2 Költségszámítások
3.5 Hajlított és nyomott rudak
A hajlításra és nyomásra igénybevett rudak tervezésénél a másodrendő rugalmas alakváltozás hatását is figyelembe kell venni. Ez függ a hajlító nyomatéki ábrától és a szelvény osztályától.
A tervezési szabványok közelítı képleteket adnak meg a pontos megoldás (lásd pl. Chen és Atsuta 1977, Trahair 1993) helyett.
Itt csak az EC3 3. osztályú szelvényekre vonatkozó képleteit adjuk meg, továbbá a Duan-Chen képleteket (Duan and Duan-Chen 1989, Duan 1990) amelyeket körcsıszelvényekre javasoltak. Ezek a másodrendő hatást a hajlító nyomaték növelı tényezıvel való szorzásával veszik figyelembe. Az EC3 képletei az üreges szelvényő rudakra, amelyeknél kifordulás nem lép fel, az alábbiak:
ahol
fy1 = fy/γ M1;γ M1 =11. ,
3.8 ábra. A rúdvég-nyomatékok határesetei hajlított és nyomott rúdnál a hajlító nyomatékok szorzói az x ill. y tengelyre vonatkozóan
1.9 0.79552
p p
e λ λ
ψ = − de kx ≤15.
k N
y Af
y
y y
= −1 µ
χ de ky ≤15. µx =λx(2βMx −4 de ) µx ≤0 90. µy =λy(2βMy −4 de ) µy ≤0 90.
a βMx y, tényezık veszik figyelembe a hajlító nyomaték változását a rúd mentén. Ha a rúd egyik végén M1 maximális nyomaték mőködik, a másik végen pedig ψM1, és a két vég között a nyomaték lineárisan változik, (− ≤ ≤1 ψ 1)
βM =1.8−0.7ψ (3.31)
A 3.8 ábra mutatja a két szélsı esetet.
Kéttámaszú tartó közepén mőködı koncentrált erı esetén βM =14. , kéttámaszú tartóra ható egyenletesen megoszló terhelésre βM =1 3. . Az EC3 más esetekre is ad meg tényezıket.
Nyitott szelvényő, kifordulásra hajlamos rudakra az EC3 képletei az alábbiak:
N Af
k M
W f
k M
W f
y y
LT x
LT el x y
y y
el y y
χ 1 χ 1 1
+ + ≤1
. .
(3.32)
ahol
Körcsı-szelvényő rudakra Sohal, Duan és Chen (1989) interakciós képletet javasoltak:
N és a képlékeny hajlító nyomaték
Mp = f D ty 2 = f Dy 3/δC
ahol FE a (3.1) szerinti. B1 nem lehet kisebb egynél. A (3.33)-t külsı hidrosztatikus nyomás esetére is általánosították tengeri olajfúró állomások szerkezeteire vonatkozóan.
3.6 Lemezhorpadás
3.6.1 Klasszikus eredmények
Amint azt a 3.3 pontban kifejtettük, a kezdeti alakpontatlanság és maradó hegesztési feszültségek hatását minden instabilitási jelenségnél figyelembe kell vennünk. Tehát a klasszikus lemezhorpadási eredményeket (Timoshenko and Gere 1961) is módosítani kell.
Vizsgáljunk egy rugalmas, izotróp, derékszögő négyszög alaprajzú lemezt, kezdeti alakpontatlanság és maradó feszültségek nélkül, melyet a síkjában az Nx, Ny és Nxy fajlagos erık terhelnek (3.9 ábra). A z irányú w elmozdulásokra vonatkozó differenciálegyenlet
∂
ahol a lemez hajlítási merevsége B=
(
Et−)
3
12 1 ν2
(3.37) t a lemezvastagság.
Ha Nxy = Ny = 0 , Nx = −σt és a lemezkerület csuklósan van megtámasztva (3.9 ábra), a (3.36) megoldását
w w m x a
n y
m b
mn n
=
∑ ∑
sin π sin π , m = 1,2,3…, n =1,2,3…(3.38)
alakban keressük. A (3.38)-t a (3.36)-ba helyettesítve adódik a lemezhorpadás alapképlete σcr =kσ
(
π−Eν)
bt2 2
2
12 1 (3.39)
kσ a lemezhorpadási tényezı, amely az alábbi paraméterektıl függ:
2
2
+
= m n m
k α
σ α
3.9..ábra. Csuklós kerülető, egyirányban egyenletesen nyomott lemez - m és n a horpadás alak félhullámszámai x ill. y irányban;
- α =a b/ a lemezalaprajz méreteinek viszonyszáma;
- a lemez síkjában mőködı terhelések: nyomás, hajlítás, nyírás;
- kerületi támaszok: csuklós, befogott, szabad vagy rugalmas támasz;
- a lemezalaprajz alakja: derékszögő négyszög, kör, trapéz, stb.
