Pénzügyi ismeretek
/Felzárkóztató modul-Gyakorlati jegyzet/
Pénzügyi ismeretek
/Felzárkóztató modul - Gyakorlati jegyzet/
Szerző:
Pupos Tibor Spilákné Kertész Márta Pannon Egyetem Georgikon Kar
Szerkesztő:
Pupos Tibor
Lektor:
Csatai Rózsa
Nyugat-Magyarországi Egyetem Mezőgazdasági és Élelmiszertudományi Kar
Debreceni Egyetem, AGTC • Debrecen, 2013
© Pupos Tibor, 2013 Debreceni Egyetem
Gazdálkodástudományi és Vidékfejlesztési Kar
Pannon Egyetem Georgikon Kar
Kézirat lezárva: 2013. április 30.
ISBN 978-615-5183-46-1
DEBRECENI EGYETEM AGRÁR- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYOK CENTRUMA
A kiadvány a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0029 projekt keretében készült.
Tartalomjegyzék
1. A vállalatban zajló folyamatok, a vállalat és környezetének pénzügyi aspektusai
5 2. A pénzügyi döntések megalapozása, a számítások módszertani kérdései 8
2.1 Feladatok a pénz időértéke témaköréből 8
2.1.1 Feladatok a kamatszámítás alapeseteire 8
2.1.2 Feladatok a jelenérték számítás témaköréből 17
2.1.3 Speciális pénzáramok értékelése, a járadékszámítás 35
2.1.3.1. Gyakorló feladatok megoldásai 39
2.1.4 Az egyenértékű kamatszámítás esetei 45
2.1.5 A hiteltörlesztések, mint pénzáramok számszerűsítése 47 2.2 A befektetések pénzáramlása és a kapcsolódó számítások 53
2.3 Értékpapírokhoz kötődő számítások 59
2.3.1 A kötvények árfolyama és hozama 59
2.3.2 A részvényekhez kötődő számítások 67
3. A pénzügyi helyzetben bekövetkezett változások – cash flow-ok elkészítése 77
4. A finanszírozás elméleti összefüggései 80
4.1 A tőkeáttételek számítása és értelmezése 80
5. A rövid távú pénzügyi döntések 84
5.1 A forgótőke menedzsmenthez kapcsolódó kalkulációk 84
6. A hosszú távú pénzügyi döntések 87
6.1 A beruházásokhoz kapcsolódó kalkulációk 87
7. A pénzügyi tervezés 94
7.1 A pénzforgalmi terv összeállítása, modell-kalkuláció 94
8. A pénzügyi elemzés 101
8.1 A pénzügyi mutatók számszerűsítése 101
Forrásmunkák jegyzéke 106
Mellékletek 108
1. A vállalatban zajló folyamatok, a vállalat és környezetének pénzügyi aspektusai
A fejezetben közölt példák a vállalatban zajló folyamatokat-, a vállalat és környezete közötti kapcsolati rendszereket pénzügyi aspektusból vizsgálja. A feladatok eredményes megoldása feltételezi a közgazdaságtan, valamint – hangsúlyozottan - a számviteli ismeretek felelevenítését is. A megadott adatok és gazdasági események egyszerűsítettek.
1. PÉLDA: A megadott adatok alapján készítse el az Rt. vagyon mérlegét és adja meg a választ a feltett kérdésekre.
MÉRLEG
S.
sz.
Megnevezés t=0 t=1 S
sz.
Megnevezés t=0 t=1
A Befektetett eszközök D Saját tőke
I. Immateriális javak I. Jegyzett tőke
II. Tárgyi eszközök II. Jegyzett, de még be nem
fizetett tőke(-) III. Befektetett pénzügyi eszközök III. Tőketartalék
B Forgóeszközök IV. Eredménytartalék
I. Készletek V. Lekötött tartalék
II. Követelések VI. Értékelési tartalék
III. Értékpapírok VII. Mérleg szerinti
eredmény
IV. Pénzeszközök E Céltartalék
C Aktív időbeli elhatárolások F Kötelezettségek I. Hátrasorolt köt.
II. Hosszú lejáratú köt.
III. Rövid lejáratú köt.
G Passzív időbeli elhatárolások
ESZKÖZÖK
ÖSSZESEN FORRÁSOK ÖSSZESEN
A kibocsátott részvények száma 1500 db. A részvények névértéke 10 eFt/db. A jegyzés névértéken történt, az ellenérték a jegyzéskor befizetésre került.
A befolyt összeget az alábbi vagyonelemek beszerzésére fordították: immateriális javak 500 e Ft, tárgyi eszközök 8500 e Ft, készletek 4500 e Ft, pénzeszközök 1000 e Ft.
A cégbírósági bejegyzés időpontja január 3. Az év hátralévő részében az alábbi gazdasági események történtek:
Az értékestés 5000 db, értékesítési átlagár 6100 Ft/db.
Az immateriális javak és tárgyi eszközök átlagos leírási kulcsa 10 %. Az árbevétel 80 %-át a vevők átutalták.
A következő év lízingdíjára 500 eFt-ot utalt át a társaság december 15-én. A bérlő a következő év első negyedévi bérleti díját, 300 eFt-ot december 30-án átutalta.
Februárban 2000 eFt értékben a társaság számítógépeket vásárolt, amelyeket üzembe is helyezett.
A vásárláshoz 1000 e Ft hitelt vett föl ötéves futamidővel, 15 %-os kamattal, és évenkénti egyszeri, azaz annuitásos törlesztéssel. (Annuitásos törlesztés: állandó összegű részletet jelent). Az első részlet december 30-án esedékes. A részlet 298 eFt, melyből a kamat 150 eFt.
Az informatikai eszközök leírási kulcsa 33 %.(Az arányos összeg a tárgyévben elszámolandó).
A társasági adó összege 750 eFt.
A fizetendő osztalék 2250 eFt.
Az év végi készletből 1000 eFt nem került kiegyenlítésre.
A tárgyévben összesen 12000 eFt munkabért számoltak el költségként, a közterhe 31 %. Az anyagköltség 7500 e Ft, az egyéb költségek összege 1070 e Ft. A társaság forgatási céllal 800 eFt-ért értékpapírokat is vásárolt.
Ellenőrző kérdések:
1/ A reál- és nominál folyamatok mely elemei jelennek meg a vagyon mérlegben?
2/ Mely gazdasági események és mérleg tételek utalnak az Rt. pénzügyi piacon való megjelenésére?
3/ A pénz funkciói megjelennek-e a vagyon mérlegben, ha igen melyek ezek, melyik mérlegtételhez köthetők ?
4/ A vagyon mérleg mely tétele utal az állam szerepére?
5/ A vagyon mérleg mely tételei utalnak a társaság input és output piacon való megjelenésére ?
