GYAKORLÓ FELADATOK
1. Példa: Tételezzük fel, hogy a három befektetési lehetőség pénzárama az alábbiak szerint fogalmazható meg
t „A” „B” „C”
0 -1000 -1000 -1000
1 500 400 0
2 500 600 0
3 500 500 1500
Melyik lehetőséget válasszuk az egymást kizáró változatok közül? Mennyi a változatok hozama, ha a betéti kamatláb 10 %. Az eddigi ismereteink alapján már tudjuk, hogy csak akkor gazdálkodunk ügyesen pénzünkkel, ha a t = 1 időpontban kézhez kapott 500 Ft-ot azonnal újra befektetjük. Ennek hangsúlyozása azért nagyon fontos, mert a pénz időértéke
kalkulációja, a megfogalmazott összefüggések csak ezen feltételezés mellett igazak. A fenti példát alapul véve, és a hangsúlyozott alapelvnek is eleget téve, a változatok estében a 3. év végén rendelkezésre álló pénzösszegek az alábbiak lesznek:
"A" változat esetében a t = 1 időpontban kapott 500 Ft-ot újra befektetjük, ez az összeg a vizsgált időszak végéig, tehát még két évig kamatozik. Ugyanígy a t = 2 időpont 500 Ft pénzárama is, - de már csak egy évig - növeli vagyonunkat. A fentiekből adódik, hogy FVA = 500(1+r)2 + 500(1+r) + 500
A fenti gondolatmenet alapján felírhatók az alábbi összefüggések is FVB = 400(1+r)2 + 600(1+r) + 500
FVC = 1500
A megfogalmazott pénzáramok jövőértéke alapján – „r” pozitív kamatláb mellett - belátható, hogy "A" hozama > "C" ugyanígy "B" hozama < "A" hozamánál.
Az előző eredmények azonban arra nem adnak választ, hogy az "A" hozama pontosan mennyi? Mivel a betéti kamatláb 10 %, "A"-ba csak akkor érdemes befektetni, ha a befektetési összeg (C0 = 1000 ) hozama nagyobb, mint 10 %. Arra van tehát szükségünk, hogy valamilyen módon mérjük "A" hozamát. Meg kell vizsgálni, hogy az több vagy kevesebb, mint az alternatív befektetési lehetőség által kínált hozam. Számítsuk ki tehát az 1000 Ft befektetés hozamát. Jelölje "X" az átlagos hozam értékét. A fentiek alapján adódik, hogy
1000(1+ X )3 = 1500 az egyenletet "X"-re megoldva kapjuk, hogy
X = 1 3 1 5, 0 1 4 4 7, 1 4 4 7 %,
A kapott eredmény alapján látható, hogy "A" kedvezőbb, mint a 10 %-ot ígérő bankbetét. A hozam általános összefüggése
Láttuk, hogy az elszámolás szerinti megtérülési ráta elvileg alkalmas lehet a befektetések értékelésére. A megtérülési ráta, amely egyenlő:
Évi átlagos bevétel : Összes ráfordítás
Ha a fenti mutató alapján értékeljük a változatokat, mindháromra azonos megtérülési rátát kapunk, mivel az évi átlagos bevétel (1500/3= 500), és az összes ráfordítás mindhárom változat esetében 1000 Ft. Az elszámolás szerinti megtérülési ráta tehát 50 %. A ráta értéke rendkívül jónak tűnik. De vajon miért kapunk mindhárom változatra azonos megtérülési rátát?
Azért, mert ez a mutató nem számol a pénz időértékével. Tehát, ha azt a mutatót keressük, amely a megtérülés pénzáramlását is kifejezi, akkor a hozamot más módon kell definiálnunk.