A 3.10 ábra a lemezhorpadási tényezıt adja meg a 3.9 ábrán vázolt lemezre és n = 1 esetre. A diagramot a tervezés szempontjából egyszerősítve
kσ =4 ha α ≥1 (3.40a)
kσ
α α
= +
1 2
ha α ≤1 (3.40b)
Hajlításra kσ =23 9. .
3.10 ábra. A horpadási tényezı értékei az α =a b/ függvényében a 3.9 ábrán látható esetben
3.11 ábra. Kétirányban nyomott csuklós kerülető lemez
3.12 ábra. Hosszirányban nyomott, három oldalon csuklós, egy oldalon szabad lemezsáv Csuklós kerülető lemez nyírására
τcr =kτ
(
π−Eν)
bt2 2
2
12 1
ahol
kτ =5 34. +4/α2 ha α ≥1 (3.41a)
kτ = +4 5 34. /α2 ha α ≤1 (3.41b)
Csuklós kerülető négyszöglemezre, ha az kétirányban van nyomva (3.11 ábra) (Vol’mir 1967)
Kinyúló lemezrészre, amelynek három oldala csuklós, negyedik szabad (3.12 ábra) (Vol’mir 1967) kσ =0.43.
3.6.2 Nyomott lemezek horpadás utáni (posztkritikus) viselkedése
Vizsgáljuk a 3.12 ábrán vázolt csuklós kerülető lemezt. Ha σmax ≥σcr (3.39), a lemez egy része behorpad, de a többi rész további terhelést tud felvenni, így a feszültségeloszlás nem lesz egyenletes. A lemez kritikuson túli viselkedése a be együttdolgozó lemezszélességgel írható le:
(3.45) a Kármán-féle képlet és a rugalmas viselkedésre érvényes, vagyis ha 3 6152. E/ϑ2S ≤σ0
(3.46)
σ0 =r f0 y a nyomásra vonatkozó szerkezeti arányossági határ, alapanyagra r0 =0.75-0.80, hegesztett szerkezeti részekre r0 = 0.5-0.6. A (3.46)-t átalakítva
λp ≥λp0 =1 9014. σmax /σ0 (3.47)
Kezdeti alakpontatlanságot és hegesztési maradó feszültségeket tartalmazó lemezekre Faulkner et al.(1973) javasolt empirikus képletet a (3.45) helyett:
ψ
ahol σC a maradó nyomófeszültség. A 3.13 ábrán vázolt maradó feszültség-eloszlás esetén
σ η
η = 3 ill. 4.5 kisebb ill. nagyobb mérvő hegesztés esetén. Ha
5
max 235, 2.1 10
,
3 = fy = E= x
= σ
η MPa, a (3.48) az alábbi alakot ölti
ψe λp λp λp
= − −
−
2 1 6
30 6
2
(3.50)
Faulkner képletei a képlékeny szakaszra túl bonyolultak, ezért Farkas (1977) egyszerő másodfokú parabolát javasolt
ψe = − −1
(
1 ψe0) (
λ λp/ p0)
2 ψλ λ
σ ϑ
e
p p
C S
fy 0
0 0
2
0 0
2 1
= − − ( )
(3.51)
ahol
ϑS0 =1.9041 E/σ0 .
Usami és Fukumoto (1982) egyszerő képletet javasolt
ψe =1.426/λp ψe ≤1
(3.52) Az EC3 képlet
2
7955 . 0 9 . 1
p p
e λ λ
ψ = − (3.53)
Az EC3 más lemezkarcsúságot használ:
k
L T≤ 1
A fenti képleteknek megfelelı lemezhorpadási görbék a 3.14 ábrán láthatók.
3.6.3 Határ-lemezkarcsúságok
Célszerő határ-lemezkarcsúságokat definiálni a tervezés szempontjából, mert ezek betartása esetén nem kell együttdolgozó lemezszélességekkel számolni és a szelvények a 3. osztályba sorolhatók. Az optimális méretezés során a helyi horpadási feltételeket a határ-lemezkarcsúságokkal lehet megfogalmazni. A határérték definíciójához a (3.39)-t használjuk:
3.13 ábra. Csuklós kerülető lemez. a) Feszültségeloszlás a kritikuson túli állapotban; b) a lemezszélekre hegesztett varratok zsugorodásának hatására keletkezı feszültségek
egyszerősített eloszlása
3.14 ábra. Lemezhorpadási görbék a) Kármán; b) EC3; c) Faulkner; d) Usami-Fukumoto szerint
max
Csuklós kerülető egyenletesen nyomott lemez esetén (pl. szekrényszelvényő tartó nyomott övlemeze) kσ =4 0. és
( )
b t/ L =56 84. ε fy/σmax (3.57)Mivel ez az érték nem tartalmazza a kezdeti alakpontatlanság és maradó feszültségek hatását, az EC3 56.84 helyett csökkentett 42-t ad meg..
