Ütközéses pályák bifurkációi a TSzM-ben

A peremfeltételek (qˆ_be a választott szabad paraméter):

0 = y_a,1 (az ütközés pillanatában a szelep hozzáér az ülékhez, ld. (5.116)) 0 = y_a,2 +ry_b,2 (a sebességre teljesül az ütközési törvény, ld. (5.115)) 0 = y_a,3 −y_b,3 (a nyomás nem változik az ütközés során, ld. (5.115))

0 = y_a,1 −y_b,1 (a szelepelmozdulás nem változik az ütközés során, ld. (5.115)) 0 = ∆s−((ˆq_be−qˆ_be,0)v₁+ (T −T₀)v₂) (ld. (5.117) p² ívhossz feltétel).

5.4. Ütközéses pályák bifurkációi a TSzM-ben

A 29. ábrán újra ábrázoltuk a korábbi, 26. ábrán bemutatott bifurkációs ábrát, ezúttal az előző fejezetben bemutatott numerikus módszerek segítségével kiszámított pályákkal együtt.

A 30. ábrán ezzel párhuzamosan minőségi magyarázatot adunk az egyes mozgástípusokra.

Induljuk ki tehát egy nagy térfogatáramon (pl. qˆ_be = 10) megfigyelhető stabil egyensúlyi helyzetből és csökkentsük a térfogatáramot! qˆ_be ≈ 8.56 értéknél (HB pont a 30. ábrán) ez a stabil egyensúlyi helyzet Hopf bifurkáción megy keresztül és elveszíti a stabilitását (fekete szaggatott vonal az ábrákon), ugyanakkor egy stabil periodikus pálya jön létre (piros foly-tonos vonal, Br2-vel jelölve). A térfogatáram további csökkentésével a pálya amplitúdója növekszik ésqˆ_be ≈7.6 értéknél az alsó holtpont (miny₁, Gr1) eléri az üléket, azaz aH(y) = 0 kapcsolófelületet és egy grazing bifurkáción megy keresztül.

A GR1 ponton túl "hirtelen" végtelenül sok instabil periodikus pálya jön létre, azaz a bifurkáción túl kaotikus a mozgás. Segítségül hívva a [26] szakirodalom 4.3.1 fejezetének eredményét, a kritikus pontbeli periodikus pálya monodrómia mátrixának sajátértékeiν₁ = 1, ν₂ = 0.8537 és ν₃ = 0 (itt alkalmaztuk az (5.111) korrekciót). Ebből azt a következtetést vonhatjuk le (ld. [26] 189. oldal, 4.2 tétel), hogy mivel 2/3 < ν₂ < 1, a gyengén stabil ("weakly stable") esettel állunk szemben és a kritikus értéken túl hirtelen robusztus káosszal szembesülünk, ld. 29. ábra (c) panel.

Most "ugorjunk" jóval kisebb paraméterértékre és pl. qˆ_be = 4értékről, ahol egyetlen, sta-bil, egy darab ütközést tartalmazó pályát figyelhetünk meg,növeljük a térfogatáramot – azaz vizsgáljuk meg, hogy a "másik irányból" hogyan juthatunk el ehhez a kaotikus tartományhoz ill. a GR1 ponthoz! A térfogatáram növelésével egy olyan sorozatot figyelhetünk meg, mely során a pálya először egy perióduskettőző bifurkáción esik át (pl. PD1 pont), majd a dupla periódusú instabil pálya egyik "ága" újra érinti a H = 0 kapcsolófelületet (grazing bifurká-ció, pl. GR2 pont) és "ütközés nélkülivé" válik. Az újabb és újabb perióduskettőzések egyre növelik a pálya periódusát, a grazing pontok pedig az ütközések számát csökkentik. Az itt vá-lasztott paraméterértékeknél ez a kaszkád nem teljes, mivel aqˆbe ≈7.05. . .7.2tartományban egy stabil 3 periódusú pályát figyelhetünk meg, ld. 26. és 27. ábrák (m2) metszet.

Végezetül, vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha az előzőekben vizsgált qˆbe = 4 értékről

5. Globális ütközéses dinamika a Tartály-Szelep Modellben

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 10

q min(y 1),max(y 1)

(a)

0 0.5 1 1.5

0 0.5 1 1.5

q min(y 1),max(y 1)

(b)

6.8 7 7.2 7.4 7.6

7.5 8 8.5 9

q min(y 1),max(y 1)

(c)

29. ábra. A TSzM rendszer bifurkációs ábrája, vö. 26. ábrával. A pontok direkt nume-rikus szimulációk Poincare-metszetei, a folytonos és szaggatott vonalak az előző fejezetben ismertetett peremérték megoldóval számított pályák. A folytonos vonalak stabil, a szaggatott vonalak instabil pályákat jelölnek. A két alsó ábra egy-egy nagyítás a kis térfogatáramú, ill a Hopf bifurkáció tartományának. Az ábra minőségi magyarázatát a 30. ábrán ismertetjük.

kiindulva csökkentjük a térfogatáramot. Ez esetben szintén egy perióduskettőző sorozatot figyelhetünk meg, ám ezúttal grazing pontok nélkül, azaz az ütközések száma nem növekszik, csupán a pálya periódusideje, ld. 29. ábra (b) panel.