GYAKORLÓ FELADATOK
1. A megadott adatok alapján készítse el a vagyon mérleget és adja meg a választ a feltett kérdésekre.
MÉRLEG
……… év
me.: E Ft
S.
sz.
Megnevezés t=0 t=1 S
sz.
Megnevezés t=0 t=1
A Befektetett eszközök D Saját tőke
II. Tárgyi eszközök 1000 I. Jegyzett tőke 2800
B Forgóeszközök VII. Mérleg szerinti
eredmény
II. Követelések 500 - F. Kötelezettségek
IV. Pénzeszközök III. Rövid lejáratú kötele-
zettségekx
500 G. Passzív időbeli
elhatárolások
260 10
ESZKÖZÖK ÖSSZESEN FORRÁSOK ÖSSZESEN
xA munkabér 345 eFt
A vállalat nettó árbevétele 1500 eFt. Az értékcsökkenési leírási kulcs 10 %. A költségként elszámolt munkabér a tárgyévben 700 eFt, a TB járulék 31 %.
Kérdések:
1/ Mennyi pénz folyt be a vevőktől a tárgyévben?
2/ Mennyi munkabért fizettek ki, ha év végén a mérleg záró értéke 200 eFt ? 3/ Mennyi pénz folyt be a tárgyévben a lízingdíjból?
2. A megadott adatok alapján készítse el a vállalat vagyon mérlegét, és fogalmazzon meg legalább három kérdést, amelyek a vállalat és környezete kapcsolatára utal. A kérdésekre adja meg a válaszokat is. (A MEGOLDOTT FELADATOT HATÁRIDŐRE A GYAKORLATVEZETŐNEK BE KELL ADNIA !!!)
MÉRLEG
……….év
me.: eFt
S.
sz.
Megnevezés t=0 t=1 S
sz.
Megnevezés t=0 t=1
A Befektetett eszközök D Saját tőke
II. Tárgyi eszközök 200 190 I. Jegyzett tőke
1. Beruházások 70 VII. Mérleg szerinti eredmény
B Forgóeszközök F Kötelezettségek
II. Követelések 50 20 II. Hosszú lejáratú kötele-
zettségek
- 35
IV. Pénzeszközök III. Rövid lejáratú kötele-
zettségek
6 4
C Aktív időbeli elhatáro- lások
26 - G Passzív időbeli elha- tárolások
- 25
ESZKÖZÖK ÖSSZESEN 336 FORRÁSOK ÖSSZESEN
A vállalat nettó árbevétele 150 eFt, a termelési költség – az értékcsökkenési leírást nem tartalmazza - 100 eFt.
2. A pénzügyi döntések megalapozása, a pénzügyi számítások módszertani kérdései
2.1 Feladatok a pénz időértéke témaköréből 2.1.1 Feladatok a kamatszámítás alapeseteire
1. Jövedelmünkből 10.000 Ft-ot bankbetétbe helyezzük. A betétkonstrukcióra 12 % (éves) kamatláb jellemző. Mekkora összeghez jutunk egy év után, amennyiben a betét éves lekötési idejű, azaz a kamat jóváírására egy év után kerül sor?
Megoldás:
Co = 10.000 FVn = Co x (1 + r ) r = 0,12 (éves)
n = 1 (év) FV1 = 10.000 x (1+0,12) = 11.200 FV1 = ?
2. 100.000 Ft megtakarításunkat szintén egy évig kamatoztatjuk valamely bankban, de egy olyan konstrukciót választunk, mely féléves lekötési idejű. A kamatláb félévre 6 %.
Mekkora tőke áll rendelkezésünkre 1 év múlva?
Megoldás:
1. Co = 100.000 FVn = Co x (1 + r) n
r = 0,06 (féléves)
n = 2 (félév) FV2 = 100.000 x (1 + 0,06) 2 = 112.400 FV2 félév=1 év = ? 1,124
3. 100.000 Ft megtakarításunkat havi lekötési idejű betétbe helyezzük. A kamatláb 12 % (éves). Egy-egy hónap lezárása után a bank a kamatot jóváírja a betétszámlán. Mekkora tőkével rendelkezünk 1 év elteltével, ha a kamatot nem vesszük fel, hanem a kezdőtőkével együtt havonta rendre befektetjük?
Megoldás:
Co = 100.000 FVn = Co x (1 + r) n r = 0,12 (éves) 0,01 (havi)
n = 12 (hó) FV2 = 100.000 x (1 + 0,01) 12 = 112.700 FV12 hó=1 év = ? 1,127
4. Melyik a jobb befektetés, a) havi 2 %
b) féléves 6 % kamatláb c) éves 24 % kamatláb?
Megoldás:
A kamattényezőket, illetve kamatlábakat azonos időtartamra vonatkoztatom (számítom át):
a) (1 + r) hó (1 + 0,02) 12 hó = (1 + 0,…) 1 év
havi kamatláb éves kamatláb (1,02) 12 = 1 + r
1,268 – 1 = r 0,268 = r
A havi 2 %-os kamatláb 26,8 %-os éves kamatlábnak felel meg.
b) (1 + 0,06) 2 félév = (1 + r)1 év
féléves éves 10124 – 1 = r
0,124 = r 12,4 %-os kamatláb
c) 0,24 = r 24 %-os kamatláb
Rangsor 26,8 24 12,4
a) c) b)
A legjobb a havi 2 %!
5. Mekkora összeget vehetek ki a bankszámlámról július 1-én, amennyiben arra 5 hónapon keresztül tartó takarékoskodás során az alábbi pénzösszegeket sikerült összegyűjteni:
február 1-én 7.000 Ft március 1-én 3. 000 Ft április 1-én 5.000 Ft május 1-én 9.000 Ft június 1-én 4.000 Ft.
A betétkamatláb havonta 2 %. A bankszámla havi lekötési idejű, tehát a konverziós periódus 1 hónap.
Megoldás:
II.1. III.1. IV.1. V.1. VI.1. VII.1 7 e 3 e 5 e 9 e 4 e
n
FV5 =
Σ
Ct x (1 + r) t t = 0r = 0,02 havi
FV 5 = [7.000 x (1 + 0,02) 5] + [3.000 x (1 + 0,02) 4] + [5.000 x (1,02) 3] +
+ [9.000 x (1,02) 2] + [4.000 x (1,02) 1] = 7.728 + 3.246 + 5.305 + 9.360 + + 4.080 = 29.719
6. A Figyelő egyik számában azt olvashattuk a devizabetét kamatokra vonatkozóan hogy egy jó hírnévvel rendelkező bankban az USA dollárban (USD) vezetett devizabetétek kamatlába
egy hónapra 5 %, három hónapra 4 13/16 %. Határozza meg 1000 USD devizabetét kamatát, ha a tőke lekötési ideje egy-, illetve három hónap.
