Diszjunktív nyelvek

Az X ábécé feletti Lnyelvet diszjunktívnak nevezzük, ha a (7.5)-ben definiált ϑ_L szintaktikus kongruencia identikus, azaz ϑ_L=ι_X^∗. A diszjunktív nyelvek-kel kapcsolatos vizsgálatok találhatók például H.J. Shyr [41] jegyzetében. A 7.8 Következmény alapján nyilvánvaló, hogy a véges ábécé feletti diszjunktív nyelvek nem regulárisak. (Ez azt is jelenti, hogy a diszjunktív nyelvek nem lehetnek végesek.) Egyelemű ábécé esetén igaz a fordított állítás is.

12.60. Tétel. Egyelemű ábécé feletti nyelv akkor és csak akkor diszjunktív, ha nem reguláris.

Bizonyítás A tétel előtti megjegyzést felhasználva elegendő megmutatni, hogy ha az {a} ábécé feletti L nyelv nem diszjunktív, akkor reguláris.

Ha L nem diszjunktív, akkor vannak olyan 0≤ k és 1≤ m egész számok, amelyekre (a^k, a^k+m) ∈ ϑ_L. Mivel ϑ_L kongruencia, ezért minden 0 ≤ t egész számra (a^k+t, a^k+m+t) ∈ ϑ_L. Ez azt jelenti, hogy ϑ_L indexe legfeljebb k+m.

Kleene tétele és 7.2 Tétel szerint Lreguláris. 2

Legalább kételemű véges ábécé esetén ez az állítás már nem igaz.

12.61. Lemma. A legalább kételemű X véges ábécé feletti L nyelv akkor és csak akkor diszjunktív, ha minden p, q ∈X^∗ szóra

(|p|=|q| és (p, q)∈ϑ_L) =⇒ p=q. (12.25) Bizonyítás Ha Ldiszjunktív akkor nyilvánvalóan teljesül (12.25).

Megfordítva tegyük fel, hogy (12.25) igaz. Legyen (p, q)∈ ϑ_L (p, q ∈X^∗) és m = sup{|p|,|q|}. Ha w=ab^m (a, b∈X, a6=b), akkor pw és qw primitív szavak. Minthogy ϑ_L kongruencia, így (pw, qw)∈ϑ_L. Ebből következik, hogy ((pwqw, qwpw)∈ϑ_L. De|pwqw|=|qwpw|, és (12.25) miattpwqw =qwpw. A 12.42 Lemma szerint pw és qw valamely r ∈ X⁺ szónak pozitív egész kitevős hatványai. Azonban pw és qw primitív szavak, ezért pw =qw, azaz p=q. Ez azt jelenti, hogy ϑ_L identikus, vagyis L diszjunktív. 2 AzXábécé felettiKésLnyelveketdiszjunktív párnak nevezzük, haL∩K =

∅ és minden p, q ∈ X^∗ (p 6= q) párhoz vannak olyan u, v ∈ X^∗ szavak, ame-lyekre upv ∈K ésuqv∈Lvagy uqv∈K ésupv ∈L. Ha K diszjunktív nyelv, akkor nyilvánvalóan K és K diszjuntív pár. Továbbá, ha K és L diszjunktív pár, akkor mindkettő diszjunktív. Ezenkívül, ha K⁰ és L⁰ olyan X feletti nyel-vek, amelyekre K ⊆ K⁰, L ⊆ L⁰, K⁰ ∩L⁰ = ∅, akkor K⁰ és L⁰ is diszjunktív pár.

A 12.6. alfejezetben az X ábécé feletti primitív szavak nyelvére a Q(X) jelölést használtuk. A 12.51 Következményben megmutattuk, hogy véges ábé-cé esetén Q(X) nem reguláris. A következőkben megmutatjuk, hogy Q(X) diszjunktív. Ezzel egy másik bizonyítását is kapjuk a 12.51 Következménynek.

Legyen tetszőleges 2≤n egész számra

Q⁽ⁿ⁾(X) ={pⁿ; p∈Q(X)}.

A 12.54 Tételben megmutattuk, hogy véges X ábécé esetén bármely 2 ≤ n egész számra Qⁿ(X) reguláris. Nyilvánvaló, hogy Q⁽ⁿ⁾(X) ⊂Qⁿ(X). A 12.45 Tételből kapjuk, hogy

X^∗ =

∞

X

n=0

Q⁽ⁿ⁾(X),

ahol Q⁽⁰⁾(X) = e ésQ⁽¹⁾(X) =Q(X). Hai6=j, akkor Qⁱ(X)∩Q^j(X) = ∅.

12.62. Tétel. Legalább kételemű X ábécé esetén minden 2 ≤ n egész számra Q(X) és Q⁽ⁿ⁾(X) diszjunktív pár.

Bizonyítás Legyenek p, q ∈ X^∗ és p 6= q. Feltehetjük, hogy p ∈ X⁺, azaz p = xr, ahol x ∈ X és r ∈ X^∗. Legyen továbbá y ∈ X és y 6= x. Ezenkívül m = 2 sup{|p|,|q|}, u= y^mp, v = (y^mpp)ⁿ⁻¹ (2 ≤ n). Mivel y^mpp∈ Q(X), ezért upv = (y^mpp)ⁿ ∈Q⁽ⁿ⁾(X).