Ezek a vizsgálatok azt sugallják, hogy a globális dinamika négy szakaszra osztható.

• qˆbe <qˆ^{P D2}_be : nagyfrekvenciás, kis amplitúdójú, kaotikus rezgés.

• qˆ_be^{P D2} <qˆbe <qˆ_be^{P D1}: ütközéses periodikus pályák, egyetlen domináns frekvenciacsúccsal.

• qˆ_be^{P D1} <qˆbe <qˆ_be^GR1: nagyfrekvenciás, nagy amplitúdójú, kaotikus rezgés.

• qˆ_be^GR1 <qˆbe <qˆ_be^HB: ütközés nélküli rezgés, egyetlen domináns frekvenciacsúccsal.

• qˆ_be^HB <qˆbe: stabil egyensúlyi helyzet.

A 31. ábrán a nyitónyomást változtatva feltérképeztük az egyes jellemző mozgásformák

5.4. Ütközéses pályák bifurkációi a TSzM-ben

30. ábra. A 29. ábrán bemutatott bifurkációs ábra minőségi magyarázata.

tartományait. Ezen az ábrán néhány kitüntetett bifurkációs pontot követtünk a paramétersí-kon a p² ívhossz módszer segítségével. A piros szaggatott vonal a Hopf bifurkációt – a (3.53) feltételt – jelöli, ettől jobbra jellemzően a rendszer stabil. A "jellemzően" szót azért használ-juk, mert a piros szaggatott vonal közelében található fekete folytonos vonal egy periodikus pályák nyereg-csomó bifurkációját jelzi (FPO - fold of periodic orbits). Ez annyit jelent, hogy δ < 20 esetén a Hopf bifurkáció után (qˆ_be csökkentésével) a rezgés amplitúdója folytonosan növekszik ("soft stability loss", szuperkritikus Hopf bifurkáció), míg az FPO vonal megje-lenése azt jelenti (dióhéjban), hogy miután az egyensúlyi helyzet elveszítette a stabilitását, azonnal egy nagyamplitúdójú rezgést tapasztalunk ("hard stability loss", szubkritikus Hopf bifurkáció). Mivel ez a tartomány meglehetősen szűk, a gyakorlati szempontból nincs nagy jelentősége.

A két grazing bifurkációt kék vonallal jelöltük. A HB és GR1 vonal között szűk tar-tományban a szelep rezeg, ám a rezgés amplitúdója nem elég nagy ahhoz, hogy beleverjen a szelepülékbe, ezt nevezi "flutter"-nek a szakirodalom. A GR1 és a GR2 pontok között bonyolult, sok frekvenciakomponenst tartalmazó, nagy amplitúdójú rezgéseket tapasztalha-tunk. A térfogatáramot tovább csökkentve, a PD2 pontig egyetlen ütközést tartalmazó, jól definiált frekvenciacsúccsal rendelkező mozgásformát figyelhetünk meg. Végül a PD2 pont-hoz tartozó térfogatáram alatt ismét sok ütközést tartalmazó, alacsony amplitúdójú, kaotikus

5. Globális ütközéses dinamika a Tartály-Szelep Modellben

stabil egyensúlyi helyzet ütközéses periodikus

pályák

kaoti

kus tar tomány

kaoti kus tar

tomány

31. ábra. Kétparaméteres követése néhány kitüntetett bifurkációs pontnak. Az (a) nyíllal jelzett metszék látható a 29. és a 26. ábrán.

mozgásokat tapasztalhatunk.

Összefoglalva ezt az alfejezetet: a Tartály-Szelep modell egyszerűsége ellenére meglepően gazdag globális dinamikával rendelkezik, melyet elsősorban a szelepülékkel való ütközés hoz létre. A bemutatott numerikus módszerekkel a direkt numerikus szimulációnál hatékonyab-ban térképezhető fel a stabilitásvesztés utáni viselkedése a rendszernek.

3. tézis A tartályhoz közvetlenül (csővezeték nélkül) kapcsolt szelep viselkedését le-író Tartály-Szelep Modell globális, stabilitásvesztés utáni viselkedésének előrejelzésére speciális, a korábban rendelkezésre álló megközelítéseknél hatékonyabb numerikus mód-szereket fejlesztettem ki. Ezek segítségével kimutattam, hogy

• a stabilitásvesztést követően a rezgések jellemzően ütközéseket tartalmaznak, ezért mechanikailag is gerjesztik a teljes rendszert,

• a stabilitásvesztés környezetében és az alacsony térfogatáramú tartományokban kaotikus mozgásformák jelennek meg és

• a nyitónyomás növelése csökkenti a rendszer stabil tartományát.

Kapcsolódó publikációk: [HCs8, HCs12]