Greibach normálforma

A G = (V_N, V_T, S, H) környezetfüggetlen grammatikáról azt mondjuk, hogy Greibach normálformában van megadva, ha minden szabálya

X −→xP (X ∈V_N, x∈V_T, P ∈V_N^∗) alakú.

Ez a normálforma bizonyos analógiát mutat a3típusú grammatikákkal. Lé-nyeges különbség azonban, hogyP egynél több változóból is állhat. Ha ugyanis a Greibach normálforma további finomításával elérhető lenne, hogy a szabályok jobb oldalán mindig legfeljebb egy változó szerepeljen, akkor ez azt jelentené, hogy az L₃ reguláris nyelvosztály megegyezne az L₂ környezetfüggetlen nyelv-osztállyal. Ezt azonban később kimutatjuk, hogy nem igaz. A definíció alapján könnyen belátható, hogy a Greibach normálformájú grammatikában nincs bal-rekurzív változó. Egy Greibach normálformában megadott G grammatikában egy p∈L(G)szó levezetése pontosan |p|lépésből áll.

3.17. Példa. Tekintsük a Greibach normálformában megadott G= ({S, X, Y},{a, b}, S, H)

grammatikát, amelynek a szabályai:

S −→aY X, X −→aY, X −→b, Y −→b.

A 3.14 Lemma szerint az

S =⇒ aY X =⇒abX =⇒ abb, S =⇒ aY X =⇒abX =⇒abaY =⇒ abab

bal oldali levezetések mutatják, hogy L(G) = {abb, abab}. Az abb szó levezetése 3 lépésből, az abab szó levezetése pedig 4 lépésből áll.

3.18. Tétel. Szigorúan e-mentes környezetfüggetlen grammatikához van vele ekvivalens Greibach normálformában megadott grammatika.

Bizonyítás LegyenG= (V_N, V_T, S, H)szigorúane-mentes környezetfüggetlen grammatika. A 3.3 Tétel szerint G megadható Chomsky normálformában.

Vezessünk be a VN halmazon egy tetszőleges≤ rendezést. Legyen X₁ < X₂ <· · ·< X_n (n=|V_N|).

Először olyan átalakításokat végzünk, amellyel elérjük, hogy a szabályok jobb oldala terminálissal vagy a bal oldalon lévő változónál nagyobb változóval kez-dődjön. Induljunk ki azokból a szabályokból, amelyek bal oldala X1. Ha X1

nem közvetlenül balrekurzív, akkor ezek a szabályok megfelelnek a követelmé-nyeknek.

Ha X1 közvetlenül balrekurzív, akkor a végezzük el a szabályokban a 3.16 Lemma szerinti átalakításokat. A bevezetett új változót jelölje X₁⁰, és legyen X₁⁰ < X₁. Így az X₁⁰ és az X₁ bal oldalú szabályok jobb oldala nem kezdődik X2-nél kisebb változóval.

Térjünk át azX₂ bal oldalú szabályokra. AzX₂ −→X₁X_j alakú szabályo-kat cseréljük ki az összes X₂ −→ P X_j alakú szabályra, ahol X₁ −→ P alakú szabályok az előző lépések során kapott X1 bal oldalú szabályok. Ezzel elérjük, hogy a kapott szabályok jobb oldala terminálissal vagy X₂-nél nem kisebb vál-tozóval kezdődik. Ha így azt kapjuk, hogy X₂ közvetlenül balrekurzív, akkor a végezzük el a szabályokban ismét a 3.16 Lemma szerinti átalakításokat. Legyen az új változó X₂⁰. Ha X₁⁰-t definiáltuk, akkor legyen X₂⁰ < X₁⁰, ha pedig nem, akkor legyen X₂⁰ < X₁. Így az X₂⁰ és az X₂ bal oldalú szabályok jobb oldala nem kezdődik X3-nél kisebb változóval.

Legyen 1 ≤ k ≤ n. Tegyük fel, hogy minden X_k-nál kisebb változóra már teljesül, hogy ha egy szabály bal oldala X_k-nál kisebb változó, akkor a szabály jobb oldala terminálissal vagy ennél a változónál nagyobb változóval kezdődik. AzX_k −→X_lX_j (1≤l < k)alakú szabályokat cseréljük ki az összes X_k −→P X_j alakú szabályra, ahol X_l −→P alakú szabályok az előző lépések során kapott Xl bal oldalú szabályok. Ezzel elérjük, hogy a kapott szabályok jobb oldala terminálissal vagy X_k-nál nem kisebb változóval kezdődik.

Ha X_k közvetlenül balrekurzív, akkor a végezzük el a szabályokban ismét a 3.16 Lemma szerinti átalakításokat. Legyen az új változó X_k⁰ és X_k⁰ legyen a legkisebb a változók között. Így az X_k⁰ és az X_k bal oldalú szabályok jobb oldala nem kezdődik X_k+1-nél kisebb változóval.

Ha k < n, akkor ebben az esetben is folytatjuk az eljárást X_k+1-gyel. Ha k =n, akkor ebben az esetben is a kapott szabályok jobb oldala terminálissal kezdődik. Az eljárás k = n esetben befejeződik. Átalakítottuk a grammatika szabályait úgy, hogy a szabályok jobb oldala terminálissal vagy a bal oldalon lévő változónál nagyobb változóval kezdődik.