Megoldás:
Mivel a kamatláb érvényességi időtartamánál a konverziós periódus rövidebb, arányos osztással kell meghatározni a kamatozási időtartamra érvényes kamatláb nagyságát és ennek megfelelően a kamat összegét is. Ennek megfelelően az 1000 USD betét kamata
egy hónapra vetítve az 5% 1/12 része, azaz 4,17 USD egy hónapra vetítve a 4 13/16% 3/12 része, azaz 12,03USD.
7. Az egy évre szóló üzemviteli hitel kamatlába 24%. Mekkora kamatlábbal kell számolni, ha egy félévre, egy negyedévre, egy hónapra vennénk fel a hitelt?
Megoldás:
Az arányos osztás alapján a kamatláb nagysága egy hónapra (24/12)= 12%
egy negyedévre (24/4)= 6%
egy félévre(24/2)= 12%8. Az inflációs ráta 15%, a tartósan lekötött bankbetétek kamatlába 13%. Mekkora a reál-kamatláb?
8. Számítsuk ki 10.000 Ft tőkeértékét, ha ez a tőke 5 hónapon keresztül havi 3%-kal kamatozik. Ábrázoljuk a kamat összegének alakulását az idő függvényében!
Megoldás:
Időpont Összefüggés Tőkeérték
(FV, eFt)
Kamat (eFt)
t = 0 C0 10000 -
t = 1 FV = 10000*(1+0,03*1) 10300 300
t = 2 FV = 10000*(1+0,03*2) 10600 600
t = 3 FV = 10000*(1+0,03*3) 10900 900
t = 4 FV = 10000*(1+0,03*4) 11200 1200
t = 5 FV = 10000*(1+0,03*5) 11500 1500
A feladat megoldása az általános összefüggés alapján:
FV = C0 (+ r * t)
FV5 = 10000 ( 1+0,03 5) = 11500 A feladat grafikus ábrázolása (1. ábra):
9. Mennyi kamatot írtak jóvá és mennyi pénz volt azon a folyószámlán a zárás időpontjában, amelyen az alábbi pénzmozgások voltak és a kamatláb 28 %?
1995. január 1. Nyitó állomány: 10000 Ft 1995. január 20. Kivét : 5000 Ft 1995. március 25.Betét : 8000 Ft 1995. június l. Kivét : 2000 Ft
1995. június 30. Zárás, a felszámított kezelési költség 500 Ft
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 4 0 0 1 6 0 0
0 1 2 3 4 5
1. ábra. A 8. feladat grafikus megoldása
9. feladat: Megoldás:
Sor- szám
Betét (Ft)
Kivét (Ft)
Kamatozó tőke (Ft)
Kamatozási napok száma
Kamatszám
1 10000 - 10000 19 1900
2 5000 5000 66 3300
3 8000 13000 65 8450
4 - 2000 11000 30 3300
Össz. - - - 180 16950
Kulcsszám = 360 : 28 = 45
Jóváírt kamat = 16950 : 45 = 376,67 Ft
Záró egyenleg = 11000 + 376,67 - 500 = 10876,67 Ft
10. Számítsuk ki 10000 Ft tőkeértékét, ha a tőke 10 hónapon keresztül kamatozik, és havonként történik a tőkésítés. Az éves kamatláb 24 %.
Ismert adatok: C0 = 10000 Ft
i = 24 % t = 10 FV = ?
Alkalmazható összefüggés: FV = C0 (1+r)t
Meghatározandó a konverziós periódusra érvényes kamatláb:
r = 24: 12 = 2% = 0,02
FV = 10000(1+0,2)10 = 12190 Ft
10. Mennyit ér 10000 Ft öt év múlva, ha a tőke, kamatos kamattal kamatozik, s a kamatláb 20%. A kamat alakulását ábrázoljuk az idő függvényében?
Megoldás:
A feladat megoldása az alapképlet alapján FV = C0 (1+ r)t
FV = 10000 (1+0,2)5 = 24483 Ft Tőkeértékek
/Ft
Időszakok
Időpont Összefüggés Tőkeérték(Ft) Kamat(Ft)
t=0 C0 10000 -
t=1 FV1 = 10000(1+0,2) 12000 2000
t=2 FV2 = 10000(1+0,2)2 14400 4400
t=3 FV3 = 10000(1+0,2)3 17280 7280
t=4 FV4 = 10000(1+0,2)4 20736 10736
t=5 FV5 = 10000(1+0,2)5 24483 14483
Kamat (Ft )
0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 1 6 0 0 0
0 1 2 3 4 5
Évek 2. ábra. A feladat grafikus megoldása
11. Egy öt éves futamidejű, 10000 Ft névértékű kamatos kamatozású kötvényt kibocsátó vállalat mennyit fizet ki a kötvény tulajdonosának, ha a kötvény névleges kamatlába 10 %?
Megoldás:
Ismert adatok C = 10000 Ft r = 10 % = 0.1 t = 5
FV = ?
Alkalmazható összefüggés: FV = C0 (1+r)t
FV = 10000 (1+0,1)5 = 16105 Ft
12. Mennyit fizetnénk azért az értékpapírért, amely csak négy év múlva fizet 80.000 Ft-ot, a kamatláb (elvárt hozam) 20%?
Megoldás:
Ismert adatok r = 20 % n = 4 FV = 80 eFt C0 = PV = ? Alkalmazható összefüggés
F V P V(1r)n
ahonnan adódik, hogy
P V F V r n
(1 )
az adatokat behelyettesítve kapjuk
P V
8 0 1 0 2 4
( , )
P V 8 0 F t 2 0 7 3 6
3 8 5 8 0 ,
13. Tételezzük fel, hogy a fenti értékpapírért 40.000 Ft-ot fizettünk. Mekkora éves átlaghozamot érünk el ilyen vételár mellett?
Megoldás:
Ismert adatok PV = 40eFt FV = 80eFt n = 4 r = ? Alkalmazható összefüggés:
F V P V r
(1 )n
melyből "r" -t kifejezve adódik, hogy
F V P V
r n
(1 )
r F V
P V
n
1
1
/
az adatokat behelyettesítve
r = 20,25 - 1 = 0,1892 = 19,92 %
14. Hány év múlva ér 500.000 Ft-ot egy 100.000 Ft értékű tartósan lekötött betét, ha az érvényes kamatláb 20%?
Megoldás:
A feladat a kamatozási időtartam meghatározása:
Ismert adatok FV = 500.000 Ft C0 = 100.000 Ft r = 20%
n = ? Alkalmazható összefüggés:
F V C0(1 r)n melyből átrendezéssel adódik, hogy
lo gF V lo gC0 nlo g (1 r)
az összefüggésből kifejezve "n"-t, kapjuk
n F V C r
l o g l o g
l o g ( )
0
1
az adatokat behelyettesítve
n l o g l o g l o g ,
5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2
n é v n a p
5 6 9 8 9 7 5 0 0 7 9 1 8
8 8 2 4 8 2 9 7 ,
,
,
15. Mennyi pénzt kapunk kézhez 2 év és 5 hónap múlva azért az 50.000 Ft tartósan lekötött betétért, ami 24 %-os kamatlábbal kamatozik. (Egy év 360 nap)
Megoldás:
Ismert adatok: PV = 50.000 Ft i = 24 %
T = 2 év és 5 hónap FV = ?
