1.4. Matematikadidaktikai szemelv´ enyek I
1.4.9. Varga Tam´ as: Imre
Megjelent: A Matematika Tan´ıt´asa foly´oiratban 1963/6.
Ugy tudtam, hat´´ eves. Amikor megjelent az ajt´oban egy gondoz´on˝o ´es a helyi tan´acs egyik k´epvisel˝oje k´ıs´eret´eben, kisebbnek tal´altam, mint amilyennek k´epzeltem. Pedig rosszul tudtam a kor´at: k´et h´onapja t¨olt¨otte be a hetediket. B´ar alacsony, nem fejlet-len. Kerek k´ep˝u, telt. D´elut´an j¨ott hozz´am, harminck´et fokos melegben; el˝otte az eg´esz D´elel˝ott¨ot a Gyermekl´elektani Int´ezetben t¨olt¨otte, feladatokat adtak neki. Elsoroltak neki tizen¨ot sz´amot szab´alytalan ¨osszevisszas´agban; elism´etelte. Ugyanazt visszafel´e is el tudta mondani, csak a 17 helyett 71-et mondott – ezt is megford´ıtotta. T¨obbjegy˝u sz´amokat szoroz ´es oszt fejben. Az´ert is hozt´ak fel megvizsg´alni, mert kider¨ult az is-kol´aban, hogy sz´amtanb´ol toronymagasan van a t¨obbiek felett. Most v´egezte az els˝o oszt´alyt. Az anyj´anak t´ız gyereke van, ˝o a tizedik. Az apja nem ´el vel¨uk, r´eszegesked´esei miatt kitiltott´ak a falub´ol, ahova az ˝o tany´ajuk is tartozik. Miel˝ott az anyja ˝ot megsz¨ulte volna, elkesered´es´eben a k´utba ugrott, de kih´uzt´ak. M´asnap sz¨uletett Imre. Anyja neh´ez k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott nevelte fel.
Az anyja ´ır´astudatlan, k´et n˝ov´ere is az. Valamit tal´an felszedhetett a gyerek sz´ am-tanb´ol az iskol´aba j´ar´o testv´ereit˝ol, de tan´ıtani senki sem tan´ıtotta iskol´askora el˝ott.
N´egy´eves kor´aban az anyj´anak egyszer azt mondta a piacr´ol hazafel´e j¨ovet:
”Edesany´´ am, becsapt´ak egy forint negyvennel.” Ut´anasz´amolt az anyja, h´at csakugyan. Ekkor vette
´
eszre, hogy a fia m´ar sz´amol. De amikor a gyerek iskol´aba ker¨ult, nem sz´olt a tan´ıt´onak, vagy nem ´ugy, hogy az komolyan vette volna. A gyerek csak ¨ult, ¨ult a sz´amtan´or´akon, cs¨ondben volt, egyszer el is aludt. A tan´ıt´o bek¨uldte az igazgat´ohoz egy kis fejmos´asra.
Ott b¨okte ki a gyerek, hogy ˝o azt m´ar mind tudja, amir˝ol sz´amtan´or´an sz´o van. Kider¨ult, hogy sokkal t¨obbet is tud!
A gyerekben nincs semmi abnorm´alis, semmi korav´ens´eg, semmi egzalt´alts´ag. Maga-biztos, de nem l´atszik, hogy el volna kapatva. Gyerekes, j´at´ekos. A Cuisenaire-k´eszlettel (1 cm-es kocka, 2, 3, ... 10 cm-es oszlop k¨ul¨onb¨oz˝o sz´ın˝u m˝uanyagb´ol) kedv´ere j´atszik, sorba rakja. Sz´amolgatni kezd¨unk. K´etm˝uveletes feladatokat is adok neki. 57+89−89-re azonnal r´amondja, hogy 57. L´atszik, nem g´ep m´odj´ara sz´amol, az ´ertelem fel˝ol k¨ozel´ıti meg a feladatokat, nem az algoritmusok fel˝ol. 27·37-en kb. f´el percig gondolkodik. Nagy
¨or¨ommel mondja, hogy 999. Tetszik neki, hogy ilyen sz´ep sz´am.
Gondoljon most ˝o egy sz´amot, mondom. Adjon hozz´a 28-at. Ehhez m´eg adjon 59-et. Amit kapott, abb´ol vegye el azt, amit el˝osz¨or gondolt. Mindent fejben sz´amol.