Az eddigiek során láttuk, hogy a pénz időértékét is kifejező összefüggések az alábbiak voltak - elegendő, ha csak egyik változatot, legyen ez az "A" vesszük alapul:
1000(1+r)3 = 500(1 + r )2 + 500(1+r) + 500
A fenti harmadfokú egyenlet megoldásával kapjuk meg "r" értékét. Vizsgáljuk meg jobban, hogy a fenti egyenlet mit is takar? A formula azt fejezi ki, hogy a t = 0 időpontban
rendelkezésre álló 1000 Ft a befektetés végére - a harmadik év végén - ugyanannyit ér, mint amennyi az adott befektetéshez tartozó pénzáramlás által elérhető bevételek tőkeértéke lenne az időtartam végén. Azt viszont már láttuk, hogy a befektetés hozama milyen kamatlábbal azonos (X = 14,47 %). Tehát a jövőbeli tőkeértékek egyenlősége helyett felírhatjuk, a jelenérték egyenlőségét is. Azaz, a fenti formula helyett írhatjuk, hogy
1 0 0 0 5 0 0
Ez az összefüggés tehát egyértelművé teszi számunkra a hozam értelmezését. Keressük tehát azt a hozamot, amellyel a befektetés jövőbeli pénzáramlásainak jelenértéke egyenlő a befektetés jelenbeli összegével. Ez viszont nem más, mint a belső megtérülési ráta. Ennek értékei az egyes változatok esetében az alábbiak.
IRRA = 23,18 % IRRB = 22,40 %
IRRC = 14,47 % (Ezt a számot már ismerjük !) Az IRR értékek ismeretében az alábbi adatokat kapjuk:
amely tükrözi a pénzügyi megtérülés szerinti különbségeket.
A belső megtérülési ráta az egyik, de nem az egyetlen, amelyik a befektetések minősítésére alkalmas. Nyilvánvaló, az is érdekel bennünket, hogy ezek a befektetési változatok mennyivel hoznak többet, mint ha a befektetett összeget - a példánál maradva - 10 %-os kamat mellett bankba tettük volna. Ebben az esetben úgy gondolkodhatunk, hogy a befektetés pénzáramlásait i = 10 %-os kamatláb mellett diszkontáljuk, és az így kapott jelenértékek összegéből kivonjuk a befektetett összeg jelenértékét. Ezzel arra kapjuk meg a választ, hogy a befektetés mennyivel ér többet vagy kevesebbet az alternatív befektetési lehetőséghez viszonyítva. Az így kapott mérőszámot a befektetés nettó jelenértékének nevezzük (netto present value, NPV)
A befektetési változatok NPV-je az alábbiak szerint alakul:
N P VA F t
A kapott eredmények alapján megállapítható, hogy az NPV is egy olyan mérőszám, amelynek értéke a pénzügyi megtérülés szempontjából rangsorolja a befektetési változatokat.
A gyakorlatban természetesen nem csak olyan esetek léteznek, hogy rangsorolni, azaz választani kell a befektetési változatok között.
Ahogy eddigi tanulmányainkból ismert, ilyen esetben a jövedelmezőségi index (PI) képezi a rangsorolás alapját. A PI összefüggése, ahogy azt láttuk az alábbi
P I
C r C
t t t
n
(1 )
1
0
A PI a befektetési változatokat - csökkenő értékének megfelelően - szintén rangsorolja.
PIA = 1,243; PIB = 1,226; PIC = 1,127 GYAKORLÓ FELADATOK
1. A Sajt Rt. új üzem beállítását tervezi. Az épület üzembe helyezéskori értéke 30.200 E Ft, míg a gépek, berendezések esetében ez 100.200 E Ft-ot tesz ki. A beruházás 26.600 e Ft forgótőkét igényel. Az árbevétel, a folyó kiadások és a záró forgótőke üzembe helyezéskori árakon került megtervezésre. A tervadatok a következők:
Adatok: ezer Ft-ban
Év: Árbevétel Folyó kiadás Záró forgótőke
1. 98.000 68.000 28.000
2. 250.000 145.000 29.000
3. 270.000 190.000 32.000
A prognózis szerint minden évben 12 %-os inflációs rátával kell számolni. Az amortizáció ingatlanok esetén 2 %, míg a gépek, berendezéseknél 20 %. A társasági adó kulcsa 18 %.
