Shilnikov-szerű ütközéses homoklinikus pálya

5.5. Shilnikov-szerű ütközéses homoklinikus pálya

Jelen fejezet lezárásaként egy érdekes, Shilnikov homoklinikus pályához hasonló, de ütközést tartalmazó periodikus pályát vizsgálunk. A szerző legjobb tudomása szerint a kapcsolódó [HCs8] az első olyan tudományos közlemény, amely előrevetíti ilyen megoldás létezésének lehetőségét.

Kiindulásként tekintsük át röviden a folytonos dinamikai rendszerek esetén kialakuló Shilnikov-féle pályát! Ezek a homoklinikus pályák (egy egyensúlyi helyzetet önmagával össze-kötő, végtelen periódusidejű pálya) akkor jönnek létre a legegyszerűbb esetben, ha a 3 di-menziós térben egy egyensúlyi helyzetnek egy stabil iránya és 2 instabil (fókusz) iránya van, mint azt a 32. ábra bal oldalán vázoltuk. Az ábrán az egyensúlyi helyzetλ_1,2 instabil sajátér-tékeihez tartozó v_1,2 sajátvektorai (piros nyilak) által kifeszített érintősíkban instabil fókusz található (Re(λ_1,2)>0ésIm(λ_1,2)6= 0). A két piros instabil (piros) vektor érinti az ún. insta-bil sokaságot, amely egy invariáns felület (ha pontosan erről a felületről indítjuk a megoldást, azt nem hagyja el). A harmadik λ₃ ∈Résλ₃ <0, aλ₃ sajátértékhez tartozó v₃ sajátvektort zölddel jelöltük, ez vonzó és szintén hozzárendelhető egy olyan, instabil sokaságnak nevezett térgörbe, mely szintén invariáns. Megfelelő paraméterértékek esetén előfordulhat, hogy ez a két sokaság összekapcsolódik és egy záródó pályát kapunk, melynek periódusideje végtelen.

Példát találhatunk ilyen pályákra többek között a [41, 36, 49] szakirodalmakban.

instabil sokaság stabil sokaság

y₁ y₂

y₃

32. ábra. Bal oldal: Shilnikov-féle homoklinikus pálya folytonos dinamikai rendszerben.

Jobb oldal: ütközést tartalmazó Shilnikov-szerű pálya.

Amint az a 32. ábrán látható, ütközéses rendszerekben is kialakulhat hasonló homokli-nikus pálya abban az esetben, amikor az instabil sokaság (Wis) és a kapcsolófelület (H :=

{y : H(y) = 0}) metszetének képe (R(Wis ∩ H)) tartalmazza a stabil sokaság (Ws) és a kapcsolófelület metszetét, tehát röviden: Ws∩ H ∈R(Wis∩ H). Egy ilyen pálya létrejötté-hez két paraméternek kell megfelelő értéket felvenni (tehát technikailag megfogalmazva, ez

5. Globális ütközéses dinamika a Tartály-Szelep Modellben

egy 2 kodimenziós pont), mivel egy paraméter ahhoz szükséges, hogy a fent leírt metszést elérjük, a másik pedig ahhoz, hogy W_is ∩ H vonal mentén pontosan abban a pontban érjük el a kapcsolósíkot, melyet azR leképezés a R(W_s∩ H)pontba fog képezni.

33. ábra. Középső panel: egy ütközéses periodikus pálya követésének eredménye: periódusidő δfüggvényében. Jelölések: (piros csillag) periodikus pályák nyereg-csomó (fold) bifurkációja, (kék kör) grazing bifurkáció és (fekete plusz) perióduskettőző bifurkáció. (Zöld) stabil pálya, (piros) instabil pálya, (folytonos vonal ) fizikailag értelmes pálya és (szaggatott vonal) fizi-kailag értelmetlen (min(y1) <1) pályák. Jobb és bal oszlop: a periodikus pályák az (y2,y1) síkra vetítve. Csillapítási tényező: k˜= 0.25.