Amikor l´atom, hogy k´esz a sz´amol´assal, megmondom ´en a v´egeredm´enyt: 87. F¨olnevet
´
es b´olint. Tetszik neki, hogy ´en tudom, amit pedig csak ˝o tudhatna. El´arulja, hogy 5-re gondolt. Megmondom, hogy ezt nem tudtam volna kital´alni, csak azt, amit utolj´ara kapott. Le´ırom neki, mi az, amit kisz´am´ıtott: 5 + 28 + 59−5. Meg´erti, hogy a v´eg´en azt vette el, amit ˝o gondolt, csak az maradt, amit ´en adtam hozz´a. Elism´etelj¨uk m´as sz´amokkal is. Most ´en gondolok, ˝o tal´alja ki, javaslom. Erre nem v´allalkozik.
Megpr´ob´alom felid´eztetni vele az el˝oz˝o p´elda sz´amait. Nehezen megy. A sz´ameml´
e-kezete – ha kor´ahoz k´epest fejlett is – nem rendk´ıv¨uli.
Fel´ırom neki:
1,2,4,8,16
Tudn´a-e folytatni? Nem l´atja a szab´alyoss´agot, 24-et mond. Amikor kiigaz´ıtom 32-re, a k¨ovetkez˝onek akkor is 48-at gondolja. Ez ´uj, gondolja. Ez ´uj gondolat neki, nem er˝oltetem a kital´al´ast, l´atom, hogy minden´aron ¨osszeadni akar, megmondom, ´en ´ugy sz´amoltam: 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4, 4 + 4 = 8 stb., folytassa fejben, ameddig kedve van.
65536-n´al jelenti ki, hogy most m´ar ink´abb nem folytatja. Addig nem hib´azott.
Otsz¨¨ or h´aromszor k´et gyuf´asdoboz ´atl´atsz´o pap´ırba csomagolva, ezt kapja a kez´ebe.
Meg tudja-e mondani, an´elk¨ul, hogy felbontan´a, h´any gyuf´asdoboz?
”Nem tudom” – mondja.
Ezt a gondolatot m´eg el˝o kell k´esz´ıteni. El´ebe adok egy doboz ´ep´ıt˝okock´at, 2 hat-v´anyai szerint mennek a darabok, 1-t˝ol (egy k¨obcentim´eteres kock´akt´ol) 64-ig. A fel¨ u-let¨uk¨on rov´atkol´as jelzi az egys´egkock´akra val´o feloszt´ast, mint a Dienes-f´ele szeml´ elte-t˝oeszk¨oz¨okn´el. (Ahhoz k´esz´ıtettem kieg´esz´ıt˝o doboznak.) Sorba kell raknia a darabokat nagys´ag szerint, azt´an meg kell mondania, melyik h´any kis kock´ab´ol ´all. Kis kocka van el´eg, megpr´ob´alhatja fel´ep´ıteni, ha ´ıgy k¨onnyebb. A 16-osat ´es 32-eset (2·2·4 ´es 2·4·4) m´eg ´ep´ıt´es n´elk¨ul megmondja. A 64-es kocka alak´u. El˝osz¨or ezt is 16-nak mondja.
Elkezdi fel´ep´ıteni egys´egkock´akb´ol. Amikor 16-ot be´ep´ıtett, k´enytelen bel´atni, hogy ez kev´es. El˝oveszi a 64-es kock´at, f´el perc alatt megmondja, hogy 64. ´Igy mondja: itt van 16, ez is 16, m´eg 16 ´es m´eg 16. Most m´ar a becsomagolt gyuf´asdobozokat is visszaadom neki. Megn´ezi ´es megmondja, hogy 30.
”Es 9 forintba ker¨´ ul” – teszi hozz´a.
”Honnan tudod, hogy nem 40 fill´eres gyufa?”
”L´atom rajta.”
T´egla alakban ¨osszerakott ´es becsomagolt kis kock´akat kap. A 60-at el˝osz¨or 48-nak mondja, 5 helyett 4-et sz´aml´alt az egyik ir´anyban.
”Biztos?” – k´erdezem. Jobban megn´ezi, kijav´ıtja. A t´erfogatsz´am´ıt´as m´odja k¨or¨ul m´ar nincs neh´ezs´ege, b´ar egy sz´o sem esett arr´ol, hogy sz´eless´egszer hossz´us´agszor magass´ag, vagy m´as eff´ele, ´es l´athat´oan teljesen ´uj volt neki a gondolat.