Alkalmazható összefüggések : a tört időszak egységét célszerű egy hónapra értelmezni:
p i
1 2 2 4 1 2
2 % 0 0 2,
F V P V(1i) (n 1 p t 2)
Az adatokat behelyettesítve adódik, hogy
F V 5 0 1( 0 2 4, )2 (1 5 0 0 2, )
F V 5 0 1 5 3 7 6 1 1 , , 8 4 5 6 8
16. Mennyi pénzt kapunk a 10.000 Ft névértékű, 25 %-os kamatláb mellett, kamatos kamattal kamatozó értékpapír után, amit 1996. december 2-án vásároltunk, és 1999. szeptember 30-án váltottunk ki, ha
a/ az időtartam alatt nem volt kamatváltozás
b/ a bank 1998. október 15-től 5%-kal kamatot csökkentene?
Megoldás:
a/ Ha a kamat nem változott:
Ismert adatok: PV= 10.000 Ft i = 25% = 0,25 Alkalmazható összefüggések
p i
3 6 0 2 5 3 6 0
0 0 6 9 4 %, 0 0 0 0 6 9 4,
A konverziós periódusok számának meghatározása 1996.dec.2. = kamatozási periódus kezdete (t=0) 1997.dec.2 = az első konverziós periódus vége (n=1)
1998.dec.2. = a második konverziós periódus vége (n=2 és t=2· 360) 1999.szept.30. = a kamatozási időtartam vége.
1996.dec.30-ig = 28 nap 1999.szept.30-ig =270 nap t2 = 28 + 270 = 298 nap
A fenti összefüggések alapján:
T= 2 év és 298 nap = 720 + 298 = 1018 nap
n 1 0 1 8 é v n a p é v n a p 3 6 0
2 8 2 7 7, 2 0 8 2 7 7 3 6 0, 2 2 9 8
Alkalmazható összefüggés:
F V P V(1 i)n (1 p t 2) Az adatokat behelyettesítve:
F V 1 0 0 0 0 1( 0 2 5, )2(1 2 9 8 0 0 0 0 6 9 4 , ) 1 8 8 5 6 4 4, F t
b/ Ha a kamat változott
Az 5%-os kamatcsökkentés eredményeként 1996. október 15-től a névleges éves kamatláb 20% .
A konverziós periódusok számának meghatározása:
1997.dec.2. = az első konverziós periódus vége (n=1, t=360 nap) 1998.okt.15. = a 25 %-os kamatozási időtartam vége.
A kamatozási időtartam hossza:
1997.dec.30-ig: = 28 nap 1998.okt.15-ig: = 285 nap t1 = 28+285 = 313 nap
1999.szept.30-ig terjedő, 20%-os kamatozási időtartam hossza:
1996.okt.16-tól - dec.3o-ig:=45 nap 1999.szept.30-ig = 270 nap
t2 = 45+270=315 nap
p1 2 5 3 6 0
0 0 6 9 4 % 0 0 0 0 6 9 4
, ,
p2 2 0 3 6 0
0 0 5 5 5 % 0 0 0 0 5 5 5
, ,
Alkalmazható összefüggés
F V P V(1 p1 t1) ( 1i)n (1 p2 t2)
Az adatokat behelyettesítve adódik, hogy
F V 1 0 0 0 0 1( 3 1 3 0 0 0 0 6 9 4 , ) ( 1 0 2 5, ) ( 1 3 1 5 0 0 0 0 5 5 5 , )
FV = 17875 Ft
17. Határozzuk meg 100.000 Ft jövőbeni értékét egy illetve három év múlva, ha az éves névleges kamatláb 24% és a konverziós periódus hossza: 1 év, fél év, negyed év, egy hónap, egy hét, egy nap!
Megoldás:
Ismert adatok C0 = 100.000Ft i = 24%
A konverziós periódusok száma rendre:
m=l, m=2, m=4, m=l2, m=36o Alkalmazható összefüggés:
r i
m
m
1 1
F V C i
m
m
0 1
Kamatozási időszak
m r (%) 100 eFt tőke értéke (Ft)
1 év múlva 3 év múlva
Egy év 1 24 124000 1960662
Fél év 2 25,44 125440 197382
Negyedév 4 26,25 126250 201123
Egy hónap 12 26,82 126820 203969
Egy hét 52 27,05 127050 205080
Egy nap 360 27,11 127110 205371
Használható összefüggés még
FV= C0 (1 + r)n
r = évi tényleges kamatláb n = évek száma
A feladat részletes megoldásának adataiból nyomon követhető, hogy i = 24 % kamatláb az
"m" függvényében milyen "r", azaz éves szintű kamatlábnak felel meg. Az évi effektív kamatláb kiszámításával lehet adott esetben "közös nevezőre" hozni, összehasonlíthatóvá tenni a különböző kamatozási feltételekkel bíró befektetési lehetőségeket.
18. Az alábbi egy éves futamidejű hitelfelvételi konstrukciók közül melyik igénybevétele lenne kedvezőbb, ha
a) i = 19%, a kamatot évenként, b) i =17%, a kamatot havonként,
c) i = 18% és a kamatot negyedévenként kell fizetni?
Megoldás:
a) i=19% és m =1 b) i=17% és m=12 c) i=18% m=4
Felhasználható összefüggés:
r i m
m
1 1
Az adatokat behelyettesítve
a) r= (1 + 0,19 ) = 19 % b) r
1 0 1 7
1 2
1 1 8 3 9 %
1 2
,
,
c) r
1 0 1 8
4
1 1 9 2 5 %
4
,
,
Az eredményekből látható, hogy a b) változat a legkedvezőbb.
19. Mennyi lesz 100.000 Ft betétnek a jövőértéke 2 év múlva folytonos kamatozás esetén, ha az éves névleges kamatláb 15 %?
Megoldás:
Ismert adatok: C0 = 100.000 Ft
r = 15 % m = 2 Alkalmazható összefüggés
FV= C 0 e r m Az adatokat behelyettesítve
FV = 100 * 2.7180,15 2
FV = 100 * 1,35 = 135.000 Ft
2.1.2 Feladatok a jelenérték számítás témaköréből
1. Mennyit fogadna el ma egy összegben egy jövőre (1 év múlva) esedékes, 1 millió Ft összegű tartozásért cserébe, ha az ön számára realizálható kamatláb 10 %?
