Ütközéseket tartalmazó periodikus pályák numerikus követése

Az előzőekben bemutatott mozgásformák kapcsán felmerül a kérdés, hogy egy ütközéseket tartalmazó dinamikai rendszer esetén milyen módszerekkel végezhető el – a folytonos rendsze-rek esetében megszokott – minőségi vizsgálat? Hogyan azonosítsunk pl. ütközéses periodikus pályák perióduskettőző bifurkációját? Hogyan számítsuk ki egy ütközéseket tartalmazó pálya stabilitását?

Ebben a fejezetben a korábban megfigyelt különleges – főként ütközéseket tartalmazó – periodikus pályák követéséhez ill. bifurkációinak meghatározásához fejlesztünk numerikus módszereket. Folytonos rendszerek esetén mind az elméleti háttér, mind a numerikus mód-szerek jól kidolgozottak és implementáltak, előzőre jó példa Kuznetsov [49] könyve, melyben receptszerűen megtalálhatjuk az összes 1 és 2 kodimenziós bifurkáció normálformáját és vizs-gálati módszertanát, míg utóbbira példa az AUTO [27] szoftver, melyben kényelmesen és gyorsan elvégezhetjük a minőségi vizsgálatot (további példák: MatCont [25], DSTool [9]).

Szakaszosan folytonos rendszerekre jelenleg nincs "kiforrott" programcsomag, mellyel hasonló vizsgálatok elvégezhetők lennének. A [73] publikációban részletezett módszer ugyan általános célú, ám homoklinikus pályákat nem képes követni. (Egy alkalmazási példát ta-lálhatunk a [18] irodalomban.) Hasonlóan, a SlideCont [24] szoftver, amely valójában az AUTO [27] szoftvert irányító eljárásgyűjtemény, csak Filippov rendszerek (ld. [26]) vizsgála-tára alkalmas. [28] cikkben egy szakaszosan lineáris függőhídmodell periodikusan gerjesztett modelljét vizsgálják a kutatók, megintcsak az AUTO szoftver segítségével. Ezek a szoftverek hasznosak, ám nagy hátrányuk, hogy nem férünk hozzá (vagy csak nehézkesen) periodikus pályák monodrómia mátrixához, amire azért van szükség, hogy a kapcsolóvonal menti kor-rekciót elvégezhessük, ld. az (5.111) egyenlet. Enélkül a korrekció nélkül nem tudjuk a periodikus pályák bifurkációit detektálni és követni, különösen a 27. ábrán qˆ_be ≈ 7.6 ér-téknél megjelölt grazing bifurkációt és a qˆ_be ≈ 1.4 értéknél megfigyelt első perióduskettőző bifurkációját az ütközéses pályának.

Periodikus pályák kiszámítására széles körben elterjedtek a peremértékfeladat-megfo-galmazáson alapuló módszerek, mivel ezek érzéketlenek a pálya stabilitására (ellentétben a kezdeti érték feladat alapú megfogalmazással), így az instabil pályák is könnyedén megha-tározhatók. Ezek a módszerek valamilyen diszkretizációs módszerrel (jellemzően kollokációs módszerrel) algebrai egyenletrendszerré alakítják a peremértékfeladatot, melyet iteratív úton oldanak meg. Amennyiben valamilyen bifurkációs pont meghatározása a feladat, egy tetszőle-ges paramétert is ismeretlennek tekintünk ésa kollokációs egyenletekhez csatoljuk a megfelelő további feltételt, pl. perióduskettőzés esetén azt, hogy a pálya karakterisztikus multiplikátorai közül az egyik pontosan -1 (ld. [35]).

5.3. Ütközéseket tartalmazó periodikus pályák numerikus követése

5.3.1. Ütközéses periodikus pályák

Ütközéses dinamikai rendszerek esetén meglehetősen egyszerűen általánosíthatók a karak-terisztikus multiplikátorok (ld. később részletesen ill. [26]), de a fentiek alapján ezekhez egy peremértékfeladat megoldó kódolása is szükséges lenne. Ez pazarlásnak tűnik, mivel számos kifinomult megoldó áll rendelkezésre a numerikus analízis körében megszokott keret-rendszereken (pl. Matlab, Octava, Wolfram Mathematica, stb.) belül. Mindezek tükrében a továbbiakban elsődleges szempont lesz, hogy egy olyan "fekete doboz" peremértékfeladat megoldó szoftver létét adottnak tekintjük, mely megoldja a

y⁰ =F(x,y(x),µ) feladatot az a≤x≤b intervallumon a 0 =G(y(a),y(b),µ) feltételek mellett,

ahol x a független változó²⁰ µ a szabad paraméterek vektorát jelöli és G megfelelő méretű:

amennyiben y N dimenziós vektor és µ M számú paramétert tartalmaz, G mérete N +M (azaz y∈R^N, µ∈R^M és G∈R^N+M).

