6. Az elemi fel¨ uletek g¨ orb¨ uleti jellemz´ ese 107
6.5. Az egyszer˝ u z´ art g¨ orbe tubusfel¨ ulete
Z Z
B
k∂1N(u, v)×∂2N(u, v)k du dv=−F(N(B)). Vil´agos, hogy a le´ırt bizony´ıt´asi elj´ar´as az elliptikus fel¨uletre is ´erv´enyes.
6.5. Az egyszer˝ u z´ art g¨ orbe tubusfel¨ ulete
Ebben az alfejezetben el˝obb egy speci´alis sima fel¨ulet g¨orb¨uleti jellemz´es´et v´egezz¨uk el.
Ezt k¨ovet˝oen megmutatjuk, hogy fel¨uletelm´eleti m´odszerekkel az egyszer˝u z´art g¨orb´ek teljes g¨orb¨ulet´evel kapcsolatos ´all´ıt´asokat is lehet igazolni.
Legyen adott egy olyan ´ıvhossz szerint param´eterezett γ : [0, b] → R3 egyszer˝u z´art g¨orbe, amelynek g¨orb¨ulete sehol sem t˝unik el. A κ : [0, b] → R g¨orb¨uleti f¨uggv´eny maximuma legyen κ0. V´alasszunk egy olyan a pozit´ıv sz´amot, amelyre fenn´all a < κ1
0. Tekints¨uk aγ ment´en a k´ıs´er˝o Frenet-b´azis B1 =γ0, B2 = 1
kγ00kγ00,
B3 =B1×B2 vektormez˝oit. Vegy¨uk az R2-beli D = [0, b]×[0,2π] z´art t´eglalapon azt az r:D→R3 vektorf¨uggv´enyt, amelyre fenn´all
tetsz˝oleges (u, v)∈D eset´en. A Frenet-formul´ak alapj´an az r parci´alis deriv´altjait a
∂1r(u, v) = (1−a κ(u) sinv)B1(u)−a τ(u) cosvB2(u) +a τ(u) sinvB3(u),
∂2r(u, v) = a cosvB2(u)−sinvB3(u)
¨osszef¨ugg´esek adj´ak meg. Ezek vektori´alis szorzat´ara a
∂1r(u, v)×∂2r(u, v) =a(1−a κ(u) sinv)· sinvB2(u) + cosvB3(u)
(6.25) kifejez´est nyerj¨uk. Mivel b´armely (u, v) ∈ D mellett igaz 1 −a κ(u) sinv > 0, ez azt mutatja, hogy az r differenci´alhat´o lek´epez´es regul´aris.
Topol´ogiai eszk¨oz¨oket is felhaszn´alva igazolhat´o, hogy amennyiben az a pozit´ıv sz´ a-mot elegend˝oen kicsinek v´alasztjuk, akkor az r|[0, b)×[0,2π) vektorf¨uggv´eny injekt´ıv ´es az M = r(D) alakzat egy olyan sima fel¨uletet ad R3-ban, amely homeomorf a t´ orusz-fel¨ulettel. A tov´abbiakban v´egig feltessz¨uk, hogy az a (a > 0) sz´am ´ert´eke olyan kicsi, amellyel ezek a tulajdons´agok teljes¨ulnek.
6.36. Defin´ıci´o Vegy¨uk a (6.24) egyenlettel ´ertelmezett r : D → R3 lek´epez´est. Az M = r(D) sima fel¨uletet a γ : [0, b] → R3 egyszer˝u z´art g¨orb´ehez tartoz´o a sugar´u tubusfel¨uletnek mondjuk.
Ha vessz¨uk azr ”param´eterez´es´ehez” tartoz´o els˝o f˝omennyis´egek m´atrix´at, akkor an-nak determin´ans´ara az (5.7) ´es (6.25) ¨osszef¨ugg´esek alapj´an fenn´all
detG(u, v) =k∂1r(u, v)×∂2r(u, v)k2 =a2(1−a κ(u) sinv)2 (6.26) tetsz˝oleges (u, v)∈D eset´en.
Amennyiben az 5.23. Defin´ıci´o alapj´an meghat´arozzuk a tubusfel¨ulet felsz´ın´et, akkor (6.26) ismeret´eben azt kapjuk, hogy igaz
F(M) = Z b
0
Z 2π 0
a(1−a κ(u) sinv)dv du
= Z b
0
a
v +a κ(u) cosv2π
0 du= 2π a b .
Az M sima fel¨ulet norm´alis egys´egvektormez˝oj´ere a (6.25) egyenlet szerint teljes¨ul N(u, v) = sinvB2(u) + cosvB3(u).