Továbbra is a Tartály-Szelep Modellt vizsgáljuk, tehát (5.102)–(5.104) rendszert, a vá-lasztott paraméterértékek: k˜ = 0.25, βˆ= 20, qˆbe = 0.005 és r = 0.36. Egy ilyen, Shilnikov-szerű homoklinikus pálya kialakulását követhetjük nyomon a 33. ábrán. Az előző fejezetben ismertetett peremértékmegoldót az (1) panelen (bal alsó ábra) látható pályához hasonló megoldásból inicializáltuk, majd a periódusidőt és a δ dimenziótlan rugóelőfeszítést szabad paraméternek tekintve követtük a pályát. A középső panelen a periódusidőt láthatjuk, amint

5.5. Shilnikov-szerű ütközéses homoklinikus pálya folyamatosan növekszik, miközben a pálya számos perióduskettőző (fekete kereszt), nyereg-csomó (fold, piros csillag) ill. grazing (kék kör) bifurkáción megy keresztül. Az egyértelműség kedvéért néhány pályát (a magenta háromszöggel megjelölt pontokban) is ábrázoltunk az (y₁,y₂) síkra vetítve.

Figyelemreméltó, hogy bár a pálya két grazing bifurkáción is keresztülmegy – (kék körök, az egyiket az (5) panelen láthatjuk, nyíllal kiemeltük – és e két paraméterérték között a meg-oldás nem fizikai – ld. (6) panel, pirossal kiemelt terület, mivel miny₁ <0. Ez azt jelentené, hogy a szeleptest belehatol a szelepülékbe, ami nem következhet be. Ugyanakkor a dinamika teljes megértéséhez szükséges ezen megoldások kiszámítása is, mivel ha megszakítanánk a számítást az (5) panelen látható pálya elérésekor – mondván, hogy a miny₁ <0 megoldások fizikailag nem értelmezhetők – elveszítenénk a görbe egész fölső részét, így azokat a megoldá-sokat, melyek akkor "bukkannak fel", amikor a fizikailag értelmetlen megoldások egy újabb grazing bifurkáción (második kék kör, T = 5 közelében) fizikailag értelmessé válnak.

Természetesen a perióduskettőzések (fekete plusz jelek) során újabb pályák keletkeznek, de ezeket nem követtük. Az ábrán nehezen látszik, de a nyereg-csomó bifurkációkhoz (piros csillagok a görbe "szélei") közel perióduskettőzéseket is találunk hasonlóan a még jól kivehető δ ≈ 0.2 tartományhoz, a (3) panelhez tartozó paraméterértékek környéke. A nyereg-csomó bifurkációk egyik ága stabil, a másik instabil és a stabil ág a keletkezés után röviddel a pe-rióduskettőzésen keresztül elveszíti stabilitását. Így a kiszámított pályák túlnyomó többsége instabil, a viszonylag rövid zöld (stabil) ágakat leszámítva.

Ezután egy újabb paramétert, a ˜k csillapítási tényezőt hozzáadva elvégeztük a nyereg-csomó bifurkációk 2 paraméteres követését is, melynek eredménye a 34. ábrán közöljük.

Az előző, 33. ábrán megjelenített, ˜k = 0.25-ös értékhez mellett ugyanilyen metszékeket készítettünk ˜k = 0.1 (a) panel, 0.2 (b) panel, 0.45 (c) panel és 0.6 (d) panel értékeknél. A felső sor ezen kitüntetett pontok elhelyezkedését mutatják a kétparaméteres síkon.

Alaposan szügyre véve a 34. ábra felső sorát (a két egymás melletti ábrán ugyanazok a görbék láthatók, de a jobb oldalon kinagyítva) azt látjuk, hogy a piros szaggatott vonalakkal jelölt a nyereg-csomó bifurkációk a kékkel ábrázolt spirálba futnak. Ez a kék görbe egy olyan pálya követése, mely egyszer ütközik és egy közbenső pontban érinti a kapcsolósíkot, ld. (5) panel a 33. ábrán. A spirálon befelé haladva a periódusidő nő, így a pálya T →

∞ határátmenete pontosan a korábban említett Shilnikov-féle homoklinikus pálya, a spirál középpontja.