A harmadik év végén a gépeket előre rögzített áron 20.000 E Ft-ért értékesítik. A forgótőke felszabadul, az épület a társaság birtokában marad.
Feladat: a) Tervezze meg a beruházás pénzáramait!
b) Értékelje a beruházást a Jövedelmezőségi index és az NPV alapján!
c) Adjon becslést a belső megtérülési ráta nagyságára!
d) Az b-c) pontok eredményeit szövegesen is értékelje!
2. Valamely Kft. kapacitásbővítő beruházást tervez. A műszaki- és pénzügyi elemzők számításai alapján az aktiválásig felmerülő pénzáramok jelenértéke 500 millió Ft. A fejlesztés során aktiválnak egy 314 millió Ft értékű épületet, és egy 186 millió Ft bruttó értékű gépsort.
A beruházás induló forgótőkeigénye 7 millió Ft.
Az amortizációs normák az ingatlanoknál 2 %, a gép berendezés estében 33 %.
A fejlesztés tervezett működtetési ideje, azaz a hasznos időtartam 4 év.
A beruházás működése során a vonatkozó tervadatok folyó áron számolva:
(adatok E Ft-ban)
Év Árbevétel Folyó kiadás Záró forgótőke 1. 37.000 20.000 7.500 2. 83.000 36.500 7.650 3. 95.000 39.000 7.850 4. 95.000 39.000 7.850
A fenti pénzáramok év végén esedékesek, a jelenidőpont az üzembe helyezés időpontja.
A társasági adó kulcsa 16 %, a tőkeköltség a cégnél 20 %.
A beruházás felszámolásakor a cég az ingatlanokat meg kívánja tartani, a gépektől, berendezésektől viszont megválni tervez, mellyel kapcsolatban kötött is egy szerződést, melynek értelmében az aktiválást követő 5. évben 800.000 Ft-ért értékesíti azokat.
a.) Számítsa ki a működési és záró pénzáramokat!
b.) A nettó jelenérték segítségével vizsgálja meg a beruházás megvalósíthatóságát!
c.) A fenti befektetés relatíve mekkora hozamot biztosít (válaszát becsléssel adja meg)?
3. Egy gazdasági társaság egy lehetséges beruházás jövedelmezőségéről, illetve gazdaságosságáról alakítja ki álláspontját. Az ismert, illetve a várható adatok a következők:
A beruházás üzembeállításának és a beruházási kiadások fizetésének időpontja 2000. Első munkanapja. A beruházás kivitelezési költsége 1,5 millió Ft.
A berendezés három évig üzemel, a harmadik év végén maradványérték nélkül selejtezésre kerül. Az értékcsökkenési leírás 3 egyenlő részletben történik.
A berendezés működésének tulajdonítható többlet árbevétel folyó áron számolva az egyes években:
2013.-ben 4 millió Ft 2014.-ben 9 millió Ft 2015.-ben 9 millió Ft
A berendezés működési költségei folyó áron számolva az egyes években:
2013.-ben 3,4 millió Ft 2014.-ben 8 millió Ft 2015.-ben 8 millió Ft
Az elemzés során a társaság 19 %-os társasági adóval és 15 %-os tőkeköltséggel számol.
a./ Számítsa ki a beruházásnak tulajdonítható évenkénti többletnyereséget és a működési cash-flow-t! (Az adatokat ezer forintban számolja!)
b./ Számítsa ki a beruházás nettó jelenértékét! (A bevételek és a folyamatos ráfordítások pénzáramait az év utolsó napjával vegye figyelembe!)
c./ Bizonyítsa be, hogy a beruházás belső kamatlába (IRR) nagyobb, mint 25 %. (Nem kérjük a belső kamatláb pontos értékét!
d./ Értékelje a kapott eredményeket! (jövedelmező-e, illetve gazdaságos-e a beruházás?
Javasolja e megvalósítását?)
