Sima lek´ epez´ esek fel¨ uletek k¨ oz¨ ott

A sima lek´epez´es ´es annak ´erint˝olek´epez´esei

Ebben az alfejezetben elemi fel¨uletek k¨oz¨otti lek´epez´eseket t´argyalunk. El˝osz¨or azt kell tiszt´aznunk, hogy egy ilyen lek´epez´est mikor nevez¨unk sim´anak.

5.24. Defin´ıci´o Legyenek adva R³-ban az M, Mˆ elemi fel¨uletek ´es egy µ : M → Mˆ lek´epez´es. Tekints¨uk ezen fel¨uletek egy-egy r : D → R³ ´es ˆr : ˆD → R³ param´eterez´es´et, tov´abb´a a nekik megfelel˝o ρ : M → D ⊂ R², ρˆ : ˆM → Dˆ ⊂ R² koordin´at´az´asokat. A fel¨uletek k¨oz¨otti µ lek´epez´est sim´anak mondjuk, ha a ϕ = ˆρ◦µ◦r, ϕ :D ⊂ R² → R² lek´epez´es C^∞-oszt´aly´u.

Megjegyz´es Az 5.12. T´etelt alkalmazva bel´athat´o, hogy a µ : M → Mˆ lek´epez´es simas´aga nem f¨ugg azM, Mˆ elemi fel¨uletekr, ˆr param´eterez´eseinek a megv´alaszt´as´at´ol.

A tov´abbiakban r¨ogz´ıtett r, ˆrparam´eteres el˝o´all´ıt´asokat fogunk alkalmazni aµsima lek´epez´es vizsg´alat´ahoz.

A ϕ = ˆρ◦µ◦r differenci´alhat´o f¨uggv´enyr˝ol azt mondjuk, hogy a fel¨uletek r ´es ˆr k´ep´enek mondunk. Jel¨olj¨unk ki egy t₀ ∈ I helyet. Az (5.2) egyenletnek megfelel˝oen a γ-nak a t₀-beli sebess´egvektor´ara fenn´allγ⁰(t₀) =P2

i=1 σ⁰_i(t₀)·∂_ir(σ(t₀)). Amennyiben alkalmazzuk az ¨osszetett f¨uggv´eny deriv´al´as´ara vonatkoz´o l´ancszab´alyt, akkor a k´epg¨orbe sebess´egvektor´ara a

ert´ekekb˝ol. Ennek ismeret´eben be lehet vezetni a k¨ovetkez˝o fogalmat.

5.25. Defin´ıci´o Legyen adott egyw´erint˝ovektor az M fel¨uletnek valamely p pontj´aban.

Vegy¨uk az M-nek egy olyan γ fel¨uleti g¨orb´ej´et, amelyre egy t₀ ∈I helyen igaz γ(t₀) = p

erint˝oterek term´eszetes b´azisaira n´ezve aT_pµ line´aris lek´epez´est a Jϕ(a) Jacobi-m´atrix

´ırja le.

5.26. Defin´ıci´o A µ: M → Mˆ sima lek´epez´est regul´arisnak mondjuk, ha a T_pµ ´ erin-t˝olek´epez´es rangj´ara fenn´all rk T_pµ= 2 b´armely p∈M pont eset´en.

5.7. ´abra. A fel¨uletek k¨oz¨otti µ:M →Mˆ sima lek´epez´es ´erint˝olek´epez´ese.

Megjegyz´es Vegy¨uk ´eszre, hogy a µ lek´epez´es pontosan akkor regul´aris, ha a neki megfelel˝o C^∞-oszt´aly´u ϕ:D⊂R² →R² f¨uggv´eny regul´aris.

Izometrikus lek´epez´es k´et fel¨ulet k¨oz¨ott

A tov´abbiak sor´an is feltessz¨uk, hogy adva vannak az M, Mˆ elemi fel¨uletek az r, ˆr param´eterez´esekkel.

5.27. Defin´ıci´o Egy µ:M →Mˆ sima lek´epez´est izometrikusnak nevez¨unk, ha b´armely p ∈ M pontban vett tetsz˝oleges v, w ´erint˝ovektorokra fenn´all hT_pµ(v), T_pµ(w)i = hv,wi.

