A deformálható szilárd testek főbb modelljei

A testek négy osztályának megfelelően alapvetően a modelleknek is négy osztálya különíthető el: szilárd testek, szemcsehalmazok, folyadékok és gázok modellje. Figyelmünket a szilárdnak tekintett anyagok modelljeire fordítjuk.

A deformálható szilárd anyagok esetén a modell képes kell, hogy legyen a test alakja meg-változását visszatükrözni. Ezek a modellek három nagyobb csoportba oszthatók. Ez a három csoport a következő: kristályrácsok modelljei [5], klasszikus kontinuum modellek [10,32,33, 35,36], és általánosított kontinuum modellek [7,15,40,8,16,1,2].

A kristályrácsok modelljei rácshálózat rácspontjaiban ülő (tehát diszkrét), (elsősorban) az egymástól mért távolság megváltozásától függő rugalmas erőkön keresztül egymáshoz kap-csolódó anyagi pontok rendszereként épülnek fel. A belső erők az egy-egy rácspontokban ülő elemek között ébrednek, az erőnek a távolságtól való változását atomfizikai ismeretekből ha-tározzák meg [5]. A klasszikus kontinuum a folytonosnak tekintett tartomány metrikus tulaj-donságainak változásain alapuló modell. A modellben „megoszló” belső erőket (feszültsége-ket) értelmezünk, az egyes anyagok eltérő viselkedését az alakváltozások és a feszültségek közötti kapcsolat (az anyagi egyenletek szerkezete) tükrözi vissza (lásd [32,33]). Az anyagi állandók értékeit a szilárdságtanban megszokott kísérletekből határozzák meg [3,4,42]. Az általánosított kontinuumok belső szerkezettel bíró, folytonosnak tekintett, több szinten (be-ágyazó tér szintje, egy vagy több (egymásba) begyázott, struktúrával rendelkező szint) értel-mezett metrikus tulajdonság változásán alapuló modellcsoport. A modellben „megoszló” bel-ső erőket (feszültségeket, nyomatéki, vagy általánosított feszültségeket) értelmezünk. Az egyes anyagok eltérő viselkedését a beágyazott szint(ek) kinematikai szabadságfokai (a kísérő triéder elfordulása, a kísérő triéder éleinek relatív nyúlása, a kísérő triéder élei közötti szögek változása; ezek külön-külön, vagy együtt is felléphetnek), valamint az alakváltozások és a feszültségek közötti kapcsolat (az anyagi egyenletek szerkezete) tükrözi vissza [7,15,40,8,16, 1,2]. Az anyagi állandók értékeinek a szilárdságtanban megszokott kísérletekhez hasonló kísérletek gyakorlatilag (egy-két kísérleti méréstől eltekintve) nem léteznek [40,8]. Az anyagi állandókat, egyes esetekben, a beágyazás értelmezése során kijelölt diszkrét belső erők és a belső szerkezetben értelmezett, lokális „alakváltozás” közötti kapcsolatból vezetik le [16].

165 3. FOLYTONOSSÁG ÉS DISZKRÉTSÉG 3.1. Folytonosság kontra diszkrétség A folytonosság és a diszkrétség fogalmai

A folytonosság és a diszkrétség fogalma csak egymással összevetve értelmezhető. Mivel két elem közötti elhelyezkedő, vagy „hiányzó” harmadik elemről kívánunk beszélni, ezért eleve értelmezni kell az elemek elrendezését, egymáshoz való viszonyát. Az elrendezés vizs-gálatához feltesszük, hogy a halmaz elemei egy egyenes mentén helyezkednek el (lineáris elrendezés). Egy (lineárisan rendezett) halmazt folytonosnak tekintünk akkor, ha a halmaz bármely két eleme között található a halmazhoz tartozó „harmadik” elem. Egy halmazt diszk-rétnek tekintjük akkor, ha a halmaz minden eleméhez található a halmaznak egy-egy olyan

„kitüntetett” eleme, hogy a vizsgált elem és ahhoz tartozó „kitüntetett” elem között nincs a halmazhoz tartozó „harmadik” elem. A diszkrét halmaznak azt a két elemét, amely között nincs „harmadik” elem, szomszédosnak nevezzük. A folytonos halmazokban, az imént beve-zetett értelemben, nincsenek szomszédos elemek. Mind a folytonos, mind a diszkrét halmaz-ban meghatározható azoknak az elemeknek részhalmaza, amely elemek egymáshoz tartoznak.

