Egy numerikus példa

i=1 n

∑

j=i+1

y_{i j}≤K,

x_{i j}=−x_ji, 1≤i≤ j≤n,

−M¯≤x_{i j}≤M,¯ 1≤i< j≤n,

−2 ¯My_{i j}≤x_{i j}−a¯_{i j}≤2 ¯My_{i j}, 1≤i< j≤n, yi j∈ {0,1}, 1≤i< j≤n.

(44)

7. Tétel. Jelölje z_opt a (44) optimumértékét. Ekkor1−1/exp(z_opt)a CM inkonzisztencia index minimálisan elérhet˝o szintje olyan páros összehasonlítás mátrixok esetén, amelyeket úgy kapunk, hogy az A n×n-es páros összehasonlítás mátrix fels˝o háromszög (és nyilván az alsó háromszög) pozícióiban legfeljebb K elemet változtatunk meg.

5. Egy numerikus példa

A javasolt módszert egy Saaty (1980) könyvéb˝ol származó klasszikus numerikus példán is bemutatjuk, mégpedig a Saaty-féleCRinkonzisztencia mér˝oszám esetére. Az 1. táblázat hat nagyváros Philadelphiától való távolságának páros összehasonlítási értékeit tartalmazza.

Például az értékel˝o úgy ítélte meg, hogy London ötször nagyobb távolságra fekszik Phila-delphiától, mint Chicago.

Kairó Tokió Chicago San Francisco London Montreal

Kairó 1 1/3 8 3 3 7

Tokió 3 1 9 3 3 9

Chicago 1/8 1/9 1 1/6 1/5 2

San Francisco 1/3 1/3 6 1 1/3 6

London 1/3 1/3 5 3 1 6

Montreal 1/7 1/9 1/2 1/6 1/6 1

1. táblázat. Philadelphiától mért távolságok páronkénti összehasonlítása

JelöljeAaz 1. táblázat páros összehasonlítás mátrixát. Ekkorλmax(A) =6,4536, és mivel RI₆=1,24, ígyCR(A) =0,0732. MiutánCR(A)értéke jóval a Saaty-féle 10%-os küszöb alatt van, azAmátrixot elfogadható inkonzisztenciájúnak tekinthetjük.

JelöljeA⁽¹⁾ azt a mátrixot, amelyet úgy kapunk, hogy felcseréljük azAmátrixa_1,2 és a_2,1elemeit. Ez egy gyakori tévesztés páros összehasonlítás mátrixok kitöltésénél. AzA⁽¹⁾ mátrixra azt kapjuk, hogyCR(A⁽¹⁾) =0,0811. Tehát az adatrögzítési hiba következtében ugyan emelkedettA⁽¹⁾ inkonzisztencia szintje, de még a 10%-os elfogadási szint alatt van.

Ebben az esetben tehát a javasolt módszertan nem tudja detektálni a hibát, azA⁽¹⁾mátrixot elfogadja.

Nézzük meg most azt az esetet, amikor nem aza1,2ésa2,1, hanem aza1,3és a3,1 ele-mek cserél˝odnek fel véletlenül azAmátrixban. JelöljeA⁽²⁾ az így kapott mátrixot. Ekkor CR(A⁽²⁾) =0,5800, amely jóval a 10%-os elfogadási szint felett van, és durva inkonzisz-tenciára utal. A megfelel˝o (29) megoldásaként azt kapjuk, hogy azA⁽²⁾mátrix inkonzisz-tenciája egy elem (és a reciproka) megváltoztatásával a kritikus 10% alá hozható. Ez az elem éppen az elrontotta_1,3pozícióban van, és megmutatható, hogy a (29) feladatnak ez az egyetlen optimális megoldása van a bináris változók szerint. Tehát a javasolt módszer fel-derítette az egy pozíciónál történ˝o javítás egyetlen lehetséges helyét, ami éppen a véletlenül rossz helyre írt kiértékelés pozíciója.

Az el˝oz˝o példánál jelent˝os inkonzisztencia emelkedést okozott a mátrix elrontása, ezért nem meglep˝o, hogy a módszer az egyértelm˝u (vissza)javítás lehet˝oségét kínálta fel. Kisebb inkonzisztencia emelkedésnél azonban már nem ilyen egyértelm˝u a helyzet.

Tegyük fel, hogy azAmátrix a_1,3eleme most 2-re változik az el˝oz˝o példa 1/8 értéke helyett. Ez az eredeti 8 értékhez képest kisebb eltérés, a módosított ésA⁽³⁾-mal jelölt mátrix mátrix inkonzisztenciája is kevésbé n˝ott meg:CR(A⁽³⁾) =0,1078. AzA⁽³⁾inkonzisztenciája alig haladja meg a kritikus 10%-os szintet, ezért várható, hogy egy elem módosításával is 10% alá hozható az inkonzisztencia, de az is, hogy erre több pozíció is kínálkozik. Valóban, a megfelel˝o (29) feladat optimumértéke 1, és a (19) és (20) csatolása utáni újrafuttatásokkal kideríthet˝o, hogy a (29) feladatnak a bináris változók szerint 6 optimális megoldása van.

