A termelési hatékonyság növekedéséb˝ol származó haszon megosztásának mértéke exponenciális keresleti függvény esetén

A szükséges feltételeket az (1) modell kapcsán fogalmazzuk meg, majd felhasználjuk azt a specifikumot, hogy a keresleti függvény exponenciális. (Megjegyezzük, hogy az exponen-ciális keresleti függvény haasználata igen népszer˝u a kutatásokban, mostani alkalmazása mégis az eredmény szempontjából lesz igazán érdekes). Az (1b)-b˝ol, feltéve, hogya=1 és q_t=q₀+∑^ti=1y_i, majd ezt a célfüggvénybe helyettesítve, az alábbit kapjuk: Feltételezve a döntési változók pozitivitását, a szükséges feltételeket az alábbi módon fogalmazhatjuk meg: Legyen most a keresleti függvényünk formája valamennyi periódusban

D^t(p_t) =exp(−k p_t), t=1, . . . ,T, (9a) aholkegy pozitív konstans. (Eredményeinket nem befolyásolná, ha a jobb oldali exponen-ciális kifejezésben egy konstans is szorzó is szerepelne.) Ebb˝ol következ˝oen

D_pt =−kexp(−k p_t), t=1, . . . ,T. (9b)

Ez esetben viszont a (8a) feltételünk formája a következ˝o lesz:

exp(−k p_t)−k p_t−c^t

exp(−k p_t) =0, t=1, . . . ,T, (10) amib˝ol az következik, hogy

p_t−c(q_t) =1

k, t=1, . . . ,T. (11a)

Ez azt jelenti, hogy a (11a) egyenletnek mindig van megoldása, amit a (8b)-be helyette-síthetünk. Átrendezés után azt kapjuk, hogy

f_yt =

T

∑

−D^jc_y^j

t

δ^j−t+Pδ^T−t, t=1,2, . . . ,T. (11b) A (11b) jobb oldala mindig pozitív, hiszen feltételezhetjük, hogy a fajlagos termelési költségek csökkennek a termelékenységi tudás növekedése eredményeként (azazcy^jt <0), továbbá a keresleti szint is pozitív. Vegyük ugyancsak figyelembe, hogy

c^t_yj =∂c^t

∂y_j = ∂c

∂q_t

∂qt

∂y_j =a∂c

∂q_t =acq_t mindenj≤t- re.

A fajlagos termési költségfüggvényr˝ol,c(q_t)-r˝ol feltételezhetjük, hogy nem csak csök-ken˝oq-ban, hanem konvex is. Ebb˝ol az irodalomban általánosan elfogadott feltételb˝ol vi-szont az következik, hogy a (11b) jobb oldala zérushoz konvergál, amikoryt a végtelenhez tart. A keresleti függvénynek ugyanis van fels˝o korlátja, ac^t_y

j viszont a zérushoz tart. Te-kintettel arra, hogy a beruházási költségfüggvény,f, szigorúan növekv˝o és konvex, a (11b) bal oldala növekv˝o leszy_t-ben. Következésképen kijelenthetjük, hogy a (11) egyenletrend-szernek lesznek pozitívy_tértékei, amennyiben az f_yt-nek léteznek megfelel˝oen kis értékei.

Tételezzük fel, hogy a (11) egyenletrendszernek van olyan megoldása, amelyben két egymás utáni periódusban a fejlesztési aktivitások értéke pozitív, azaz írhatjuk, hogyqt+1>

qt. A (11a) feltételt(t+1)-re is felírva azt kapjuk, hogy:

pt+1−c(qt+1) =1 k, amib˝ol az következik, hogy

pt−pt+1=c(q_t)−c(q_t+1). (12) Ebb˝ol a következ˝o összefüggés adódik.

2. Állítás. Exponenciális keresleti függvény esetén, a termelési hatékonyság növekedéséb˝ol ered˝o hasznot teljes egészében át kell engedni a fogyasztónak. Az árat pontosan annyival kell csökkenteni, amennyivel a termelési költségek csökkennek.

A (12) egyenlet jobb oldalán a termelékenységi tudás növekedéséb˝ol ered˝o megtakarítás áll. Ezt árcsökkentésen keresztül át kell engedni a fogyasztóknak.