Megmutatjuk, hogy uqv = y^mpq(y^mpp)ⁿ⁻¹ ∈ Q(X). Tegyük fel, hogy ez nem igaz, azaz w^j = y^mpq(y^mpp)ⁿ⁻¹, ahol w ∈ Q(X) és 2 ≤ j. Akkor nem nehéz belátni, hogy w = y^mxw⁰ (w⁰ ∈ X⁺). Mivel w pontosan m számu y betűvel kezdődik, ezért

w= (y^mpq)(y^mpp)ⁱ = (y^mpp)ⁱ⁺¹

valamilyen 0 ≤ i egész számra. Ez azonban lehetetlen, mivel p 6=q. Kaptuk,

hogy j = 1, azazuqv ∈Q(X). 2

12.63. Következmény. Legalább kételemű X ábécé esetén Q⁽ⁿ⁾(X) (1 ≤ n) diszjunktív. Ha X véges, akkor Q⁽ⁿ⁾(X) nem reguláris.

Egy L nyelvet diszkrétnek nevezünk, ha minden p, q ∈ L szóra |p| = |q|

akkor és csak akkor, ha p=q.

12.64. Lemma. Ha a legalább kételemű X ábécé feletti L nyelv diszkrét és minden p∈X^∗ szóra L∩X^∗pX^∗ 6=∅, akkor L diszjunktív.

Bizonyítás Legyen|p|=|q|és(p, q)∈ϑ_L. A feltétel szerint vannaku, v ∈X^∗ szavak, amelyekre upv ∈ϑL. Akkor uqv∈ϑL is teljesül. De |upv|=|uqv|ésL diszkrét, ezértupv =uqv, azazp=q. Az előző feladat szerint L diszjunktív.2 12.65. Tétel. A legalább kételemű véges X ábécé feletti L nyelvre az alábbi három állítás ekvivalens:

(i) L tartalmaz diszjunktív résznyelvet;

(ii) Minden p∈X^∗ szóra L∩X^∗pX^∗ 6=∅;

(iii) Minden p∈X^∗ szóra |L∩X^∗pX^∗|=∞.

Bizonyítás Az (i) =⇒ (ii) implikáció helyességét indirekt módon mutatjuk meg. Ha van olyan p ∈ X^∗, amelyre L∩ X^∗pX^∗ = ∅, akkor L bármely K résznyelvére (p, p²)∈ϑ_K, azaz K nem diszjunktív. Ellentmondás.

Az (ii) =⇒ (iii) implikáció helyességét szintén indirekt módon mutatjuk meg. Tegyük fel, hogyp∈X^∗szóraL∩X^∗pX^∗ véges halmaz. Hau∈X⁺olyan szó, amely minden q ∈ L∩X^∗pX^∗ szónál hosszabb, akkor L∩X^∗puX^∗ =∅.

Elentmondás.

Az (iii) =⇒ (i) bizonyításához tegyük rendezetté az X véges ábécét. En-nek segítségével vezessük be a ≤lexikografikus rendezéstX^∗-on. (Ez a fogalom

megtalálható például a [2] jegyzetünk Függelékében.) A lexikografikus ren-dezés felhasználásával definiáljuk L egy K diszjunktív résznyelvét. Legyen X^∗ ={p_k;k= 1,2, . . .}, ahol p_k közvetlenül megelőzi p_k+1-et. A feltevés miatt választhatók olyan u_k, v_k∈X^∗ (k = 1,2, . . .) szavak, amelyekre u_kp_kv_k ∈L és

|u_kp_kv_k|<|u_k+1p_k+1v_k+1|.

Legyen K = {u_kp_kv_k; k = 1,2, . . .}. A K nyelv diszkrét, K ⊆ L és minden p∈X^∗ szóra K∩X^∗pX^∗ 6=∅, ezért a 12.64 Lemma szerint diszjunktív. 2 12.66. Következmény. A legalább kételemű véges X ábécé feletti L vagy L nyelv tartalmaz diszjunktív résznyelvet.

Bizonyítás Ha |L ∩X^∗pX^∗| = ∞, akkor az előző tétel szerint L-nek van diszjunktív résznyelve.

Tegyük fel, hogy van olyan p ∈ X^∗, amelyre L ∩X^∗pX^∗ véges. Akkor minden u∈X^∗ szóra L∩X^∗puX^∗ ⊆X^∗pX^∗ miatt L∩X^∗puX^∗ is véges. De

X^∗puX^∗ = (L∪L)∩(X^∗puX^∗) = (L∩X^∗puX^∗)∪(L∩X^∗puX^∗).