Példaként tekintsünk egy egyetlen ütközést tartalmazó periodikus pálya peremérték-megfogalmazását. A dinamikai rendszer legyeny⁰ =F(x,y(x))(x∈Résy ∈R^N). Amennyi-ben nincs ütközés, egy T periódusú pályára igaz, hogy y(0) =y(T), azonban ütközés esetén ezt kissé módosítani kell. Jelölje y⁻ az ütközés előtti, y⁺ pedig az ütközés utáni állapotot és az ütközőfelület legyen a H(y) = 0 (H(y)∈ R¹) skalárértékű kifejezéssel adott. A H(y) = 0 feltétel teljesülésekor alkalmaznunk kell az ütközési törvényt, mely általánosan az

y7→R(y), ha H(y) = 0 (5.105)

alakban írható. A periodikus pálya ebben az esetben azt jelenti, hogy y⁺ (ütközés utáni állapot, H(y⁺) = 0) kezdeti értékből kiindulva,T ideig integrálva y⁻-ba érkezünk, ahol egy-részrőlH(y⁻) = 0(azaz ütközés történik) és teljesül, hogyy⁺=R(y⁻). Fontos észrevennünk, hogy T periódus – a peremérték feladat végpontja – ismeretlen, ezért az időt újraskálázzuk ezzel az ismeretlen periódussal, így a végpont az x = 1 lesz. A megoldandó peremérték probléma tehát:

y⁰ =T F(x,y(x)) 0≤x≤1, y∈R^N (5.106) 0 =y_a−R(y_b) (N db ütközési leképzés) és (5.107) 0 =H(y_a) (1 db, az ütközés létrejöttének feltétele), (5.108) aholy_a :=y(0),y_b :=y(1)és az egyszerűség kedvéért nem vezetünk be új jelölést a0. . .1közé átskálázott x-re, ill. az e változó szerinti differenciálásra. Nem szükséges előírni a H(y_b) = 0

20Ebben a fejezetben, mivel általános matematikai témát tárgyalunk, xnem a szelepelmozdulást, hanem a szokásos független változó jelenti.

5. Globális ütközéses dinamika a Tartály-Szelep Modellben

feltételt, mivelRütközési törvénynek olyannak kell lennie, hogy aH = 0felületről ugyanoda képez. Amint látjuk, N dimenziós dinamikai rendszer esetén N + 1 peremfeltételünk lesz, ami helyes, mivelT ismeretlen paramétert is meg kell határoznunk.

Az általunk vizsgált Szelep-Tartály modell esetén az ütközési felület egyszerűen H(y) = y₁ = 0 egyenlettel adott, a R ütközési törvény pedig:

R: (y₁⁻,y₂⁻, y⁻₃)7→(y₂⁺, y₂⁺, y⁺₃), ahol y₁⁺ =y₁⁻, y₂⁺=−ry₂⁻ és y⁺₃ =y₃⁻. (5.109) 5.3.2. Ütközéses periodikus pályák stabilitása

A következő természetes kérdés, hogy amennyiben meghatároztunk egy ilyen pályát, hogy dönthetjük el, hogy stabil vagy instabil? Folytonos (ütközéseket nem tartalmazó) periodi-kus pályák esetén a rendszer y_p periodikus pályájához tartozó M_yp monodrómia mátrixát kell meghatároznunk, mely a z⁰ =A(y_p(x))z lineáris időfüggő kezdeti érték feladat (variáci-ós probléma) megoldását jelenti. Itt A(y_p(x)) az eredeti nemlineáris rendszer y_p körül vett linearizáltját jelöli. Ütközéseket tartalmazó periodikus pályák esetén ezt a monodrómia mát-rixot (melyet a 0 ≤x ≤ 1 tartományon oldunk meg) még korrigálni kell az ütközés miatt a

Qy(y⁻) =Ry(y⁻) + [F(R(y⁻))−R_y(y⁻)F(y⁻)]H_y(y⁻)

H_y(y⁻)F(y⁻) , (5.110) korrekciós mátrixszal ("saltation matrix", ld. [26]). A fenti kifejezésben átvettük a könyv jelöléseit, az alsó indexek differenciálást jelölnek. Esetünkben, mively⁻= (0,y₂⁻,y⁻₃)^T,R(y) = és a behelyettesítések után kapjuk, hogy

Q_y(y⁻) = Így azyp egyetlen ütközést tartalmazó periodikus pálya stabilitását azMypQy(y⁻)mátrix sa-játértékei (karakterisztikus multiplikátorok) adják meg. Ezen mátrix tulajdonságai hasonlóak a folytonos rendszerek esetén kiszámított monodrómia mátrixokhoz: az egyik multiplikátor

5.3. Ütközéseket tartalmazó periodikus pályák numerikus követése mindig 1 és a stabil pálya feltétele, hogy minden karakterisztikus multiplikátor a komplex egységkörön belül legyen (ld. [49, 33]).