Megoldás:
C1 = 1.000.000 =FV1
r = 0,10(éves) PV = C n x vagy
n = 1 (év)
PV = 1.000.000 x = 1.000.000 x 0,909 = 909.000
2. Ön az elkövetkező 3 hónapban az alábbi kifizetéseket kell, hogy teljesítse bankszámlájáról:
1 hónap múlva 10 millió forint 2 hónap múlva 30 millió forint 3 hónap múlva 20 millió forint.
Üzleti partnere, csak akkor fogadja el a megrendelést, ha a fenti pénzösszegek fedezete már most rendelkezésre áll a bankszámlán. Mekkora tőkével kell rendelkezni ma a fizetőképességhez, ha a bank 12 % kamatlábat alkalmaz?
Megoldás:
1 hó 2 hó 3 hó
10 Mó 30 Mó 20 Mó
PV = ? =
ahol, r = 0,12 (éves) → r = 0,01 (havi
+ + = 9,090 Mó + 29,4 Mó +
+ 19,42 Mó= 57,91 Mó
3. Egy kereskedő 1 millió forintot fektet gabonába, melyet várhatóan (szerződései alapján) egy év múlva 1, 8 millió forintért tud eladni.
a) Mennyi a kereskedő nyeresége az üzleten, ha az érvényes piaci kamatláb 8 %?
b) Hány százalék haszonkulccsal, hozammal dolgozott a kereskedő?
c) Gazdaságosnak mondható-e a megkötött üzlet?
Megoldás:
Co = PV = 1.000.000
C1 = FV1 = 1.800.000 vagy r = 0,08 (éves)
n = 1 (év)
a) Nyereség = - Ráfordítás + Jövedelem (Azonos
időpontban!)
NPV = Jövedelem – Ráfordítás PV PV
= - = + 666.800 nyereség jelenértékben
* NPV = Net Present Value = Nettó jelenérték ha NPV > 0 → nyereség ha NPV = 0 → veszteség Más megoldás: (ha jövőértéken számolunk)
NFV = [1.000.000 ∙ (1+0,8)] + 1.800.000 = 1.800.000 – 1.800.000 = + 720.000 Nyereség az 1 év múlva számított értéken.
b) IRR = ? = Belső megtérülési ráta
= HOZAM
1.000.000 = 1.800.000 ∙ = = (1+IRR) 1,8 – 1 = IRR
0,8 = IRR → 80 %-os hozam (jelenértéken számolva)
c) A befektetés jövedelmező, mert NPV > 0, azaz
nyereséges,
A befektetés gazdaságos, mert r < IRR, azaz magasabb kamatot biztosít, mint az átlagos piaci hozam (8% < 80%)
4. Ön 10.000 forintját havi 1 % kamatláb mellett félévre havi lekötési idejű bankbetétbe teszi. Mennyi kamatot realizál fél év alatt?
Megoldás:
Co = 10.000
n
r = 0,01 (havi) n = 6 (féléves)
10.000 betét, tőke
FV6 = 10.000 ∙ (1+0,01)6 = 10.620
<
620 kamat Az induló tőke növekménye, a kamat 620,- Ft.
5. Egy rendkívüli helyzet miatt 150.000 forintos nettó keresetét munkáltatója félévre előre kifizeti. Mekkora összeget kap kézhez, ha 12 % (éves) kamatláb az elszámolásuk alapja?
Megoldás:
FV1/2 év = C1/2 félév = 150.000
r = 0,12 (éves) → féléves : r = 0,12 / 2 = 0,06 (féléves) n = 1 (félév)
PV = ? =
PV = 150.000 ∙ = 150.000 ∙ 0,943 = 141.450 6. Melyik a jobb üzlet, ha önnek fizetnek
a) 10 hónapon át havi 100.000 forint
b) 10 hónap múlva egy összegben 1 millió forint c) 890.000 Ft azonnal (10 hónap elején)
d) 710.000 Ft 6 hónap múlva?
Az érvényesíthető kamatláb 12 %.
Megoldás:
a) Co = 100.000
C1 = 100.000 .
.
C9 = 100.000
r = 0,12 (éves) → 0,01 (havi) n => 0,1 ……, 9 = t (változó)
PV = ? =
PV = [100.000] + [ ] + …..[ = 865.200
10. hó
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
100e = 100e ..….. …… 100e
C1 = C2 = C9 = 100e Ft → Annuitás
Más megoldás:
PV = C ∙ (PVIFA r (n-1) + 1) = 100.000 ∙ (7,652 + 1) = 865.200
vagy PV = C ∙[ ( ∙1) + 1 = 100.000 ∙ [( ) + 1] =
= 865.200
b) C10 =1.000.000 = C10 = FV10
r = 0,12 (éves) = 0,01 (havi) n = 10 hó
10 hó
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
PV = ? 1.000.000
PV = C n ∙ → PV = 1.000.000 ∙ = 905.000 c) Co = PV = 890.000 (ez az érték adott, nem igény
átszámítást)
d) C6 = FV6 = 710.000
r = 0,12 (éves) = 0,01 (havi) n = 6 hó
6. hó
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ PV = ? 710.000
PV = C n ∙ → 710.000 ∙ = 710.000 ∙ 0,942 = 668.820 Válasz: Jelenértéken számolva
a) 865.200
b) 905.000 ez a legjobb!
c) 890.000 d) 668.200
7. Önnek 300.000 forint befektetése 5év után 461.700 forint megtérülést (bevételt) eredményezett, úgy hány % kamatot realizálhatott az üzleten (mekkora az éves hozam)?
Megoldás:
Co = PV = 300.000
C5 = FV5 = 461.700 PV = C n ∙ n = 5 (év) ↓ r = ? (éves) = IRR IRR = ?
300.000 = 461.700 ∙ = (1 + IRR)5
1,539 = (1+IRR)5 (A diszkonttényező táblázatból is kiolvasható!) 0,09 = IRR → 9% hozammal számolhatunk.
8. Amennyiben 10.000 Ft befektetése 17.620 forint megtérülést (bevételt) eredményezett, úgy 12 % éves kamatlábat feltételezve mennyi idő alatt valósulhatott meg az üzlet?
Megoldás:
Co = PV = 10.000
Cn = FVn = 17.620 PV = Cn ∙
r = 0,12 (éves) n = ? (év)
10.000 = 17.620 ∙
= (1+0,12)n = 1,762 (A diszkonttényező táblázatból is kiolvasható!) n = 5 év
9. Ön motorkerékpárra gyűjt. Ez idáig 400.000 forint áll rendelkezésére. Mekkora összeget kell félretennie ma egy összegben ahhoz, hogy 5 hónap múlva sikerüljön megvennie a 670.000 forintos járgányt? (A bankszámla után a bank 13 % kamatot fizet.)
