I. Grundbegriffe für Festigkeitslehre
2. Gleichungen der Biegelinie
In der Festigkeitslehre werden die Zusammenhänge zur Bestimmung von Durchbiegung und Neigung linear elastischer Biegestäbe konstanter Querschnitt und für einfacher Belastungsfälle Gleichungen der Biegelinie oder einfach als Biegelinie bezeichnet. In der Praxis am häufigsten eingesetzte Zusammenhänge der Biegelinie - ohne auf vollständigen Inhalt zu bestreben - enthält die Tabelle a 19.1. Die Durchbiegung sowie auch die Neigung in allen, in der Tabelle aufgeführten Fällen mit der Belastung lineare Funktion bildet, (durch doppelte Belastung auch zweifache Verformung verursacht wird), deswegen kann für Biegestäbe zusammengesetzter Belastungen das Prinzip der Superposition zur Berechnung von Durchbiegungen und Verdrehungswinkeln erfolgreich eingesetzt werden. Laut des Superpositionsprinzips wird durch jede einzelne Belastung eine solche Deformation (Durchbiegung/Neigung) hervorgerufen als sie auf den Balken alleine wirke. Dementsprechend kann die gesamte Verformung des Balkens als Resultierende der einzelnen Durchbiegungen erstellt werden. Bei dem Einsatz der Gleichungen der Biegelinie wird der Balken zusammengesetzter Belastung auf Balken
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
einfacher Belastungsfällen zerlegt (siehe Gleichungen der Biegelinie), und die gesamte Deformation wird als Summe der einfachen Balkenergebnisse erstellt.
Tabelle 19.1. Deformation der Biegebalken für einfache Lastfällen (Gleichungen der Biegelinie) BEISPIEL 19.1
Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die Verdrehung um die Achse x eines durch eine Einzelkraft belasteten eingespannten Balkens (Abb. 19.1.1) zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant.
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.1.1 Durch Einzelkraft belasteter eingespannter Balken.
Als erster Schritt ist die Beanspruchungsfunktion zu ermitteln. Wenn man die Beanspruchungsfunktion für den skizzierten Belastungsfall (Abb. 19.1.1) aus dem Kraftsystem auf der linken Seite des Querschnittes bestimmen will, benötigt dazu auch die Lagerreaktionen in der Einspannung. (Bemerkung: die Beanspruchungsfunktion kann auch ohne die Lagerreaktionen bestimmt werden, dazu soll der Balken auf die Ebene x-y gespiegelt, und der Koordinatenursprung auf die freien Ende des Balkens verlegt werden.)
Die Lagerreaktionen können aus den Gleichgewichtsgleichungen bestimmt werden.
∑M"A"=0=MA-F1
∑Fy=0=FA-F Damit:
MA=1F FA=F
Die Biegemomentfunktion:
M(z)=MA-zFA=1F-zF=F(l-z).
Die Gleichung der elastischen Linie
Es sollen beide Seiten der Gleichung zweifach integriert werden Erste Integralrechnung:
Zweite Integralrechnung:
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Die Konstante für die Integralrechnung C1 und C2 können aus den Randbedingungen bestimmt werden.
Randbedingung I.: für die Koordinate z=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine Verdrehung aufweißen darf.
Daraus folgt:
Randbedingung II.: für die Koordinate z=0 y=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine Verschiebung in Richtung y aufweißt.
Damit:
y(z=0)=0=C2.
Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens (die Verschiebung an einer beliebigen Querschnittes der Koordinate z):
Die maximale Verschiebung und Neigung erhält man im Querschnitt, der Koordinate z=l:
Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet.
BEISPIEL 19.2
Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die Verdrehung um die Achse x eines durch ein Moment (Kräftepaar) belasteten eingespannten Balkens (Abb.
19.2.1) zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant.
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.2.1 Durch ein Moment (Kräftepaar) belasteter eingespannter Balken.
Als erster Schritt ist die Beanspruchungsfunktion zu ermitteln. Wenn man die Beanspruchungsfunktion für den skizzierten Belastungsfall (Abb. 19.2.1) aus dem Kraftsystem auf der linken Seite des Querschnittes bestimmen will, benötigt dazu auch die Lagerreaktionen in der Einspannung. (Bemerkung: die Beanspruchungsfunktion kann auch ohne die Lagerreaktionen bestimmt werden, dazu soll aber der Balken auf die Ebene x-y gespiegelt werden)
Zur Bestimmung der Lagerreaktionen ist der Momentsatz (∑M=0) einzusetzen.
