1.4. Matematikadidaktikai szemelv´ enyek I
1.4.8. Varga Tan´ as: Matematika – sz¨ ulet˝ of´ elben
Megjelent a N´eh´any hazai ´es k¨ulf¨oldi k´ıs´erlet k¨otetben, 1972-ben.
Nevetni ´es s´ırni egyszerre lehetne azon, milyennek l´atj´ak a matematik´at m´ask¨ul¨onben m˝uvelt, tud´os emberek is. ¨Osszet´evesztik a torzk´ep´evel. De h´at ki a hib´as? H´atha nem is tal´alkoztak az igazival, csak hitv´any ut´anzat´aval? SELYE J ´ANOS, a stressz vil´agh´ır˝u kutat´oja ´ıgy ´ır ( ´Alomt´ol a felfedez´esig, 342.old.):
”Sokszor hallom, hogy minden ember-nek, ak´armivel foglalkozik, alapos logikai ´es matematikai k´epz´est kellene kapnia, mert
´ıgy tanul meg gondolkodni. ´En ezt nem hiszem. S˝ot, ez az ismeret csak megb´en´ıthatja a f´elig-meddig intuit´ıv gondolkod´as szabad ´araml´as´at, amely p´eld´aul az orvostudom´anyi kutat´as legm´elyebb alapja. A form´alis logika ´es a matematika k´ets´egk´ıv¨ul megtan´ıt arra, hogyan gondolkodjunk a form´alis logik´ar´ol ´es a matematik´ar´ol.” Neh´ez helyzetbe hoztam magam ezzel az id´ezettel, mert Selye professzor nagy tekint´ely. Mi´ert hinn´ek el nekem jobban, mint neki, mire j´o – ´es mire rossz – a matematika? (S vele b¨olcsen p´aros´ıtva, a logika.) Pedig nyilv´anval´o, hogy nem az igazir´ol besz´el, hanem az ut´anzat´ar´ol.
Arr´ol viszont tal´al´oan nyilatkozik. Hasonlata a szabad ´araml´as megb´en´ıt´as´ar´ol teli-tal´alat. Nem ´ugy tanultuk-e legt¨obben a matematik´at, hogy ha z´ar´ojelet l´atsz, bontsd fel? Hogy mindenre van valami szab´aly vagy k´eplet, s ezt a sok szab´alyt, k´epletet meg kell tanulni, ´es pontosan tudni kell alkalmazni?
Lassan m´egis utat t¨or mag´anak az iskol´aban az a m´asik matematika, az igazi, amely nincs s´ınhez k¨otve. Amelyben helye van a gondolatok szabad ´araml´as´anak, a fant´azi´anak, az intu´ıci´onak ´es – igen – az eszt´etikumnak, a sz´ep keres´es´enek is. A sz¨ulet˝of´elben lev˝o, in statu nascendi matematika, ahogy P ´OLYA GY ¨ORGY nevezi.
Az alkot´o matematikusok mindig is ilyennek ismert´ek a matematik´at.
K¨ul¨on¨os: az iskolai matematika gyakran azzal igyekszik a tudom´anyoss´ag l´atszat´at kelteni, hogy rejtegeti kialakul´as´anak nyomait, intuit´ıv von´asait. V´egleges, dedukt´ıv tu-dom´any k´ep´eben igyekszik azonnal megjelenni, mintha sz´egyelln´e a sz´armaz´as´at. De
´
eppen ezzel v´alik tudom´anytalann´a. S ezzel teszi az ´erett, dedukt´ıv matematik´at hozz´ a-f´erhetetlenn´e.
Hozz´af´erhet˝ov´e akkor v´alik a gyerekek sz´am´ara a matematika, ha v´allalja, hogy f´elk´esz
´ aru.
Vagy tal´an ink´abb bark´acsk´eszlet: egy csom´o alkatr´esz, amib˝ol a gyerek ´ep´ıthet. M´ eg-pedig nemcsak egyf´el´et, hanem – fant´azi´aj´at, intu´ıci´oj´at,
”gondolatainak szabad ´araml´ a-s´at” is seg´ıts´eg¨ul h´ıva – ezt meg azt. De persze nem ak´armif´ele limlomot, hanem csupa sz´ep, ´erdekes, hasznos, fontos dolgot. Hiszen ezek tudj´ak igaz´an megmozgatni a fant´azi´at is.