Megoldás:
Szüksége van még (jelenértéken számolva) az alábbi összegre [670.000 ∙ ] – 400.000 = 234.860
0,947552
Ellenőrzés: (400.000 + 234.860) ∙ = 670.000
10. Mennyiért érdemes megvásárolni azt az értékpapírt, amely 2 év és 5 hónap múlva 100.000 Ft-ot ígér, ha ezen tőkebefektetéssel a piaci kamatlábnak megfelelően 18 %-os hozamot szeretnénk elérni?
Megoldás:
Ismert adatok: FV = 100 eFt i = 18 %
T = 2 év és 5 hónap Alkalmazható összefüggések: a célszerű időegység egy hónap
p i
1 2 1 8 1 2
1 5 %, 0 0 1 5,
Vegyük észre, hogy a feladatban az értékpapír vételi árát, azaz a jelenbeli értéket (PV) keressük. Tehát, a (16) összefüggésből, átrendezéssel adódik
P V F V
i n p t
(1 ) (1 2)
az adatokat behelyettesítve kapjuk, hogy
P V
1 0 0 0 0 0
1 0 1 8 2 1 0 0 0 1 5 5
( , ) ( , )
P V F t
1 0 0 0 0 0 1 3 9 2 4 1 0 7 5
6 6 8 0 8
, ,
Tehát a 2 év 5 hónap múlva esedékes 100.000 Ft jelenértéke, 18 %-os elvárt hozam mellett 66808 Ft.
11. Valamely vállalkozás az alábbi becsült jövedelmeket biztosítja tulajdonosainak minden év végén: (A kamatláb értéke éves szinten 9%).
Év Bevétel millió Ft
1. 15.000
2. 20.000
3. 17.000
4. 32.000
5. 40.000
6. 11.000
7. 27.000
8. 11.000
Mennyiért vásárolná meg a vállalkozást (feltételezzük, hogy nyolc évre hozták létre a vállalkozást az alapítói)
a) az első év végén?
b) a harmadik év elején?
c) a hetedik év végén?
Megoldás:
a)
Bevételek jelenértéke:
Ft 86 , 969 . 09 129
, 1
000 . 11 09 , 1
000 . 27 09
, 1
000 . 11 09 , 1
000 . 40 09
, 1
000 . 32 09 , 1
000 . 17 09 , 1
000 . 000 20 .
15 1 2 3 4 5 6 7
129.969,86 Ft maximum értéken lenne érdemes megvásárolni a vállalkozást.
b)
Bevételek jelenértéke:
Ft 16 , 317 . 09 105
, 1
000 . 11 09 , 1
000 . 27 09
, 1
000 . 11 09 , 1
000 . 40 09
, 1
000 . 32 09 , 1
000 . 17
6 5
4 3
2
1
105.317,16 Ft maximum értéken lenne érdemes megvásárolni a vállalkozást.
c)
Bevételek jelenértéke:
Ft 7431 , 091 . 09 37
, 1
000 . 000 11 .
27 1
37.091,74 Ft maximum értéken lenne érdemes megvásárolni a vállalkozást.
12. Egy év múlva esedékes 167.585 Ft jelenértéke 138.500 Ft.
Mekkora az éves diszkonttényező értéke? Mekkora az effektív kamatláb?
585 . 167 r) (1 138.500 1
21 , 1 ) 1
( r 1 a diszkonttényező érték, r=0,21 r=21% az effektív kamatláb
13. Válassza ki, hogy az alábbi,- a)- e) alternatívák közül - melyik ér többet, amennyiben a piacon elérhető hozam 12 %?
a) 1 millió forint azonnal b) 3 millió forint 2 év múlva
c) egy évén keresztül minden hónap végén, havi 100 ezer forint
d) félév múlva400 ezer forint, majd még egy félév elteltével 600 ezer forint, e) havi 50.000 forint pénzígéret, mely örökké tart.
Különböző időpontbeli pénzek összehasonlításánál alapvető követelmény, hogy azonos időpontra kell átértékelni őket. Ezt teszi lehetővé a pénz időérték számításnál alkalmazott technikák. Jelenérték-, vagy jövőérték számítás teszi lehetővé az átértékelést.
Mivel az összehasonlítandó összegek között szerepel örökjáradék jellegű is (e pontban), így kizárólag jelenérték (PV) számítással oldható meg a feladat. Ennek az az oka, hogy
örökjáradék jellegű pénzáramoknak jövőértékét nem lehetséges kiszámítani.
Az alkalmazott képletek:
n n
) 1 ( FV 1
PV r és a
n
t 1
t t
r) (1
PV C és az
annuitás jelenértékének képlete PVAN n AN PVIFA r,n, ahol
r r)n 1 ( 1 1
PVIFA r,n , valamint az
örökjáradék jelenértékének képlete . a) PV= 1.000.000
b) PV= 3.000.000* = 2.391.000
c) PV= 100.000*PVIFA1,12= 100.000*11,26= 1.126.000
d) PV= 400.000* + 600.000* = 356.000+535.800= 891.800 e) PV= 50.000/0,01= 5.000.000
14. Mennyi a jelenértéke a három év múlva esedékes 500.000 Ft-nak akkor, ha a kamatláb a) 10 %,
b) 15 % c) 20%?
Alkalmazható összefüggés
P V
r t
1 1
( )
a) eset:
P V e F t
5 0 0 1 0 1
3 7 5 6 6 ( , )3
,
b) eset:
P V e F t
5 0 0 1 0 1 5
3 2 8 7 6
( , )3
,
c) eset:
P V e F t
5 0 0
1 0 2
2 8 9 3 5 ( , )3
,
Elméleti feladatok az időérték-számítás témaköréből A) Pótolja a hiányzó szövegrészeket
1. A különböző ...pénzek ...számunkra eltérő, ezért a pénz ...sem homogén.
2. Ha a kamatláb ...a ………. peridus
rövidebb, akkor ……….arányos osztással kell
meghatározni a ……….érvényes kamatláb nagyságát.
3. A kamat a ...és a ...tőkeérték különbsége.
4. Az induló tőkeérték = .../...
5. Névleges kamatláb...
6. Effektív kamatláb...
7. A pénz időérték-kalkulációján azt értjük, amikor egy adott...…………...
meghatározzuk a ...mértékét.
8 A kamattényező azt fejezi ki, hogy a ...……….időtartam alatt a
………...hányszorosára növekszik.
9 A diszkont a ...………..és a ………...érték különbsége.
10 …………...kamatozás esetén a …...kisebb, mint a vele egyenértékű kamatláb.
11 Ha a ...…..tőkésítik, akkor ...………...
kamatszámításról beszélünk.
12 A kamat a ...………..tőkeérték és a...
tőkeérték különbsége.
13 …...a kamattényező az idő...………függvénye.
14 Ha a kamatozási időtartam a kamatláb érvényességi időtartamával nem egyezik meg, ilyen esetekben a jövőbeli tőkeérték olyan függvénynek tekinthető, amelynek függet- len változói a ………...