Ez a metrikus térben az egy-egy adott hosszúságú intervallumba eső elemek részhalmazai.

Metrika hiányában a topológiai környezet az, amely az „együvé tartozás” tényét rögzíti (lásd pl. [6]).

A fenti vizsgálat során hallgatólagosan azt is feltettük, hogy az elrendezés rögzített, azaz minden időpillanatban ugyanaz az elrendezés áll fenn, az elrendezés statikus. A rögzített line-áris elrendezés a halmaznak az a tulajdonsága, amely a szomszédság és a környezet értelme-zését lehetővé teszi. Ezt a tényt minden esetben topológiai rendnek fogjuk nevezni. A rögzí-tett elrendezésből következik, hogy a halmazban az egymáshoz tartozás is rögzírögzí-tett, és fordít-va, a rögzített egymáshoz tartozás következménye a rögzített elrendezés. Ez a tulajdonság teszi lehetővé a koordinátavonal értelmezését. A geometriában axióma rögzíti, hogy az egye-nes pontjai és valós számok között egy-egyértelmű megfeleltetés van [14].

A lineáris elrendezéshez tartozó folytonosság és diszkrétség fogalmai után meg kell vizs-gálni a felületi, illetve a térbeli elrendezéshez tartozó folytonosság és diszkrétség fogalmait. A részleteket mellőzve, a folytonosság nem csak két, illetve három irány szerint áll fenn, hanem tetszőleges irányban, sőt az irányok változását leíró mennyiség (a szög) is folytonos, míg a diszkrétség esetén szabályos, vagy szabálytalan elrendezésű ponthalmazt nyerünk, amelyben értelmezhető a szomszédos elemek (amelyek között nincs a halmaznak más eleme) fogalma.

Az n-dimenziós geometriában a ponthalmaz és az euklideszi tér közötti diffeomorfizmus biz-tosítja egyrészt, hogy fennálljon a pontok egymáshoz tartozása, azaz a topológiai rend, más-részt, hogy létezzen a pontok jelölésére alkalmas koordinátarendszer. Ezeken a fogalmakon alapul a differenciálható sokaságok elmélete [48,46].

A beágyazás fogalma

Egy lineárisan rendezett, diszkrét halmazt mindig beágyazhatunk egy lineárisan rendezett folytonos halmazba. Erre példa az egész számok a valós számegyenesen. Hasonlóképpen a két-, illetve háromdimenziós diszkrét ponthalmaz mindig beágyazható egy két-, illetve há-romdimenziós folytonos ponthalmazba.

3.2. A diszkrétség

A diszkrétség matematikai szempontból

A diszkrétséget a matematikában alapvetően két konstrukcióban szokás értelmezni. Az egyik a ponthalmazok, a másik a leképezés diszkrétsége.

166

Egy (pont)halmaz diszkrét, ha a számossága véges, vagy megszámlálhatóan végtelen [14].

A diszkrét halmazban minden pont izolált pont. Azaz van a pontnak olyan környezete, amely csak a pontot tartalmazza [14].

A szabályos térrács csomópontjait tartalmazó ponthalmaz esetén a ponthalmaz diszkrétsé-ge alatt azt érjük, ha a halmaz minden eleméhez található a halmaznak (2ⁿ – 1) (n a halmaz dimenziószáma) olyan eleme, hogy a kiválasztott 2ⁿ elem által közrefogott térrészben (ez az elemi cella) nincs a halmaznak egy „(2ⁿ + 1)-dik” eleme. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a 2ⁿ elem (páronként) szomszédos, és hogy a szomszédos elemek között „üres” tér van.