A µsima lek´epez´est izometri´anak mondjuk az M ´es Mˆ fel¨uletek k¨oz¨ott, ha µ izomet-rikus ´es bijekt´ıv.

Megjegyz´es Legyen a µ : M → Mˆ lek´epez´es izometrikus. Vil´agos, hogy ekkor µ regul´aris. Emellett b´armely a∈ D pontnak van olyanU ny´ılt ´es ¨osszef¨ugg˝o k¨ornyezete, hogy a µ-nek az r(U) fel¨uletdarabra vett lesz˝uk´ıt´ese m´ar egy bijekci´ot ad az r(U) ´es µ(r(U)) elemi fel¨uletek k¨oz¨ott.

Eml´ekezz¨unk r´a, hogy jegyzet¨unkben egy γ: [a, b]→R³ sima g¨orb´enek az ´ıvhossz´at l(γ) jel¨oli. Az al´abbi t´etel azt mondja ki, hogy aµlek´epez´es pontosan akkor izometrikus, ha meg˝orzi a fel¨uleti g¨orb´ek ´ıvhossz´at.

5.28. T´etel A µ:M →Mˆ sima lek´epez´es izometrikus akkor ´es csak akkor, ha b´armely γ : [a, b]→M ⊂R³ fel¨uleti g¨orbe eset´en a µ◦γ k´epg¨orbe ´ıvhossz´ara fenn´all

l(µ◦γ) = l(γ).

Bizony´ıt´as. Tegy¨uk fel, hogy a µ sima lek´epez´es meg˝orzi az M fel¨uleten vett g¨orb´ek

´ıvhossz´at. A 2.7. T´etel szerint ez azt jelenti, hogy tetsz˝oleges γ fel¨uleti g¨orb´ere igaz Rb

a kγ⁰(t)kdt = Rb

a k(µ◦ γ)⁰(t)kdt. Vegy¨uk ´eszre, hogy ekkor b´armely t ∈ I helyen teljes¨ul kγ⁰(t)k = k(µ◦ γ)⁰(t)k = kT_γ(t)µ(γ⁰(t))k. Ennek k¨ovetkezt´eben tetsz˝oleges w∈ TpM ´erint˝ovektorra fenn´all kTpµ(w)k=kwk. Innen viszont m´ar k¨ovetkezik, hogy a µ´erint˝olek´epez´esei meg˝orzik a skal´aris szorzatot, vagyis µegy izometrikus lek´epez´es.

A t´etel m´asik ir´anyban t¨ort´en˝o igazol´asa trivi´alis.

Tekints¨unk most egy olyan µ : M → Mˆ sima regul´aris lek´epez´est, amely bijekt´ıv.

Egy sz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt fogunk adni arra vonatkoz´oan, hogy µ izometria legyen.

C´elszer˝u ez esetben kihaszn´alni azt, hogy a ϕ = ˆρ◦µ◦r lek´epez´es eleget tesz a param´etertranszform´aci´os f¨uggv´enyre vonatkoz´o felt´eteleknek. Ily m´odon most vehetj¨uk az ˆr vektorf¨uggv´enynek az ˜r = ˆr◦ϕ ´atparam´eterez´es´et. Amennyiben a fel¨uletek r ´es ˜r param´eteres el˝o´all´ıt´asait vessz¨uk, akkor a µ´altal egym´ashoz rendelt pontok koordin´at´ai megegyeznek, azaz teljes¨ul µ◦r(u₁, u₂) = ˜r(u₁, u₂) b´armely (u₁, u₂)∈D pontban.

5.29. T´etel Legyen a µ : M → Mˆ sima lek´epez´es regul´aris ´es bijekt´ıv. A µ lek´epez´es izometria a k´et fel¨ulet k¨oz¨ott akkor ´es csak akkor, ha azr´es˜r= ˆr◦ϕ param´eterez´esekhez tartoz´o els˝o f˝omennyis´egek azonosak, azaz fenn´all gij = ˜gij (i, j = 1, 2).

Bizony´ıt´as. Vil´agos, hogy a µ sima bijekci´o akkor ad izometri´at, ha tetsz˝oleges u ∈ D eset´en a T_r(u)M ´erint˝ot´er term´eszetes b´azisvektoraira teljes¨ulnek az

h∂_ir(u), ∂_jr(u)i=hT_r(u)µ(∂_ir(u)), T_r(u)µ(∂_jr(u))i (i, j = 1, 2) egyenl˝os´egek.

