Nemdeterminisztikus automatákban felismerhető nyelvek

Azt mondjuk, hogy az X feletti L nyelvet az A = (A, A₀, X, δ) nemdetermi-nisztikus kimenő jel nélküli iniciális automata az F(⊆ A) halmazzal felismeri vagy előállítja vagyelfogadja, ha

L={p∈X^∗;A₀p∩F 6=∅} (7.7) ahol A₀pa kezdőállapotokA₀ halmazábólpszóval elérhető állapotok halmazát jelöli. Determinisztikus esetben ez a definíció megegyezik a (7.1) definícióval.

Mivel minden X feletti nyelv felismerhető determinisztikus automatával, sőt speciálisan iniciálisan összefüggő automatával is, ezért a nemdeterminiszti-kus automatákkal felismert X feletti nyelvek megyegyeznek a determinisztikus automatákkal felismertX feletti nyelvekkel, azaz azX feletti nyelvekkel. A 6.1.

alfejezetben megállapodtunk abban, hogy egy automata, ha mást nem mon-dunk, akkor teljesen definiált és determinisztikus, s így a nemdeterminisztikus automaták osztályának valódi részosztálya. Ezért azt várnánk, hogy a vé-ges nemdeterminisztikus automatákkal felismerhető nyelvek osztálya bővebb a véges automatákkal felismerhető nyelvek osztályánál. Az alábbiakban megmu-tatjuk, hogy ez nincs így. Ennek ellenére azért foglalkozunk a nemdeterminisz-tikus automatákkal, mert ezek és több analogonjuk későbbi konstrukciókban fontos szerepet játszanak. A bizonyításhoz szükségünk lesz a hatványautomata fogalmára.

Az A = (A, X, δ) automata hatványautomatájának nevezzük a P(A)⁺ = (P(A)⁺, X, δ) automatát, haP(A) az A hatványhalmaza, P(A)⁺ =P(A)− ∅ és minden A⁰ ∈P(A)⁺ ésx∈X esetén

δ(A⁰, x) = {δ(a, x);a∈A⁰}. (7.8) (Az egyszerűség kedvéért a hatványautomata átmenetfüggvényét is δ-val jelöl-tük) Ha az automata parciális, akkor előfordulhat, hogyδ(A⁰, x)A⁰ 6=∅esetben is üres. Ezértparciális automata hatványautomatájának aP(A) = (P(A), X, δ) automatát tekintjük, ahol minden x∈X bemenő jelre

δ(∅, x) = ∅. (7.9)

Sok esetben P(A) egyelemű részhalmazait azonosítjuk az elemükkel. Ha a δ függvény értelmezését (6.3) és (6.4) szerint kiterjesztjük a P(A)×X^∗ szor-zathalmazra, akkor nem nehéz belátni, hogy minden A⁰ ∈ P(A) és p ∈ X^∗ esetén

δ(A⁰, p) ={δ(a, p);a∈A⁰} és A⁰p={ap;a∈A⁰} (7.10)

7.9. Tétel. A véges nemdeterminisztikus automatákban felismerhető nyelvek megegyeznek a véges automatákban felismerhető nyelvekkel.

Bizonyítás Mivel minden véges automata megállapodásunk szerint teljesen definiált és determinisztikus, így definíció szerint nem determinisztikus is. Ezért, ha egy nyelv felismerhető véges automatával, akkor felismerhető véges nemde-terminisztikus automatával is.

Megfordítva, tegyük fel, hogy az X feletti L nyelv felismerhető az A = (A, A0, X, δ) (A0 ⊆ A) véges iniciális nemdeterminisztikus automatában az F(⊆A)halmazzal. Inicializáljuk az P(A)hatványautomatát azA₀ állapottal, azaz legyen P(A) = (P(A), A₀, X, δ). Akkor azP(A)véges automata felismeri L-t a T ={B ∈P(A);B∩F 6=∅} halmazzal. 2 A teljesség kedvéért megjegyezzük, hogy a nemdeterminisztikus automaták-nak egy másik típusát is be szokták vezetni, mégpedig úgy, hogy (6.6) definíci-óbanX helyettX∪elegyen. Ez azt jelenti, hogy az automata egyik állapotból bemenő jel nélkül is átmehet egy másik állapotba. Ezt e átmenetes vagy spon-tán átmenetes nemdeterminisztikus automaspon-tának nevezik. A 7.9 Tétel akkor is igaz, ha a tételben szereplő nemdeterminisztikus automaták e átmenetesek.

(A bizónyítás megtalálható például Ésik Zoltán[14] egyetemijegyzetében.)

7.6. Zártsági tulajdonságok

Megmutatjuk, hogy egy X ábécé feletti véges (kimenő jel nélküli) automaták-ban felismerhető nyelvek halmaza zárt a reguláris és a Boole műveletekre.

Szükségünk lesz a kimenő jel nélküli automaták direkt szozatának fogalmá-ra. Az A= (A, X, δ_A)és azB= (B, X, δ_B)automaták direkt szorzatán értjük azt az A×B = (A×B, X, δ)automatát, amelyre

δ((a, b), x) = (δ_A(a, x), δ_B(b, x)) (a ∈A, b∈B, x∈X). (7.11) Ha az automaták iniciálisak, akkor legyen direkt szorzatuk is iniciális. Még-pedig, ha a0 az A és b0 a B automata kezdőállapota, akkor az A×B direkt szorzat kezdőállapota legyen (a₀, b₀). Nyilvánvalóan a × művelet asszociatív.

A következő tétel azt jelenti, hogy egy véges ábécé feletti véges automa-tákban felismerhető nyelvek halmaza Boole algebra a halmazelméleti egyesítés, metszet és komplementerképzés műveletekre.

7.10. Tétel. AzX véges ábécé feletti véges automatákban felismerhető nyelvek halmaza zárt a Boole műveletekre.

Bizonyítás Legyenek L, K ∈ R(X) (L 6= K) tetszőlegesek. Megmutatjuk, hogy ha L és K felismerhető az A = (A, a₀, X, δ_A) ill. a B = (B, b₀, X, δ_B) véges automatákban az F illetve H halmazokkal, akkor L∪K felismerhető az A×Bdirekt szorzatban M = (F ×B)∪(A×H)halmazzal. (A kezdőállapot természetesen (a₀, b₀).)

Legyen először p ∈ L+K. Akkor p ∈ L vagy p ∈ K. Szimmetria okok miatt elegendő a p∈L esettel foglalkozni. Ekkor a0p∈F,

(a₀, b₀)p= (a₀p, b₀p)∈F ×B.

(l. (6.3) és (6.4).) Ezzel megmutattuk, hogy L∪K ⊆L(A×B, M).

Megfordítva, legyenp∈L(A×B, M). Ekkor (a₀p, b₀p) = (a₀, b₀)p∈M.

Ezért a₀p∈F vagyb₀p∈H, azaz p∈Lvagyp∈K, vagyisp∈L+K, amivel beláttuk az L(A×B, M)⊆L∪K tartalmazást, s ígyL∪K =L(A×B, M).

Tehát a véges automatákban felismerhető X feletti nyelvek halmaza zárt az egyesítés műveletére.

Nem nehéz belátni, hogyL∩Kis felismerhető azA×Bautomatában azF× H halmazzal. Továbbá, haLfelismerhető azA= (A, a0, X, δ)véges iniciálisan összefüggő automatában az állapothalmazF részhalmazával, akkor azLnyelv L=X^∗−L komplementere felismerhető ugyanebben az automatában az F =

A−F halmazzal. 2

A 7.7 Tételből azonnal adódik, hogy az X ábécé feletti véges kimenő jel nélküli automatákban felismerhető nyelvek halmaza zárt a kivonásra. (L−K = L∩K miattL−K is felismerhető a bizonyításban szereplőA×Bautomatában az F ×(B −H)halmazzal.)

A következő tétel bizonyításához definiáljuk az A= (A, X, δ) nemdetermi-nisztikus automata P(A) = (P(A), X, P(Y), δ) hatványautomatáját is. A δ átmenetfüggvényt minden A⁰ ∈P(A)és x∈X esetén a

δ(A⁰, x) = ∪_a∈A⁰δ(a, x) (7.12) összefüggéssel adjuk meg. Sokszor egy nemdeterminisztikus automatát a hat-ványautomatájával adunk meg, amely teljesen definiált és determinisztikus.

Ha A iniciális és kezdőállapotainak halmaza A₀, akkor P(A)-t is iniciálisnak tekintjük, mégpedig A₀ kezdőállapottal. A δ⁰ átmenetfüggvény értelmezését, ha nem mondunk mást, akkor a következő módon terjesztjük ki a P(A)×X^∗ halmaz azon részhalmazára, ahol ez lehetséges: Legyen mindena∈Aállapotra

δ(a, e) = a, (7.13)

ahol e az üres szó. Tetszőleges a∈A, x∈X ésp∈X^∗ esetén pedig

δ(a, px) =δ(a, p)∪b∈apδ(b, x). (7.14) Végül, ha A⁰ ∈P(A) ésp∈X^∗, akkor legyen

δ(A⁰, p) =∪a∈A⁰δ(a, p). (7.15) Nem nehéz belátni, hogy determinisztikus esetben ez a kiterjesztés a szokásos (6.3) és (6.4) kiterjesztéseket adja. Megmutatható, hogy ez a kiterjesztés nem-determinisztikus esetben is ezt jelenti. Ha azAnemdeterminisztikus automata az a ∈ A állapotban van és a p ∈ X^∗ bemenő szót elfogadja, akkor ap az a állapotból a p szóval elérhető állapotok halmaza.

7.11. Tétel. AzX véges ábécé feletti véges automatákban felismerhető nyelvek halmaza zárt a reguláris műveletekre.

Bizonyítás Azt már az előző tételben megmutattuk, hogy az X véges ábé-cé feletti véges automatákban felismerhető nyelvek halmaza zárt az összeadás (egyesítés) műveletére.

Legyenek most L és K olyan X feletti nyelvek, amelyek felismerhetők az A = (A, a0, X, δA) ill. a B = (B, b0, X, δB) véges automatákban az F ill. H halmazokkal. Feltehetjük, hogy L 6= ∅ és K 6= ∅. (Ha L = ∅ vagy K = ∅, akkor LK =∅.) Vegyük fel azB automata P(B) = (P(B), X, δ_B) hatványau-tomatáját (l. (7.8), (7.9) és (7.10)). Definiáljuk a

C= (A×P(B),(a₀,∅), X, δ

véges iniciális automatát úgy, hogy minden a∈A, D ∈P(B) ésx∈X esetén δ((a, D), x) =

(δ_A(a, x), δ_B(D, x)) haδ_A(a, x)∈/ F, (δA(a, x), δB(D, x)∪b0), haδA(a, x)∈F

teljesüljön. Terjesszük ki aδátmenetfüggvény értelmezését az(A×P(B))×X^∗ halmazra (6.3) és (6.4) szerint a szokásos módon, felhasználva azt, hogy minden x∈X bemenő jelre δ_B(∅, x) =∅.

Bármelya∈A állapotra és p∈X^∗ bemenő szóra definiáljuk az RB(p) ={b0r;p=qr, aq∈F}

halmazt. A δ átmenetfüggvény definíciójából következik, hogy (a₀,∅)p= (a₀p, R_B(p)).

Azt állítjuk, hogy aCautomata felismeri az LK nyelvet azA×T_B halmazzal, ahol T_B ={D ∈ P(B);D∩K 6=∅}. Ha ugyanis p∈ LK, akkor p =qr, ahol q ∈L ésr ∈K. EzértR_B(p)6=∅ és

(a₀,∅)p= (a₀p, R_B(p))∈A×T_B.

Kaptuk, hogy LK ⊆L(C, A×T_B). Legyenp∈L(C, A×T_B), azaz (a0p, RB(p)) = (a0,∅)p∈A×TB.

Ha p minden q kezdőszeletére a₀q /∈ F, akkor R_B(p) = ∅, ami T_B definíciója miatt lehetetlen. Ezért vannak olyan q, r ∈ X^∗, hogy p = qr és a₀q ∈ F. Ez azt jelenti, hogy RB(p)∩H 6= ∅. Így vannak olyan q, r ∈ X^∗, hogy p = qr, a₀q∈F és b₀r∈K, vagyisp∈LK. Ami az L(B, A×T_B)⊆LK tartalmazást bizonyítja. Tehát LK = L(B, A ×T_B). Ezzel megmutattuk, hogy a véges automatákban felismerhető X feletti nyelvek halmaza zárt a konkatenáció mű-veletére.

Legyen végül azXfelettiLnyelv olyan, amely felismerhető azA= (A, a₀, X, δ) véges automatában az állapothalmaz F részhalmazával. Feltehetjük, hogy L 6= ∅ és L 6= e. (Ha L = ∅ vagy L = e, akkor L^∗ = e.) Definiáljuk a A˜ = (P(A), a₀, X,˜δ)nemdeterminisztikus automata ˜δátmenetfüggvényét úgy, hogy minden a ∈A állapotra és x∈X bemenő jelre teljesüljön a

δ(a, x) =˜

δ(a, x), haδ(a, x)∈/ F, {δ(a, x), a₀}, haδ(a, x)∈F összefüggés. A (7.12) feltétel alapján adjuk meg az A˜ automata

P(A) = (P(A), X, a₀,δ)˜ hatványautomatáját.

Az egyértelműség kedvéért a bizonyítás során az A˜ automatában az A⁰ ∈ P(A) részhalmaz állapotaiból a p∈X^∗ bemenő szóval elérhető állapotok hal-mazát jelöljük δ⁰(A⁰, p)-vel.

Legyen T = {B ∈ P(A);B ∩F 6= ∅}. Megmutatjuk, hogy az L nyelv L⁺ e-mentes iteráltja felismerhető a P(A) automatában a T halmazzal. Először azt látjuk be a kitevő szerinti teljes indukcióval, hogy L minden pozitiv egész kitevős hatványa részhalmaza az L(P(A), T) halmaznak. Legyen p ∈ L, azaz a₀p∈F. Az(7.13)-(7.15)feltételeket felhasználva kapjuk, hogya₀p∈δ⁰(a₀, p).

(Ha p = e, akkor a₀p = a₀ = δ⁰(a₀, p).) Ezért δ⁰(a₀, p) ∈ T. Ezzel megmu-tattuk, hogy L ⊆ L(P(A), T). Tegyük fel minden 1 ≤ i < n egész számra, hogy Lⁱ ⊆ L(P(A), T), és legyen p∈Lⁿ. Akkor van olyanq ∈L és r ∈Lⁿ⁻¹,

hogy p = qr. Definíció szerint a₀q ∈ F, az indukciós feltevés szerint pedig δ⁰(a₀, r)∈T. Mivel a₀q ∈F, ezért ˜δ függvény definíciója miatt a₀ ∈δ⁰(a₀, q).

Így δ⁰(a₀, r) ⊆ δ⁰(a₀, p), ezért δ⁰(a₀, p) ∈ T. Ami azt jelenti, hogy minden pozitiv egész n-re Lⁿ⊆L(P(A), T), azaz L⁺⊆L(P(A), T).

Legyen most p∈L(P(A), T), vagyis δ⁰(a₀, p)∈T, amiből következik, hogy δ⁰(a₀, p)∩F 6= ∅. Ha p = e, akkor a₀ ∈ F, s ezért p ∈ L. Tegyük fel, hogy p 6= e. A p szónak van olyan q ∈ X⁺ prefixe, amelyre a0q ∈ F. (Ellenkező esetben δ⁰(a₀, p) = a₀p, s így a₀p ∈ F, ami lehetetlen.) Legyen q₁ ∈ X⁺ a p szó legrövidebb prefixe, amelyre a₀q₁ ∈ F. Ha q₁ = p, akkor p ∈ L. Ha p=q1p1 (p1 ∈X⁺), akkor, (7.16)-ot is felhasználva, kapjuk, hogy

δ⁰(a₀, p) =δ⁰({a₀q₁, a₀}, p₁) =δ⁰(a₀q₁, p₁)∪δ⁰(a₀, p₁).

A p₁ szónak van olyan q⁰ ∈ X⁺ prefixe, hogy a₀q₁q⁰ ∈ F vagy a₀q⁰ ∈ F. (Ellenkező esetbenδ⁰(a₀q₁, p₁) =a₀q₁p₁vagyδ⁰(a₀, p₁) =a₀p₁, deδ⁰(a₀, p)∩F 6=

∅ miatt a₀q₁p₁ ∈F vagy a₀p₁ ∈ F, ami lehetetlen.) Legyen q₂ ∈ X⁺ a p₁ szó legrövidebb prefixe, amelyre a₀q₁q₂ ∈ F vagy a₀q₂ ∈ F. Ha q₁q₂ = p, akkor p∈L+L². Hap=q₁q₂p₂ (p₂ ∈X⁺), akkor

δ⁰(a₀, p) = δ⁰(a₀q₁, p₁)∪δ⁰(a₀, p₁) =δ⁰(a₀q₁q₂, p₂)∪δ⁰(a₀q₂, p₂)∪δ⁰(a₀, p₂).

Az eljárást véges sokszor megismételve azt kapjuk, hogy van olyan n pozitív egész szám, hogy p∈L+L²+· · ·+Lⁿ. Ebből következik, hogyL(P(A), T)⊆ L⁺, s ígyL(P(A), T) =L⁺. Mivel a véges automatákban felismerhetőXfeletti nyelvek halmaza zárt az összeadás műveletére és L^∗ =L⁺+e, ezért L^∗ is felis-merhető véges automatában. Ezzel beláttuk azt is, hogy a véges automatákban felismerhető X feletti nyelvek halmaza zárt az iteráció műveletére. 2