A leképezés diszkrétsége alatt azt értjük, hogy a diszkrét ponthalmazon értelmezett leképe-zés értékkészlete a halmaz egészére vonatkoztatva diszkrét pontokból áll. Azaz a diszkrét le-képezés értelmezési tartománya is, és értékkészlete is diszkrét.

Az anyag diszkrétsége

Az anyag, a közeg diszkrétsége alatt azt értjük, hogy az anyagot (a közeget) alkotó elemek között van „üres” tér. Erre példa lehet a rugókkal egymáshoz kötött szilárd testekből álló „kö-zeg”; mint pl. a kristályok modellje.

A közeget alkotó elemek mozgásának folytonossága Egy-egy elem mozgását időben folytonosnak tekintjük.

A közeg diszkrétsége a közeget alkotó elemek mozgásformája alapján

Sok elem együttes mozgását három csoportba oszthatjuk: rendezett és kollektív mozgás, rendezett, de nem teljes mértékben kollektív mozgás („mintázatos” mozgás) és rendezetlen mozgás. Ebből diszkrétnek a két utóbbi minősül.

Az elemek rendezett, de nem teljes mértékben kollektív mozgása („mintázatos” mozgás):

az elemek sorrendje nem változik, ugyanakkor a rendszert alkotó elemekre nézve valamely mintázat jelölhető ki (pl. kristályrácsban az atomok rétegei) úgy, hogy a mintázatot alkotó elemek a mintázaton belül kollektív, de a mintázatot alkotó egységek egymáshoz viszonyítva nem kollektív mozgást végeznek (pl. az egyes atomi rétegeken belül elhelyezkedő atomok egy irányba mozdulnak el, de két szomszédos réteg elmozdulása nem kollektív, akár egymásra is irányulhat). Az egy mintázati elemhez tartó elemek mozgása kollektív („folytonos”). A szom-szédos mintázati elemek mozgásának iránya és nagysága nem kollektív: egyrészt az irányban az eltérés karakterisztikus, pl., ha az egyik mintázati elem jobbra, akkor a másik mintázati elem balra, vagy fordítva, esetleg rá merőlegesen mozdul el. Ezzel együtt a mozgás nagysá-gában az eltérés lehet elenyésző, de lehet karakterisztikusan eltérő is. A hangsúly az elemekre vonatkoztatható mintázaton, a mintázaton belüli egyidejű kollektív mozgáson és a mozgás azon globális jellemzőjén van, hogy a mintázatot alkotó egyes elemek egymáshoz viszonyítva nem kollektív mozgásban vannak. Ilyen lehet pl. a kristályrácsok rezgéseinek optikai ága.

Az elemek rendezetlen mozgása: az elemek sorrendje megváltozhat, az egymáshoz közel lévő elemek mozgásának iránya és nagysága nem azonos, irányban és nagyságban az eltérés rendezetlen, pl. az eltérés nagysága lehet elhanyagolható az elemek közötti távolsághoz képes, de lehet azzal összemérhető, netán azt meghaladó. A hangsúly a rendezetlenségen van, azaz azon van, hogy nem lehet mintát találni. A cölöp beverése a talajba a talajszemcsék rendezet-len mozgását váltja ki. Az irány, a nagyság szempontjából rendezetrendezet-len mozgás a hőmozgás, ez a mozgásfajta vezet a termodinamikához.

A közeg diszkrétsége a belső erők alapján

Elemek között diszkrét értelmezésű tartományú belső erők (esetenként belső nyomatékok) ébrednek: a belső erőket (nyomatékokat) egy-egy elemhez kötjük, állása a két elem referen-ciapontja (pl. súlypont) által meghatározott egyenesbe esik, értelme a fizikai jelenség függvé-nye.

