Nyomott rudak

3.3.1 Síkbeli kihajlás

A nyomott rudak kihajlás-számításának fejlıdése jól mutatja, hogyan finomodott a modell a gyártási szempontok figyelembe vételével.

3.1 ábra. A szelvények osztályba sorolása az EC3 szerint: a) Képlékeny csukló a hajlított kéttámaszú tartóban; b) a hajlító nyomaték az elfordulási szög függvényében, a képlékeny

csuklónál lévı szelvény határállapotai a helyi horpadástól függıen

Az elsı fázisban Euler (1778) egyenes rúdra oldotta meg a differenciálegyenletet és meghatározta a kritikus erıt: ^{FE =π2EIx/}

( )

^{KL 2} vagy a feszültséget

σE =π²E/λ² ; λ = KL r/ (3.1)

ahol r= I_x/ A az inercia-sugár, K a kihajlási hossz-tényezı, A a keresztmetszet-terület, E a rugalmassági modulus, L a rúdhossz, Ix a másodrendő nyomaték. A 3.2 ábra mutatja, hogy az Euler-hiperbola csak a rugalmas szakaszon érvényes, ha σ σ≤ 0 ahol σ0 a rugalmas határ.

Késıbb több szerzı leírta a képlékeny kihajlást.

A második fázisban Ayrton és Perry (1886) figyelembe vette a kezdeti rúdgörbeséget, mivel ezt a gyártás során nem lehet teljesen kiküszöbölni. Célszerő tárgyalni ezt a modellt, mert ez az alapja az EC3 kihajlási képletének.

A csuklós végő,

a=a0sin(πz L/ ) (3.2)

kezdeti sinus-alakú görbeségő nyomott rúd (3.3 ábra) differenciálegyenlete

d y

dz

M EI

N a y

x EIx

2

2 = − = − ( + )

(3.3)

3.2 ábra. Az Euler-hiperbola és érvényessége: rugalmas és képlékeny kihajlás N a nyomóerı. A megoldást

y= y0sin(πz L/ ) (3.4) alakban keresve

y a

F_E N

0

0

= 1

−

/

(3.5)

adódik. A kihajlás képletét a külpontos nyomásra vonatkozó alábbi feszültségi feltételbıl

lehet levezetni: N

A

N a y

W f

x

+ ( ₀ + ₀) ≤ y

(3.6)

A harmadik fázisban a hegesztésbıl visszamaradó feszültségek hatását vették figyelembe. Az európai kihajlási görbéket különbözı hegesztett szelvényekre nagy kísérlet-sorozatok statisztikai értékelése alapján állapították meg (Beer és Schulz 1970).

A kísérletek azt mutatták, hogy a maradó (gyártási) feszültségek jelentısen befolyásolják a kihajlási szilárdságot, fıleg a hegesztett szelvényő rudak y-tengely körüli kihajlása esetén, mert ezek öveinek szélén nyomófeszültségek maradnak vissza.

Az EC3 a Maquoi és Rondal (1978) által javasolt képletet alkalmazza. Ez a (3.6)-ból vezethetı le, bevezetve egy paramétert, amely figyelembe veszi a kezdeti görbeség és a maradó feszültségek hatását.

3.3 ábra. Az Ayrton-Perry modell kezdetben görbült rúdra és a rúd másodrendő rugalmas alakváltozása

Bevezetjük az alábbi jelöléseket:

σ = N A/ ;σ_E = F_E / A;η_b =a A W₀ / _x A (3.6) az alábbi alakban irható:

(

fy −σ

) (

σE −σ

)

=ηbσσE (3.7)

Ezt az egyenletet az alábbi összefüggések bevezetésével alakítjuk át:

^{σ/ fy =χ σ; E / fy =π2E/}

( )

^{fyλ2 =1/λ2}

(3.8)

λ λ λ λ= / _E; _E =π E/ f _y Ezzel a

(

¹−

)

 ¹2 − 2

 

 = χ λ χ χη

λ

b (3.9)

egyenletet kapjuk, amely másodfokú egyenletre vezet

χ η

λ λ χ λ

2

2 2 2

1 1 1

− + + 0

 

 + =

b

(3.10) Ennek megoldása

χ φ φ λ

λ φ φ λ

= − −

= + −

2 2

2 2 2

1

(3.11) ahol

^{φ =0 5 1.}

(

^{+ηb +λ2}

)

és ^{ηb =α λ}

(

^{−0 2.}

)

λ ≤0 2. esetre χ =1.

α a kezdeti alakpontatlansági tényezı, ennek értékeit a különbözı kihajlási görbékre a 3.1 táblázat adja meg.