Ebb˝ol a kifejez´esb˝ol a Gauss-g¨orb¨uletet le´ır´oK: D→Rf¨uggv´enyt a m´asodik f˝omennyis´ e-gek alkalmaz´asa n´elk¨ul is ki tudjuk sz´am´ıtani. Ism´et felhaszn´alva a val´odi g¨orb´ekre vonatkoz´o Frenet-formul´akat, k¨ozvetlen sz´amol´assal kapjuk, hogy igaz
∂1N(u, v)×∂2N(u, v) =−κ(u) sinv·N(u, v).
Ebb˝ol az ¨osszef¨ugg´esb˝ol ´es a (6.23), (6.25) egyenl˝os´egekb˝ol m´ar k¨ovetkezik, hogy a tu-busfel¨ulet K szorzatg¨orb¨uleti f¨uggv´eny´ere b´armely (u, v)∈D helyen teljes¨ul
K(u, v) = −κ(u) sinv
a(1−a κ(u) sinv). (6.27)
A fenti (6.27) kifejez´es szerint a tubusfel¨ulet r(u, v) pontja elliptikus, ha fenn´allπ < v <
2π. Amennyiben igaz 0 < v < π, akkor az r(u, v) pont hiperbolikus. Ha pedig v = 0 vagy v =π teljes¨ul, akkor az r(u, v) pont parabolikus.
Tekints¨uk R2-ben a B = [0, b]×[π,2π] z´art t´eglalapot. Az M = r(D) tubusfel¨ulet k¨uls˝o fel´enek nevezz¨uk az r(B) kompakt fel¨uletdarabot. A tubusfel¨ulet k¨uls˝o fele teh´at az M azon pontjaib´ol ´all, melyekben a Gauss-g¨orb¨ulet nem negat´ıv.
Eml´ekezz¨unk r´a, hogy a γ ´ıvhossz szerint van param´eterezve. A z´art intervallumon
´ertelmezett g¨orbe teljes g¨orb¨ulet´enek fogalm´at a 2.16. Defin´ıci´oban adtuk meg. Az al´abbi ´all´ıt´as a γ g¨orbeκ(γ) teljes g¨orb¨ulet´evel kapcsolatos ´es a fentiek sor´an levezetett
¨osszef¨ugg´esek alapj´an l´athat´o be.
6.37. ´All´ıt´as A Gauss-g¨orb¨uletnek a tubusfel¨ulet k¨uls˝o fel´en vett felsz´ın szerinti integ-r´alj´ara fenn´all K(r(B)) = 2κ(γ).
Bizony´ıt´as. Vegy¨uk ´eszre, hogy a (6.26) ´es (6.27) ¨osszef¨ugg´esek k¨ovetkezt´eben igaz K(u, v)·p
detG(u, v) =−κ(u) sinv .
Ennek ismeret´eben a Gauss-g¨orb¨uletnek az r(B) fel¨uletdarabon vett felsz´ın szerinti in-tegr´alj´ara teljes¨ul
K(r(B)) =− Z b
0
Z 2π π
κ(u) sinv dv du = 2· Z b
0
κ(u)du= 2κ(γ).
Az egyszer˝u z´art g¨orb´ek teljes g¨orb¨ulet´evel kapcsolatos eredm´enyek
A tov´abbiakban is feltessz¨uk, hogy adva van egy olyan ´ıvhossz szerint param´eterezett γ : [0, b]→R3egyszer˝u z´art g¨orbe, melynek g¨orb¨ulete sehol sem t˝unik el. Aγ-hoz rendelt tubusfel¨ulet alkalmaz´as´aval bizony´ıtani lehet a γ teljes g¨orb¨ulet´ere vonatkoz´o egyenl˝ ot-lens´egeket is. Azasugar´u tubusfel¨uletnek tov´abbiak sor´an is a (6.24) ¨osszef¨ugg´essel le´ırt param´eterez´es´et fogjuk alkalmazni.
Vil´agos, hogy a γ g¨orbe B3 binorm´alis vektormez˝oj´enek p´aly´aja rajta van az S2 szf´er´an. V´alasszunk most egy olyan wegys´egvektort, melyet a B3, −B3 g¨orb´ek p´aly´aja nem tartalmaz, vagyis amelyre b´armelyu∈[0, b] eset´en igazw6=B3(u) ´esw6=−B3(u).
Tekints¨uk azt aw-hez rendelt hw: [0, b]→R f¨uggv´enyt, melyet a
¨osszef¨ugg´es ´ır le. Vegy¨uk ´eszre, hogy a w egys´egvektorra kiszabott felt´etel miatt a hw f¨uggv´eny nem lehet konstans, vagyis hw 6= 0. Emellett kimondhat´o vele kapcsolatban az al´abbi seg´edt´etel.
6.38. Lemma Legyen u0 ∈ [0, b] egy olyan hely, amelyre fenn´all h0w(u0) = 0. Ekkor igazak az al´abbi kijelent´esek.
(1) Ha vessz¨uk a p = γ(u0) +aw pontot, akkor van olyan v0 ∈ [0,2π] ´ert´ek, amelyre teljes¨ul
r(u0, v0) = p ´es N(u0, v0) =w. (2) A hw f¨uggv´eny m´asodrend˝u deriv´altj´ara fenn´all h00w(u0)6= 0.
Bizony´ıt´as. A (6.28) kifejez´esb˝ol ad´od´o 0 = h0w(u0) = hγ0(u0),wi egyenl˝os´eg szerint a w vektor mer˝oleges a γ0(u0) =T(u0) tangenci´alis egys´egvektorra, ´es emiatt p´arhuzamos a γ g¨orbeu0-beli norm´als´ıkj´aval. Eszerint wel˝o´all aB2(u0) = F(u0) ´esB3(u0) = B(u0) vektorok line´aris kombin´aci´ojak´ent a
w= sinv0B2(u0) + cosv0B3(u0)
alakban valamely v0 ∈[0,2π] ´ert´ek mellett. Ennnek k¨ovetkezt´eben teljes¨ul p=γ(u0) +aw=r(u0, v0),
teh´atp azM =r(D) tubusfel¨uletnek egy pontja. Az Nnorm´alis egys´egvektorra kor´ ab-ban kapott N(u, v) = sinvB2(u) + cosvB3(u) ¨osszef¨ugg´esb˝ol pedig ad´odik, hogy igaz N(u0, v0) =w.
R´at´er¨unk a (2) kijelent´es igazol´as´ara. A val´odi g¨orb´ekre vonatkoz´o els˝o Frenet-formul´ab´ol ´es a (6.28) egyenletb˝ol k¨ovetkezik, hogy fenn´all
h00w(u0) =hγ00(u0),wi=hT0(u0),wi=κ(u0)· hF(u0),wi.
Mivel w egy norm´alvektor a γ(u0) pontban ´es nem p´arhuzamos a B(u0) binorm´alissal, hF(u0),wi 6= 0 teljes¨ul. A fenti ¨osszef¨ugg´esb˝ol emiatt azt nyerj¨uk, hogy h00w(u0)6= 0.
A 6.38. Lemm´ab´ol nyilv´an k¨ovetkezik, hogy a hw f¨uggv´enynek az u0 helyen vagy lok´alis maximuma vagy pedig lok´alis minimuma van.
Alkalmazni fogjuk majd az al´abbi seg´edt´etelt is.
6.39. Lemma Legyen az u0 ∈ (0, b) egy olyan hely, ahol a hw f¨uggv´enynek lok´alis ma-ximuma van. Ekkor p = γ(u0) +aw a tubusfel¨uletnek egy elliptikus pontja, vagyis a p =r(u0, v0) egyenl˝os´egben szerepl˝o v0 param´eterre igaz π < v0 <2π.
Bizony´ıt´as. Mivel u0 egy lok´alis maximumhely, ´ıgy fenn´all h0w(u0) = 0. A 6.38. Lemma szerint ekkor van olyan v0 ∈ [0,2π] ´ert´ek, hogy igaz p = r(u0, v0). Ugyancsak az el˝oz˝o seg´edt´etelb˝ol ad´odik, hogy a m´asodik deriv´altra ez esetben fenn´all a h00w(u0) < 0 egyenl˝otlens´eg. Ily m´odon a Taylor-t´etel k¨ovetkezt´eben van olyan ε > 0 sz´am, hogy (u0−ε, u0+ε)⊂(0, b) ´es teljes¨ulhw(u)< hw(u0) b´armely olyanu-ra, ahol 0<|u−u0|<
ε. K¨onny˝u bel´atni, hogy ennek k¨ovetkezt´eben fenn´all az hr(u, v)−p,wi<0
egyenl˝otlens´eg, amennyiben u∈(u0−ε, u0+ε), v ∈[0,2π] ´es (u, v)6= (u0, v0).
Tekints¨uk most a tubusfel¨ulet P ´erint˝os´ıkj´at a p = γ(u0) +aw pontban. Mivel a fel¨ulet p-beli norm´alvektor´ara fenn´all N(u0, v0) = w, a P ´erint˝os´ıkot az R3 t´er azon q pontjai alkotj´ak, amelyek kiel´eg´ıtik a hq−p,wi= 0 egyenletet.
A fenti egyenl˝otlens´eg szerint az r((u0 −ε, u0 +ε)×[0,2π]) fel¨uletdarab a p-beli P ´erint˝os´ık egyazon oldal´ara esik. A 6.19. ´All´ıt´as k¨ovetkezt´eben a p pont nem lehet hiperbolikus. Mivel a w egys´egvektor nincs rajta a B3, −B3 g¨orb´ek p´aly´aj´an, vagyis igaz v0 6=π ´es v0 6= 2π, p parabolikus pont sem lehet. Ily m´odon p egy elliptikus pont a tubusfel¨uleten, ´es ebb˝ol m´ar ad´odik π < v0 <2π teljes¨ul´ese.
Az el˝oz˝o seg´edt´etelek alkalmaz´as´aval aγ g¨orbe teljes g¨orb¨ulet´evel kapcsolatosan bi-zony´ıtani lehet az al´abbi ´all´ıt´ast.
6.40. ´All´ıt´as Legyen γ : [0, b] → R3 egy olyan egyszer˝u z´art g¨orbe, melynek g¨orb¨ulete sehol sem t˝unik el. Ekkor a γ teljes g¨orb¨ulet´ere fenn´all κ(γ)≥2π.
Bizony´ıt´as. Vegy¨unk egy olyan w ∈ S2 egys´egvektort, amelyre igaz w 6= ±B3(u) b´ ar-melyu∈[0, b]-ra. Tekints¨uk a (6.28) egyenlettel le´ırthw f¨uggv´enyt. Legyen u0 az a hely, aholhw felveszi maximum´at. Mivelγ egy egyszer˝u z´art g¨orbe, ´ıgy teljes¨ulh0w(u0) = 0. A 6.38. ´es 6.39. Lemm´ak szerint van olyanv0 ∈(π,2π) ´ert´ek, amelyre igazN(u0, v0) =w.
Tekints¨uk most az N norm´alis egys´egvektormez˝o lesz˝uk´ıt´es´et a B = [0, b]×[π,2π]
z´art t´eglalapra. Az N(B) alakzat kompakt, mert az N lek´epez´es folytonos. Emiatt az N(B) ponthalmaz tartalmazza az N([0, b]×(π,2π)) alakzatnak a g¨ombfel¨uletre es˝o torl´od´asi pontjait. Ebb˝ol a t´enyb˝ol ´es a fenti eredm´enyb˝ol m´ar k¨ovetkezik az N(B) =S2 egyenl˝os´eg. Az N : B → R3 f¨uggv´eny teh´at le´ırja a teljes S2 egys´egg¨omb¨ot, amelynek felsz´ın´ere igaz F(S2) = 4π. Innen a Gauss-g¨orb¨ulet r(B) fel¨uletdarabon vett felsz´ın szerinti integr´alj´ara (6.23) alkalmaz´as´aval a
K(r(B)) = Z Z
B
K(u, v)p
detG(u, v) du dv
= Z Z
B
k∂1N(u, v)×∂2N(u, v)k du dv ≥4π
¨osszef¨ugg´est nyerj¨uk. Ily m´odon a 6.37. ´All´ıt´asb´ol m´ar ad´odik, hogy fenn´all
A fentiek sor´an igazolt ´all´ıt´asn´al egy er˝osebb t´etel is kimondhat´o. Az al´abbi ered-m´enyt, amelyet bizony´ıt´as n´elk¨ul k¨ozl¨unk, Fenchel t´etelek´ent szok´as eml´ıteni.
6.41. T´etel Tetsz˝oleges R3-beli γ egyszer˝u z´art g¨orbe teljes g¨orb¨ulet´ere teljes¨ul a κ(γ)≥2π egyenl˝otlens´eg.
Egy γ egyszer˝u z´art g¨orb´ere fenn´all a κ(γ) = 2π ¨osszef¨ugg´es akkor ´es csak akkor, ha a γ egy konvex z´art s´ıkg¨orbe.
A nem kibonthat´o csom´ot le´ır´o z´art g¨orbe teljes g¨orb¨ulete
Ha az olvas´o kor´abban m´eg nem folytatott komolyabb topol´ogiai tanulm´anyokat, a szem-l´elet alapj´an akkor is van egy k´epe arr´ol, hogy egy egyszer˝u z´art g¨orbe p´aly´aja mikor ad kibonthat´o csom´ot az R3 euklideszi t´erben. Pongyol´an fogalmazva a p´alya akkor k´epez egy kibonthat´o csom´ot, ha el˝o´all egy a z´art k¨orlemezzel homeomorf fel¨ulet peremek´ent.
A 6.4. ´abr´an egy nem kibonthat´o csom´o l´athat´o.
6.4. ´abra. Egy nem kibonthat´o t´erbeli csom´o.
6.42. ´All´ıt´as Legyen γ : [0, b]→R3 olyan egyszer˝u z´art g¨orbe, amelynek g¨orb¨ulete nem t˝unik el ´es a teljes g¨orb¨ulet´ere fenn´all a κ(γ)<4π egyenl˝otlens´eg. Ekkor a γ ´altal le´ırt csom´o kibonthat´o.
Bizony´ıt´as. A 6.40. ´All´ıt´as bizony´ıt´as´aban alkalmazott elj´ar´ast alkalmazzuk. Ez alapj´an a κ(γ)<4π ¨osszef¨ugg´es k¨ovetkezt´eben azN:B →R3 f¨uggv´eny nem ´ırja le k´etszeresen az S2 egys´egg¨omb¨ot. Kor´abbi eredm´enyeink szerint ekkor van olyan w ∈ S2 egys´ eg-vektor, hogy a (6.28) egyenlettel le´ırt a hw f¨uggv´enynek egyetlen pontban van lok´alis maximuma. Jel¨olje most u1 ezt a helyet, ´es evidens, hogy hw az u1 pontban veszi fel a maximum´at. Vegy¨uk ´eszre, hogy a hw f¨uggv´enynek egyetlen helyen van lok´alis minimu-ma, teh´at csak abban a pontban, ahol a hw felveszi minimum´at.
6.5. ´abra. A k¨orlemezzel homeomorf alakzat konstrukci´oja.
Az ´altal´anoss´ag elv´enek megs´ert´ese n´elk¨ul feltehetj¨uk, hogy a hw f¨uggv´enynek a 0 helyen van minimuma, hiszen ez mindig el´erhet˝o az egyszer˝u z´art g¨orbe ´atparam´ etere-z´es´evel. Ekkor a hw f¨uggv´eny szigor´uan monoton n¨ovekv˝o a [0, u1] intervallumon, ´es szigor´uan monoton cs¨okken˝o az [u1, b] intervallumon. (L´asd a 6.5. ´abr´at.)
Tekints¨uk most azokat a s´ıkokat R3-ban, amelyek mer˝olegesek a w egys´egvektorra
´es van k¨oz¨os pontjuk a γ g¨orbe p´aly´aj´aval. Ha ezek k¨oz¨ul elhagyjuk a γ(0) ´es γ(u1) pontokon ´atmen˝o s´ıkokat, akkor ezek a s´ıkok a t´erben elv´alasztj´ak egym´ast´ol a k´et pon-tot. A fentiek alapj´an m´ar ad´odik, hogy egy ilyen s´ık pontosan egy pontban metszi el a G1 = γ([0, u1]), G2 = γ([u1, b]) g¨orbe´ıveket. Teh´at ezeknek a w-re mer˝oleges s´ıkok-nak pontosan k´et metsz´espontjuk van a γ([0,2π]) p´aly´aval. A kapott metsz´espontokat
¨osszek¨ot˝o szakaszok uni´ojak´ent pedig egy olyan alakzatot nyer¨unk, amely homeomorf a z´art k¨orlappal. A kapott alakzat pereme viszont megegyezik a γ g¨orbe p´aly´aj´aval, ´es ebb˝ol m´ar ad´odik, hogy a γ ´altal le´ırt csom´o kibonthat´o.
Az el˝obbi ´all´ıt´as miatt igaz az al´abbi kijelent´es.
6.43. K¨ovetkezm´eny Legyen γ olyan egyszer˝u z´art g¨orbe, amelynek g¨orb¨ulete nem t˝ u-nik el ´es egy nem kibonthat´o csom´ot ´ır le. Ekkor teljes¨ul κ(γ)≥4π.
A k¨ovetkez˝o bizony´ıt´as n´elk¨ul k¨oz¨olt eredm´enyt, amely valamelyest er˝osebb a fenti k¨ovetkezm´enyn´el, a F´ary-Milnor-t´etelk´ent tartj´ak sz´amon a szakirodalomban.
6.44. T´etel Ha azR3-beli γ egyszer˝u z´art g¨orbe ´altal adott csom´o nem kibonthat´o, akkor a γ teljes g¨orb¨ulet´ere fenn´all κ(γ)>4π .