4. Valamely Kft. kapacitásbővítő beruházást tervez. A műszaki- és pénzügyi elemzők számításai alapján az aktiválásig felmerülő pénzáramok jelenértéke 500 millió Ft. A fejlesztés során aktiválnak egy 314 millió Ft értékű épületet, és egy 186 millió Ft bruttó értékű gépsort.
A beruházás induló forgótőkeigénye 7 millió Ft.
Az amortizációs normák az ingatlanoknál 2 %, a gép berendezés estében 33 %.
A fejlesztés tervezett működtetési ideje, azaz a hasznos időtartam 4 év.
A beruházás működése során a vonatkozó tervadatok üzembe helyezéskori árakon számolva:
(adatok E Ft-ban)
Év Árbevétel Folyó kiadás Záró forgótőke
1. 37.000 20.000 7.500
2. 83.000 36.500 7.650
3. 95.000 39.000 7.850
4. 95.000 39.000 7.850
A fenti pénzáramok év végén esedékesek, a jelenidőpont az üzembe helyezés időpontja.
Az inflációs várakozások: az első két évben 13, a második két évben 10 % -ra tehetők.
A társasági adó kulcsa 18 %, a tőkeköltség a cégnél 20 %-os.
A beruházás felszámolásakor a cég az ingatlanokat meg kívánja tartani, a gépektől, berendezésektől viszont megválni tervez, mellyel kapcsolatban kötött is egy szerződést, melynek értelmében az aktiválást követő 5. évben 800.000 Ft-ért értékesíti azokat.
a./ Számítsa ki a működési és záró pénzáramokat!
b./ A nettó jelenérték segítségével vizsgálja meg a beruházás megvalósíthatóságát!
c./ A fenti befektetés relatíve mekkora hozamot biztosít (válaszát becsléssel adja meg)?
5. Egy vállalkozó személyi számítógéppark vásárlását tervezi, melyhez több ajánlatot is kap.
Közülük két alternatíva tűnik a legéletképesebbnek, melyek az alábbiak:
I. ajánlat: a beszerzési ár 3 millió Ft, élettartam 4 év, az éves üzemeltetési költség 2 millió Ft.
II. ajánlat: beszerzési ár 7 millió Ft, élettartam 5 év, éves üzemeltetési költség 1 millió Ft.
A cég átlagos tőkeköltsége 12 %. Az egyszeri és folyamatos ráfordítások alapján melyik ajánlat a kedvezőbb?
6. Egy beruházás döntés-előkészítési munkái során a pénzügyi vezető a következő adatokkal, információkkal számol:
A fejlesztés két évig tart, amely során az elő évben az épület kivitelezésére 1, majd 2 millió Ft-ot , a gépek berendezésére pedig az első évben 0,5 ill. 0,7 millió Ft-ot költenek.
A fejlesztés célja eredménynövelés, amelyet részben automatizálással, a régi eszközök korszerűbbre való cserélésével érnek el, így a felszabaduló régi eszközök értékesítésre kerülnek, mégpedig a kivitelezés első évében. Az értékesítés árbevétele 0,3 millió Ft.
A fejlesztés 0,1 millió Ft többlet forgótőkét igényel.
A tárgyi eszköz a műszakiak prognózisa alapján 4 évig működik, s e hasznos időtartam alatt a következő pénzáramokkal számolhatunk:
Árbevétel Folyó ráfordítások Záró forgótőke 1. év 2.500 e Ft 1.800 e Ft 110 e Ft 2. év 2.600 e Ft 1.900 e Ft 120 e Ft 3. év 2.700 e Ft 2.000 e Ft 130 e Ft
4. év 2.800 e Ft 2.100 e Ft 100 e Ft Az épületre vonatkozó amortizációs kulcs 5, a gépekre pedig 20 %. A társasági adó kulcsa 18
%. A beruházás teljes időtartama alatt az infláció mindvégig 20%-os.
A hasznos időtartam végén a forgótőke, illetve az épület maradványértéke felszabadul.
A cég átlagos tőkeköltsége 17%-os.
