CONTINUOUS AND DISCRETE MODELS IN THE MECHANICS OF DEFORMABLE SOLID BODIES
2. TESTEK ÉS OSZTÁLYAIK 1. A négyféle test
4.2. A modellek hierarchiája
A fentiek alapján a modellek alábbi hierarchiája állítható össze.
DISZKRÉT MOZGÁS KVÁZIFOLYTONOS MOZGÁS FOLYTONOS MOZGÁS
Diszkrét elrendezés
Az elemek átrendeződése Származtatott modellek Az elemek mozgása a Mintázattal járó mozgások Mintázattal járó mozgások
Folytonos mozgás: az
elemek kollektív mozgása Folytonos mozgás Származtatott modellek
Sorfejtés: változószám csökkentés, az eliminált felületen az elemek érintkezhetnek
Véges réteg
Véges szál
Véges elem
Sorfejtés: változószám csökkentés, az eliminált felületen az elemek nem érintkezhetnek
174 5. ÖSSZEFOGLALÁS
A tanulmányban a deformálható szilárd testek folytonos és diszkrét elrendezését, viselkedését, valamint modelljeit tekintettük át.
Az anyagokat alkotó atomok egymáshoz való eltérő viszonyát az anyag halmazállapota pontosan tükrözi vissza: a gázokban az atomok (és/vagy molekulák) időnként ütköznek, a folyadékban egymással érintkeznek, de folyamatosan helyet cserélnek, a szilárd anyagban az atomok rendje kötött. A szemcsehalmaz olyan, szilárd szemcsékből álló „átmeneti” anyagfé-leség, amelyben a szemcsék szilárdak, de a szemcsék erő hatására egymáshoz képest elmoz-dulhatnak, helyet cserélhetnek, a viselkedése a folyadékhoz hasonlítható.
Az anyagot alkotó részecskék mozgását a következőképpen osztályozzuk. Egyrészt a ré-szecskék sorrendje változhat (gáz, folyadék, szemcsehalmaz, szilárd testek képlékeny és/vagy viszkózus folyása), másrészt rögzített maradhat (kristályrács rezgése, térbeli keretszerkezet rugalmas alakváltozása és/vagy rezgése, szilárd test rugalmas alakváltozása és/vagy rezgése) a részecskék mozgása során. A mozgás során megmaradó rögzített rend esetén a mozgás lehet rendezetlen (a hőmozgás), alakulhatnak ki mintázatok (optikai rezgésforma kristályrácsban) és lehet kollektív (rugalmas alakváltozás).
A modell egyrészt a részecskék elrendezésének, a részecskék mozgásának típusát, valamint a mozgás leírására használatos apparátus típusát tükrözi vissza. Ezeket figyelembe véve há-rom modelltípus különíthető el. Ezek a következők.
1. DISZKRÉT MODELL. Az anyag véges sok, diszkréten elhelyezkedő elemből áll. A mozgás során minden elem viselkedését önálló állapothatározó függvénnyel, azaz az elemek halmaza fölött diszkrét értelmezési tartományú, és diszkrét értékkészletű függvénnyel írjuk le. Az anyagot alkotó elemek mozgása tetszőleges alakot ölthet: lehet kollektív, mintázatos és rende-zetlen, sőt, az elemek egymáshoz viszonyított sorrendje is változhat.
2. KVÁZIFOLYTONOS MODELL. Az anyag véges sok, diszkréten elhelyezkedő elemből áll. A mozgás során minden elem viselkedését egy, az elemek halmaza (azaz a külső térbe beágya-zott tér) fölött folytonos értelmezési tartományú, és folytonos értékkészletű függvénnyel írjuk le. Az anyagot alkotó elemek mozgása nem lehet teljes mértékben tetszőleges: egyrészt lehet kollektív, vagy mintázatos, másrészt az elemek egymáshoz viszonyított sorrendje kötött, az a mozgás során nem változhat meg.