3.1 táblázat. Alakpontatlansági tényezık

Kihajlási görbe a b c D

Alakpontatlansági tényezı

0.21 0.34 0.49 0.76

Az EC3 szerint a kihajlási görbék az alábbi szelvényekre érvényesek:

a - melegen alakított üreges szelvények,

b – hidegen alakított üreges szelvények, hegesztett szekrényszelvények, hegesztett I-szelvények x-tengely körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság kisebb mint 40 mm,

c – hegesztett I-szelvények y-tengely (a gerinclemezzel párhuzamos tengely) körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság kisebb mint 40 mm, hegesztett I-szelvények x-tengely körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság nagyobb mint 40 mm, továbbá U-,L és T- valamint tömör szelvényekre,

d – hegesztett I-szelvények y-tengely körüli kihajlására, ha az övlemez-vastagság nagyobb mint 40 mm.

A nyomott rudak ellenırzési képlete N ≤ χAf_y^/γ _M1

(3.12)

ahol γ M 1 =11. a kihajlásra vonatkozó biztonsági tényezı.

Az EC3 képlet túl összetett a kézi optimáláshoz, ezért e célból más, egyszerőbb képleteket célszerő használni. A 3.4 ábra más kihajlási görbéket mutat az EC3 “b” jelő görbéjéhez

hasonlítva. Látható, hogy a Japán Közúti Hidszabályzat (JRA) görbéje az EC3 görbéhez közeli értékeket ad. Ennek képletei

χ =1 ha λ ≤0 2. χ =1109. −0 545. λ ha 0 2. ≤ ≤λ 1

(3.13)

^{χ =1 0 773/}

(

^{. +λ2}

)

ha λ ≥1

Az American Petroleum Institute (API) kihajlási görbéjének képletei χ = −1 0 25. λ² ha 0≤ ≤λ 141^.

(3.14)

χ =1/λ² ha λ ≥141.

Az Amerikai Acélszerkezeti Intézet (American Institute of Steel Construction AISC) fıként körcsövekre használt görbéjének képletei

χ = −1 0 091. λ−0 22. λ² ha λ ≤141. (3.15a)

χ =0 015. +0 834. /λ² ha λ ≥141. (3.15b)

3.4 ábra. Kihajlási görbék a) EC3; b) JRA; c)API; d) AISC szerint

A negyedik fázisban a Liège-i Egyetemen vékonyfalú derékszögő négyszögő üreges szelvényekkel végeztek kísérleteket a kihajlás és lemezhorpadás kölcsönhatásának tanulmányozására. Ha a szelvény legjobban igénybevett lemezrésze behorpad, a kihajlási szilárdság csökken. Braham et al (1980) erre az esetre csökkentı tényezıt javasolt, amelyet az EC3 is tartalmaz. A .(3.12) az alábbiak szerint módosul:

N ≤β χ_A Af_y ^/γ _M1 és λ λ β= _A /λ_E (3.16)

ahol βA =1 az 1, 2 és 3 osztályú szelvényekre, βA = Aeff / A a 4. osztályú szelvényekre. Az együttdolgozó szelvény-terület a nyomott lemezelemek együttdolgozó szélességeivel számítható a 3.6 pont szerint.

Az alumínium-ötvözető nyomott rudak kihajlás-számítására a BS 8118 (1991) angol szabvány használható, amely az EC3 –al azonos képleteket ad meg. A kezdeti alakpontatlansági tényezık az alábbiak: nem hegesztett szimmetrikus szelvényekre α =0.2 , a hegesztettekre 0.45.

Összefoglalva megállapítható, hogy a nyomott rudak kihajlás-számítása az Euler-féle differenciálegyenlettıl indulva az EC3 módszeréhez vezetett, amely figyelembe veszi a kezdeti alakpontatlanságot, a maradó feszültségeket és a két instabilitási jelenség kölcsönhatását.

Megjegyezzük, hogy a két instabilitási jelenség kölcsönhatása fontos szerepet játszik az optimális méretezésben is.

3.5 ábra. A kihajlási hossz-tényezı (K) értékei

A K kihajlási hossz-tényezı a rúdvégek megfogási módjának hatását fejezi ki. Néhány egyszerő esetre értékeit a 3.5 ábra adja meg. Ezektıl eltérı értékek használatosak a rácsos tartók és keretek rúdjainál.

Ha a rúd váltakozó húzó-nyomó erıvel van terhelve, kapcsolatait fáradásra kell méretezni.