1. Példa.Legyen a keresleti függvény formájaD_t=8 exp(−p_t)a tervhorizont mindkét pe-riódusára, azazt=1,2. Továbbá legyenc(q_t) =2/√

q_t,r=0.2 ésa=1 újra. A fejlesztési költségfüggvény legyenf(y_t) =y²_t és legyenP=9.4,q0=0,(T=2). Ekkorpt=1+2/√

qt

kell legyen az ár az egyes periódusokra. A (11b) összefüggést felhasználvat=T-re 2y2=8 exp(−(1+2/√ Miután a (14) mindkét oldalát megszoroztuk 1,2-vel, helyettesítsük be a (13) jobb oldalát (14)-be. Ekkor azt kapjuk, hogy

y₂=1,2y₁−4,8 exp − 1+2/√ fejlesztési aktivitások mindkét periódusban pozitív szinten állnak, aminek az lesz az ered-ménye, hogy a termelékenységi tudás mindkét periódusban n˝o. Látható, hogy az ár a terme-lékenységi tudás csökken˝o függvénye, ami pontosan annyival fog csökkenni, amennyivel csökkennek a termelési költségek.

5. Következtetések

A tanulmányban megvizsgáltuk, hogyan kell a termelési hatékonyság növekedéséb˝ol ered˝o haszonnal gazdálkodni. E célból egy nagyon általános modellt fogalmaztunk meg, melynek lényegi eleme, hogy a termelékenységi tudás fejleszthet˝o. Kés˝obb ezt specifikál-tuk a különböz˝o kiterjesztések irányába.

El˝oször lineáris keresleti függvényt vizsgáltunk egy olyan fajlagos változó költség függ-vény mellett, amelyben a fajlagos termelési költség hiperbolikusan függ a termelékenységi tudás szintjét˝ol. Megmutattuk, hogy a szükséges feltételek elégségesek is, és ha a fejlesztési költségeket leíró (szigorúan növekv˝o és konvex) függvény deriváltjának vannak alacsony értékei, akkor létezhetnek olyan periódusok, melyekben a fejlesztési aktivitások pozitív szinten lesznek. A pozitív fejlesztési szintek növelik a termelékenységi tudást, ennek

kö-vetkezménye a fajlagos termelési költségek csökkenése. Azt találtuk, hogy lineáris keresleti függvény mellett a termel˝o racionális magatartása az, ha a termelési hatékonyság növeke-déséb˝ol ered˝o hasznot megfelezi a fogyasztókkal. Egyszer˝uen a fajlagos termelési költség csökkenésének felével kell mérsékelni az eladási árat.

Ezután exponenciális keresleti függvény és jóval általánosabb fajlagos termelési költ-ségfüggvény esetében is bizonyítottuk, hogy létezhetnek periódusok, amikor a fejlesztési aktivitások pozitív szinten lesznek. Ennek következménye ismét a termelékenységi tudás növekedése, ami a fajlagos termelési költségeket csökkenti. Érdekesség, hogy ez esetben az ebb˝ol származó hasznot teljes egészében át kell engedni a fogyasztóknak: az eladási árat annyival kell lejjebb vinni, amennyivel a fajlagos termelési költségek csökkennek.

Az analízis és a problémafelvetés további kutatások felé nyithat utat, például más tí-pusú keresleti függvények vizsgálatával. Ide nem csak a különböz˝o függvénytípusokat le-het sorolni, hiszen – a tiszta hatások kisz˝urése céljából – a keresleti függvények paraméterei id˝ofüggetlenek voltak. A dinamikát visszacsempészve vizsgálni lehet a konjunkturális ha-tásokat. A termék min˝oségének figyelembevétele szintén egy kiterjesztési irányt jelenthet.

Hivatkozások

Bernstein, F., Kök, A. G. (2009). Dynamic cost reduction through process improvement in assembly networks. Management Science, 55(4):552–567.

Carrillo, J. E., Gaimon, C. (2000). Improving manufacturing performance through process change and knowledge creation. Management Science, 46(2):265–288.

Carrillo, J. E., Gaimon, C. (2004). Managing knowledge-based resource capabilities under uncertainty. Management Science, 50(11):1504–1518.

Chand, S., Moskowitz, H., Novak, A., Rekhi, I., Sorger, G. (1996). Capacity allocation for dynamic process improvement with quality and demand considerations. Operations Research, 44(6):964–975.

Dorroh, J. R., Gulledge, T. R., Womer, N. K. (1994). Investment in knowledge: A generali-zation of learning by experience. Management Science, 40(8):947–958.

Fear, J., Knoop, C. I. (2007). Dr. Ing. h.c. F. Porsche AG: True to Brand.Harvard Business School, 9-706-018.

Fine, C. H. (1986). Quality improvement and learning in productive systems.Management Science, 32(10):1301–1315.

Li, G., Rajagopalan, S. (1998). Process improvement, quality, and learning effects. Manag-ement Science, 44(11-Part-1):1517–1532.

Vörös, J. (2011). Multiperiod models for analyzing the dynamics of process improvement activities. Benyújtva.

Watanabe, K. (2007). Lessons from Toyota’s long drive. Harvard Business Review, July-August:74–84.