H´et z¨old ´es h´arom piros f´ab´ol k´esz¨ult j´at´ekgomb´at adok oda neki.
”N´ezzed meg, mib˝ol vannak!” El˝osz¨or nem felel.
”Vasb´ol?”
”Nem – mondja nevetve –, f´ab´ol.”
”Milyen sz´ın˝uek?”
”Ezek pirosak, ezek k´ekek.” R´ahagyom.
”Milyen alak´uak?” Nem felel, nekem kell megmondani, hogy gomb´ak akarnak lenni.
”Szedt´el m´ar gomb´at?” van t¨obb, k´ek gomba vagy fagomba?”
”K´ek.” ,H´at h´any k´ek gomba van?”
gyerekek.
Megint a kis kock´akat adom oda neki. Megmutatom, hogy lehet 14 kock´at k´et egy-forma sorban kirakni. 15 kock´at ki tudna rakni t¨obb sorban? Kirakja. 16-ot? Azt is. 17-et? Ezt ´en mutatom neki, hogy sem kettes´evel, sem h´armas´aval, sehogy sem le-het t¨obb sorban kirakni. Meg´ertette a gondolatot, m´ar nem is kellenek neki a kock´ak.
Megmondja, hogy a 18-at kettes´evel, h´armas´aval is ki lehet rakni. A 19-en gondolkozik.
”Nem lehet kirakni” – mondja. Elsorolja a 20 kirak´asait, a 21-et is megmondja. A 22-re v´aratlanul azt mondja, nem lehet. Tal´an csak 10-en aluli sz´amokra gondolt.
”Kettes´ e-vel nem tudn´ad?”
”De igen, k´etszer tizenegy.” Nagyobb sz´amot mondok neki:
”84-et hogy tudn´ad kirakni?” F´elpercnyi sz¨unetekkel elmondja:
”2-szer 42”
”3-szor 28”,
”4-szer 21.” Az 5-n´el nagyon sok´aig gondolkozik.
”Nem lehet?” – k´erdezem.
”Nem” – mondja.
”Mennyi marad ki?”
”Egy.” (Tal´an ´ugy gondolta, hogy egy kellene m´eg hozz´a.)
”Bementem a boltba, l´attam egy polcon csokiszeleteket. Nyolc darabot akartam venni, de nem tudtam megvenni, mert egy forinttal kevesebb p´enzem volt. Ez´ert csak hetet vettem. ´Igy megmaradt 50 fill´erem. Mennyibe ker¨ult egy szelet csoki?”
Lehet, hogy f´elre´ertette a k´erd´est, mert kis gondolkoz´as ut´an mindj´art a h´et szelet csoki ´ar´at mondta meg. (El˝osz¨or 11,50-et mondott, azt´an kiigaz´ıtotta 10,50-re.)
Egy m´asik feladat el˝ok´esz´ıt´es´ere megk´erdeztem t˝ole, hogy fi´uk ´es l´anyok is j´arnak-e abba az oszt´alyba, ahol tanul. B´olint.
”H´any l´any, h´any fi´u?” Sz´amolgatja mag´aban, azt´an mondja:
”9 l´any, 22 fi´u.”
”Mi´ert olyan kev´es l´any?” – k´erdem csod´alkozva. V´allat von, ez a k´erd´es nem ´erdekli. (Kezdem ´erteni az analfab´eta any´at ´es n˝ov´ereit. Azon a vid´eken m´eg nagyon er˝osen ´elhet az emberekben az, hogy minek egy l´anynak iskola.)
Most k¨ovetkezett a feladat.
”En egy olyan oszt´´ alyban tan´ıtok, ahova ¨osszesen 34-en j´arnak. Hattal t¨obb a fi´u, mint a l´any. Meg tudn´ad-e mondani, h´any l´any ´es h´any fi´u j´ar ebbe az oszt´alyba?” Nem tart sok´aig, am´ıg megadja a helyes v´alaszt.
”Honnan tudod?”
”Hogy j¨ott´el r´a?” – Ilyen k´erd´eseket m´ar el˝obb is pr´ob´altam feltenni, nem sok eredm´ennyel. ˝O m´eg csak azon gondolkozik, amit ki kell sz´am´ıtania vagy k¨ovetkeztetnie;
azon egyel˝ore nem gondolkozik, hogy ˝o hogyan gondolkozik.
M´ar t¨obb mint egy ´or´aja itt van, ideje lesz abbahagyni. Adok neki aj´and´ekba k´etm´ e-teres ac´el m´er˝oszalagot, megtan´ıtom, hogy kell kivenni a tokj´ab´ol ´es visszatenni. Bor-zaszt´oan tetszik neki, hogy hajlik, visszaugrik, reccsen, de nem t¨orik el. Kipr´ob´alom azt is, tud-e hossz´us´agot becs¨ulni ´es m´erni.
”Milyen hossz´u lehet ez a ceruza?” Hallgat.
”Egy m´eter? 3 cm?” Nevet ´es azt mondja: 20 cm.
”Na l´assuk.” Minden seg´ıts´eg n´elk¨ul odateszi a ceruz´at a m´er˝oszalag mell´e; meg´allap´ıtja, hogy 18 cm. (Millim´eter elt´er´es ha lehetett. Nem sz´and´ekosan adtam ilyen m´ernival´ot, de jobb hogy ´ıgy volt, mert nem lett volna most id˝o belemenni a k¨ozel´ıt´essel kapcsolatos k´erd´esekbe vagy a millim´eter magyar´azat´aba.) Kap feladatlapokat is. Az els˝o rovatba be kell mindent ´ırnia, mit m´er;
a k¨ovetkez˝obe azt, hogy miel˝ott m´eg megm´ern´e, mennyinek gondolja; azt´an a m´er´es eredm´eny´et ´es v´eg¨ul az elt´er´est, + vagy −jellel aszerint, hogy t¨obbnek gondolta-e el˝ore, mint amennyi lett vagy kevesebbnek. (Az utols´o oszlopbeli ´ert´ek teh´at a k´et el˝obbi sz´am k¨ul¨onbs´ege a megfelel˝o el˝ojellel. ˝O ezt persze m´eg nem tudja, ez csak el˝ok´esz´ıt´ese az
el˝ojeles sz´am fogalm´anak.) Kap m´eg n´eh´any apr´os´agot, dobozt is mindehhez, aminek k¨ul¨on ¨or¨ul. Meg´ıg´eri, hogy ha k´eszen van egy feladatlap kit¨olt´es´evel, elk¨uldi. Rem´elj¨uk, nem fog elkall´odni.
1.4.10. Varga Tam´ as: A f¨ uggv´ enyfogalom el˝ ok´ esz´ıt´ ese I.
Megjelent: A Matematika tan´ıt´asa foly´oiratban 1983/3 V´azlat:
1. Mit ´ert¨unk f¨uggv´enyen? Mi az a f¨uggv´enyfogalom, amelyet el˝o akarunk k´esz´ıteni?
2. F¨uggv´enyfogalom vagy f¨uggv´enyfogalmak? Mit akarunk el´erni az el˝ok´esz´ıt´es¨ukkel?
3. A f¨uggv´enyfogalmak el˝ok´esz´ıt´ese a matematikai fogalmak rendszer´eben.
4. A f¨uggv´enyfogalmak el˝ok´esz´ıt´ese a tanul´ok ´ertelmi fejl˝od´es´enek r´eszek´ent.
5. Hogyan folyik iskol´aink als´o oszt´alyaiban a f¨uggv´enyfogalmak el˝ok´esz´ıtese?
1. A f¨uggv´enyfogalmat akarjuk el˝ok´esz´ıteni, majd kialak´ıtani. De mit ´ert¨unk f¨ ugg-v´enyen? A sz´ohaszn´alat nem egys´eges. Matematikusok vagyunk, tudjuk, hogy a defin´ıci´okr´ol sz´ol´o vit´ak nagy r´esze ¨ures sz´ocs´epl´es. Mihelyt tiszt´azzuk, milyen ´ erte-lemben haszn´alunk egy sz´ot – p´eld´aul ´eppen a f¨uggv´eny sz´ot –, meg tudjuk ´ertetni magunkat azokkal is, akik m´as sz´ohaszn´alathoz vannak szokva. Erre a tiszt´az´asra azonban sz¨uks´eg van. Tartozom annak a megindokol´as´aval is, hogy a t¨obbf´ele v´altozat k¨oz¨ul mi´ert k¨ot¨unk ki az egyik ´es nem egy m´asik mellett. Ugyanakkor meg´ertem ´es respekt´alom, ha m´asok – koll´eg´aim, bar´ataink – m´as terminol´ogi´at r´eszes´ıtenek el˝onyben, tal´an m´as szempontokt´ol vez´erelve.
Szinte csak tal´alomra eml´ıtek k´et k¨onyvet, amelyben megtal´alhat´o a tanterv¨unkben alapul vett terminol´ogia:
K. A. Hirsch: Kleine Enzyklopadie der Mathematik, VEB Bibliographisches Insti-tut, Leipzig.
V.M. Bragyisz: Metogyika prepodavanyija matyematyiki v szrednyej skole, Ucs-pedgiz, Moszkva.
Arr´ol a nagyon ´altal´anos f¨uggv´enyfogalomr´ol van sz´o, amelyet r¨oviden ´ıgy jellemez-het¨unk: egyM1 halmazr´ol egy M2halmazba val´o egy´ertelm˝u lek´epz´es. Engedj´ek el a k´et halmaz Descartes-szorzat´anak r´eszhalmaz´aval val´o (pedag´ogiai szempontb´ol egy´ebk´ent sem el˝ony¨os) fogalmaz´ast, ehelyett egy ´abr´aval ´es egy t´abl´azattal eg´ esz´ı-tem ki a fenti t¨om¨or le´ır´ast. A−jelek jelent´ese a t´abl´azatban nem, nem lehet; a + jelek´e: igen, lehet (ti. mondott tulajdons´ag´u eleme az M1, illetve M2 halmaznak.) A fenti ´ertelemben a
”f¨uggv´eny” sz´o a francia applicationnal szinonim. Szok´as n´eha olyan m´odon k¨ul¨onb¨oztetni meg a k´et fogalmat, hogy azM1 halmazra vonat-koz´oan csak a nyilak unicit´as´at k¨otj¨uk ki, egzisztenci´aj´at nem: Ilyen ´ertelemben besz´elhet¨unk p´eld´aul
R→R x7→ 1 x
1.21. ´abra. A hozz´arendel´es szab´alyai
1.22. ´abra. A hozz´arendel´es m´odos´ıtott szab´alyai
f¨uggv´enyr˝ol is, nem kell az ´ertelmez´esi tartom´anyt a defin´ıci´oban pontosan megad-nunk pl. ´ıgy:
R\0→R x7→ 1 x
ami ugyan itt k¨onny˝u, de ha a nevez˝oben bonyolultabb kifejez´es, p´eld´aul xhelyett egy ¨ot¨odfok´u polinom van, akkor m´ar neh´ezkesebb. Ebbe a vit´aba nem megy¨unk bele; egy´ebk´ent a f¨uggv´enyfogalom el˝ok´esz´ıt´ese idej´en az alapul vett halmazok pre-ciziroz´as´at nem is tartjuk mindig sz¨uks´egesnek.
Egy m´asik, szint´en nagyon elterjedt defin´ıci´o az el˝oz˝on´el annyiban sz˝ukebb, hogy kik¨otj¨uk:
M2 csak sz´amok halmaza lehet,
M1 pedig sz´amok´e, sz´amp´arok´e ´altal´aban sz´amn-esek´e, ´es eszerint besz´el¨unk egy-, k´et-, ´altal´aban n-v´altoz´os f¨uggv´enyekr˝ol.
A zsebsz´amol´og´epek – a programozhat´ok is – t¨obbnyire ilyen f¨uggv´enyeket ´all´ıtanak el˝o; l´asd p´eld´aul az1.23t´abl´azatot. El˝o´all´ıthat´ok azonban zsebsz´amol´og´epekkel va-lamivel ´altal´anosabb ´ertelemben vett f¨uggv´enyek is, amelyekben p´eld´aulM2 elemei nem sz´amok, hanem sz´amp´arok vagy sz´amh´armasok (p´elda erre: der´eksz¨og˝u
ko-1.23. ´abra. Sz´amol´og´epekkel el˝o´all´ıthat´o f¨uggv´enyek
csak numerikus inform´aci´ot. A sz´amol´og´epek (kalkul´atorok) ´es a sz´am´ıt´og´epek (komputerek) k¨ozt a hat´arvonal ma m´ar elmos´od´oban van, de legink´abb tal´an ezzel k¨ul¨onb¨oztetj¨uk meg ˝oket; a kalkul´atorok inputja ´es outputja numerikus, a kompute-rek viszont perif´eri´aikt´ol f¨ugg˝oen elvben b´armilyen t´ıpus´u inform´aci´o feldolgoz´as´ara alkalmasak; bemen˝o ´es kij¨ov˝o adataik egyar´ant lehetnek sz´amok, sz¨ovegek, ´abr´ak, fizikai mennyis´egek stb.
Azzal, hogy a f¨uggv´eny t´agabb ´es sz˝ukebb fogalm´at kapcsolatba hoztam a kom-puterekkel, illetve kalkul´atorokkal, bizonyos m´ert´ekig m´ar anticip´altam azt, amire fejteget´eseimben k´es˝obb r´eszletesebben is kit´erek, a f¨uggv´enyfogalom el˝ok´esz´ıt´
e-s´enek hogyanj´at. Didaktikailag c´elszer˝u, szeml´eletes anal´ogi´ar´ol van itt csup´an sz´o, nem pedig a kisz´am´ıthat´o f¨uggv´enyeknek Turing-g´epekkel (minden sz´am´ıt´ o-g´ep absztrakt modellj´evel) val´o el˝o´all´ıthat´os´ag´ar´ol.
Ennek az anal´ogi´anak a szempontj´ab´ol k¨oz¨omb¨os, hogy a g´ep el˝o´all´ıtja-e a f¨ ugg-v´enyt – kisz´am´ıtja-e az ´ert´ekeit – vagy csup´an el˝oh´ıv ´es kijelez valamilyen utas´ıt´as nyom´an bizonyos t´arolt adatokat. Hogy folytassam az anticip´al´ast: a tanul´ok bizo-nyos adatait t´arolhatja a g´ep – anyja neve, sz¨ulet´esi helye, ideje, lakc´ıme, testma-gass´aga stb. – ´es a n´ev bet´apl´al´as´ara el˝oh´ıvhatja ezeket. Ennek persze semmi k¨oze sincs kisz´am´ıthat´os´aghoz, Turing-g´ephez. Ahhoz sincs k¨oze, hogy milyen program alapj´an rendeli hozz´a a g´ep a bemen˝o adatokhoz a kij¨ov˝oket. A g´epet ebb˝ol a szempontb´ol fekete doboznak tekintj¨uk. A hozz´arendel´es t´enye a fontos, nem a m´odja. Ilyen ´es csak ilyen ´ertelemben fogadhatjuk el a sz´am´ıt´og´epeket az ´altal´ a-nos ´ertelemben vett f¨uggv´enyek metafor´aik´ent, a kalkul´atorokat pedig a numerikus
´ertelemben vett f¨uggv´enyek metafor´aik´ent. Ha m´eg meggondoljuk, hogy a zseb-sz´amol´og´epek t¨omeges (az ´or´a´ehoz hasonl´o m´ert´ek˝u) elterjed´es´et a jelek szerint egy-k´et ´evtizedes f´azisk´es´essel k¨oveti a sz´am´ıt´og´epek t¨omeges elterjed´ese is, akkor er˝os ´erveket tal´altunk az ennek megfelel˝o ´altal´anoss´ag´u f¨uggv´enyfogalom mellett, b´arhogyan nevezz¨uk is azt.
2. Mit akarunk el´erni egy fogalom – eset¨unkben a f¨uggv´enyfogalom – kialak´ıt´as´aval?
Azt, hogy a tanul´ok a fogalmat defini´alni – m´as fogalmakra visszavezetni – tudj´ak (vagy ha alapfogalom egy bizonyos matematikai rendszerben, akkor ki tudj´ak fejteni m´as fogalmakkal val´o kapcsolataikat)? Esetleg ezt is el szeretn´enk ´erni, de ez szinte csak ¨unnep´elyes z´ar´oaktusa egy fogalom kialak´ıt´as´anak.
Vagy ink´abb azt, hogy a tanul´ok konkr´et esetekben el tudj´ak d¨onteni, f¨uggv´eny-e valami vagy nem? Ez is c´eljaink k¨oz´e tartozhat, de aligha ez a legf˝obb c´elunk.
