:

(51)

Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz.

(6.12)

oder

(6.13)

Animation 3: Knickung BEISPIEL 6.1

Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben: