Definit nyelvek

Azt mondjuk, hogy az X ábécé feletti L nyelv k definit, ha bármely legalább k hosszúságú p∈X^∗ szó akkor és csak akkor eleme L-nek, ha a k hosszúságú szuffixe is eleme L-nek. Egy L⊆X^∗ nyelvet definitnek nevezünk, ha k definit valamilyen k nemnegatív egész számra. Ha k > 0, akkor L-et k-adfokban definitnek nevezzük, ha k definit, de nem (k−1) definit. Ezt a k számot az L nyelv definitségi fokának nevezzük és rá a df(L) jelölést használjuk. Csak két X feletti 0-adfokban definit nyelv van, mégpedig ∅ és X^∗. A definícióból adódik, hogy egy nyelv legfeljebb egy k∈N számra k-adfokban definit.

Mivel a véges nyelvek mindig tekinthetők véges ábécé felett, ezért minden L véges nyelv definit nyelv. Ha L6=∅, akkor

df(L) = 1 + max{|p|;p∈L}. (12.7) (Arról már beszéltünk, hogy df(∅) = 0.) Könnyen belátható a

12.11. Lemma. Egy L⊆X^∗ nyelv akkor és csak akkor k definit, ha bármely olyan p, q ∈ X^∗ szóra, amelyeknek megegyezik a k hosszúságú szuffixe, p ∈ L akkor és csak akkor, ha q∈L.

12.12. Következmény. Ha L ⊆X^∗ k definit, akkor minden k-nál nagyobb l pozitív egész számra l definit is.

12.13. Tétel. Minden X véges ábécé feletti L definit nyelv előállítható

L=L1+X^∗L2 (12.8)

alakban, ahol L1 és L2 véges nyelvek és

max{|p|;p∈L₁+L₂} ≤df(L). (12.9) Megfordítva, minden (12.8) alakú nyelv definit és

df(L)≤1 + max{|p|;p∈L₁+L₂}. (12.10) Bizonyítás Legyen az L ⊆ X^∗ nyelv k-adfokban definit. Ha k = 0, akkor L = ∅ vagy L = X^∗. Mindkét esetben L (12.8) alakú, mégpedig az első esetben L=∅+X^∗∅, a második esetben pedigL=∅+X^∗e. Mindkét esetben (12.9) is igaz.

Legyen ezutánk >0. HaLvéges, akkorL=L+X^∗∅és (12.7) miatt (12.9) is igaz.

Tegyük fel, hogy L végtelen és legyenek

L₁ ={p∈L;|p|< k}, L₂ ={p∈L;|p|=k}.

Mivel df(L) = k, ezért X^∗L₂ ⊆ L és így L₁ +X^∗L₂ ⊆ L. A fordított irányú tartalmazás nyilvánvalóan fennáll, ezért L = L₁+X^∗L₂, ahol L₁ és L₂ véges nyelvek. Emellett világos, hogy a kapott felbontásra (12.9) is teljesül.

Megfordítva, tegyük fel, hogy az L nyelvre és a véges L₁, L₂ nyelvekre ér-vényes a (12.8) felbontás. Ha L_i 6=∅, akkor legyen

k_i = max{|p|;p∈L_i},

ha pedig L_i =∅, akkor k_i = 0 (i= 1,2). Legyen továbbá k= max{k₁+ 1, k₂}.

Megmutatjuk, hogyL k definit. Tekintsünk e célból egy legalábbk hosszúságú p ∈ X^∗ szót és legyen r ∈ X^∗ a p szó k hosszúságú szuffixe. Ha p ∈ L, akkor k₁ < kmiattp /∈L₁. Ígypelőállíthatóp=p₁p₂alakban, aholp₁ ∈X^∗,p₂ ∈L₂ és |p₂| ≤ k. Ezért r =p⁰p₂ (p⁰ ∈ X^∗), azaz r ∈ X^∗L₂ ⊆ L. Tegyük most fel, hogy r∈L. Minthogy |r|=k > k₁, ezért r∈X^∗L₂, s így előállíthatór =p⁰p₂ (p⁰ ∈X^∗) alakban. Következésképpen

p=qr =qp⁰p2 ∈X^∗L2 ⊆L.

A fentiek éppen azt jelentik, hogy L k definit, azaz definíció szerint L definit.