∑M"A"=0=MA-M0
Daraus:
MA=M0.
Das Rektionskraftsystem besteht aus einem einzigen Kräftepaar MA. Die Biegemomentfunktion:
M(z)=MA=M0.
Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden, und danach folgt nacheinander die zweifache Integralrechnung.
Die Konstante C 1 und C 2 für die Integralrechnung können aus den Randbedingungen bestimmt werden.
Erste Integralrechnung:
Randbedingung I.: für die Koordinate z=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine Verdrehung aufweißen darf.
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Daraus folgt:
Randbedingung II.: für die Koordinate z=0 y=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine Verschiebung in Richtung y aufweißt.
Damit:
y(z=0)=0=C2.
Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens (die Verschiebung an einer beliebigen Querschnittes der Koordinate z):
Für die Neigung an einer beliebigen Querschnittes der Koordinate z kann aus der folgenden Gleichung bestimmt werden:
Die maximale Verschiebung und Neigung erhält man im Querschnitt der Koordinate z=l:
Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet.
BEISPIEL 19.3
Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die Verdrehung um die Achse x eines durch Streckenlast belasteten Balkens (Abb. 19.3.1) zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant.
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.3.1 Durch Streckenlast beanspruchter Balken.
Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden. Zur Bestimmung der Lagerreaktionen ist der Momentsatz ((∑M=0) einzusetzen. Die Lagerreaktionen können aus den Gleichgewichtsgleichungen bestimmt werden.
∑Fy=0=FA-ql+FB
und daraus:
Die beiden Reaktionskräfte könnten wegen der Symmetrie ohne Gleichgewichtsgleichungen ganz einfach ermittelt werden.
Die Biegemomentfunktion:
Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden, und danach folgt die Integralrechnung zweimal.
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Die Randrandbedingungen:
Randbedingung I.: für die Koordinate z = 0 y = 0 beträgt.
Daraus folgt:
C2=0.
Randbedingung II.: für die Koordinate z = l y = 0 beträgt.
Dass heißt:
Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens:
Die Neigung für einen beliebigen Querschnitt der Koordinate z kann aus der folgenden Gleichung bestimmt werden:
Die maximale Verschiebung an der Koordinate z = l/2:
Die maximale Neigung erhält man in den Querschnitten A und B der Koordinate z = 0 beziehungsweise z = l:
Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet.
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
BEISPIEL 19.4
Es ist der BEISPIEL 18.5 mittels der Gleichungen der Biegelinie zu lösen!
Der untersuchte eingespannte Balken mit konstantem Querschnitt ist an der Abb. 19.4.1. dargestellt. Bei der Anwendung der Gleichungen der Biegelinie werden die Balken zusammengesetzter Belastung auf Balken einfacher Lastfälle zerlegt, die Deformationen werden einzeln bestimmt, und danach die Teilergebnisse summiert. In diesem konkreten Fall wird statt durch zwei Einzelkräfte F 1 und F 2 belasteter Balken zwei Träger eingesetzt, deren Belastung F 1 beziehungsweise F 2 beträgt (siehe Abb. 19.4.2.).
Abb. 19.4.1 Durch Einzelkräfte belasteter eingespannter Balken
Abb. 19.4.2 Zwei einfach belasteter Balken nach dem Einsatz des Superpositionsprinzips
Die Durchbiegung des Querschnittes C kann laut der Abb. 19.4.2 durch die vorzeichengerechte Summe von f
1C und f 2C bestimmt werden.
Da für kleinen Winkeln tgφ1B≅φ1B gilt, dass heißt die Tangente des Winkels mit einer ziemlich guten Annäherung mit dem Bogenmaß demselben Winkels gleich beträgt, kann geschrieben werden:
Durch einsetzen der Gleichungen der Biegelinie:
Daraus:
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Die Durchbiegung f 2C kann durch die Gleichungen der Biegelinie leicht ermittelt werden:
Die Verschiebungen f 1C und f 2C sind entgegen gerichtet, da die Verschiebung f 1C zur negativen y Achse gerichtet ist, deswegen muss ihre Vorzeichen im Weiteren als negativ berücksichtigt werden. Es war in unserer ursprünglichen Zielstellung festgelegt, dass die Durchbiegung des Querschnittes C f 1C = 0 betragen muss. Es kann einfach erzielt werden: die vorzeichengerechte Summe von Durchbiegungen f 1C und f 2C wie folgt: f 2C - f
1C = 0.
