Hipocikloisok ´ es epicikloisok

es ˆγ g¨orb´ek ´erint˝oi p´arhuzamosak egym´assal.

V´eg¨ul megjegyezz¨uk, hogy k¨ozvetlen sz´amol´assal a ˆ

κ(t) = κ(t)

|1−κ(t)hY(t),F(t)i|, τ(t) =ˆ τ(t)

1−κ(t)hY(t),F(t)i kifejez´eseket kapjuk a ˆγ parallel g¨orbe g¨orb¨ulet´ere ´es torzi´oj´ara.

2.4. P´ eld´ ak, feladatok

2.4.1. Hipocikloisok ´ es epicikloisok

Els˝ok´ent olyan g¨orb´eket ´ırunk le, amelyeket egy k¨ornek egy m´asik k¨or¨on val´o leg¨ord´ıt´ e-s´evel nyer¨unk, ´es emiatt mechanikai szempontb´ol is fontosak.

A tov´abbiakban a pontokat majd latin nagybet˝ukkel is jel¨olj¨uk. Az R³ t´erben te-kints¨uk az x₃ = 0 egyenlet˝u s´ıkot. Ebben a s´ıkban legyen adva az O centrum´u ´es R sugar´u ´all´o k¨or. Vegy¨unk egy olyanC k¨oz´eppont´u,r(r < R) sugar´u k¨ort, amely bel¨ulr˝ol

´

erinti az R sugar´u k¨ort, ´es annak ker¨ulet´en egyP pontot. Ezt a P-t tekints¨uk egy olyan pontnak, amely a kisebb sugar´u k¨orvonalhoz van r¨ogz´ıtve. G¨ord´ıts¨uk le cs´usz´asmentesen a kisebb sugar´u k¨ort a nagyobb sugar´u k¨or¨on, annak belsej´eben. A P pont ´altal a leg¨ or-d´ıt´es sor´an le´ırt p´aly´at cs´ucsos hipocikloisnak nevezz¨uk. Egy olyan γ g¨orb´et keres¨unk, amelynek p´aly´aja azonos ezzel a hipocikloissal.

A kiindul´asi helyzetet ´ugy ´all´ıtsuk be, hogy azOorig´ob´ol a k´et k¨orP₀´erintkez´esi pont-j´aba mutat´o−−→

OP₀ vektor legyen egyir´any´u aze₁ alapvektorral. V´alasszuktparam´eternek

az ´all´o k¨or¨on leg¨ord¨ult ´ıv k¨oz´epponti sz¨og´et, melyet radi´anban m´er¨unk. Amennyiben a k´et k¨or¨on R t hossz´us´ag´u ´ıv g¨ord¨ult le, akkor a P pont hely´et jel¨olje P_t, a k´et k¨or pillanatnyi ´erintkez´esi pontj´at jel¨olje A_t ´es a kisebb sugar´u k¨or centrum´anak poz´ıci´oja legyen Ct. (L´asd a 2.9. ´abr´at.) Az al´abbiak sor´an a γ(t) =−−→

OPt vektort fogjuk kifejezni az e₁, e₂ alapvektorok line´aris kombin´aci´ojak´ent.

2.9. ´abra. Cs´ucsos hipocikloisok az R/r = 3 ´es R/r= 4 ar´anyokkal.

Mint azt m´ar eml´ıtett¨uk, a g¨orb´et az ´all´o k¨or¨on leg¨ord¨ult ´ıvt =P0OAt^ k¨oz´epponti sz¨og´evel param´eterezz¨uk. Jel¨olje u a mozg´o k¨or¨on leg¨ord¨ult ´ıv A_tC_tP_t^ k¨oz´epponti sz¨og´et. Mivel a k´et k¨or´ıv hossza megegyezik, fenn´all R t = r u, ´es ebb˝ol az u = ^R_r t

¨osszef¨ugg´es k¨ovetkezik.

K¨onny˝u bel´atni, hogy az −−→

OC_t vektor egyir´any´u az e₁ alapvektor t sz¨og˝u elforgatott-j´aval ´es c=R−r az−−→

OC_t vektor hossza. Ily m´odon fenn´all−−→

OC_t=c(coste₁+ sinte₂).

A −−→

C_tP_t vektor ir´any´at ´ugy kapjuk meg, hogy el˝obb az e₁ vektort elforgatjuk pozit´ıv ir´anybant sz¨oggel, majd pedig a negat´ıv ir´anyban azu sz¨oggel. A k´et forgat´as szorzata megegyezik a t − u el˝ojeles sz¨oggel t¨ort´en˝o elforgat´assal. Ebb˝ol m´ar ad´odik, hogy

−−→C_tP_t=r cos(t−u)e₁+r sin(t−u)e₂ teljes¨ul. A γ(t) =−−→

OP_t=−−→

OC_t+−−→

C_tP_t kifejez´esb˝ol az al´abbi ¨osszef¨ugg´est nyerj¨uk

γ(t) = ccost+r cos((1− ^R_r)t)

e₁+ c sint+r sin((1− ^R_r)t) e₂.