Csak a m˝uv´eszi alkot´otev´ekenys´egen ´es a tudom´anyos kutat´omunk´an ´at vezet ´ut a dedukt´ıv matematika meg´ert´ese fel´e. Aki nem tud egy kicsit m˝uv´esz ´es egy kicsit tud´os lenni, az a matematik´ab´ol csak a formul´akat l´atja, maga a matematika idegen marad neki.
De h´at elv´arhatjuk-e, hogy mindenkib˝ol (hacsak kicsit is) m˝uv´esz ´es tud´os legyen?
Eszerint igaz volna, hogy a matematika kevesek kiv´alts´aga?
Ezt persze sz´ıvesen elhiszik sokan. Az is, aki ´ugy ´erzi, hogy a kiv´alts´agosak k¨oz´e tartozik (l´am, ˝o kiv´eteles adom´any birtokosa), de az is, aki a m´asik oszt´alyba sorolja mag´at (hiszen akkor nem kell sz´egyellnie, hogy nem ´erti a matematik´at, osztozik ebben a t¨obbs´eggel: ˝ok is a norm´alisak, amazok a furcs´ak).
Hadd mondok ki egy hipot´ezist: matematikai m˝uv´esz- ´es tud´osk´epz´esre minden szel-lemileg ´ep gyerek alkalmas.
A k´epess´egek k¨ul¨onb¨oz˝oek, ez igaz; de az´ert ha egy gyereknek neh´ez a
”matek” t¨ obb-nyire nem a k´epess´egeivel van baj, hanem azzal, hogy az alkot´okedv´et nem siker¨ult meg-mozgatni. Ha ez siker¨ul, akkor hat´ekonyabb – ´es etikailag vesz´elytelenebb – motiv´aci´os er˝oh¨oz jutunk, mint az ¨oszt¨onz´es¨ul osztogatott csillagocsk´ak meg ¨ot¨os¨ok.
Ezt a hipot´ezist persze igazolni is kell, sok oldalr´ol, k¨ul¨onb¨oz˝o k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott.
Ezen dolgozik egy munkak¨oz¨oss´eg az Orsz´agos Pedag´ogiai Int´ezet ir´any´ıt´as´aval, 1962
´
ota. M´ar sz´azn´al t¨obb oszt´alyban, Szombathelyt˝ol S´arospatakig. Alkalmazkodva a min-denkori val´os´aghoz, de a t´avolabbi c´elok tudat´aban. Ezen dolgozik m´eg sok munkak¨ o-z¨oss´eg vil´agszerte.
Ugy l´´ atszik, a matematika tan´ıt´as´anak hum´anusabb´a t´etel´ehez meg´ertek a felt´etelek.
Lehet, hogy most egy vagy k´et ´evtized alatt nagyobbat l´ep el˝ore az iskolai matematika, mint az el˝oz˝o sz´az ´evben,
Nem abban, hogy m´eg nagyobb s´ullyal nehezedik a gyerekekre, hanem abban, hogy k¨ozelebb ker¨ul hozz´ajuk ´es be´ep¨ul a gondolkod´asukba az a sok pozit´ıvum, amit a kor-szer˝u matematika adhat. Azok n´elk¨ul a negat´ıvumok n´elk¨ul, amikkel a nem korszer˝u, a form´alisan tanult matematika csakugyan merevebb´e teheti valakinek a gondolkod´as´at.
Erdekes volna elemezni azokat a felt´´ eteleket, amelyek egyr´eszt sz¨uks´egess´e, m´asr´eszt lehets´egess´e tett´ek a fordulatot:
• a matematika XIX. ´es XX. sz´azadi fejl˝od´es´et (ami az iskolai anyagot szinte ´ erin-tetlen¨ul hagyta);
• az egys´eges´ıt˝o tendenci´ak t´ernyer´es´et az ut´obbi ´evtizedekben; azt a felismer´est, hogy az egys´egesebb´e v´al´o matematika iskolai anyagnak is k¨onnyebb, mint az, amit megszoktunk;
• az abb´ol ered˝o (m´aig is er˝os) ellen´all´asnak a lass´u lek¨uzd´es´et, hogy hajlamosak vagyunk k¨onnyebbnek tekinteni (m´asokra vet´ıtve is) azt, amit megszoktunk.