Emellett a (12.10) egyenlőtlenség is teljesül. 2

12.14. Következmény. Az X véges ábécé feletti definit nyelvek halmaza zárt a halmazelméleti egyesítés, metszet és komplementerképzés műveletekre és ilyen L és K nyelvekre

df(L+K)≤max{df(L), df(K)}, df(L∩K)≤max{df(L), df(K)},

df(L) = df(L).

Bizonyítás LegyenLazX véges ábécé felettik-adfokban definit nyelv. Meg-mutatjuk, hogy L is k-adfokban definit. Mivel ∅ ésX^∗ definit nyelvek egymás komplementerei és df(∅) =df(X^∗) = 0, ezért a továbbiakban feltehetjük, hogy k > 0. HaLvéges, akkor legyenL1 =LésL2 =∅. Ha pedigLvégtelen, akkor legyen

L₁ ={p∈L;|p|< k}, L₂ ={p∈L;|p|=k}.

A 12.13 Tétel bizonyításában láttuk, hogy L = L₁+X^∗L₂. Nem nehéz meg-győződni arról, hogy

L= (

k−1

X

n=0

Xⁿ−L₁) +X^∗(X^k−L₂),

azazLis definit. A definit nyelv definíciója szerint világos, hogydf(L) =df(L).

Ha L és K az X véges ábécék feletti definit nyelvek, akkor a 12.13 Tétel szerint vannak olyan X feletti L₁, L₂, K₁, K₂ véges nyelvek, amelyekre L = L₁ +X^∗L₂ és K =K₁+X^∗K₂. Így

L+K = (L₁+X^∗L₂) + (K₁+X^∗K₂) = (L₁+K₁) +X^∗(L₂+K₂), azaz a 12.13 Tétel alapján L+K is definit és

df(L+K)≤max{df(L), df(K)}.

Mivel L∩K =L+K, ezértL∩K is definit és

df(L∩K)≤max{df(L), df(K)}. 2 Véges ábécét feltételezve, (12.8)-ból következik, hogy a definit nyelvek re-guláris nyelvek Boole algebrájának rész Boole algebrája. Kleene tétele szerint felismerhetők véges automatákban. A véges ábécé feletti definit nyelveket spe-ciális véges automaták ismerik fel. Most azt vizsgáljuk meg, hogy ezek az automaták milyen típusúak.

Az A = (A, X, δ) automatát k definitnek nevezzük, ha van olyan k ∈ N, hogy

∀(p∈X^k) (|Ap|= 1). (12.11)

Nem nehéz belátni, hogy ha A k definit, akkor (k+ 1) definit is. Az A auto-matát definitnek mondjuk, ha k definit valamilyenk ∈N számra. A legkisebb ilyen k számot A definitségi fokának nevezzük és df(A)-val jelöljük. Azt is mondjuk, hogy az Aautomatak-adfokban definit. EgyA automata tehát pon-tosan akkor k-adfokban definit, ha tetszőleges legalább k hosszúságú bemenő szó hatásáraA minden állapotból egy csak ettől a szótól függő állapotba megy át és van olyank−1hosszúságú bemenő szó, valamintA-nak legalább két olyan állapota, hogy e két állapotból e szó hatására egymástól különböző állapotokba megy át.

Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy ha egy A = (A, X, δ) automata k-adfokban definit, akkor egy legalább k hosszúságú p∈X^∗ szó hatására eljutva az apállapotba, "nem emlékszik" a kiindulási a∈A állapotra. Ezért a definit automatákat véges memóriájú automatáknak is nevezzük.

12.15. Tétel. Ha az L nyelv felismerhető egy A = (A, a₀, X, δ) véges definit automatában, akkor L definit nyelv és df(L) ≤ df(A). Megfordítva, ha egy L definit nyelv felismerhető egy A = (A, a₀, X, δ) véges automatában, amelyre

|A|=s(L) teljesül, akkor A definit automata és df(A) = df(L).

Bizonyítás Tegyük fel, hogy az L nyelv felismerhető az A = (A, a₀, X, δ) véges k-adfokban definit automatában az F(⊆A) halmazzal. Legyen |p| ≥ k, p = p⁰q és |q| = k (p⁰, q ∈ X^∗). Mivel A k-adfokban definit, ezért a0p = (a₀p⁰)q = a₀q. Tehát a₀p ∈ F akkor és csak akkor, ha a₀q ∈ F, azaz p ∈ L akkor és csak akkor, ha q∈L. Ezzel megmutattuk, hogy L k definit. Amiből már következik, hogy df(L)≤df(A).