Ezután visszafelé haladunk. Jelöljük az eljárás során kapott új változók halmazát V-vel. Az Xn−1 baloldalú szabályok Xn−1 −→ xP vagy Xn−1 −→

X_nQalakúak, aholx∈V_T ésP, Q∈(V_N∪V)^∗. AzXn−1 −→X_nQszabályokat cseréljük ki az Xn−1 −→xRQ alakú szabályok összességével, aholxRQ-t egy

X_n −→xR (x∈V_T, R∈(V_N ∪V)^∗) helyettesítéssel kaptuk.

Ha már mindenn−k < l(1≤k ≤n−1) esetén azX_lbal oldalú szabályok X_l −→xP (x∈V_T, R∈(V_N ∪V)^∗)

alakúak, akkor vegyük az Xn−k bal oldalú szabályokat. Ezek Xn−k −→ yP vagy Xn−k −→ X_lQ alakúak, ahol n −k < l, y ∈ V_T és P, Q ∈ (V_N ∪V)^∗. Az Xn−k−→X_lQalakú szabályokat cseréljük ki az Xn−k −→xP Q szabályok összességére.

Legyen az így kapott szabályok halmaza H⁰. A G⁰ = (V_N ∪V, V_T, S, H⁰) grammatika Greibach normálformájú. A 3.16 Lemmát is felhasználva, nem nehéz meggyőződni arról, hogy minden lépésben ekvivalens átalakításokat haj-tottunk végre. Ez azt jelenti, hogy L(G) = L(G⁰). 2 A Greibach normálforma segítségével egy eljárást kapunk a balrekurzió megszüntetésére. A 3.1 Lemma bizonyításában látott módon tetszőleges kör-nyezetfüggetlen grammatikához megszerkeszthetünk egy ekvivalens e-mentes környezetfüggetlen grammatikát. A 3.12 Tétel alapján ez redukálttá tehető.

Ha a kapott grammatika tartalmazza az S−→eszabályt, akkor ezt a szabályt törölve egy szigorúan e-mentes és redukált környezetfüggetlen grammatikát ka-punk. A 3.18 Tétel bizonyításában látott módon ez Greibach normálformára hozható. Az esetleg töröltS −→eszabályt visszaírva az eredeti grammatikával ekvivalens grammatikát kapunk, amely nem tartalmaz balrekurzív változót.

3.19. Példa. Tekintsük a Chomsky normálformában megadott G= ({S, X, Y},{a, b}, S, H)

grammatikát, amelynek a szabályai:

S −→XY, X −→SY, Y −→Y Y, X −→a, Y −→b.

A 3.18 Tétel bizonyításában közölt algoritmussal megadunk egy vele ekvivalens Greibach normálformájú garmmatikát. (Nem nehéz belátni, hogyL(G) =ab⁺.) Vezessük be az S < X < Y rendezést. (A rendezés megadása tetszőle-ges. Más rendezés esetén általában más, de ekvivalens Greibach normálformát kapunk.) Az

S −→XY

szabály S-nél nagyobb változóval kezdődik, ezért áttérhetünk az X −→SY, X −→a

szabályokra. AzX −→SY szabály helyett tekintsük azX −→XY Y szabályt.

Az X változó balrekurzív, ezért elvégezzük a 3.16 Lemma szerinti átalakításo-kat, vagyis az X −→XY Y szabály helyett az

X⁰ −→Y Y X⁰, X⁰ −→Y Y, X−→aX⁰

szabályokat tekintjük, ahol X⁰ egy új változó. Tegyük fel, hogyX⁰ < S. Most áttérhetünk az

Y −→Y Y, Y −→b

szabályokra. Az Y változó is balrekurzív, így a 3.16 Lemma alapján a Y −→

Y Y szabály helyett tekintsük az

Y⁰ −→Y Y⁰, Y⁰ −→Y, Y −→bY⁰ szabályokat, ahol Y⁰ ismét egy új változó. Legyen Y⁰ < X⁰.

Az eljárás eddigi alkalmazásával a következő szabályokhoz jutottunk a vál-tozók megadott rendezésével fordított sorrendben:

Y −→bY⁰, Y −→b, X −→aX⁰, X −→a,

S −→XY,

X⁰ −→Y Y X⁰, X⁰ −→Y Y, Y⁰ −→Y Y⁰, Y⁰ −→Y.

Az eljárás szerint az Y és az X baloldalú szabályok megfelelnek a követel-ményeknek. Az S −→XY szabály helyett tekintsük az

S −→aX⁰Y, S −→aY

szabályokat. (Végezzük el a szabály jobb oldalán az első változóban az X bal oldalú szabályokkal a helyettesítést.) Ha azX⁰ ésY⁰ bal oldalú szabályok jobb oldalán is elvégezzük az első változóban a lehetséges helyettesítéseket, akkor a G-vel ekvivalens G⁰ = ({S, X, Y, X⁰, Y⁰},{a, b}, S, H⁰) Greibach normálformá-ban megadott grammatikához jutunk, amelynek H⁰-beli szabályai:

Y −→bY⁰, Y −→b, X −→aX⁰, X −→a, S −→aX⁰Y, S −→aY,

X⁰ −→bY⁰Y X⁰, X⁰ −→bY⁰Y, X⁰ −→bY X⁰, X⁰ −→bY, Y⁰ −→bY⁰Y⁰, Y⁰ −→bY⁰, Y⁰ −→b.