Azt´an a pszichol´ogia n´emely ´uj eredm´eny´et, ezzel egy¨utt a pedag´ogiai szeml´elet ´ atalaku-l´as´at;
De besz´elj¨unk a fordulatnak csak egyetlen, tal´an legf˝obb mozgat´oj´ar´ol: a tudom´ anyos-technikai forradalomr´ol. Arr´ol, hogy az ember, miut´an testi erej´et a g´epek munk´aba
´
all´ıt´as´aval az elm´ult egy-k´et ´evsz´azad alatt gyorsul´o ¨utemben megsokszorozta (ma a f¨old minden lakos´ara ´atlagosan annyi energia jut, mintha t¨obb tucatnyi rabszolg´at hajszolna reggelt˝ol estig), most szellemi erej´et kezdi
”gondolkoz´o” g´eprabszolg´ak ´utj´an m´eg na-gyobb m´ert´ekben fokozni.
Az a sz´amtani anyag ´es azok a tan´ıt´asi m´odszerek, amelyek minden eddigi reform ellen´ere ma is ´elnek ´es hatnak, akkor alakultak ki, amikor g´epek h´ıj´an emberek adtak
¨ossze hossz´u sz´amoszlopokat, v´egeztek olyan sz´am´ıt´asokat, amelyeket a mai g´epek ezred-, milliomodannyi id˝o alatt megb´ızhat´obban tudnak elv´egezni.
A n¨oveked´es ¨utem´ere jellemz˝o, hogy f¨old¨unk¨on az egy f˝ore jut´o energiatermel´es k¨or¨ ul-bel¨ul minden ´evtizedben k´etszerez˝odik meg (ez sem csek´elys´eg!), a sz´amol´og´epkapacit´as viszont m´ar k´et-h´arom ´evenk´ent.
Iszonyatos hatalom birtok´aba ker¨ul az emberis´eg, ´es ez a pedag´ogia felel˝oss´eg´et is n¨oveli, feladatait is befoly´asolja. J´ora haszn´alja-e ´es ´ertelmesen haszn´alja-e n¨ovekv˝o er˝oit a viharosan serd¨ul˝o emberis´eg?
A matematika tan´ıt´as´anak tartalm´at ´es m´odszereit k¨ozvetlen¨ul az ut´obbi k´erd´es
´erinti. (K¨ozvetve persze az el˝obbi, a h´usba v´ag´obb is.)
M´egpedig nem fel¨uletesen ´erinti, hanem alapvet˝oen meghat´arozza.
A j¨ov˝o embere tiszt´an fogja l´atni, mire k´epes ´es mire nem k´epes a komputer (´es a kisebb g´epek eg´esz sk´al´aja). Saj´at k´epess´egeit aszerint fejleszti, s ez ´ertelmi tev´ekenys´ e-g´eben l´enyeges hangs´ulyeltol´od´asokra vezet.
Persze csak nagy f´azisk´es´essel; de nemzetek ´es t´arsadalmak maradhatnak le vagy t¨orhetnek f¨ol annak k¨ovetkezt´eben, hogy mekkora ez a f´azisk´es´es.
A mechanikus k´eszs´egek szerepe cs¨okken, illetve olyan m´ert´ekig marad meg, milyen m´ert´ekig seg´ıtik m´as, fontosabb, a g´epekkel szemben versenyk´epes vagy ´eppen helyette-s´ıthetetlen k´epess´egek – p´eld´aul az ¨otletess´eg ´es az absztrakci´os k´epess´eg – fejl˝od´es´et.
K´et p´eld´at mondok erre. Az egyik egyben v´alasz egy gyakran feltett k´erd´esre: kell-e ezut´an is egyszeregyet tanulni?
Kell – pontosabban: ´erdemes, hasznos –, de nem ugyanaz´ert ´es nem ugyan´ugy, ami´ert
´
es ahogy azel˝ott.
Erdemes egyszeregyet tanulni, mert m´´ ely matematikai gondolatok gazdag p´ elda-anyaga.
Es ´´ ugy ´erdemes, hogy felfedez˝o utak k¨ozben r´aeszm´el¨unk ezekre a gondolatokra is, t´ul az olyan asszociat´ıv kapcsolatokon, mint az, hogy
”hatszor h´et”-re
”negyvenkett˝o” a k´adencia.
Felfedez´eseket ritk´an tesznek z´art sorokban, vez´enysz´ora, d´ıszl´ep´esben. Ink´abb elm´ e-lyedve, belefeledkezve valamilyen tev´ekenys´egbe ´es az ahhoz f˝uz˝od˝o gondolatokba.
