2. Szakirodalmi összefoglaló
2.9. A hőterjedés differenciálegyenlete és annak numerikus megoldása
2.9.1. Szilárd töltetű, érzékelhetőhő-tároló működését leíró differenciálegyenletek
A szilárd töltetű hőtároló matematikai modellezése során egy-egy külön differenciálegyenlettel írható le a szilárd hőtároló anyag és az áramló hőhordozó közeg hőmérsékletének időbeni és hely szerinti változása. Mindkét egyenletnél kezdeti feltételre és a két közegnek egymással, valamint a környezettel való kapcsolatát leíró peremfeltételekre van szükség.
Az általában kör keresztmetszetű, hengeres, szilárd töltetű hőtárolóban a hőhordozó közeg a szilárd tölteten keresztül állandó vagy változó keresztmetszetű áramlási csatornákban áramlik. A hengerszimmetria miatt az áramlás leírható henger-koordinátarendszerben kétdimenziósként, a sugárirányú termikus ellenállás elhanyagolásával pedig egydimenzióssá egyszerűsíthető. Az áramló hőhordozó közegben történő hőterjedést leíró differenciálegyenletbe beépíthetők a szilárd töltettel és a környezettel létrejövő hőátadásos kapcsolatot leíró peremfeltételek is.
A hőtároló szilárd töltetében történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet szintén megadható két- vagy egydimenziósként. A szilárd töltetben történő hőterjedést leíró egydimenziós differenciálegyenletbe beépíthetők az áramló hőhordozó közeggel és a környezettel létrejövő hőátadásos kapcsolatot leíró peremfeltételek. Kétdimenziós esetben a peremfeltételek külön egyenletekként is megadhatók.
A szakirodalomban számos, a szemcsés, szilárd töltettel ellátott hőtárolóban és a rajta keresztüláramló hőhordozó közegben történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet-rendszer megadási módszer található. Kiváló összehasonlító elemzést közölt Ismail, K. A. R. és Stuginsky Jr., R. [97]. A következő összefoglalót részben ebből merítettem. A jelöléseket a jelen dolgozat jelölésrendszerére dolgoztam át.
A modellek (az (5) egyenletnél felsoroltakon kívül) általában a következő egyszerűsítésekkel élnek:
- a szilárd töltetágy hengerszimmetrikus, - hősugárzással nem számolnak,
- a szilárd töltetszemcsékben nincs hőmérséklet-gradiens.
Az (5) egyenletből származtatják a különböző modelleket a már felsorolt egyszerűsítésekkel. Kétfázisú és egyfázisú modelleket hoztak létre, amelyeknél az x-koordináta a hengeres ágy hossztengelyébe esik, rá merőleges az r-x-koordináta.
A. Egyfázisú modellek
Az egyfázisú modellekben a szilárd fázist és az áramló hőhordozó közeget azonos hőmérsékletűnek tekintik (innen az elnevezés), végtelen nagy hőátadási tényezőt tételeznek fel közöttük, és a hőterjedést egy differenciálegyenlettel írják le.
- Általános, 2D (kétdimenziós) modell
A hőterjedést leíró differenciálegyenlet figyelembe veszi a hosszirányú és a sugárirányú hővezetést, számol a hosszirányú konvekcióval, tartalmazza a környezet felé irányuló hőveszteségre vonatkozó peremfeltételt
effektív hővezetési tényező egyfázisú modellre hosszirányban [99] [W/mK], effr az effektív hővezetési tényező egyfázisú modellre sugárirányban [99] [W/mK], tk a környezeti hőmérséklet [oC], aw a szilárd töltetű ágy külső felülete az ágytérfogathoz viszonyítva [m-1], w hőátszármaztatási tényező az áramló hőhordozó közeg és a környezet között [W/m2K].- Általános, 1D (egydimenziós) modell
A hőterjedést leíró differenciálegyenlet figyelembe veszi a hosszirányú hővezetést, számol a hosszirányú konvekcióval, tartalmazza a környezet felé irányuló hőveszteségre vonatkozó peremfeltételt
B. Kétfázisú modellek
A kétfázisú modellek két külön differenciálegyenlettel írják le a hőterjedést a szilárd fázisban és az áramló hőhordozó közegben, amelyek eltérő hőmérsékletűek.