3.3.2 Elcsavarodó kihajlás

Hajlításra, nyomásra és csavarásra terhelt rúd differenciál-egyenlet-rendszerét (3.6 ábra) Vol’mir (1967) vezette le. Kettısen szimmetrikus szelvényekre (jelölések a 2. fejezet szerint) EI v_x ' ' ' '+Nv' '−M_yϕ' '= p_y

EI u_y ' ' ' '+Nu' '−M_xϕ' '= p_x (3.17)

EI NI

A^p GI_t M v_y M u_x M_t

ωϕ^{' ' ' '}+ − ϕ^{' ' ' ' ' ' '}

 

 − − =

A (‘) jelölés a z-szerinti deriválást jelenti.

Központosan nyomott rúd elcsavarodására az alábbi egyenlet adódik

ϕ ϕ

ω

' ' ' '+  − ' '

 

 =

1 0

EI NI

A^p GI_t (3.18)

Mivel Bω =EIωϕ'' , a (3.18) alakja B_ω' '+α²B_ω =0 α

ω

2 1

=  −

 

 EI

NI

A^p GI_t

(3.19)

Villás rúdvégekre vonatkozó kerületi feltételek: z=0, z=L, B_ω =0 a megoldás B_ω =Csinαz. Mivel C≠0 , a sinαz=0^-ból α^L=^mπ adódik. A legkisebb érték az m = 1-hez tartozik, tehát

p t p

cr I

GI I

L EI +

= ₂

2 ω π ω

σ

(3.20)

3.6. ábra. Az elcsavarodó kihajlás számításához 3.4 Hajlított tartók kifordulása

Kifordulási instabilitás léphet fel, ha a kis csavarási merevségő nyitott szelvényő tartókat hajlításra terheljük az elcsavarodás elleni megtámasztások nélkül. A 3.7 ábra villás támaszú, végein hajlító nyomatékokkal terhelt I-tartó esetére mutatja, hogy a másodrendő csavaró nyomaték-komponensbıl származó járulékos csavarás hatására a felsı nyomott övlemez a vízszintes síkban kihajolhat.

3.7 ábra. Villás támaszú kéttámaszú I-tartó kifordulása

A z távolságra lévı keresztmetszet M_b = Mcosα hajlító nyomatékkal és M_t = Msinα csavaró nyomatékkal van terhelve. Mivel az alakváltozások kicsik, közelítıleg

M_x = M_bcosϕ ≈ M (3.21a) M_y = M_bsinϕ ≈ Mϕ

(3.21b)

Az y tengely körüli hajlítás differenciálegyenlete

u M

EI_y ' '= ϕ (3.22)

A csavarás differenciálegyenlete (l.a 2. fejezetet) GI_tϕ^{' '}−EI_xϕ^{' ' ' '}= M_t^'= −Mu^{' '}

(3.23)

A (3.22)-t a (3.23)-ba helyettesítve

ϕ^{' ' ' '}−2αϕ βϕ^{' '}− =0 α β

ω ω

= GI = EI

M E I I

t

2 y

2

; 2

(3.24)

A kerületi feltételek: z=0 és z=L helyen ϕ ϕ= ' '=0 A kerületi feltételek kielégítı . megoldás

ϕ =Csinmz (3.25)

A (3.25)-t a (3.24)-be helyettesítve m= − +α α² +β

(3.26)

Mivel C≠0 a z=L , ϕ =0 feltételbıl sinmL =0. Az m legkisebb értéke π ^{, tehát m}=π^{/ . L} Ide a (3.26)-t helyettesítve megkapjuk a kritikus kifordulási hajlító nyomatékot

M

Az EC3 kettısen szimmetrikus szelvényő, illas támaszú tartó, zérus rúdvég-nyomatékok és a nyírási középpontban mőködı merıleges terhelésekre az alábbi képleteket adja meg:

M C EI

a támaszköz közepén mőködı koncentrált erı esetén C₁ = 1.365, egyenletesen megoszló teher esetén C₁ = 1.132.

Az EC3 szerint a kifordulásra való ellenırzés a kihajlási ellenırzéshez hasonlóan történik:

M ≤ M_b = χ β_{LT w}W_{pl y}. f_y/γ _M1

Wel.y ill. Wpl.y a z-tengely körüli hajlításra vonatkozó rugalmas ill. képlékeny keresztmetszeti tényezı, W_eff.y az együttdolgozó keresztmetszetre vonatkozó tényezı, amelyet az együttdolgozó lemezszélességekkel számolunk.

In document Tartószerkezetek biztonsága, tőzvédelmi felületkezelési módszerek (Pldal 41-50)