Vil´agos, hogy ez a γ sima g¨orbe abban az esetben lesz z´art, amikor az R/r h´anyados racion´alis sz´am.

V´eg¨ul megjegyezz¨uk, hogy a cs´ucsos hipocikloist asztroidnak (vagy m´as sz´oval csillag-g¨orb´enek) nevezik, ha a k¨or¨ok sugaraira fenn´allR/r = 4.

2.10. ´abra. Hurkolt hipociklois az R/r = 4 ar´annyal.

Az el˝obbi elj´ar´as alapj´an tov´abbi p´aly´akat is ´ertelmezni lehet azx₃ = 0 egyenlet˝u s´ıkban.

A leg¨ord¨ul˝o k¨or C centrum´ab´ol kiindul´o ´es a P ker¨uleti ponton ´atmen˝o f´elegyenesen vegy¨unk most egy B (B 6= P) pontot, melynek a C-t˝ol m´ert t´avols´aga legyen b =CB.

Tekints¨uk most a leg¨ord´ıt´es sor´an a B pont ´altal le´ırt p´aly´at. (L´asd a 2.10. ´abr´at.) Az el˝obbi elj´ar´ast k¨ovetve azt kapjuk, hogy a

σ(t) = (ccost+b cos((1− ^R_r)t)

e₁+ c sint+b sin((1− ^R_r)t) e₂.

kifejez´essel le´ırtσ :R→R³ g¨orbe k´ephalmaza megegyezik a B pont ´altal le´ırt p´aly´aval.

Amennyiben b > r, akkor a σ egy ¨onmag´at metsz˝o g¨orbe, ´es emiatt a p´aly´at hurkolt hipocikloisnak nevezz¨uk. A b < r esetben a B pont p´aly´aj´at ny´ujtott hipocikloisnak mondjuk.

Vizsg´aljuk most azt az esetet, amikor az O centrum´u ´es R sugar´u ´all´o k¨or¨on k´ıv¨ulr˝ol g¨ord´ıtj¨uk le a vele ´erintkez˝o C k¨oz´eppont´u ´es r sugar´u k¨ort. Az ´ıgy nyert p´aly´akat epicikloisoknak nevezz¨uk.

A le´ırt p´aly´ak param´eterez´es´ehez ez esetben is v´alasszuk az ´all´o k¨or¨on leg¨ord¨ult ´ıv t k¨oz´epponti sz¨og´et. A t= 0 ´ert´eknek megfelel˝o kiindul´asi helyzetet most ´all´ıtsuk be ´ugy, hogy az O-b´ol a k´et k¨orP₀ ´erintkez´esi pontj´aba mutat´o−−→

OP₀ vektor legyen egyir´any´u az e2 alapvektorral. Ha R t hossz´us´ag´u ´ıv g¨ord¨ult le, akkor a leg¨ord¨ul˝o k¨or centrum´anak poz´ıci´oja legyenC_t, a k´et k¨or pillanatnyi ´erintkez´esi pontj´at jel¨oljeA_t, ´es aP pont helye

2.11. ´abra. Cs´ucsos ´es hurkolt epiciklois az R/r= 2 ar´annyal.

legyenP_t. Ekkor teljes¨ul−−→

OC_t =c(coste₂−sinte₁) ac=R+r´ert´ekkel. ACkezd˝opont´u

´

es a P-n ´atmen˝o f´elegyenesen vegy¨unk egy B pontot, amelynek a C-t˝ol m´ert t´avols´aga b =CB. AB pont ´altal a g¨ord´ıt´es sor´an le´ırt epicikloist ny´ujtottnak, cs´ucsosnak, illetve hurkoltnak mondjuk aszerint, hogy b < r, b=r vagy b > r teljes¨ul.

Jel¨olje a t pillanatban a B pont hely´et B_t. A −−→

C_tB_t vektor ir´any´at ez esetben ´ugy kapjuk meg, hogy a −−−→

C₀B₀ = −be₂ vektort elforgatjuk pozit´ıv ir´anyban t sz¨oggel, majd pedig m´eg ugyanabban az ir´anyban azusz¨oggel. A k´et forgat´as szorzata teh´at ez esetben a t+u sz¨og˝u elforgat´as. Ennek k¨ovetkezt´eben fenn´all

−−→C_tB_t=b −cos(t+u)e₂+ sin(t+u)e₁

. Az −−→

OB_t=−−→

OC_t+−−→

C_tB_tkifejez´esnek megfelel˝oen vegy¨uk azt a γ:R→R³ sima g¨orb´et, ahol

γ(t) = −csint+b sin((1 + ^R_r)t)

e₁ + c cost−b cos((1 +^R_r)t) e₂. Vil´agos, hogy γ p´aly´aja megegyezik aB pont ´altal le´ırt epicikloissal.