- Általános, 2D-2D (mindkét közegben kétdimenziós) modell
Az áramló hőhordozó közegben történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet figyelembe veszi a hosszirányú és a sugárirányú hővezetést, számol a hosszirányú konvekcióval, tartalmazza az áramló hőhordozó közeg és a szilárd hőtároló anyag közötti hőátadási peremfeltételt, és a környezet felé irányuló hőveszteségre vonatkozó peremfeltételt
), közeg hőátadási tényezője [W/m2K].
A szilárd hőtároló anyagban történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet figyelembe veszi a hosszirányú és a sugárirányú hővezetést, tartalmazza az áramló hőhordozó közeg és a szilárd hőtároló anyag közötti hőátadási peremfeltételt
)
ahol s a szilárd hőtároló anyag sűrűsége [kg/m3], cs a szilárd hőtároló anyag fajhője [J/kgK], seffx a szilárd hőtároló anyag effektív hővezetési tényezője hosszirányban [99] [W/mK], seffr a szilárd hőtároló anyag effektív hővezetési tényezője sugárirányban [99] [W/mK].
- Általános, 1D-1D (mindkét közegben egydimenziós) modell
Az áramló hőhordozó közegben történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet figyelembe veszi a hosszirányú hővezetést, számol a hosszirányú konvekcióval, tartalmazza az áramló hőhordozó közeg és a szilárd hőtároló anyag közötti hőátadási peremfeltételt, és a környezet felé irányuló hőveszteségre vonatkozó peremfeltételt
).
A szilárd hőtároló anyagban történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet figyelembe veszi a hosszirányú hővezetést, tartalmazza az áramló hőhordozó közeg és a szilárd hőtároló anyag közötti hőátadási peremfeltételt
)
- Schumann 1D-1D (mindkét közegben egydimenziós) modell
Az áramló hőhordozó közegben történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet a hosszirányú hővezetést nem veszi figyelembe, számol a hosszirányú konvekcióval, tartalmazza az áramló hőhordozó közeg és a szilárd hőtároló anyag közötti hőátadási peremfeltételt, és a környezet felé irányuló hőveszteségre vonatkozó peremfeltételt
)
A szilárd hőtároló anyagban történő hőterjedést leíró differenciálegyenlet a hosszirányú hővezetést nem veszi figyelembe, tartalmazza az áramló hőhordozó közeg és a szilárd hőtároló anyag közötti hőátadási peremfeltételt
)
Ismail, K. A. R. és Stuginsky Jr., R. [97] összehasonlító elemzésének végkövetkeztetései:
- mindegyik módszerrel megoldhatók a számítások,
- az egyszerűbb modellek (pl. a széles körben használt Schumann modell) rövidebb futásidővel szolgáltatnak használhatóan jó pontosságú eredményt, - a pontosabb modelleknek jóval nagyobb futásidőigényük van.
A következő táblázat a különböző modellek véges differenciákon alapuló közelítéssel történő számításának az egyfázisú, 1D modell futásidejéhez viszonyított relatív gépidőigényét hasonlítja össze egy példaszámítás eredményei alapján.
1. táblázat Futásidőigények összehasonlító táblázata [97] alapján
Modell Relatív futásidőigény [-]
Egyfázisú, 1D modell 1
Kétfázisú, Schumann 1D-1D modell 4,2
Kétfázisú, általános 1D-1D modell 7,2
Egyfázisú, 2D modell 19,9
Kétfázisú, általános 2D-2D modell 180
Az optimálási feladatok a számítások sokszori elvégzését igénylik, ezért fontos a minél rövidebb számítási idő.
Zhen Yang és S. V. Garimella [98] közleményükben kvarckővel töltött szilárd szemcsés töltetű, hengeres hőtároló feltöltésének és ürítésének szimulációs számítását végezte sóolvadék hőhordozó közeggel (HITEC: 7% NaNO3 + 40%
NaNO2 + 53% KNO3). A hőterjedést leíró differenciálegyenleteket véges differenciák módszerével oldották meg. Meghatározták a tárolási összhatásfokot a Reynolds-szám és a szemcsemérethez viszonyított tároló magasság függvényében.
Számításaik eredményeit mérésekkel is alátámasztották. A tárolási összhatásfok nem tartalmazta a működtetési munkaszükségletet.