Az LP problémákat megoldó ABS algoritmusok

Az ABS módszerosztály, amelyet Abaffy 1979-ben publikált (Abaffy, 1979), azm egyen-letet ésnismeretlent, aholm≤n, tartalmazóAx=brendszer egyxmegoldását határozza megmiterációs lépésben. Az ABS algoritmus három paraméterválasztást tartalmaz. AH₁ kezd˝o mátrixot, továbbá minden iterációs lépésben egy-egyz_i ésw_ivektort kell meghatá-rozni. Ha a kezd˝o mátrixot az egységmátrixnak, az_i ésw_i vektorokat pedig egy alkalmas egységvektornak választjuk, azazH1=Iészi=wi=e_k, akkor az ABS implicit LX (Li-Wei és szerz˝otársai, 1996) alosztályát kapjuk.

Az implicit LX algoritmus lehet˝oséget ad arra, hogy noha az A mátrix sorait sorban vesszük el˝o aH_iprojekciós mátrix frissítésekor, a p_iprojekciós vektort és aH_iprojekciós mátrixban szerepl˝o tetsz˝olegesw_iparaméter vektort ett˝ol függetlenül határozzuk meg (Aba-ffy és szerz˝otársai, 1989) aszerint, hogy azAmátrixnak melyik oszlopa lép be a bázisba.

Az algoritmus ezen tulajdonsága szükséges az induló bázis keresése és a báziscsere lé-pések során is. Így az itt közölt mindkét algoritmusunk az implicit LX algoritmusra épül, speciálise_kválasztások mellett.

A (2) feladatban akezd˝obázist felépít˝o LPalgoritmus során aze_k vektorok meghatáro-zása igen egyszer˝u, mivel az u₁, . . . ,u_m segédváltozókhoz tartozó egységvektorokat lehet választani. Azi-edik lépésben

e_k=e_m+i. 1. Algoritmus (Kezd˝obázist felépít˝o LP).

(A1) Legyenx₁∈Rⁿtetsz˝oleges vektor,x₁=0,i=1, ésH₁=I, aholI∈R^n,negységmátrix.

(B1) Számítsuk ki az alábbi mennyiségeket s_i =H_ia_i, ρi =a^T_ix_i−b_i. Has_i6=0, akkor menjünk a (C1)-re.

Has_i=0 ésρ_i=0, akkor legyenxi+1=x_i,Hi+1=H_iés ugorjunk az (F1)-re.

(C1) Számítsuk ki a projektor vektort

p_i=H_i^Te_m+i, aholem+iazm+i-edik egységvektor.

(D1) Módosítsuk a megoldásxi-t

x_i+1=x_i−αip_i, ahol

α_i= r_i a^T_i pi

. (E1) Aktualizáljuk aH_imátrixot

H_i+1=H_i−s_ip^T_i vizs-gálat, ami az egyenletrendszer ellentmondásosságát jelentené. Ez a mi esetünkben nem for-dulhat el˝o, mivel az induló rendszerünk triviális megoldása azx^T =

0, ...,0,b^T .

3. Megjegyzés. Az algoritmus során kapottH_iprojekciós mátrix Hermite típusú, a struktú-rája egyszer˝u esetben a következ˝o:



A mátrixban a lehetséges nem nulla elemeket∗-gal jelöltük (Xia, 1995).

A projekciós mátrix szerkezetének lényeges tulajdonsága továbbá, hogy az üres sorok indexei adják az aktuális báziselemeket, a további sorok indexei pedig a nullteret határozzák meg.

Akezd˝obázist felépít˝o LPalgoritmus végrehajtása után azxm+1változóban a (2) feladat egy megengedhet˝o megoldását kapjuk meg, hiszen az x^T =

0, ...,0,b^T

vektort állítjuk el˝o, és vele párhuzamosan felépítjük aH_m+1mátrixot, ami az induló mátrixa azoptimális megoldást keres˝o LPalgoritmusnak.

Ha a megoldás nem optimális, akkor az optimum megtalálásához szükségünk van bázis-cserékre, azaz alkalmaznunk kell azoptimális megoldást keres˝o LPalgoritmust. Az algo-ritmus kialakításának gondolatmenete a következ˝o. Egyrészt, azi-edik lépésben az összes megoldás felírható az alábbi kifejezéssel (Abaffy, 1979):

x=x_i+1−H_i+1^T s, aholsegy tetsz˝olegesndimenziós vektor.

Másrészt, a fenti képlet átalakítható az alábbi formába:

x=x−tH^Tq,

ahol xaz LP feladat egy megengedhet˝o megoldása, t tetsz˝oleges skalár,q tetsz˝oleges n dimenziós vektor,H= (h₁, . . . ,hn)^T.

Vezessük be a következ˝o jelöléseket. Legyen N={1, ...,n} és B_i ={k₁, ...,k_i} azon indexek halmaza, amelyeket az i-edik lépésig választottunk,N_i=N\B_i. Jelölje (h_Nj)_k a Hprojekciós mátrixN_jnulltér indexekhez tartozó oszlopvektorainakk-adik komponensét, valamintr^T_j a j-edik lépés után kapott redukált költségfüggvényt. Megmutatható, hogy a redukált költségvektor nem más, mintr=H_m+1c (Spedicato és szerz˝otársai, 1997). Legyen I⁻={k∈N|(h_Nj)_k<0}.