A dinamika jobb átláthatósága érdekében négy darab ˜k= 0.1,0.2,0.45 és 0.6 értékeknél egyparaméteres metszéket is készítettünk. Az egyes oszlopok vízszintes tengelyeit azonos skálával láttuk el, így az alsó két ábrán jelölt speciális pontokat függőlegesen felvetítve a legfölső ábrára összerendelhetők az egyes esetek. Ezeken az ábrákon a periódusidőt ábrá-zoltuk a δ paraméter függvényében és háromféle bifurkációt detektáltunk: a fekete kereszt

5. Globális ütközéses dinamika a Tartály-Szelep Modellben

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0

34. ábra. Felső két panel: ugyanazok a görbék, más nagyítással. Jelölők: (kék vonal) egy grazing-et és egy transzverzális ütközést tartalmazó pálya, a spirálon befelé haladva növekvő periódusidővel és (fekete vonal) grazing-et nem tartalmazó, egyetlen ütközéses pálya növekvő periódussal. A két vonal közös pontja a Shilnikov-szerű ütközéses homoklinikus pálya. (a) ... (d) metszetek: 1 paraméteres metszékek, k˜ = 0.1,0.2,0.45 és 0.6 értékeknél.

Jelölések: (piros csillag) periodikus pályák nyereg-csomó (fold) bifurkációja, (kék kör) grazing bifurkáció és (fekete plusz) perióduskettőző bifurkáció. (Zöld) stabil pálya, (piros) instabil pálya, (folytonos vonal ) fizikailag értelmes pálya és (szaggatott vonal) fizikailag értelmetlen (min(y₁)<1) pályák.

perióduskettőzés, a kék kör grazing, míg a piros csillag periodikus pályák nyereg-csomó (fold) bifurkációja, ez utóbbi tulajdonképpen az egyparaméteres metszetek fordulópontjait jelöli.

A metszeteken a piros és zöld vonalak instabil ill. stabil megoldásokat jelölnek, míg a szag-gatott vonalak olyan pályákat, melyek nem fizikaiak mivel miny1 <0, ugyanakkor fontosak, mivel egy ilyen megoldás követése során újabb grazing-et detektálhatunk, mely során újra fizikai megoldássá válik és így összeköt két, egymástól függetlennek tűnő fizikailag értelmes

5.5. Shilnikov-szerű ütközéses homoklinikus pálya megoldást.

Az ebben a fejezetben bemutatott számítások nemlineáris dinamikai szempontól érdeke-sek, mivel egy új típusú megoldás (Shilnikov-szerű ütközést tartalmazó homoklinikus pálya) születését dokumentálják. Láttuk, hogy a megfelelő numerikus és analitikus módszerekkel (pl. monodrómia mátrix korrekciója a kapcsolóvonalon,p² ívhossz módszer) a folytonos dina-mikai rendszerek területén bevett és már megszokott fogalmak és módszerek (nyereg-csomó bifurkáció, perióduskettőzés, stb.) természetes módon kiterjeszthetők szakaszosan folytonos dinamikai rendszerekre is. A szerző nem tartja valószínűnek, hogy ezeket a finom struk-túrákat valódi berendezésen méréssel ki lehessen mutatni. Ugyanakkor rámutattunk arra, hogy a fizikailag értelmetlen megoldások is fontos szerepet játszhatnak a globális dinamika feltérképezésében.

4. tézis Kimutattam, hogy a tartályhoz közvetlenül (csővezeték nélkül) kapcsolt sze-lep viselkedését leíró Tartály-Szesze-lep Modellben ütközést tartalmazó, Shilnikov-féle ho-moklinikus pályák léteznek. Minőségileg leírtam ezek keletkezését és rámutattam, hogy kialakulásukban a fizikailag nem megvalósuló, negatív szelepelmozduláshoz tartozó meg-oldások is fontos szerepet játszanak.

Kapcsolódó publikációk: [HCs8]