Daraus:
16F2l3=5F1l3, dass heißt
Das Ergebnis stimmt mit der Lösung aus dem Satz von Castigliano völlig überein.
BEISPIEL 19.5
Der untersuchte Auslegerbalken mit konstantem Querschnitt wird durch eine Einzelkraft belastet (Abb. 19.5.1.).
Es ist die Neigung des Querschnittes C unter Anwendung von Gleichungen der Biegelinie zu ermitteln.
Abb. 19.5.1 Auslegerbalken durch eine Einzelkraft belastet
Durch den Einsatz von Superpositionsprinzip wird der Balken zusammengesetzter Belastung auf zwei Balken einfacher Lastfälle zerlegt (siehe Abb. 19.5.2.), deren Neigungen durch die Gleichungen der Biegelinie getrennt bestimmt werden.
Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie.
Abb. 19.5.2 Zwei einfach belasteter Balken nach dem Einsatz des Superpositionsprinzips Als erster Schritt wird die im Querschnitt C wirkende Einzelkraft F auf den Querschnitt B reduziert.
Aus dem reduziertem Kraftsystem wird nur durch das Moment (Kräftepaar) eine Neigung verursachen, so reicht es uns nur damit zu beschäftigen.
Die Neigung der Querschnitte C an der Abb. 19.5.2. skizzierten Balken die gleiche Drehrichtung haben, so kann die Neigung des Querschnittes C für die ursprüngliche Aufgabe folgendermaßen formuliert werden:
φC=φ1C+φ2C
Durch den Einsatz von Gleichungen der Biegelinie:
Kapitel 20. Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen
Im Grundgesetz der Statik liegt fest: ein Körper befindet sich erst dann in Ruhelage wenn die Resultierende aller angreifenden Kräfte - als gleitende Vektoren - ein Nullvektor beträgt.
All das bedeutet in unserer heutigen dreidimensionalen Welt – es wird häufig wird als 3D abgekürzt – drei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die Kräfte, und ebenso drei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die Momente entlang der Koordinatenachsen des gewählten Bezugssystems.
Bei ebenen Problemen – häufig wird als 2D bezeichnet – sind zwei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die Kräfte entlang der Koordinatenachsen des gewählten Bezugssystems, und eine Skalar Gleichgewichtsgleichung für das Moment um eine, auf die Ebene orthogonal gerichtete Achse.
Die Lösung eines Festigkeitsproblems soll regelmäßig mit einer statischen Analyse angefangen werden, in der die Reaktionskräfte und/oder die Reaktionsmomente bestimmt werden müssen.
Dazu werden die Skalar Gleichgewichtsgleichungen des Grundgesetzes der Statik eingesetzt.
Falls die Summe der unbekannten Reaktionskräfte und Reaktionsmomente, also die Anzahl der Unbekannten mit den unabhängigen Gleichgewichtsgleichungen übereinstimmt, dann ist die Aufgabe statisch bestimmt. Es kommt trotzdem häufig vor, dass man mehr Unbekannten erhält, als die Anzahl der Gleichungen aus dem Grundgesetz der Statik zu gestalten ist, also die Aufgabe statisch unbestimmt ist. Durch die Differenz zwischen den Unbekannten und der Anzahl der Gleichungen wird für das Problem als Grad der Unbestimmtheit definiert.
Durch die Methoden der Festigkeitslehre können auch die statisch unbestimmten Probleme erfolgreich gelöst werden. Die Methoden können hauptsächlich aufgeteilt werden, wie folgt:
• der Einsatz von Verformungsgleichungen,
• der Einsatz des Prinzips von Energieminimum.
Bei dem Einsatz der Methode von Verformungsgleichungen müssen Verformungsgleichungen gestaltet werden, deren Anzahl dem Grad der Unbestimmtheit entspricht. Der Typ von Verformungsgleichungen ist immer mit dem Grundproblem eng verbunden. In den Verformungsgleichungen werden für irgendeinen Zwang (Lagerung oder Einspannung) durch die Lagerreaktionen hervorgerufene Verschiebungen oder Winkelverdrehung ausgedrückt.