Atparamétert határozzuk meg a következ˝o módon (Xia, 1995):

r_N^∗ =c^Th_N^∗=c^TH^Te_N^∗=min

c^TH^Te_j| j∈N_i (4) t^∗= −x_B^∗

e^T_B∗H^Te_N^∗ =min

−x_k

e^T_kH^Te_N^∗| k∈I⁻

(5) A paraméterek meghatározásakor kihasználtuk az implicit LX, így akezd˝obázist felépít˝o LP, és azoptimális megoldást keres˝o LPalgoritmusok során keletkez˝o projekciós mátrixok speciális felépítését (Xia, 1995). A fenti formulák meghatározzák, hogy az optimum kere-sése során a báziscserél˝o algoritmusban azAmátrixnak azN^∗-dik oszlopa lép be a bázisba és aB^∗index˝u oszlopa lép ki.

Szükségünk van még arra, hogy a báziscsere után hogyan aktualizáljuk a megoldást (Li-Wei és szerz˝otársai, 1996):

xi+1=xi−t^∗H_m^TeN^∗. (6) Amennyiben az aktuális költségvektor tartalmaz még negatív komponenst, akkor a meg-engedhet˝o megoldásunk még nem optimális (Gáspár, 1977), ezért újabb báziscserére van szükség. Ezt oldjuk meg az alábbi algoritmussal.

2. Algoritmus (Optimális megoldást keres˝o LP).

(A2) Legyenx1∈Rⁿegy lehetséges, de nem optimális megoldása a (2) feladatnak,H1a megengedhet˝o megoldáshoz tartozó projekciós mátrix,i=1.

(B2) Határozzuk meg a

p_i=H_i^Te_N^∗ vektort, ahole_N^∗egy olyan egységvektor, amelyre a

c^TH^Te_N^∗ =min

c^TH^Te_j | j∈N_i kifejezés minimális.

(C2) Módosítsuk a megoldásx_i-t

x_i+1=x_i−αip_i,

ahol

αi= −x_B^∗

e^T_B∗H^Te_N^∗ =min

−x_k

e^T_kH^Te_N^∗ | k∈I⁻

.

(D2) Aktualizáljuk aH_imátrixot

H_i+1=H_i−(H_ie_B^∗−e_B^∗)e^T_N∗H_i e^T_N∗He_B^∗ . (E2) Hac^TH_i+1^T >0, akkor STOP, azx_i+1az optimális megoldás.

Ha c^TH_i+1^T -nek van negatív eleme, akkor legyenHi=Hi+1, xi=xi+1és lépjünk a (B2)-re.

4. Megjegyzés.Az algoritmus stabil abban az értelemben, hogy a nevez˝oben lev˝o skalárok nem válhatnak nullává. Ez az egységvektorok választásából, illetve az LP feladatra adott feltételekb˝ol következik (Xia, 1995).

5. Megjegyzés.Az algoritmus véges lépésben befejez˝odik, minthogy a redukált költség-vektor függvény minden lépésben csökken az LP feltételei mellett (Xia, 1995).

6. Megjegyzés.Mindkét el˝obbi megjegyzésünk állításai következnek a Rózsa Pál könyvé-ben (Rózsa, 1974) tárgyalt, az LP feladatokat Hermite típusú mátrixok segítségével megoldó algoritmusaiból, mivel a miHimátrixunk is ilyen.

Jegyezzük meg, hogy általános típusú normál feladat esetén az optimális megoldás, ha létezik, akkor nem mindig egyértelm˝u. Ilyenkor a kezd˝obázis kialakítása jóval nehezebb (Abaffy és szerz˝otársai, megjelenés alatt).

7. Megjegyzés.Általános esetben el˝ofordulhat, hogy a (4) alatti sorvektor pozitív elemei által meghatározott valamennyij_l1,j_l2, . . .indexre mindeni_ν mellette^T_i

νHe_jl ≥0. Ebben az esetben a feladatnak nincs korlátos megoldása (Rózsa, 1974).

8. Megjegyzés.Általános esetben, ha az (5) alatti hányados többi_k1,i_k2, . . .indexre veszi fel a minimumát, akkor abvektori_k1,i_k2, . . .-dik eleme 0, tehát a következ˝o lépések során a−x_B^∗/(e^T_B∗H^Te_N^∗)mennyiség zérusnak adódik, ami azt eredményezi, hogy a transzfor-mációval a célfüggvény értéke változatlan marad. Ekkor degenerációról beszélünk (Rózsa, 1974).

9. Megjegyzés.Az algoritmus felhasználja az alábbi tételt: ha azxmegoldás optimális, ak-kor a redukált költségvektor csupa nemnegatív elemb˝ol áll (Spedicato és szerz˝otársai, 1997).

10. Megjegyzés.Végül megjegyezzük, hogy az r_N^∗ meghatározásakor a minimum maxi-mumra is cserélhet˝o, hiszen többféle projekciós irány választása lehetséges.