A kezdő és működési pénzáramokat is év végére tervezik. A fenti, fejlesztésre és működésre vonatkozó információk bázis-, azaz a döntés előtt érvényes árakon vannak tervezve.
Értékelje a beruházási javaslatot a nettó jelenérték és jövedelmezőségi index segítségével!
2.3. Értékpapírokhoz kötődő számítások
A pénzügyi piacokon szereplő értékpapírok közgazdasági elnevezése „Jövőbeni pénz”. Ez azzal függ össze, hogy fajtájuktól függetlenül, mindegyik valamilyen pénzkövetelést testesít meg. A tőkegyűjtő értékpapírok (így a kötvény, részvény, záloglevél, kincstárjegy, letéti jegy, szövetkezeti üzletrész, befektetési jegy), mindegyikében a kibocsátó valamely későbbi, jövőbeni időpontban ígér fizetést.
Ez az alapgondolat magyarázza azt, hogy értékelésüknél minden esetben a jövőbeni pénzáramok jelenértékét vesszük alapul.
Az értékpapírok árfolyama nem más, mint az értük várható pénzösszegek jelenértéken számolva. Az így kiszámított jelenértéket, elméleti értéket, elméleti árfolyamnak hívjuk.
Az árfolyam kiszámítása minden esetben két lépésből áll:
a. Határozzuk meg az értékpapírban foglaltak (benne lévő jogok) szerint a jövőben várható pénzáramok pontos összegét és idejét, más néven a chas-floowját;
b. Számítsuk ki a pénzáramok jelenértékét.
Az is tudható, hogy a továbbiakban a legtöbb értékelésre szolgáló módszer, technika, az így felállított árfolyamképletre épül.
2.3.1. A kötvények árfolyama és hozama
1. Példa: Határozzuk meg a kibocsátás időpontjára vonatkozó elméleti árfolyamát annak a kötvénynek, amelytől évente 15 %-os kamatot várunk el, 10.000 Ft a névértéke és 4 éves lejáratú, a névértéket a lejárat végén kapjuk vissza.
Megoldás:
Ismert adatok Cn = 10000 Ft r = 15 % n = 4 év
P0 = PV=?
Alkalmazható összefüggés
n
t 1
t t
r) (1 PV C
ahol Ct a Kamatokból (I) és a Névértékből áll. Ennek megfelelően szokás az alábbi módon is felírni:
n Periódusonként esedékes kamat összege: I Kötvény névértéke: Pn
Periódusok száma lejáratig (kötvény tartás éveinek a száma): n Egyszerűsített alak: P0 I(PVIFA r,n) Pn(PVIF r,n)
Először meg kell határozni az "I"-t, azaz az évente fizetett kamat összegét, és időpontját.
Ebben a példában fixx kamatozású kötvényről van szó, tehát a Névérték után számított kamat a futamidő alatt állandó, rendre ismétlődik.
I = 10000 * 0,15 = 1500 Ft/év
Az ismert adatokat behelyettesítve kapjuk, hogy
Látható, hogy a névérték és a kibocsátás időpontjára számított jelenbeli érték, azaz az elméleti ár egyenlő. Ez minden esetben így van, ha az elvárt hozam és a névleges kamatláb egyenlő, vagyis i = r. A kötvény árfolyamát %-ban szokás közölni, az ár névérték %-ában kifejezett összegeként:
Árfolyam =(P0/Névérték) * 100.
A fenti példában szereplő kötvény árfolyama tehát l00%.
Az elméleti összefüggések ismerete alapján tudjuk, hogy ugyanezen árfolyamot kapjuk eredményül, ha a pénzáramok jelenértékét az annuitás jelenérték számítási módszerével határozzuk meg. Tehetjük ezt azért, mert a fenti kötvény éppen fix kamatozású, s ezért az általa fizetett kamatok járadékszerűek. A kamatok, mint annuitás jelenértékéhez hozzáadjuk a törlesztés, azaz a névérték jelen időpontra diszkontált értékét, és így is megkaphatjuk az
tehát a kötvény elméleti árfolyama