5. Az R 3 -beli sima elemi fel¨ uletek metrikus tulajdons´ agai 82
5.4. A kompakt fel¨ uletdarab felsz´ıne
att´er´est (m´as sz´oval a b´azistranszform´aci´ot) a Jϕ(v1, v2) Jacobi-m´atrix ´ırja le. A parci´alis deriv´altak vektori´alis szorzat´ara k¨ozvetlen sz´amol´assal azt kapjuk, hogy teljes¨ul
∂1˜r(v1, v2)×∂2˜r(v1, v2) =detJϕ(v1, v2) ∂1r(ϕ(v1, v2))×∂2r(ϕ(v1, v2)) .
Ez alapj´an a k¨ovetkez˝o meg´allap´ıt´asokat tehetj¨uk. Ha aϕ´altali ´atparam´eterez´es ir´any´ıt´ as-tart´o, akkor a norm´alis egys´egvektormez˝okre igaz ˜N=N◦ϕ. Amennyiben az ´atparam´ ete-rez´es ir´any´ıt´asv´alt´o, akkor az ˜N=−N◦ϕ ¨osszef¨ugg´es teljes¨ul.
Ugyancsak egyszer˝uen ad´odik az (5.1) egyenletekb˝ol, hogy azM fel¨ulet ˜rparam´ etere-z´es´ehez tartoz´o ˜gij :V →R (i, j = 1,2) els˝o f˝omennyis´egekre fenn´all
˜
gij(v1, v2) =h∂i˜r(v1, v2), ∂j˜r(v1, v2)i
=P2 k=1
P2
l=1gkl(ϕ(v1, v2))· ∂iϕk(v1, v2)·∂jϕl(v1, v2). b´armely (v1, v2)∈V-re. Kvadratikus m´atrixokat alkalmazva a fenti ¨osszef¨ugg´est a
G(v˜ 1, v2) = Jϕ(v1, v2)T
·G(ϕ(v1, v2))·Jϕ(v1, v2) (5.6) egyenlettel ´ırhatjuk fel.
5.4. A kompakt fel¨ uletdarab felsz´ıne
Legyen adva azM elemi fel¨ulet azr:D→R3 param´eteres el˝o´all´ıt´assal. A tov´abbiakban alkalmazni fogjuk az el˝oz˝o alfejezetben bevezetett fogalmakat ´es jel¨ol´eseket. A felsz´ın fogalm´anak defini´al´asa el˝ott m´eg igazoljuk az al´abbi kijelent´est, amely arra mutat r´a, hogy a G m´atrix determin´ansa minden pontban pozit´ıv.
5.19. ´All´ıt´as Tetsz˝oleges (u1, u2)∈D helyen teljes¨ul
detG(u1, u2) =k∂1r(u1, u2)×∂2r(u1, u2)k2. (5.7)
Bizony´ıt´as. Jel¨oljeα(u1, u2) a∂1r(u1, u2) ´es∂2r(u1, u2) vektorok sz¨og´et. Egyszer˝u sz´ amo-l´assal ad´odik, hogy b´armely D-beli u= (u1, u2) pontban fenn´all
detG(u) =g11(u)·g22(u)−g12(u)2 =k∂1r(u)k2· k∂2r(u)k2− h∂1r(u), ∂2r(u)i2
=k∂1r(u)k2· k∂2r(u)k2− k∂1r(u)k2· k∂2r(u)k2·cos2α(u)
=k∂1r(u)k2· k∂2r(u)k2·sin2α(u) = k∂1r(u)×∂2r(u)k2, ami igazolja az ´all´ıt´asunkat.
Eml´ekezz¨unk r´a, hogy z´art tartom´anyon egy olyan s´ıkbeli alakzatot ´ert¨unk, amely el˝o´all egy ¨osszef¨ugg˝o ny´ılt halmaz lez´ar´asak´ent. Amennyiben a z´art tartom´any Jordan-m´erhet˝o, akkor a korl´atoss´agb´ol ad´od´oan kompakt.
5.20. Defin´ıci´o LegyenB egy olyan Jordan-m´erhet˝o z´art tartom´anyR2-ben, amely r´ esz-halmaza a D param´etertartom´anynak. Az r(B) kompakt fel¨uletdarab felsz´ın´en az
F(r(B)) = Z Z
B
pdetG(u1, u2) du1du2 (5.8) pozit´ıv sz´amot ´ertj¨uk.
Kor´abban m´ar utaltunk r´a, egy fel¨ulet b´armely geometriai jellemz˝oj´et˝ol elv´arjuk, hogy az ne f¨uggj¨on az alkalmazott param´eteres el˝o´all´ıt´ast´ol. A felsz´ın vonatkoz´as´aban a k¨ovetkez˝o kijelent´es egy megnyugtat´o v´alaszt ad erre a felvet´esre.
5.21. ´All´ıt´as A fel¨uletdarab felsz´ıne nem f¨ugg a fel¨ulet param´eterez´es´enek megv´alaszt´ a-s´at´ol.
Bizony´ıt´as. Tekints¨uk az M elemi fel¨uletet le´ır´o r vektorf¨uggv´enynek egy ˜r = r ◦ ϕ
´
atparam´eterez´es´et a ϕ regul´aris lek´epez´essel. (L´asd az 5.5. ´abr´at.) Ekkor az (5.6)
¨osszef¨ugg´esben szerepl˝o 2×2-es m´atrixok determin´ansaival teljes¨ul a detG(v˜ 1, v2) =detG(ϕ(v1, v2))· detJϕ(v1, v2)2
¨osszef¨ugg´es. Az (5.8) egyenlettel megadott integr´al meghat´aroz´as´an´al hajtsunk v´egre integr´altranszform´aci´ot aϕ f¨uggv´ennyel. A fenti ¨osszef¨ugg´es alkalmaz´as´aval azt nyerj¨uk, hogy fenn´all
Z Z
B
pdetG(u1, u2)du1du2 = Z Z
ϕ−1(B)
pdetG(ϕ(v1, v2))· |detJϕ(v1, v2)|dv1dv2
= Z Z
ϕ−1(B)
q
detG(v˜ 1, v2)dv1dv2.
5.5. ´abra. AzM fel¨uletet le´ır´or lek´epez´es ´atparam´eterez´ese.
Az (5.7) ¨osszef¨ugg´es k¨ovetkezt´eben igaz az al´abbi kijelent´es is.
5.22. K¨ovetkezm´eny Az r(B) kompakt fel¨uletdarab felsz´ın´ere teljes¨ul F(r(B)) =
Z Z
B
k∂1r(u1, u2)×∂2r(u1, u2)kdu1du2. A felsz´ın ´ertelmez´es´enek geometriai h´attere
Tekints¨uk most azt a speci´alis esetet, amikor aD-beliBtartom´anyra valamelyak, bk(k= 1, 2) val´os sz´amokkal fenn´all B = [a1, b1]×[a2, b2], vagyis, amikor B egy z´art t´eglalap R2-ben. Vegy¨uk az intervallumok P1 = {a1 = u0 < u1 < . . . < um−1 < um = b1} ´es P2 ={a2 =v0 < v1 < . . . < vn−1 < vn=b2} feloszt´asait. Ezen feloszt´asokn´al alkalmaz-zuk a ∆ui =ui+1−ui ´es ∆vj =vj+1−vj jel¨ol´eseket. A fenti eredm´enyek k¨ovetkezt´eben a felsz´ınt meghat´aroz´o (5.8) integr´alnak a
m−1
X
i=0 n−1
X
j=0
k∂1r(ui, vj)×∂2r(ui, vj)k ·∆ui·∆vj
¨osszeg az egyik integr´alk¨ozel´ıt˝o ¨osszege. Vegy¨uk ´eszre, hogy ennek b´armely tagja annak a fel¨uletet ´erint˝o kis parallelogramm´anak a ter¨ulet´evel egyenl˝o, amelyet a ∆ui·∂1r(ui, vj)
´
es ∆vj ·∂2r(ui, vj) ´erint˝ovektorok fesz´ıtenek ki. (L´asd az5.6 ´abr´at.)
5.6. ´abra. Azr(B) fel¨uletdarab k¨ozel´ıt´ese ´erint˝o parallelogramm´akkal.
Pongyol´an fogalmazva szok´as azt is mondani, hogy a feloszt´asoknak megfelel˝o param´ e-tervonalak az r(B) fel¨uletdarabot vonaln´egysz¨ogekre osztj´ak fel, ´es ezeket a vonaln´ egy-sz¨ogeket k¨ozel´ıtik az ˝oket ´erint˝o paralellogramm´ak.
Speci´alis kompakt fel¨ulet felsz´ıne
A felsz´ın fogalm´at ki lehet terjeszteni kompakt, ¨osszef¨ugg˝o sima fel¨uletekre is az al´abbi esetben.
LegyenM egy olyan kompakt, ¨osszef¨ugg˝o fel¨ulet R3-ban, hogy ahhoz megadhat´o egy R2-beliD Jordan-m´erhet˝o z´art tartom´anyon ´ertelmezett olyan r :D → R3 differenci´ al-hat´o lek´epez´es, amelyre teljes¨ulnek az al´abbi felt´etelek:
(1) Az r vektorf¨uggv´eny ´ert´ekk´eszlete megegyezik azM fel¨ulettel, azaz fenn´all r(D) = M.
(2) Amennyiben azr-t lesz˝uk´ıtj¨uk aDz´art tartom´any U belsej´ere, akkor az r|U vektor-f¨uggv´eny egy sima elemi fel¨uletnek a param´eterez´ese.
K¨onnyen bel´athat´o, hogy az r(U) elemi fel¨ulet R3-beli lez´ar´asa az M kompakt fel¨ u-letet adja. Tekints¨uk D-n a gij =h∂ir, ∂jri kifejez´essel megadottgij : D→ R (i, j = 1, 2) folytonos f¨uggv´enyeket, tov´abb´a az ´altaluk meghat´arozott G: D → End(R2) le-k´epez´est. Az (5.7) ¨osszef¨ugg´esb˝ol ad´odik, hogy detG(u1, u2) ≥ 0 teljes¨ul b´armely (u1, u2) ∈ D eset´en. Az al´abbi defin´ıci´oban szerepl˝o m´ert´ekr˝ol is igazolhat´o, hogy az f¨uggetlen a fel¨uletet le´ır´o vektorf¨uggv´enyt˝ol.
5.23. Defin´ıci´o AzM kompakt fel¨ulet felsz´ın´en az F(M) = R R
D
pdetG(u1, u2) du1du2 pozit´ıv sz´amot ´ertj¨uk.
5.7. P´elda. Tekints¨uk azR2-beliD= [−π2,π2]×[−π, π] tartom´anyon azt az r:D→R3 differenci´alhat´o vektorf¨uggv´enyt, amelyre fenn´all
r(u1, u2) =a cosu1cosu2e1+a cosu1sinu2e2+a sinu1e3
egy a > 0 sz´ammal. Vil´agos, hogy az S =r(D) alakzat megegyezik a 0 centrum´u ´es a sugar´u g¨ombfel¨ulettel, tov´abb´a az r lek´epez´es eleget tesz a fenti felt´eteleknek. Ekkor a
∂1r(u1, u2) =−a sinu1(cosu2e1+ sinu2e2) +a cosu1e3,
∂2r(u1, u2) =a cosu1(−sinu2e1+ cosu2e2) egyenletek k¨ovetkezt´eben b´armely (u1, u2)∈D helyen igaz
g11(u1, u2) = a2, g12(u1, u2) = 0, g22(u1, u2) =a2 cos2u1, teh´at teljes¨ul p
detG(u1, u2) = a2 cosu1. Az 5.23. Defin´ıci´o alapj´an az a sugar´u S szf´era felsz´ın´ere a v´art F(S) = 4π a2 ´ert´eket kapjuk. C´elszer˝u m´eg megjegyezni, hogy amennyiben u1 ∈ (−π2,π2) ´es u2 ∈ (−π, π), akkor a norm´alis egys´egvektorra az N(u1, u2) = −1
ar(u1, u2) ¨osszef¨ugg´es ad´odik.