1) Adott M, kmax, Nmax. Beállítja az idıpillanatot k = 0, Fib = Fg =Fbeforeg =∞. Létrehoz egy véletlenszerő csoportot (csapatot) az M részecskére (csoporttagok), megadva a
véletlenszerő kezdeti pozíciójukat x 0i (megoldásjelölt) csakúgy, mint a véletlenszerő kezdeti sebességüket vi0, minden részecskénél i, i=1,2,…,M. Ezután minden részecskére a pályagörbe számítása történik a következı módon,
2) Adott k idıpillanatban kiszámítja minden egyes részecske i “jóságát” egy konkrét pontban
k
xi azáltal, hogy meghatározza F x( ik) értékét. A minimálás (1) szerint úgy valósul meg, hogy melyik részecskénél kisebb a célfüggvény F x( ik) értéke, hol nagyobb a részecske
„jósága”.
3) Minden i=1,2,…,M:
ha F( xik)≤Fib akkor legyen Fib=F(xik) és pib=xik {a legjobb pont az i pályagörbén}
ha k b ik
i g g
k
i ) F F F )
F(x ≤ akkor legyen = (x ésg = x {legjobb globális pont}
4) Ha Fg<Fbeforeg akkor legyen N=1, egyébként legyen N=N+1.
5) Ha N> Nmax vagy k> kmax akkor STOP és legyen x* = gb; egyébként folytassa.
6) Új sebességek és részecske pozíciók meghatározása k+1-re a szabályok alkalmazásával:
Minden i=1,2,…,M:
vki+1:=vik +c1r1(pib−xik)+c2r2(gb−xik ) (1.17)
xik+1:= xik +vik+1 (1.18)
ahol r1 és r2 egymástól függetlenül generált véletlen számok az [0,1] intervallumon, és c1, c2 megfelelıen választott paraméterek.
7) Legyen k =k+1 ésFbeforeg =Fg ; menjen a 2-es pontba.
A folytonos optimálási módszert alkalmazva adaptív módon, a tervezési változók diszkrét jellegét figyelembe véve kapjuk meg a szerkezet optimális méreteit.
PSO alkalmazásra került számos szerkezetoptimálási feladatnál, mint például kétirányban bordázott merevített lemezek költségoptimálása (Farkas et al. 2007a), merevített héjak optimálása (Farkas et al. 2007b), szélturbina oszlop optimálása (Uys et al. 2007), bordázott héjak optimálása (Farkas et al. 2007c).
Az optimálás animációja látható feltétel nélkül és nemlineáris feltétel esetén az 1.1 és 1.2 ábrákon.
Irodalom
Annamalai,N.(1970) Cost optimization of welded plate girders. Dissertation, Purdue Univ. Indianapolis, Ind.
Box,M.J. (1965) A new method of constrained optimization and a comparison with other methods. Computer Journal, 8 42-52.
Dasgupta,D. (Editor), Artificial Immune Systems and Their Applications, Springer-Verlag, Inc. Berlin, January 1999, ISBN 3-540-64390-7
DeCastro,L. & Timmis,J. (2001) Artificial Immune Systems: A New Computational Intelligence Approach, ISBN 1-85233-594-7
Dorigo,M., Di Caro,G. & Gambardella, L.M. (1999) Ant algorithms for discrete optimization, Artificial Life, 5 No. 3, 137-172.
Fan,Y., Sarkar,S. & Lasdon,L. (1988) Experiments with successive quadratic programming algorithms, J. Optim.
Theory Appl. 56 pp. 359--383.
Farkas,J. & Jármai,K. (1997) Analysis and optimum design of metal structures, Balkema Publishers, Rotterdam, Brookfield, 347 p. ISBN 90 5410 669 7.
Farkas,J. & Jármai,K. (2003) Economic design of metal structures, Millpress Science Publisher, Rotterdam, 340 p. ISBN 90 77017 99 2
Farkas,J.,Jármai,K.(2008) Design and optimization of metal structures, Horwood Publishers, Chichester, UK, 328 p. ISBN: 978-1-904275-29-9
Farkas,J., Simões,M.C. & Jármai,K. (2005) Minimum cost design of a welded stiffened square plate loaded by biaxial compression, Structural and Multidisciplinary Optimization, Springer Verlag, Wien-New York, 29 No. 4, 298-303.
Farkas,J., Jármai,K. & Snyman,J.A. (2007a) Global minimum cost design of a welded square stiffened plate supported at four corners. 7th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization, WCSMO7, May 21-May.25, 2007, COEX, Seoul, Korea, Proceedings on CD, A 0381, pp. 1057-1066.
Farkas,J., Jármai,K. & Kožuh,Z. (2007b) Cost minimization of an orthogonally stiffened welded steel plate subject to static and fatigue load. Welding in the World, 51 2007, Special issue. pp. 357-366.
Farkas,J., Jármai,K. & Orbán,F. (2007c) Cost minimization of a ring-stiffened conical shell loaded by external pressure. 60th Annual Assembly of International Institute of Welding, July 1 – July 8, 2007, Dubrovnik, Croatia, IIW-Doc. XV-1248-07, XV-F-80-07, 9 p.
Farmer,J.D., Packard N. & Perelson A., (1986) The immune system, adaptation and machine learning, Physica D, 2 187-204.