Ebből kapjuk, hogy|L∩X^∗puX^∗|=∞. DeL∩X^∗puX^∗ ⊆L∩X^∗uX^∗. Vagyis minden u ∈ X^∗ szóra |L∩X^∗uX^∗| = ∞. Szintén az előző tétel miatt L-nek

van diszjunktív résznyelve. 2

12.67. Tétel. Legyen L diszjunktív nyelv a legalább kételemű véges X ábécé felett. Ha L = L₁ ∪L₂ és L₁ ∩L₂ = ∅, akkor L₁ vagy L₂ diszjunktív vagy mindkét nyelv tartalmaz diszjunktív résznyelvet.

Bizonyítás Tegyük fel, hogyL₁ ésL₂ egyike sem diszjunktív, továbbáL₂ nem tartalmaz diszjunktív résznyelvet. Akkor a 12.65 Tétel szerint van olyan w ∈ X⁺, hogy L₂∩X^∗wX^∗ véges. Mivel L₁ sem diszjunktív, ezért a 12.61 Lemma szerint vannak olyan u, v ∈ X^∗, amelyekre u 6= v, |u| = |v| és (u, v) ∈ ϑ_L1. Feltehetjük azt is, hogy |u| > sup{|pwq|; pwq ∈ L₂}. De (uw, vw) ∈ ϑ_L1. A 12.65 Tétel alapján, ha ruwt ∈ L, akkor rvwt ∈ L₁ ⊆ L. Hasonlóan, ha rvwt ∈ L, akkor ruwt ∈ L, azaz (uw, vw) ∈ ϑ_L. Mivel L diszjunktív, ezért uw = vw. Ez azonban lehetetlen, mert u 6= v. A 12.65 Tételből következik, hogy L₁ ésL₂ tartalmaz diszjunktív résznyelvet. 2 Mivel diszjunktív nyelv komplementere is diszjunktív, ezért az alábbi kö-vetkezmény azt jelenti, hogy nincs minimális [maximális] diszjunktív nyelv.

12.68. Következmény. Legyen L diszjunktív nyelv a legalább kételemű véges X ábécé felett. Ha F véges részhalmaza L-nek, akkor L−F is diszjunktív.

Bizonyítás Mivel L = (L−F)∪F, (L−F)∩F = ∅ és F nem tartalmaz diszjunktív résznyelvet, ezért a 12.67 Tétel szerint L−F diszjunktív. 2 Érvényes a 12.67 Tétel következő élesítése diszkrét diszjunktív nyelvekre.

12.69. Tétel. LegyenL diszkrét diszjunktív nyelv a legalább kételemű végesX ábécé felett. Ha L=L1∪L2 és L1∩L2 =∅, akkor L1 vagy L2 diszjunktív.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy L₁ és L₂ egyike sem diszjunktív. Akkor a 12.61 Lemma szerint vannak olyan p, q, r, t ∈ X⁺ szavak, amelyekre p 6= q, r 6= t,

|p|=|q|, |r|=|t|, (p, q)∈ϑ_L1, (r, t)∈ϑ_L2. Ebből következik, hogy(pr, qr)∈ ϑ_L1 és (pr, pt)∈ ϑ_L2. Mivel L diszjunktív, a 12.65 Tétel szerint vannak olyan u, v ∈X^∗ szavak, amelyekre uprv∈ L. Ha uprv ∈ L₁, akkor uqrv ∈L₁, mert (pr, qr)∈ϑ_L1. De Ldiszkrét, ezért uprv=uqrv, ami ellentmond annak, hogy p 6= q. Hasonlóan, az uprv ∈ L₂ feltételből is ellentmondásra jutunk. Vagyis

L₁ vagy L₂ diszjunktív. 2

12.70. Tétel. A legalább kételemű véges X ábécé feletti L nyelvre az alábbi három állítás ekvivalens:

(i) L diszjunktív;

(ii) Minden p∈X^∗ szóra L∩X^∗pX^∗ diszjunktív;

(iii) Van olyan p∈X^∗ szó, amelyre L∩X^∗pX^∗ diszjunktív.

Bizonyítás Az(i) =⇒(ii)implikáció következik a 12.65 és a 12.67 Tételekből, mivel

L= (L∩X^∗wX^∗)∪(L∩X^∗wX^∗), (L∩X^∗wX^∗)∩X^∗wX^∗ =∅.

Az (ii) =⇒(iii)implikáció nyilvánvalóan igaz.

Az (iii) =⇒ (i) implikáció helyességének igazolásához tegyük fel, hogy a w ∈ X^∗ szóra L∩X^∗wX^∗ diszjunktív. Tegyük fel, hogy L nem diszjunktív.

Akkor vannak olyan u, v ∈ X⁺, amelyekre u 6= v és (u, v) ∈ ϑ_L. De ϑ_L kongruencia, ezért (wu, wv) ∈ ϑ_L, s nyilván wu 6= wv. Ebből következik, hogy minden p, q ∈ X^∗ esetén pwuq ∈ L akkor és csak akkor, ha pwvq ∈ L, azaz pwuq ∈ L∩X^wX^∗ akkor és csak akkor, ha pwvq ∈ L∩X^∗wX^∗, vagyis

L∩X^∗wX^∗ nem diszjunktív. Ellentmondás. 2