Megfordítva, tegyük fel, hogy azL k-adfokban definit nyelv felismerhető az A = (A, a₀, X, δ) véges automatában az F(⊆A) halmazzal. Továbbá, tegyük fel, hogy |A| = s(L), azaz az A automata állapotainak száma megegyezik az L nyelv súlyával. Ez azt jelenti, hogy A a legkevesebb állapottal rendelkező olyan automata, amelyben L felismerhető az állapothalmaz egy alkalmas F részhalmazával. Legyenek a, b ∈ A tetszőleges állapotok. Mivel |A| = s(L) miatt A nyilván iniciálisan összefüggő, ezért vannak olyan p, q ∈ X^∗ bemenő szavak, amelyekre a₀p = a és a₀q = b. Legyenek tetszőleges r legalább k hosszúságú szóraa1 =ar ésb1 =br. MivelL k-adfokban definit, ezért bármely r⁰ ∈X^∗ szóraprr⁰ ∈Lakkor és csak akkor, haqrr⁰ ∈L, azaza₀prr⁰ ∈F akkor és csak akkor, ha a₀qrr⁰ ∈ F, vagyis minden r⁰ ∈ X^∗ szóra a₁r⁰ ∈ F akkor és csak akkor, ha b1r⁰ ∈ F. De |A| = s(L) miatt az AF egyszerű, ezért ar =a₁ =b₁ =br. Ezzel megmutattuk, hogy azA automata k definit.

Megmutatjuk, hogyAk-adfokban definit. Hak= 0, akkor készen vagyunk.

Legyen a továbbiakban k >0. MivelLnem (k−1) definit, ezért vannak olyan p₁, p₂ ∈X^∗ ésq∈X^k−1 szavak, hogy p₁q∈L, de p₂q /∈L. Ez azt jelenti, hogy

a₀p₁q∈F ésa₀p₂q /∈F. Tehát aza₀p₁és aza₀p₂állapotokra(a₀p₁)q6= (a₀p₂)q.

Ezzel megmutattuk, hogy A nem (k−1) definit, vagyis df(A) = df(L). 2 12.16. Következmény. Egy véges X ábécé felettiLnyelv akkor és csak akkor definit, ha az őt felismerő A_F egyszerű automata véges definit automata és df(L) =df(A_F).

12.17. Tétel. Ha egyk-adfokban definit nyelv felismerhető azA= (A, a₀, X, δ) véges automatában, akkor |A| ≥k+ 1.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy az L k-adfokban definit nyelv felismerhető az A = (A, a₀, X, δ) n állapotú véges automatában az F(⊆ A) halmazzal. Ha k = 0, akkor a tétel nyilván igaz.

Legyen ezért a továbbiakban k > 0, továbbá X(i) = {p ∈ X^∗; |p| ≤ i}.

Tekintsük mindeni∈N számraA-n azt aρ_iekvivalenciát, amelyre tetszőleges a, b∈A állapotpár esetén

(a, b)∈ρ_i ⇐⇒ (∀p∈X(i))(ap∈F ⇐⇒ bp∈F).

Nyilvánvaló, hogy ρ_i+1⊆ρ_i (i∈N). Ham_i jelöli aρ_i-osztályok számát, akkor 1 ≤ mi ≤ mi+1 ≤ n. Megmutatjuk, hogy az i = 0,1, . . . , k −1 indexekre m_i < m_i+1.

Minthogy L nem (k −1) definit, ezért vannak olyan p₁, p₂ ∈ X^∗ szavak és olyan q = x1x2. . . xk−1 ∈ X^k−1 szó, hogy p1q ∈ L, de p2q /∈ L. Legyen i ∈ {0,1, . . . , k−1} tetszőleges és q_i aq i hosszúságú prefixe, továbbá q=q_ir (r ∈X^∗). Akkor

(a₀p₁q_i)r =a₀p₁q ∈L, (a₀p₂q_i)r=a₀p₂q /∈L adódik és így |r|=k−i−1 miatt

ρk−i−1[a0p1qi]6=ρk−i−1[a0p2qi].

Legyen most p⁰ tetszőleges olyan bemenő szó, amelyre |p⁰| ≥ k −i fennáll.