Kiemelt fontossága lesz azoknak a pályáknak, melyek grazing bifurkáción esnek át, azaz az "ütközés" pillanatában a H(y) = 0 felületre merőleges sebesség nulla. Ez a vizsgált rendszerben annak az esetnek felel meg, amikor a periodikus pálya először érinti ("súrolja") a szelepüléket. Ebben az esetben H(y⁻) = 0 feltétel mellett a H_y(y⁻)F(y⁻) = 0 feltételnek is teljesülnie kell, mely esetünkben pontosany₂⁻ = 0alakot ölti, azaz az ütközés pillanatában a a szeleptest nulla sebességét írja elő. Ez utóbbi feltételt tehát csatolni kell az (5.108) rendszerhez és, mivel már N + 2 peremfeltételünk van, ezért egy további paramétert is fel kell szabadítani.

5.3.3. A pszeudo-ívhossz módszer

Most térjünk át a periodikus pályák követésének problémájára (’continuation problem’). A széles körben elterjedt pszeudo-ívhossz módszer tulajdonképpen egy prediktor-korrektor mód-szer, amely lehetővé teszi az F(x,µ) = 0 (F,x ∈ R^N, µ ∈ R¹) nemlineáris egyenletrendszer zérushelyeinek követését µ paraméter változtatás közben. Ennek akkor van különösen nagy jelentősége, ha nem csupán egy megoldás létezik és egyµparaméterhez több megoldás is tar-tozik (pl. szubkritikus Hopf bifurkáció esetén egyszerre stabil és instabil periodikus pályák).

A módszer lépései (ld. 28. ábra):

Inicializálás. Legyen adott egyy0 = (x0,µ0)pont (amely kielégíti a megoldandó egyenletet) és ebben a pontban az egység hosszúságú v0 érintővektor.

Prediktor lépés. Lépjünk előre az y0 pontból v0 irányban ∆s távolságot, azaz yp = y0 + v0∆s, ahol ∆s a lépéshossz. Ez a pont (általában) nem fogja kielégíteni az eredeti egyenletet, azaz F(xp,µp)6= 0.

Korrektor lépés. Keressük meg azt az y^∗ pontot a görbén, melyre yp-ből indulva, v-re merőleges irányban helyezkedik el: 0 =hy^∗−yp,vi=hy^∗−y0−v∆s,vi=hy^∗−y0,vi−

∆s. (h·,·i a skalárszorzatot jelöli.)

Így a pszeudo-ívhossz módszer alkalmazása során az alábbi kibővített egyenletrendszert oldjuk meg:

F(x^∗,µ^∗) = 0 (N db egyenlet) (5.112)

N

X

i=1

(x^∗_i −x_0,i)v_i+ (µ₀−µ^∗) = ∆s. (1 db egyenlet) (5.113) Most vagyunk abban a helyzetben, hogy megfogalmazhatjuk az ütközéses periodikus pá-lyák követésére alkalmas módszert. Mint már említettük, a módszer lényege, hogy egy "fekete doboz" peremértékmegoldó algoritmust ötvöz a pszeudo-ívhossz módszerrel. A hagyományos pszeudo-ívhossz módszer a kollokációs egyenleteket (vagy bármilyen más diszkretizációs

mód-5. Globális ütközéses dinamika a Tartály-Szelep Modellben x

μ μ x₀

0

P

μ x

Δs v₀

28. ábra. Pszeudo-ívhossz módszer.

szerből kapott egyenletrendszert) egészíti ki a pszeudo-ívhossz feltétellel, ám az itt bemutatott módszer ennek egyszerűsített változata, ezért pszeudo-pszeudo ívhossz módszernek (röviden p² ívhossz módszernek) fogjuk nevezni.

A módszer lényege, hogy a szabad paraméterek által kifeszített térben alkalmazzuk a pszeudo-ívhossz módszert, azaz a korábban megfogalmazott (5.106) – (5.108) peremfeltétel rendszert egészítjük ki az (5.113) feltétellel. Így egy ütközéses periodikus pálya esetén a megoldandó peremértékfeladat

y⁰ =T F(x,y(x),µ) 0≤x≤1, y ∈R^N (5.114)

0 = y_a−R(y_b) (N db feltétel), (5.115)

0 = H(y_a) (1 db feltétel) és (5.116)

0 = ∆s−((µ−µ₀)v₁+ (T −T₀)v₂) (1 db feltétel), (5.117) aholµtetszőleges paraméter (pl. β, δˆ ) ésµ₀,T₀ az előző megoldást jelöli. Az (5.115) egyenlet az ütközésnél alkalmazott leképzés, az (5.116) összefüggés az ütközés létrejöttének feltétele, míg az (5.117) egyenlet a pszeudo-ívhossz feltétel. Av érintő egységvektort az előző két pont segítségével közelítjük.

Az itt vizsgált problémára (Tartály-Szelep Modell) explicit módon is megadjuk az egyen-leteket. A választott paraméterek a qˆ_be térfogatáram és a T periódus, a dinamikai rendszer pedig

y⁰₁ =T y₂, y⁰₂ =T

−˜ky2−(y1+δ) +y3

, y⁰₃ =T

βˆ(ˆq_be−y₁√ y₃)

,