3. FOLYTONOS MODELL. Az anyagot kontinuum számosságú sok, folytonosan elhelyezkedő elemből állónak tekintjük. A mozgás során minden elem viselkedését az elemek halmaza (a tér egy tartománya) fölött folytonos értelmezési tartományú, és folytonos értékkészletű függ-vénnyel írjuk le. Az anyagot alkotó elemek mozgása erőteljesen korlátozott: csak kollektív lehet, és az elemek (pontok) egymáshoz viszonyított sorrendje kötött, az a mozgás során nem változhat meg.
A diszkrét modell viselkedését (az időbeli változástól eltekintve) algebrai egyenletek írják le.
A kvázifolytonos modell esetén a diszkrét modell pontos megoldásait a beágyazó térben sorba fejtjük a folytonos függvények terében, a közelítő megoldás meghatározásához a foly-tonos térben értelmezünk folyfoly-tonos hibavektorokat és folyfoly-tonos hibaelvet. Végeredményben a térbeli változás leírásához parciális differenciálegyenleteket állítunk föl. Azaz a kvázifolyto-nos modelltípus az elsőből nyerhető az elemek elrendezésére vonatkozó megszorítás mellett (rögzített topológiai rend), numerikus közelítő eljárást alkalmazva. Ez vezet a rácskontinuum, vagy általánosított kontinuum fogalmához.
A folytonos modell esetén a beágyazó tér metrikus változásaival jellemezzük a rendszert.
Értelmezés szerint az állapotot leíró függvények eleve folytonosak, a rá vonatkozó egyenletek pedig (az egyik megközelítésben) parciális differenciál egyenletek (míg egy másik
megközelí-175
tésben integrálegyenletek (vagy integro-differenciálegyenletek) formájában is megfogalmaz-ható a feladat).
A folytonos és a kvázifolytonos modellből, numerikus eljárást alkalmazva, származtatott modellek hozhatók létre. Ezek alapvetően csökkentett változószámú, két- és egyváltozós fel-adatok. Egyik csoportjuk tetszőleges tartományok vizsgálatára alkalmas (véges réteg és véges szál), a másik csoportjuk csak vékony felület-, illetve vonalszerkezet vizsgálatára alkalmas (héj-, lemez- és tárcsaelméletek, illetve rúdelméletek). A nulldimenziós feladat mindkét ese-tén numerikus módszerként értelmezhető (véges elem, illetve a klasszikus numerikus eljárá-sok, vagy azok módosított változatai).
6. FELHASZNÁLT IRODALOM
[1] ALTENBACH, H. – EREMEYEV, V.A. (Eds.): Generalized Continua – from the Theory to Engineering Applications. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2013. 388 pp.
[2] ALTENBACH, H. – MAUGIN, G.A. – EROFEYEV, V. (Eds.): Mechanics of Generalized Con-tinua. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2011. 350 pp.
[3] BACH, C.: Elastizität und Festigkeit. 7. Auflage Spinger, Berlin, 1917. 703 pp.
[4] BELL, S.F.: Experimental Foundations of Mechanics of Deformable Solid Bodies. In Encyclopaedia of Physics. Chief ed.: S. Flügge, VIa/1. Mechanics of solids I. Ed. C. Truesdell. Springer-Verlag, Berlin, 1973. 813 pp.
[5] BORN, M. – HUANG, K.: Dynamical Theory of Crystal Lattices. Clarendon Press, Oxford, 1998.
256 pp.
[6] CSÁSZÁR, Á.: Bevezetés az általános topológiába. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970. 424 pp.
[7] COSSERAT, E. – COSSERAT, F.: Théorie des Corps Déformables. Hermann et Fils, 1909. The Cornell University Library Digital Collections, 2017. 226 pp.
[8] ERINGEN, A.C.: Microcontinuum Field Theories. Springer, New York, Berlin - Heidelberg, 1998.
325 pp.
[9] GALLAGHER, R.H.: Finite Element Analysis. Foundations. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1975. 428 pp.
[10] GREEN, A.E. – ZERNA, WS.: Theory of Elasticity. The Clarendon Press, Oxford, 1954. 457 pp.
[11] KALMÁR, L.: Bevezetés a matematikai analízisbe. I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1970. 442 + 406 pp.