Fiacco,A.V. & McCormick,G,P. (1968) Nonlinear sequential unconstrained minimization technique. John Wiley and Sons, Inc. New York.
Fourie,P.C. & Groenwold,A.A. (2000) Particle swarm in size and shape optimisation, International Workshop on Multidisciplinary Design Optimization, 7-10, Aug. 2000, Pretoria, South Africa, Proceedings 97-106.
Goldberg,D.E. (1989) Genetic algorithms in search, optimization & machine learning, Addison-Wesley Publ.
Company, Inc.
Golomb,S.W. & Baumert,L.D. (1965) Backtrack programming, J. Assoc. Computing Machinery, 12 516-524.
Groenwold,A.A. & Snyman,J.A. (2002) Global optimization using dynamic search trajectories. J Global Optimiz; 24 51-60.
Himmelblau,D.M. (1971) Applied nonlinear programming. Mc Graw-Hill Book Co. New York.
Jármai,K. (1989a) Single- and multicriteria optimization as a tool of decision support system, Computers in Industry, Elsevier Applied Science Publishers, 11 No. 3. 249-266.
Jármai,K. (1989b) Application of decision support system on sandwich beams, verified by experiments, Computers in Industry, Elsevier Applied Science Publishers, 11 No. 3. 267-274.
Jármai,K. (2005) Particle swarm method as a new tool for structural optimization, Journal of Computational and
Applied Mechanics, 6 No. 2. 207-226, Miskolc University Press
Kennedy,J. (1977) The particle swarm: social adaptation of knowledge, Proceedings of the International Conference on Evolutionary Computation, IEEE, Piscataway NJ, 303-308.
Kennedy,J. & Eberhart,R.C. (1995) Particle swarm optimization. Proc. IEEE Int'l Conf. on Neural Networks, IV, 1942-1948. IEEE service center, Piscataway, NJ, 1995. 1942-1948
Koski,J. (1994) Multicriteria structural optimization, Chapter 6 in Advances in design optimization, Ed.
Adeli,H., Chapman and Hall, London,
Millonas,M.M. (1994) Swarms, phase transitions, and collective intelligence. In Langton,C.G. Ed., Artificial Life III. Addison Wesley, Reading, MA.
Mordecai,A. (2003) Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
Osyczka,A. (1984) Multicriterion Optimization in Engineering. Ellis Horwood, Chichester.
Osyczka,A. (1992) Computer aided multicriterion optimization system. International Software Publishers.
Krakow.
Pareto,V. (1896) Cours d’economie politique. Vols. I and II. Lausanne: F. Rouge
Rao,S.S. (1984) Optimisation theory and applications. Wiley Eastern Limited. New Delhi.
Rosenbrock,H.H. (1960) An automatic method for finding the greatest or least value of a function. Computer Journal, 3, 175-184.
Rozvany,G.I.N (1997) Topology Optimization in Structural Mechanics, Springer Verlag, ISBN 3211829075 Siddall,J.N. (1982) Optimal engineering design (Mechanical engineering), Marcell Dekker, 536 p. ISBN-13:
978-0824716332
Simões,L.M.C. & Negrão,J.H.J.O. (2000) Optimization of cable-stayed bridges with box-girder decks, Advances in Engineering Software, 31 No. 6, 417-423.
Snyman,J.A. (1982) A new and dynamic method for unconstrained minimization. Applied Mathematical Modelling; 6 449-462.
Snyman,J.A. (1983) An improved version of the original leap-frog dynamic method for unconstrained minimization LFOP1(b). Applied Mathematical Modelling; 7 216-218.
Snyman,J.A. & Fatti,L.P. (1987) A multi-start global minimization algorithm with dynamic search trajectories. J Optimiz Theory Appl; 54 121-141.
Snyman,J.A. (2000) The LFOPC leap-frog method for constrained optimization. Comp. Math. Applic., 40 1085-1096.
Snyman,J.A. (2005) Practical mathematical optimization, An introduction to basic optimization theory and classical and new gradient based algorithms, Springer Verlag, Heidelberg, 257 p. ISBN-10: 0-387-29824-X Snyman,J.A. & Kok,S. (2007) A strongly interacting dynamic particle swarm optimizational method. Genetic
and Evolutionary Computation Conference, GECCO 2007, Proceedings, London, England, UK, July 7-11, 2007. ACM 2007, ISBN 978-1-59593-697-4: 183
Storn,R. (1995) Contrained optimization, Dr. Dobb’s Journal, May, (1995), 119-123.
Storn,R. & Price,K. (1995) Differential evolution – simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces. Technical Report TR-95-012, ICSI.
Tímár,I., Horváth,P. & Borbély,T. (2003) Optimierung von profilierten Sandwichbalken, Stahlbau, 72 No. 2.
109-113.
Uys,P.E., Farkas,J., Jármai,K. & van Tonder,F.(2007) Optimisation of a wind turbine tower structure, Journal of Engineering Structures, 29 No. 7, July 2007, 1337-1342.
Zhou,J.L. & Tits,A.L. (1996) An SQP Algorithm for Finely Discretized Continuous Minimax Problems and Other Minimax Problems with Many Objective Functions, SIAM J. on Optimization, 6 No. 2, 461-487.