Az ˜r=µ◦r ¨osszef¨ugg´es k¨ovetkezt´eben az ´erint˝olek´epez´esre most fenn´all

T_r(u)µ(∂_ir(u)) =∂_i˜r(u). Ily m´odon aµlek´epez´es pontosan akkor izometrikus, ha igazak a gij(u) = ˜gij(u) (i, j = 1, 2) egyenl˝os´egek b´armely u ∈D pontban.

A fenti t´etelb˝ol m´ar ad´odik a k¨ovetkez˝o kijelent´es.

5.30. K¨ovetkezm´eny Legyen a µ : M → Mˆ lek´epez´es izometria az M ´es Mˆ elemi fel¨uletek k¨oz¨ott. Ekkor µ meg˝orzi a kompakt fel¨uletdarabok felsz´ın´et.

Megjegyz´es Elemi fel¨uletek k¨oz¨otti izometri´akra majd a 6.6. alfejezetben adunk p´eld´ a-kat.

Az elemi fel¨ulet Gauss-lek´epez´ese

Tekints¨uk a 0 centrum´u ´es 1 sugar´u S² ={u∈R³ | kuk = 1} g¨ombfel¨uletet, amellyel m´ar foglalkoztunk az 5.5. P´ed´aban. Mint ismeretes, az S² szf´era egy olyan ¨osszef¨ugg˝o sima fel¨ulet, amely kompakt. Az R³-beli koordin´atas´ıkok az S² szf´er´at 6 f´elg¨ombre osztj´ak fel, ´es ezen f´elg¨omb¨ok uni´oja kiadja a teljes szf´er´at. A f´elg¨omb¨ok m´ar elemi fel¨uletek ´es el˝o´all´ıthat´oak a ˆD={(u, v)∈R² |u²+v² <1} ny´ılt k¨orlemezen vetth₁ ´es h2 f¨uggv´enyek gr´afjak´ent, melyekre fenn´allhi(u, v) = (−1)ⁱ√

1−u²−v² (i= 1, 2).

5.31. Defin´ıci´o Legyen adott egy M elemi fel¨ulet az r:D→R³ param´eterez´essel. Azt a µ : M → S² lek´epez´est, melyet a µ(r(u₁, u₂)) = N(u₁, u₂) egyenlet ´ır le tetsz˝oleges (u₁, u₂)∈D mellett, az M fel¨ulet Gauss-lek´epez´es´enek mondjuk.

Megjegyz´es Amennyiben az r el˝o´all´ıt´asnak vessz¨uk egy ir´any´ıt´asv´alt´o ´atparam´ etere-z´es´et, akkor a Gauss-lek´epez´es a (−1)-szeres´ere v´altozik.

Tekints¨unk egy tetsz˝oleges (a₁, a₂)∈D pontot, melynek ap=r(a₁, a₂) fel¨uleti pont felel meg. Ennek van olyan U ny´ılt ¨osszef¨ugg˝o k¨ornyezete D-ben, hogy azN(U) alakzat rajta van a koordin´atas´ıkok ´altal meghat´arozott f´elg¨omb¨ok egyik´en. V´alasszuk ki az egyik ilyen f´elg¨omb¨ot, melyet jel¨olj¨on most Q. Vil´agos, hogy ekkor aµ|r(U) :r(U)⊂M →Q lesz˝uk´ıtett lek´epez´es sima.

Vegy¨uk a p = r(a₁, a₂) pontot. Az 5.5. P´elda sor´an bel´attuk, hogy az S² szf´era µ(p) pontbeli line´aris ´erint˝otere is mer˝oleges azN(a₁, a₂) =µ(p) vektorra, teh´at fenn´all T_pM = T_µ(p)S². Ennek k¨ovetkezt´eben a µ : M → S² Gauss-lek´epez´esnek a p-beli T_pµ ´erint˝olek´epez´ese egy olyan line´aris lek´epez´est ad, amely ¨onmag´aba k´epezi a T_pM

´

erint˝oteret. A k¨ovetkez˝o fejezetben majd l´atni fogjuk, hogy ez a t´eny felhaszn´alhat´o a fel¨ulet g¨orb¨uleti jellemz´es´ehez.