Akkor, mivel L k-adfokban definit,

p₁q_ip⁰ ∈L ⇐⇒ p₂q_ip⁰ ∈L és így

(a₀p₁q_i)p⁰ ∈F ⇐⇒ (a₀p₂q_i)p⁰ ∈F, azaz

ρk−i[a0p1qi] =ρk−i[a0p2qi].

De itetszőleges 0 és k−1 közé eső egész szám volt, következésképpen 1≤m₁ < m₂ <· · ·< m_k ≤n,

ahonnan már |A|=n≥k+ 1 adódik. 2

12.18. Tétel. Létezik olyan algoritmus, amely segítségével eldönthető, hogy egy véges ábécé feletti reguláris nyelv definit vagy nem definit.

Bizonyítás LegyenLreguláris nyelv az X véges ábécé felett. Feltehető, hogy L 6= ∅, X^∗, mivel ∅ és X^∗ definit nyelvek X felett. Például a Kleene tétel bizonyításából kapható algoritmus alkalmazásával megszerkeszthető olyanA = (A, a₀, X, δ) iniciálisan összefüggő véges automata, amelyben L felismerhető valamely ∅ ⊂ F ⊂A) halmazzal. Legyen |A|=n és tetszőleges i∈N számra κi az az ekvivalenciaA-n, amelyet tetszőlegesa, b∈A állapotpárra

(a, b)∈κ_i ⇐⇒ (∀p∈Xⁱ)(ap∈F ⇐⇒ bp∈F) (12.12) által definiálunk. Eszerint a κ₀-osztályok F és A−F. A definícióból világos, hogy

(a, b)∈κ_i+1 ⇐⇒ (∀x∈X)(δ(a, x), δ(b, x))∈κ_i), (12.13) ami A végessége miatt lehetővé teszi a κ_i-osztályok meghatározását. Nem nehéz belátni, hogy L akkor és csak akkor k definit, ha κ_k = ω_A, azaz az univerzális reláció és

df(L) = min{k;κ_k =ω_A}.

Ha pedig κn−1 6= ω_A, akkor a 12.17 Tétel alapján azt kapjuk, hogy L nem

definit. 2

12.19. Példa. Tekintsük X={x, y} ábécé feletti L=xyx+ (x+y)^∗(x²+y)

negyedfokban definit nyelvet. Ha az L nyelvre a Kleene tétel bizonyításából kapható algoritmust alkalmazzuk, akkor az

A a₀ a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ x a₁ a₃ a₅ a₃ a₆ a₃ a₃ y a₂ a₄ a₂ a₂ a₂ a₂ a₂

átmenettáblázattal megadott automatához jutunk, amelyben L felismerhető az a₀ kezdőállapotból az

F ={a2, a3, a4, a6}

halmazzal. (Ez könnyen belátható, ha például felrajzoljuk az automata átmenet gráfját.)

A 12.18 Tétel bizonyítása során megadott algoritmus felhasználásával meg-mutatjuk, hogy A= (A, a₀, X, δ) definit automata. Adjuk meg a (12.12) felté-tellel definiált κ_i-osztályokat a (12.13) öszefüggést is felhasználva:

κ₀−osztályok: {a₀, a₁, a₅}, {a₂, a₃, a₄, a₆}, κ₁−osztályok: {a₀, a₂}, {a₁, a₃, a₄, a₅, a₆}, κ₂−osztályok: {a₀, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆}, {a₁}, κ₃−osztályok: {a₀}, {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆},

κ₄−osztály: {a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆}.

Ez azt jelenti, hogy az A automata negyedfokban definit.

Ha most az A_F felismerő automatát minimalizáljuk az Aufenkamp–Hohn algoritmussal, akkor négy lépés után a

b0 ={a₀}, b₁ ={a₁}, b₂ ={a₂}, b₃ ={a₅}, b₄ ={a₃, a4, a6} jelölések mellett a

B b₀ b₁ b₂ b₃ b₄ x b₁ b₄ b₃ b₄ b₄ y b₂ b₄ b₂ b₂ b₂

egyszerű automatához jutunk, amely az Lnyelvet a b₀ kezdőállapotból a{b₂, b₄} halmazzal állítja elő.

In document ALGEBRAI NYELV- ÉS KÓDELMÉLET (Pldal 168-174)