Kisgyerekekn´el k¨ul¨on¨osen fontos, hogy tev´ekenys´eg ir´any´ıtsa a gondolkoz´asukat, ´es tapasztalataikon m´erj´ek le elk´epzel´eseik ´ert´ek´et. Sok kit˝un˝o eszk¨ozt ´es elj´ar´ast dolgoztak ki ehhez: DIENES ZOLT´AN ezeknek egyik legjelesebb kutat´oja. Nem szeml´eltet˝
oesz-k¨oz¨oket mutat fel a tan´ıt´o, hanem munkaeszk¨oz¨okkel dolgoznak a gyerekek. M´egpedig t¨obbf´el´evel, hogy ne k¨ot˝odjenek egyhez; absztrah´alj´ak, ami benn¨uk k¨oz¨os.
Az ilyen tev´ekenys´eg k¨ozben felfigyelnek a gyerekek p´eld´aul 3·7, 6·7 ´es 9·7 ¨ ossze-f¨ugg´eseire: arra, hogy 21 + 42 = 63 ugyan´ugy, ahogy 3 + 6 = 9; hogy 21-nek a k´etszerese 42, h´aromszorosa 63, mint ahogy a 3-nak is a 6 ´es a 9.
Lehets´eges, hogy k´es˝obb jutnak el ´ıgy a
”k´eszs´eg fok´ara”, (´erdekes, n´eha el˝obb), de mindenesetre ´erettebb, maradand´obb ismeretekhez jutnak ´es emberhez m´elt´obb ´uton.
Nemcsak a v´alaszokat tudj´ak, hanem ´ugy igazodnak el az egyszeregyben, mint a J´azmin utca k¨orny´ek´en az arrafel´e lak´o gyerekek.
A m´asik p´elda azt illusztr´alja, hogy a tananyagnak is ´at kell alakulnia, nemcsak a tan´ıt´as ´es tanul´as m´odj´anak.
Egy ´eve lehet, hogy olvastam egy sz´ep riportot sok-sok h´aromgyerekes csal´adr´ol.
F´enyk´epek ´es nyilatkozatok szeml´eltett´ek, milyen boldog is egy olyan csal´ad, ahol pon-tosan h´arom gyerek van.
Nyilv´anval´o volt a cikk n´epesed´espolitikai tendenci´aja: 3 az optim´alis sz´am, a szoli-dan b˝ov´ıtett ´ujratermel´es. Ez az igazi hazafi´ui tett. Ti 2, 1 ´es 0 gyerekesek – ebben a sorrendben fokozva – ´erezz´etek elmarasztalva magatokat: stagn´al´asra ´es kihal´asra ´ıt´ el-n´etek a nemzetet. Ti viszont 4, 5 ´es t¨obb gyerekesek, egy kicsit t´uloztatok. Ilyen ar´any´u szaporulatot nem gy˝ozne az orsz´ag.
Mi k¨oze ennek a matematika tananyag´ahoz? Az, hogy a tananyagban ma nem szerepel az eloszl´as fogalma ´es t¨obb szempont´u elemz´ese. Egy szempont emelkedik ki: az ´atlag.
A k¨oztudatban is csak ez ´el. Nem m´erlegelj¨uk el´egg´e, hogy egy olyan eloszl´as, mint mondjuk 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 7 nemcsak a realit´ast fejezi ki jobban, hanem nevel´esi vagy egy´eb szempontb´ol esetleg el˝ony¨osebb is lehet, mint az ugyanolyan ´atlag´u 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 eloszl´as. (P´eld´ankban ¨oten n˝onek f¨ol kis, 1 vagy 2 gyermekes csal´adban.) Nem hib´as-e a matematika tanterve is abban, hogy az egyoldal´uan ´atlagcentrum´u szeml´elet ´ugy eluralkodott?
Matematikai statisztika az ´altal´anos iskol´aban – ez ´ıgy ijeszt˝oen hangzik. De ha a sz´or´as ´es m´as eff´ele fogalmak intuit´ıv kialak´ıt´as´at, fokozatos ´erlel´es´et jelenti, akkor a matematikatan´ıt´as meg´ujul´as´anak lehet r´esze.
K´et p´elda nem sokat ´arul el, de itt abba kell hagynom. Mondanival´omat ´ıgy summ´ az-n´am: mozgalom indult Magyarorsz´agon ´es szerte a vil´agon egy sz´o k¨oznyelvi jelent´es´enek
´
es ´erzelmi t¨olt´es´enek m´odos´ıt´as´ara.