15 ...kamatozásról akkor beszélünk, ha "T" hosszúságú
…………...vonatkozó kamatozásról van szó
16 A váltó megvásárlását tehát úgy tekinthetjük, mintha a váltót leszámítoló, a...
...………összegével megegyező...nyújtana az ...időtartamra,……...
...………. egyenértékű kamatlábbal
17 Ha a kamatozási időtartam és a diszkontláb érvényességi időtartama azonos, akkor a váltó leszámítolt értéke :………...
18 Egyenértékű kamatozás esetén a...kisebb, mint...
…………...
19 A gyakorlati életben az…………. ... akkor használják, ha a kamatozási időtartam...………..rövidebb.
20 Kamattényező ………
21 Konverziós periódus………...
22 Diszkonttényező……….
23 Ha az éven belüli konverziós periódusok hossza végtelenül kicsi………..
:...beszélünk.
24 Állandó éves névleges kamatláb esetében az éves ………...
mértéke a ………..periódusok számának függvényében alakul.
25 Kamatos kamatozás esetén, ha a jövőbeli tőkeérték ismeretében annak jelenbeli értékét akarjuk meghatározni, akkor………...………….
26 Valamely jövőbeli érték jelenértéke a………, mint …………...
………..változónak a függvénye.
27 Diszkonttényező...
28 A pénz időérték-kalkulációja...
………...
29 Érvényességi időtartam:...
30 Jövőbeli tőkeérték:...
B) Oldja meg az alábbi feladatokat
1/A tárgyév végén 62.720 Ft kiadása lesz. Mekkora összeget kell bankba tennie, hogy 24 %- os kamatláb és kamatos kamatozás esetén a december 31-én felvett tőke fedezze kiadását? A konverziós periódus hat hónap.
2/ 100.000 Ft-ért értékpapírt vásárolt és biztos benne, hogy két év múlva 130.000 Ft-ért el tudja adni. Mekkora befektetésének hozama?
3/Menyasszonyának 40.000 Ft-ért aranyláncot vásárolt. Miután a postás kétszer csöngetett, Ön úgy döntött, hogy a láncot visszaveszi és elcseréli értékpapírért, amely egy év múlva jár le és hat hónapos lekötés esetén 10 % hozamot ígér. (A lekötés ismételhető) Barátja a láncot megvásárolta volna Öntől 44.000 Ft-ért. Ön maradt az értékpapír mellett. Helyesen döntött-e?
4/ Mint vállalkozó 2.500.000 Ft összegű követelése van a vevővel szemben. A vevőnek - a megállapodás szerint - harminc napon belül kellene fizetni. A vevő felhívta Önt telefonon,
hogy a 20. napon kifizeti az Ön követelését. Ad Önnek 2.400.000 Ft-ot. Elfogadja-e az ajánlatot, ha a kamatláb 12 %?
5/ Mennyi pénzt kap kézhez három hónap múlva, ha 100.000 Ft-ja három hónapos lekötés esetén 24 %-kal kamatozik?
6/Mennyi az 50.000 Ft névértékű váltó diszkontált értéke, ha a váltó 50 nap múlva jár le. A diszkontláb 36 %-os?
7/ Mennyi a 40 nap múlva esedékes 200.000 Ft névértékű váltó diszkontált értéke, ha a kamatláb 24 %?
8/ Hány %-os diszkontláb felel meg 25 %-os és 12 %-os kamatlábnak, egyenértékű kamatozás esetén ?
9/. Ha négy év múlva fizetendő 1.331.000 Ft jelenértéke 1.000.000 Ft, mennyi a második év diszkonttényezője?
10/ Mennyi pénzt fektetett be 24 %-os kamatláb mellett, ha kettő és fél év múlva 80.000 Ft-ot kapott kézhez? A konverziós periódus hat hónap.
11/ 200.000 Ft-ért kukoricát vásárolt és biztos benne, hogy két év múlva 280.000 Ft-ért el tudja adni. Mekkora a befektetés megtérülési rátája?
12/ A tárgyév végén 100.000 Ft kiadása lesz. Mekkora összeget kell bankba tennie kamatos kamatozás esetén, ha a kamatláb 24 % és a konverziós periódus három hónap?
13/ A helyi pénzintézethez benyújtott egy 200.000 Ft névértékű váltót a lejárat előtt 10 nappal. Mennyi pénzt kap kézhez - egyenértékű kamatozást feltételezve - ha a kamatláb 20
%?
14/ Mekkora kamat terheli vállalkozását az alábbi pénzáramok esetén, ha a hitelfelvétel a hónap első napján, a törlesztés a hónap utolsó napján történik és a kamatláb 24 %. (A táblázat adatai ezer forintban.)
Megnevezés VII. IX. XI. XII.
Felvett hitel 500 150 80
Hiteltörlesztés 50 200
15/ Mennyi kamatot írtak jóvá és mennyi pénz volt azon a folyószámlán a zárás időpontjában, amelyen az alábbi pénzmozgások történtek?
2001. január 1. Nyitó összeg: 10000 Ft február 10. Kivét 5000 Ft március 20. Betét 20000 Ft március 30. Zárás
A kamatláb 24%, egy hónap 30 nap, a felszámított kezelési költség 2000 Ft.
16/ Mennyiért érdemes megvásárolni azt az értékpapírt, amely 2 év és 5 hónap múlva 100.000 Ft-ot ígér, ha ezen tőkebefektetéssel a piaci kamatlábnak megfelelően 18%-os hozamot szeretnénk elérni?
17/ Mennyit ér 100.000 Ft öt év múlva, ha a kamatláb 10%?
18/ A helyi pénzintézethez leszámítolás céljából benyújtott egy 4.500.000Ft névértékű váltót.
A kamatnapok száma 83 nap, a leszámítolási kamatláb 27%. Mennyi pénzt kapott kézhez?
19/ Megvásároltunk 100.000 Ft-ért egy követelést, ami négy év múlva 150.000 Ft-ot ígér. Jól döntöttünk-e, ha a piaci kamatláb évi 8%?
20/ Egy gazdasági társaság leszámítoltatja a birtokában lévő 126 nap múlva esedékes 6 millió Ft-ról szóló váltót. A leszámítolást végző bank úgy állapítja meg a diszkont kamatlábat, hogy a váltókövetelés érvényesítésekor ugyanakkora kamatbevételhez jusson, mint ha 126 napra adott volna rövid lejáratú kölcsönt. Ezen túlmenően a leszámítoláskor levonja a váltó névértékének 1,5%-át is kezelési költség címén. A bank a rövid lejáratú hitelt 22,5%-os kamattal nyújtja. Mennyi pénzt kap kézhez a váltótulajdonos? (A pénzügyi év 360 nap)
C) Minősítse az alábbi állításokat
Az alábbi állítások közül melyik igaz(I) és melyik hamis(H) ? Karikázza be a döntésének megfelelő betűt!