Das Energieminimum Prinzip beinhaltet, dass der Betrag der Reaktionskräfte und/oder die Reaktionsmomente regelmäßig zu einer minimalen gespeicherten elastischen Energie in der Konstruktion führen.
In den vorherigen Abschnitten wurde bereits festgelegt, dass die im Festkörper gespeicherte elastische Energien für die Zug-Druck, Schub-, Biege-, und Torsionsbeanspruchungen folgendermaßen zu berechnen sind:
(20.1)
wo die Zug oder Druckbelastung (F), die Schubkraft (FT ), das Biegemoment (M) und das Torsionsmoment (T) konsequent als Funktion der Längskoordinate des Stabes (z) angegeben sind.
Meistens ist die durch die Scherkraft (FT ) entstehende elastische Verformungsenergie sehr klein, deswegen kann vernachlässigt werden.
Bei prismatischen Stäben mit gleichem Querschnitt können die Fläche und die Flächenträgkeitsmomente, für konstante Temperaturbedingungen auch die Materialkennwerte vor dem Integralzeichen geschrieben werden, so erhält man die folgende Gleichung:
Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen
(20.2)
Soll zum Beispiel die Reaktionskraft FA auf Basis des Energieminimum Prinzips ermittelt werden, dann muss unbedingt berücksichtigt werden, dass die mit der Kraft FA ausgedrückte Energiefunktion eben ihr Minimum erreicht. Extremwert, genauer ein Minimum für Multivariante Funktion kann durch eine partielle Ableitung erstellt werden, wo deren Wert gleichzeitig Null beträgt. Also durch die partielle Ableitung der Gleichung 20.2.
erhält man die in der Praxis verwendeter Zusammenhang für den Einsatz des Energieminimum Prinzips:
(20.3)
BEISPIEL 20.1
Aufgrund der Skizze (Abb. 20.1) und der Daten sind die Lagerreaktionen für den statisch unbestimmten Träger bei der Einrollenlager (A) beziehungsweise bei der Einspannung (B) zu bestimmen, wenn a=0,3 m, b=0,5 m, q=10 kN/m, F=12 kN beträgt.
Abb. 20.1
Die Reaktionskraft im Punkt A wird als aktive Kraft angenommen durch die, die Durchbiegung am Ende der Konsole fA = 0 beträgt. Auch hier kann das Superpositionsprinzip erfolgreich eingesetzt werden, dass heißt die Durchbiegungen verschiedener Lasttypen können einzeln ermittelt, und dann einfach summiert werden. Die Durchbiegung des Punktes A durch die Streckenlast:
Abb. 20.2
Die Durchbiegung des Punktes A infolge der Einzelkraft:
Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen
Abb. 20.3
Die Durchbiegung nach oben am Ende der Konsole aus der Einzelkraft FA :
Abb. 20.4
Die Summe der drei Durchbiegungen fA = 0:
f 1+f 2+f 3=0, dass heißt
Daraus erhält man die Reaktionskraft FA :
(FA=8,566kN).
Aus der Gleichgewichtsgleichung in Richtung y:
FB=q(a+b)+F-FA ,
(FB=11,434kN),
Aus der Momentengleichgewichtsbedingung erhält man das Reaktionsmoment M B :
Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen (MB=2,347kNm),
BEISPIEL 20.2
Es soll der Beispiel 20.1 auch unter Verwendung des Energieminimumprinzips gelöst werden!
Die Formänderungsenergie für einen starren Körper im allgemeinen Fall (20.1):
Der Balken wird in der konkreten Aufgabe mit keinen Zug-Druckkräften, und keinem Torsionsmoment belastet, die minimale Wirkung von Schubkraft kann vernachlässigt werden, so:
Da für einen prismatischen Stab die Biegesteifigkeit IE konstant ist, kann vor dem Integralzeichen geschrieben werden. Damit die Gleichung des Energieminimums (20.3):
Der Balken wird wegen der verschiedenen Belastungen auf zwei Strecken geteilt:
Abb. 20.5
Die Funktion des Biegemomentes und dessen partieller Ableitung für die Strecke I. (0≤z≤a):
Das Integral:
Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen
Strecke II. (a≤z≤a+b): die Funktion des Biegemomentes und dessen partieller Ableitung:
Das Integral:
Die Summe beider Integralausdrücke für den Balken beträgt Null:
Nach Neuanordnen der Gleichung:
Das Ergebnis der Beispiele 20.2. sowie 20.1 stimmten überein.