[12] KOLLÁR, L. – HEGEDŰS, I.: Analysis and Design of Space Frames by the Continuum Methods.
Elsevier, Amsterdam - Oxford - New York, 1985. 317 pp.
[13] KANTOROVICS, I.V. – KRÜLOV, V.I.: A felsőbb analízis közelítő módszerei. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953. 703 pp.
[14] KORN, A. – KORN, TH.: Matematikai kézikönyv műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. 995 pp.
[15] KRÖNER, E. (ed.): Mechanics of Generalized Continua. Proceedings of the IUTAM-Symposium on the Generalized Cosserat Continuum and the Continuum Theory of Dislocations with Applications, Freudenstadt and Stuttgart (Germany) 1967. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1968. 358 pp.
[16] КУНИН, И. А.: Теория упругих сред с микроструктурой. Наука, Москва, 1975. 415 pp.
[17] LÁMER, G.: Contradictions in the Theory of Micropolar Elasticity and Their Causes, Newsletter, Techn. Univ. of Budapest, II (1), 1984. pp. 12-16
[18] LÁMER, G.: Differential Geometry, as Mathematical Background of Continuum Physics, Newsletter, Techn. Univ. of Budapest, II (3), 1984. pp. 17-21
[19] LÁMER, G.: A kis alakváltozások mellett nagy elmozdulásokat végző tökéletesen rugalmas héjak és rudak elméleteinek matematikai alapjai. Kandidátusi (PhD) értekezés. Budapest, 1990. 116 pp.
[20] LÁMER, G.: Két- és egyváltozós feladatok levezetése a háromváltozós feladatból. Sajátosságai a kontinuummechanikában, Építés-, Építészettudomány XXIII (1-2), 1992-93. pp. 61-92
[21] LÁMER, G.: Solid and Soft Body with and without Structure, Quasi-Static Deformations of Particular Materials. Proceedings of QuaDMP’03. Ed.: K. Bagi. P. Co. of BTU, Budapest, 2003. pp.
159-166
[22] LÁMER, G.: Az anyag folytonos és diszkrét modellezésének kinematikai kérdései,
Mérnökgeológia-176
Kőzetmechanika 2006. Konferencia (Budapest) Szerk.: Török Á. – Vásárhelyi B., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006. [A Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtára 2. kötet.] pp. 145-156.
[23] LÁMER G.: Az anyag folytonos és diszkrét modellezésének dinamikai kérdései, Mérnökgeológia-Kőzetmechanika 2007. Konferencia (Budapest) Szerk.: Török Á. – Vásárhelyi B., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2007. [A Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtára 4. kötet] pp. 301-314.
[24] LÁMER, G.: Az anyagi viselkedés folytonos és diszkrét modellezésének kérdései, Mérnökgeológia-Kőzetmechanika 2010. Konferencia (Budapest) Szerk.: Török Á. – Vásárhelyi B., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2010. [A Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtára 8. kötet] pp. 123-146.
[25] LÁMER, G.: Erővonalak edényben szabályosan elrendezett golyók halmazában. A XI. Magyar Mechanikai Konferencia (Miskolc, 2011.) Konferenciakiadványa. Szerk.: Baksa A. – Bertóti E. – Szirbik S. 64. cikk. 12 oldal
[26] LÁMER, G.: Szemcsehalmazok egyensúlyának és átrendeződésének az állapotegyenlete. A XI.
Magyar Mechanikai Konferencia (Miskolc, 2011.) Konferenciakiadványa. Szerk.: Baksa A. – Bertóti E. – Szirbik S. 65. cikk. 11 oldal
[27] LÁMER, G.: A deformálható szilárd, folytonos közegek matematikai modellezésének egyes kérdéseiről: topológikus, metrikus és numerikus szempontok, Mérnökgeológia-Kőzetmechanika 2013. Konferencia (Budapest) Szerk.: Török Á. – Görög Péter – Vásárhelyi B., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2013. [A Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtára 16. kötet] pp. 317-332
[28] LÁMER, G.: Topológiai eszközök alkalmazásának lehetőségei és korlátai a közegek mechanikai modellezésében. A XII. Magyar Mechanikai Konferencia (Miskolc, 2015.) Konferenciakiadványa.