Nevezetesen, az A⁽³⁾ mátrix inkonzisztenciája 10% alá nyomható az a1,3 mellett aza1,4, a_1,5,a_2,6,a_3,4ésa_4,5elemek külön-külön történ˝o módosításával is. Jobb esetben az értékel˝o rögtön észreveszi, hogy aza_1,3pozícióban elírás történt. Ha nem, akkor esetleg mind a 6 pozíció értékelését újra kell gondolnia, de ezek száma még mindig kisebb a fels˝o három-szögben lev˝o 15 elemnél.

Köszönetnyilvánítás:

A szerz˝ok köszönetet mondanak Csató Lászlónak a kézirat gondos átolvasásáért és az érté-kes javaslatokért.

A kutatás az OTKA K-77420 pályázat támogatásával készült.

Hivatkozások

Bozóki, S., Fülöp, J., Koczkodaj, W. (2011). An LP-based consistency-driven supervision for incomplete pairwise comparison matrices. Mathematical and Computer Modelling, 54:789–793.

Bozóki, S., Fülöp, J., Rónyai, L. (2010). On optimal completion of incomplete pairwise comparison matrices. Mathematical and Computer Modelling, 52(1):318–333.

Bozóki, S., Rapcsák, T. (2008). On Saaty’s and Koczkodaj’s inconsistencies of pairwise comparison matrices. Journal of Global Optimization, 42(2):157–175.

Brunelli, M., Fedrizzi, M. (2011). Characterizing properties for inconsistency indices in the AHP. In: Proceedings of the 11th International Symposium on the AHP, Sorrento, Naples, Italy.

Chu, M. (1998). On the optimal consistent approximation to pairwise comparison matrices.

Linear Algebra and its Applications, 272(1):155–168.

Duszak, Z., Koczkodaj, W. (1994). Generalization of a new definition of consistency for pairwise comparisons. Information Processing Letters, 52(5):273–276.

Koczkodaj, W. (1993). A new definition of consistency of pairwise comparisons. Mathe-matical and Computer Modelling, 18(7):79–84.

Saaty, T. (1980).Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill, New York.

Saaty, T. (1994).Fundamentals of Decision Making. RWS Publications, Pittsburgh.

Sekitani, K., Yamaki, N. (1999). A logical interpretation for the eigenvalue method in AHP.

Journal of the Operations Research Society of Japan, 42(2):219–232.

Temesi J., Csató L., Bozóki S. (2012). Mai és régi id˝ok tenisze – A nem teljesen kitöl-tött páros összehasonlítás mátrixok egy alkalmazása. In: Solymosi T., Temesi J. (szerk.) Egyensúly és optimum, Tanulmányok Forgó Ferenc 70. születésnapjára, Aula Kiadó, Bu-dapest.

Vargas, L. (1982). Reciprocal matrices with random coefficients.Mathematical Modelling, 3(1):69–81.

Kovács Erzsébet

Kivonat

A XX. században két egymással ellentétes demográfiai folyamat tanúi lehettünk: a második világháborút követ˝o születési csúcs után a fejlett országokban a születések számának er˝o-teljes csökkenése következett be. Ezzel együtt jelent˝osen emelkedik a születéskor várható élettartam. A hosszabb élet a társadalom számára kihívást jelent, mert a nyugdíjban lev˝o népesség száma és aránya növekedik. Ez felveti az id˝osödéshez köt˝od˝o állami – nyugdíj-célú – kiadások korlátok között tartását, esetleges csökkentését hazánkban is. A társadalom tagjainak nagy kockázatközössége a folyó finanszírozású nyugdíj révén kiküszöböli a be-fektetési kockázatot, de nem tudja kiküszöbölni a hosszabbodó várható élettartamból ered˝o járadéktöbblet iránti igényt. A nyugdíjrendszert is érint˝o szerkezeti reformok kívánatosak, mert ezek révén a nagymérték˝u költségvetési hiány is csökkenthet˝o lenne.

1. Bevezetés

Az aktuárius képzés 1994-es egyetemi beindítása idején Forgó Ferenc volt tanszékve-zet˝onk és az Intézet igazgatója. Támogatásának és ért˝o segítségének is köszönhet˝o, hogy a kezdetben egyetlen választható tárgyból, majd mellékszakirányból mostanra egy er˝os mes-terszak n˝ott ki. Ezért születésnapjára készülve természetes volt számomra, hogy az aktu-áriusi témakörhöz köt˝od˝o témát dolgozzak fel. Ferit˝ol sokat tanultam, hiszen kezdetben tanárom, majd f˝onököm és kollégám volt. De a matematikai témák mellett angol nyelvi ügyekben is sokszor támaszkodtam a tudására. Ezért megemlítem, hogy az angol szó – lon-gevity – milyen szépen fejezi ki a vizsgált jelenséget. Magyarul csak körülírjuk, amikor Kovács Erzsébet

Budapesti Corvinus Egyetem, Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék, email: erzsebet.kovacs@uni-corvinus.hu

185

hosszabbodó várható élettartamról beszélünk. De ilyen különbség van a tartalmilag azonos Life Table és a halandósági tábla esetében is.