Három oldalán csuklós, negyediken szabad nyomott lemez esetén (pl. hegesztett I-szelvény nyomott övlemezének félszélessége) kσ =0 456. értékkel számolva
(
b/2t)
L =19 19. ε az EC3-ban 14ε (3.58)Csuklós kerülető, síkjában hajlításra igénybevett lemez esetén (kettısen szimmetrikus hegesztett I-szelvény gerinclemeze) kσ =23 9. értékkel
(
h t/ w)
L =138 94. ε az EC3-ban 124ε (3.59)Az EC3 más esetekre és 1. ill. 2. osztályú szelvényekre is ad értékeket.
Hajlításra és nyomásra igénybevett tartó gerinclemezére (3.15 ábra) ha − ≤1 ψb ≤1 b
3.15. ábra. Hajlításra és nyomásra igénybevett lemez határ-karcsúsága (tension = húzás, compression = nyomás, or = vagy)
Körcsı-szelvényekre: 1. osztályú szelvényekre D t/ ≤50ε2
2. osztályúakra D t/ ≤70ε2 (3.61)
3. osztályúakra D t/ ≤90ε2 IRODALOM
Ayrton,W.E.& Perry,J. 1886.On struts. The Engineer 62, p.464.
Beer,H.& Schulz,G. 1970.Bases théoriques des courbes européennes de flambement. Construction Métallique, No.3.
Braham,M., Grimault,J.P. et al. 1980.Buckling of thin-walled hollow sections. Cases of axially-loaded rectangular sections. Acier-Stahl-Steel 45, 30-36.
Chen,W.F.& Atsuta,T. 1976-77.Theory of beam-columns. Vols 1-2. New York etc. McGraw Hill.
Chen,W.F.& Lui,E.M. 1987.Structural stability. New York etc. Elsevier.
Chen,W.F.& Lui, E.M. 1991.Stability design of steel frames. Boca Raton, Lewis Publ.
Duan,L. 1990 Stability analysis and design of steel structures. PhD Dissertation, Purdue University.
Duan,L.& Chen,W.F. 1989 Design interaction equation for steel beam-columns. J. Struct.Eng ASCE 115, 1225-1243.
Ellinas,C.P.,Supple,W.J.,Walker,A.C. 1984.Buckling of offshore structures. London, Granada.
Euler,L. 1776.Determinatio onerum, quae columnae gestare valent. Acta Acad. Sci. Petrop. 2.
Eurocode 3. Part 1.1. Design of steel structures. General rules and rules for buildings. European Committee for Standardization. Brussels, 1992.
Farkas,J. 1977.The effect of residual welding stresses on the buckling strength of compressed plates. Proc.
Regional Colloquium on Stability of Steel Structures, Budapest.299-306.
Faulkner,D., Adamczak,J.C. et al. 1973 Synthesis of welded grillages to withstand compression and normal loads. Computers and Struct. 3, 221-246.
Handbook of structural stability.1971. Column Research Council of Japan, Tokyo, Corona Publ.
Kollár,L.& Dulácska,E.1984.Buckling of shells for engineers. Budapest, Akadémiai Kiadó.
Maquoi,R.& Rondal,J. 1978. Mise en équation des nouvelles courbes européennes de flambement. Construction Métallique 15. No.1.17-30.
Petersen,Ch. 1980. Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. Braunschweig-Wiesbaden, Vieweg & Sohn.
Rondal,J., Würker,K.-G. et al. 1992. Structural stability of hollow sections. Köln, Verlag TÜV Rheinland.
Sohal,I.S., Duan,L., Chen,W.F. 1989.Design interaction equations for steel members. J. Struct. Eng ASCE 115:50-1665.
Stability of metal structures. A world view. 2nd ed. Ed. Beedle,L.S. 1991. Structural Stability Research Council, Bethlehem, USA.
Timoshenko,S.P.& Gere,J.M. 1961.Theory of elastic stability. 2nd ed. New York, Mc Graw Hill.
Trahair,N.S. 1993.Flexural-torsional buckling of structures. London, etc. E.&FN Spon.
Usami,T.& Fukumoto,Y. 1982.Local and overall buckling of welded box columns. J.Struct.Div. Proc. ASCE 108, 525-541.
Vol'mir,A.S. 1967. Stability of deformable systems (in Russian). Moscow, Nauka.
Waszczyszyn,Z., Cichon,Cz., Radwanska,M. 1994. Stability of structures by finite element methods. Amsterdam, etc. Elsevier.