AUFGABE 20.3
Aufgrund der Skizze (Abb. 20.6) und der Daten sind die Lagerreaktionen für den statisch unbestimmten Träger bei der Einrollenlager (A) beziehungsweise bei der Einspannung (B) zu bestimmen! a=1 m, b=1,5 m, q=20 kN/m, Mo=22 kNm.
Abb. 20.6 AUFGABE 20.4
Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen
Aufgrund der Skizze (Abb. 20.7) und der Daten sind die Lagerreaktionen für den Durchlaufträger (statisch unbestimmten Träger) bei den Einrollenlagern (A und C) beziehungsweise bei dem Gelenk (B) zu bestimmen!
a=1 m, b=1,5 m, q=20 kN/m, Mo=22 kNm.
Abb. 20.7
Kapitel 21. Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale
Anforderungen). Formelsammlung.
1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre.
1a) Fragen zur Vorbereitung
Womit beschäftigt sich die Festigkeitslehre?
Was bedeutet Dimensionieren?
Woran besteht die Aufgabe der Festigkeitslehre?
Was bedeutet Gleichgewichtskraftsystem?
Was bedeutet statische Belastung?
Was versteht man unter Dehnung?
Stellen sie das einfache Hookesche Gesetz vor!
1b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Die Festigkeitslehre ist ein Wissenschaftsbereich der Physik, näher betrachtet der Mechanik, in der zur Dimensionierung von Konstruktionen und Maschinen notwendige Zusammenhänge erforscht werden.
Die Ermittlung von geometrischen Daten durch Außenwirkungen oder durch eingeprägte Kräfte belasteter Konstruktionsbauteile durch Festigkeitsberechnung wird Dimensionierung bezeichnet.
Ziel der Dimensionierung ist die Spannung oder die Verformung zwischen vorher bestimmten grenzwerten zu halten.
Die Aufgabe der Festigkeitslehre bildet die Erarbeitung zur Dimensionierung notwendigen Verfahren und Zusammenhänge.
In der Statik werden die Objekte der Mechanik (Massenpunkt, starrer Körper, Konstruktion) in Ruhelage analysiert, in der die Kräfte und Momente ein Gleichgewichtssystem bilden, dementsprechend die stehen unter statischer Belastung.
1c) Formelsammlung
2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes.
Spannungsvektor und Spannungstensor.
Fragen zur Vorbereitung.
Wann ist der Spannungszustand Punkt bekannt?
Was enthält das Reziprozitätsatz von Chauchy?
Was bedeutet der Spannungstensor?
Wie kann aus der Matrix des Spannungstensors der Spannungsvektor zu beliebigen Richtungen ermittelt werden?
3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes.
3a) Fragen zur Vorbereitung
Wie werden die Skalar Invarianten des Spannungstensors interpretiert?
Was versteht man unter Hauptspannung?
Was versteht man unter Hauptrichtung?
Welche sind die Spannungshauptebenen?
Wie kann ein dreiachsiger Spannungszustand beschrieben werden?
Wie kann ein ebener Spannungszustand beschrieben werden?
Welche sind die Parameter eines Mohreschen Spannungskreises?
3b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Invarianten des Spannungstensors Hauptspannung
Hauptrichtung
Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung.
Spannungshauptebenen
dreiachsiger Spannungszustand Spannungshauptebenen ebener Spannungszustand
die Parameter eines Mohreschen Spannungskreises 3c) Formelsammlung
4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors). Rotationstensor.
Formänderungstensor.
4a) Fragen zur Vorbereitung
Wie wird die Verschiebungsfunktion interpretiert?
Was versteht man unter Ableitung des Tensors des Verschiebungsfeldes?
Was versteht man unter Formänderungsvektor?
Was versteht man unter Formänderungstensor?
Was versteht man unter Rotationstensor?
Wie kann der Formänderungsvektor aus der Matrix des Formänderungstensors zu beliebigen Richtungen ermittelt werden?