Szerk.: Baksa A. – Bertóti E. – Szirbik S. 211. cikk. 13 oldal
[29] LÁMER, G.: Metrikus eszközök alkalmazásának lehetőségei és korlátai a közegek mechanikai modellezésében. A XII. Magyar Mechanikai Konferencia (Miskolc, 2015.) Konferenciakiadványa.
Szerk.: Baksa A. – Bertóti E. – Szirbik S. 326. cikk. 13 oldal
[30] LÁMER, G.: Az anyag folytonos és diszkrét viselkedésének leírása. A modellezés kérdései., Mérnökgeológia-Kőzetmechanika 2016. Konferencia (Budapest) Szerk.: Török Á. – Görög Péter – Vásárhelyi B., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2016. [A Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtára 20. kötet] pp. 261-276
[31] LÁMER, G.: Közegek mechanikai viselkedésének folytonos és diszkrét modellezése. Három modelltípus, Mérnökgeológia-Kőzetmechanika 2018. Konferencia (Budapest) Szerk.: Török Á. – Görög Péter – Vásárhelyi B., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2018. [A Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtára 23. kötet] pp. 165-182
[32] LOVE, A.E.H.: A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Fourth ed. Cambridge, At the University Press, 1927. 643 pp.
[33] ЛУРЬЕ, А.И.: Теория упругости. Наука, Москва, 1970. 939 pp.
[34] MAUGIN, G.A.: Non-Classical Continuum Mechanics: A Dictionary. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2017. 258 pp.
[35] TRUESDELL, C.: Mechanics of Solids. Ed. Vol. II. Linear Theories of Elasticity and Thermoelasticity. Linear and Nonlinear Theories of Rods, Plates, and Shells. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1972. 745 pp.
[36] TRUESDELL, C.: Mechanics of Solids. Ed. Vol. III. Theory of Viscoelasticity, Plasticity, Elastic Waves, and Elastic Stability. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1972. 647 pp.
[37] МИХЛИН, С.Г.: Вариационные методы в математической физике. Изд. второе. Наука, Москва, 1970. 512 pp.
[38] MIKHLIN, S.G.: The Problem of the Minimum of Quadratic Functional. Translated by A. Feinstein.
Holden-Day, Inc. San Francisco - London - Amsterdam, 1965. 155 pp.
[39] MIKHLIN, S.G.: The Numerical Performance of Variational Methods. Translated by Dr. R.S.
Anderssen. Walter-Noordhoff Publishing, Groningen, The Netherlands, 1971. 373 pp.
[40] NOWACKY, W.: Theory of Micropolar Elasticity. Udine Springer, Wien/New York. 1970. 286 pp.
[41] RUBIN, M.B.: Cosserat Theories: Shells, Rods and Points. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht - Boston - London, 2000. 480 pp.
[42] SHARPE, JR., W.N. (Ed.): Springer Handbook of Experimental Solid Mechanics. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2008. 1096 pp.
[43] SCHARLE, P.: Építőmérnöki kontinuum feladatok numerikus vizsgálatának néhány kérdése. ÉTI Tudományos Közlemények. 84. 1976. 108 pp.
[44] SCHARLE, P.: A mozaikmódszer mérnöki és matematikai értelmezésnek kialakulása és kapcsolatai,
177 Építés-, Építészettudomány VI (3-4), 1974. pp. 261-278
[45] SZABÓ, J. – ROLLER, B.: A rúdszerkezetek elmélete és számítása. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1971. 267 pp.
[46] SZENTE, J.: A sima sokaságok elmélete. Eötvös L. Egyetem Kiadó, Budapest, 2000. 276 pp.
[47] TRELOAR, L.R.G.: The Physics of Rubber Elasticity. Clarendon Press, Oxford, 1975. 310 pp.
[48] VEBLEN, O. – WHITEHEAD, J.H.C.: The Foundations of Differential Geometry. Cambridge University Press, 1953. 229 pp.
178