1. Egyenértékű kamatozás esetén a diszkontláb mindig kisebb a vele egyenértékű kamatlábnál
I H
2. Minél rövidebb a hátralévő idő, adott kamatláb mellett a jövőbeli pénzáram jelenértéke annál nagyobb
I H
3. Ha a kamatláb 25 %, akkor a diszkontláb 20 %.
I H
4. A diszkontláb = Diszkont: Jövőbeli tőkeérték
I H
5. A kamat a befektetetett pénz és a kapott pénz különbsége
I H
6. Az induló tőkeérték = Kamat : Kamatláb
I H
7. A kamatláb szokásos érvényességi időtartama az adós és hitelező megállapodásától függ.
I H
8. Ha a havi kamatláb 2%, akkor az éves tényleges kamatláb 24 %.
I H
9. Diszkontáláskor a különböző, jövőbeni időpontokban aktuális, egymással össze- mérhető pénzek árfolyamáról van szó.
I H
10. A diszkonttényező csak egyszerű kamatozás esetén használható
I H
11. Egyenértékű kamatozás esetén a diszkontláb és a kamatláb egyenlő egymással
I H
12. Egyenértékű kamatozásról akkor beszélhetünk, ha „T” hosszúságú periódusra vonatkozó kamatozásról van szó, és az „r” kamatláb és „d” diszkontláb egyenértékű.
I H
13. Jelenérték számításról akkor beszélünk, ha a jövőbeli tőkeérték és jelbeli tőkeérték ismeretében a diszkontlábat akarjuk meghatározni.
I H
14. Állandó éves névleges kamatláb „i” esetében az éves tényleges kamatláb „i” mértéke a konverziós periódusok számának függvénye.
I H
15. Folytonos kamatozásról akkor beszélünk, ha naponta történik a tőkésítés.
I H
16. Az árfolyam számítási feladatok esetében a jövőbeli érték és a kamatláb ismeretében keressük a tőke jelenbeli értékét.
I H
17. A hozamszámítási feladatok esetében a piaci kamatlábat határozzuk meg.
I H
17. A kamatos kamatszámítás alapösszefüggése alkalmas arra, hogy a kamatozási időtartamot meghatározzuk.
I H
18. Kamatos kamatszámítás esetén a diszkonttényező a kamatos kamat reciproka.
I H
19. A váltó leszámítolása esetén a különböző időpontbeli pénzek cseréjéről van szó.
I H
2.1.2.1. Gyakorló feladatok megoldásai
B / Gyakorló feladatsor:
1. FV2= 62.720 t = 2 (félév) r = 0,24/2=0,12
C0 = ? FVt
FVt = C0 x (1+r)t C0= ---
(1+r)t 62.720 62.720
C0 = --- = --- = 50.000 Ft-ot kell befektetni (1+0,12)2 1,2544
2. C0 = 100.000 FV2 = 130.000 n = 2 (év) r = ?
FVn
FVn= Co x (1+r) n √ --- – 1 = r Co
130.000 --- = (1+r) 2
100.000 √1,3 – 1 = r
0,1401754 = r kb. 14% az éves hozam Ell. 100.000 × (1+0,14) 2 = 129.960 130.000 3. Értékpapír tőkeértéke lejáratkor (FV)
t = 2 (félév)
r= 0,10/2 = 0.05 (féléves) C0 = 40.000
FVt = C0 x (1+r) t
FV2 = 40.000 x (1+0,05) 2 = 40.000 × 1,1025 = 44.100 Értékpapir jelenbeli értéke (PV)
FV2 PV = --- (1+r) n
ahol FV = 44.100 r = 0,12 (éves) n = 1 (éves) 44.100
PV = --- = 39.375 (1+0,12)
Lánc ára 44.000 Ft Értékpapír elméleti áránál 39.375 Ft Rosszul döntött, jobb lett volna a lánc eladása.
4. r = 0,12/360 = 0,0003333 t = 10 (nap)
PV = 2.400 Ft
FV10 = ?
FVt = PV × (1+r) t = 2.400 x (1+0,0003333)10 = 2.400 x 1,0033383 = =2408,012 2.408 Ft.
2.408 2.500 Ft , ezért ne fogadja el az ajánlatot.
5. C0 = 100 eFt
T = 3 (hó) = 1 (negyedév) r = 0,24/4 = 0,06 (negyedéves)
FV1 = C0 × (1+r) = 100 eFt × (1+0,06) = 106 eFt 6. FV = 50.000 Ft
T = 50 nap
d = 0,36/360 = 0,001 (napi)
50 napnak megfelelő diszkontláb 0,001 × 50 = 0,05
PV = FV × (1-d) = 50.000 x (1-0,05) = 50.000 × 0,95 = 47.500 Ft 7. FV = 200.000 Ft
T = 40 nap r = 0,24 PV = ?
R 0,24
d = --- = --- = 0,1935483 1+r 1+0,24
0,1935483
40 napra eső diszkontráta: 40 × --- = 0,0215053 360
PV = FV × (1-d) = 200.000 × (1- 0,0215053 ) = 200.000 × 0,9784946 = = 195.698,92 195.699 Ft
r 8. d = --- 1+r
0,25
ha r = 0,25, akkor d = --- = 0,2 20 % 1+0,25
0,12
ha r= 0,12, akkor d = --- = 0,1071428 0,107 10,7 % 1+0,12
9. FV4 = 1.331 eFt PV = 1.000 eFt 1
--- = ? ehhez először határozzuk meg az „r”-t (1+r) 2
FVn
FVn= PV × (1+r) n n√ --- - 1 = r PV
(1.331)
4√ --- – 1 = 0,741 1000
1
--- a kétéves diszkonttényező, melynek értéke 0,3299153 0,33 (1+0,741)2
10. C0 = ? = PV
R = 0,24/2 = 0,12 (féléves) t = 2,5 év = 5 félév FV = 80.000 Ft 1 PV = FV × --- (1+r)t 1
PV = 80.000 × --- = 80.000 × 0,5674268 = 45.394 (1+0,12)5
11. C0 = PV = 200.000 FV = 280. 000 N = 2 (év) r = ? (éves)
FV
FV = C0 × (1+r)n n√ --- - 1 = r C0
√ 280.000/200.000 - 1 = √1,4 - 1 = 1,183216 - 1 = = 0,183216 0,18 = r 18 % éves hozam
12. FV = 100.000 C0 = PV = ?
r = 0,24/4 = 0,06 (negyedéves) t = 4 ( negyedév)
1 PV = FV × --- (1+r)t 1
PV= 100.000 × --- = 100.000 × 0,7920936 = 79.209 (1+0,06)4
Ell.:
FV = C0 x (1+r)t
79.209 × (1+0,06) 4 = 100.000 Ft 13. FV = 200.000 Ft
T = 10 nap R = 0,2