4b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Verschiebungsfunktion
Ableitung des Tensors des Verschiebungsfeldes Formänderungsvektor
Formänderungstensor Formänderungstensor 4c) Formelsammlung
Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung.
5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen 5a) Fragen zur Vorbereitung
Wie werden die Skalar Invarianten des Formänderungstensors interpretiert?
Was versteht man unter Hauptdehnung?
Welche sind die Dehnungshauptebenen?
5b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Skalar Invarianten des Formänderungstensors Hauptdehnung
Hauptrichtung 5c) Formelsammlung
6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz.
6a) Fragen zur Vorbereitung
Was versteht man unter dem allgemeinen Hookeschen Gesetzes?
6b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung.
allgemeine Hookesche Gesetz 6c) Formelsammlung
7. Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers 7a) Fragen zur Vorbereitung
Wie kann die Verformungsenergie definiert werden?
Wie kann die Energiedichte definiert werden?
Wie kann die Energiedichte definiert werden?
7b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Verformungsenergie Energiedichte
7c) Formelsammlung
8. Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe.
8a) Fragen zur Vorbereitung
Was versteht man unter Zug- oder Druckbeanspruchung?
Wie wird es die Spannung für Zug- oder Druckbeanspruchung bestimmt?
Wie wird es die Verformung für Zug- oder Druckbeanspruchung bestimmt?
Wie wird es die elastische Verformungsenergie für Zug- oder Druckbeanspruchung bestimmt?
8b) Definitionen (minimale Anforderungen) Zug- oder Druckbeanspruchung
Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung.
8c) Formelsammlung
9. Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie.
9a) Fragen zur Vorbereitung
Wann wird ein Problem als durch Eigengewicht beanspruchter Stab bezeichnet?
Der Stab ist an dem oberen Ende eingespannt und auch durch eine Einzelkraft F sowie durch sein Eigengewicht belastet. Es ist die Zugbeanspruchung unter Berücksichtigung der Eigenmasse zu ermitteln!
Was versteht man unter Stab gleicher Festigkeit?
Es ist die Gleichung für den Stab gleicher Festigkeit sowie dessen Verlängerung zu interpretieren.
9b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Die senkrecht angeordneten Stäbe werden - demnach wie sie eingespannt sind - durch das Eigengewicht auf Zug oder auf Druck beansprucht. So bedeutet das Eigengewicht eine zusätzliche Beanspruchung für das Tragwerk.
Gz das Gewicht des Stabteiles der Länge z bedeutet.
Für Faden, Drahte ist es ein sehr wichtiger Kennwert, die so genannte Reißlänge (Lr ). Sie bedeutet diese Länge bei der die Draht ohne äußere Belastung, dass heißt, für (σ0=0 beziehungsweise F=0) bereits infolge sein Eigengewicht zerreißt.
Ein Stab kann erst dann als ein Stab gleicher Festigkeit betrachtet werden, wenn in allen Querschnitten die gleiche Spannung vorhanden ist.
Für Zug- und Druckbelastung kann die Form eines Stabes gleicher Festigkeit durch eine logarithmische Funktion beschrieben werden.
9c) Formelsammlung
Die maximale Zugspannung in einem Stab durch die Einzelkraft „F” und durch das Eigengewicht:
Die so genannte Reißlänge:
Fragen zur Vorbereitung.
Definitionen (minimale Anforderungen). Formelsammlung.
Die Gleichung für den Stab gleicher Festigkeit:
Die Verlängerung des Stabes gleicher Festigkeit:
Die gesamte Energie für das Volumen V:
10. Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab.
10a) Fragen zur Vorbereitung
Wann behandelt sich um reinen Schub?
Wann behandelt sich um reine Biegung, gerade Biegung und reine gerade Biegung?
Es ist die Naviersche Formel zu interpretieren!
Was wird für eine reine gerade Biegung als neutrale Achse bezeichnet?
Es ist die Zsuravszkij Formel zu interpretieren!
10b) Definitionen (minimale Anforderungen)
Falls ein prismatischer Stab (oder ein Stabelement) gerader Stabachse in einem ausgewählten Querschnitt durch
Falls ein prismatischer Stab (oder ein Stabelement) gerader Stabachse in einem ausgewählten Querschnitt durch