Felbonthatjuk teend˝oinket ´es a f¨uggv´eny ´altal´anos fogalma helyett (el˝ott? ut´an?) f¨uggv´enyek eg´esz sor´aval kapcsolatban t˝uzhetj¨uk ki az eml´ıtett c´elokat: ismerjenek r´a, hogy p´eld´aul line´aris, m´asodfok´u, exponenci´alis stb. f¨uggv´ennyel van-e dolguk,
´
es esetleg defini´alni is tudj´ak ezeket a f¨uggv´enyeket. Ilyen ´ertelemben nem is a f¨uggv´enyfogalom, hanem f¨uggv´enyfogalmak kialak´ıt´as´at tekinthetj¨uk feladatunk-nak.
Tov´abb is mehet¨unk: az, hogy line´aris f¨uggv´eny, gy˝ujt˝ofogalom, f¨uggv´enyek egy halmaza tartozik ide. M´as gy˝ujt˝ofogalmak: szakaszonk´ent line´aris, monoton n¨ o-vekv˝o, monoton cs¨okken˝o, szigor´uan monoton stb. Azt akarjuk, hogy ezekre is
Jelenti mindezt, de enn´el sokkal t¨obbet is. A
”sokkal t¨obb” f˝ok´ent a matemati-k´an k´ıv¨uli alkalmaz´asokat foglalja mag´aban. A tanul´o akkor rendelkezik a line´aris (kvadratikus, exponenci´alis stb.) f¨uggv´eny alkalmaz´asra k´esz fogalm´aval, ha nem-csak formula, t´abl´azat vagy grafikon alakj´aban ismeri fel az ilyen f¨uggv´enyeket, hanem a legk¨ul¨onf´el´ebb szitu´aci´okban is. P´eld´aul tiszt´aban van azzal, hogy az olyan l´atsz´olag nagyon k¨ul¨onb¨oz˝o szitu´aci´okban, mint
”nekem 2-vel t¨obb van, mint neked”
”nekem 3-mal kevesebb van, mint neked”
”nekem 5-sz¨or annyi van”
”kett˝ onk-nek egy¨utt 10 van”
”az eny´emnek a fele h´usszal kevesebb, mint a tied k´etszerese”
stb., van valami k¨oz¨os: ezek mind line´aris kapcsolatok.
Term´eszetes, hogy az olyan fogalmak kialak´ıt´asakor sem el´egedhet¨unk meg a ma-tematik´an bel¨uli r´aismer´essel, mint p´eld´aul monoton (vagy szigor´uan monoton) n¨ovekv˝o (vagy cs¨okken˝o). Az´ert eml´ıtem ´eppen ezeket a p´eld´akat, mert b˝os´eges tapasztalatom van arra vonatkoz´oan, hogy ezek az egyszer˝u ´es alapvet˝oen fontos fogalmak m˝uvelt embereknek is mennyire hi´anyoznak nemcsak a sz´okincs´eb˝ol, ha-nem az operat´ıv fogalomrendszer´eb˝ol is. Arra gondolok, hogy p´eld´aul nem vil´agos el˝ott¨uk a k¨ul¨onbs´eg szigor´uan monoton cs¨okken˝o f¨uggv´eny ´es ford´ıtott ar´anyoss´ag k¨oz¨ott: az ut´obbir´ol besz´elnek, de vagy az el˝obbire gondolnak, vagy – m´eg ink´abb maguk el˝ott sem vil´agos, hogy voltak´eppen mire gondolnak.
A v´azlatban feltett k´erd´esek k¨oz¨ul a 2.-ra ´es r´eszben a 3.-ra a fentiek alapj´an
´ıgy adom meg a v´alaszt: a f¨uggv´enyfogalom (helyesebben fogalmak) kialak´ıt´as´ a-val els˝orend˝u c´elunk a tanul´ok intu´ıci´oj´anak fejleszt´ese. Az intuitive megragadott fogalomra r´a´ep¨ulhet minden egy´eb: matematikai formanyelv, defin´ıci´o, t´etelek, fel-adatmegold´asi m´odszerek. Ha azonban ez hi´anyzik, akkor az az id˝o ´es energia, amit
´ıgy adom meg a v´alaszt: a f¨uggv´enyfogalom (helyesebben fogalmak) kialak´ıt´as´ a-val els˝orend˝u c´elunk a tanul´ok intu´ıci´oj´anak fejleszt´ese. Az intuitive megragadott fogalomra r´a´ep¨ulhet minden egy´eb: matematikai formanyelv, defin´ıci´o, t´etelek, fel-adatmegold´asi m´odszerek. Ha azonban ez hi´anyzik, akkor az az id˝o ´es energia, amit