A leírás diszkrétsége

Az elemek fizika térben elfoglalt helyét diszkrét ponthalmazzal jellemezzük. Rendszerint

167 az elemek referenciai pontjairól van szó.

Az elemekhez köthető jellemző mennyiségek értelmezési tartománya az elemek fizikai tér-ben elfoglalt helye, azaz a referenciapontja. Maguk a jellemző mennyiségek egy-egy ponthoz, a referencia ponthoz köthetőek, mint például eltolódásvektor, vagy erővektor.

3.3. A folytonosság

A folytonosság matematikai szempontból

A folytonosságot a matematikában alapvetően két konstrukcióban szokás értelmezni. Az egyik a ponthalmazok, a másik a leképezés folytonossága.

A folytonosság fogalmát a valós számok körében vezetjük be. A valós számok megszám-lálhatatlan, kontinuum számosságú halmaza folytonos. A lineárisan rendezett ponthalmaz folytonossága megfogalmazható a következőképpen is: a ponthalmaz bármely két pontja zött található egy azokat elválasztó pont. Az Euklideszi tér egyenesei és a valós számok kö-zött egy-egy értelmű megfeleltetés létesíthető. Az euklideszi térben az egyes egyenesek, síkok és maga a tér, következésképpen a térben kijelölhető tartományok, folytonosak. Tehát egy ponthalmaz folytonosságát a folytonossági axióma, azaz a ponthalmaz és a valós számok (di-rekt szorzata) közötti egy-egyértelmű leképezés biztosítja (lásd pl. [6,11,14]).

A leképezés folytonossága a torlódási pont fogalmára épül. A torlódási pont olyan pont, hogy minden környezete tartalmaz a ponton kívül a ponthalmaz egy (illetve több) más pontját (lásd pl. [14]). (Ez legalább megszámlálható végtelen számosságot tételez fel, minden pontja torlódási pont, és kontinuum számosságú sok pont alkotja a halmazt.)

A leképezés folytonossága alatt azt értjük, hogy ha a ponthalmaz egy pontjában adott a le-képezés (mint mozgás) iránya és nagysága, akkor az adott ponthoz tartozó (metrikus térben valamely korlátos intervallumon belüli, topológikus térben a pont környezetéhez tartozó) pon-tokban a leképezés (mint mozgás) iránya és nagysága az adott pontban vett iránytól és nagy-ságtól lényegében nem tér el (a leképezett pontok metrikus térben valamely korlátos interval-lumon belül találhatóak, topológikus térben a leképzett pontok ugyanahhoz a környezethez tartoznak). Differenciálható leképezés esetén az adott pont környezetében lévő folytonos le-képezés, mint folytonos függvény, sorba fejthető, és kis távolság, illetve környezet esetén az első differenciálhányadossal jól közelíthető [14].

Az anyag folytonossága

A vizsgált közeg (pl. kristályrács, acél, beton) modelljeként a folytonos közeg, azaz az euklideszi tér (kontinuum) egy tartományát tekintve az „anyag” (pontosabban az anyag mo-dellje) folytonos: a közeg (modelljének) bármely pontja között ott van a közeg (modelljének) egy „harmadik” pontja.

A valóságban az anyag diszkrét elemekből áll. Ezért diszkrét elemekből álló halmazra is értelmezzük a „folytonos” közeget.

Az anyag (a közeg) folytonossága alatt azt értjük, hogy az anyagot (a közeget) alkotó mek között funkcionális szempontból nincs „üres” tér. Ezt úgy értjük egyrészt, hogy az ele-mek sorrendje változatlan, másrészt, hogy a szomszédos eleele-meknek kijelölhető az érintkezési pontja, amelyek az anyag mozgása során szintén nem változik. Vagy a mozgás olyan, hogy ugyan az érintkezési pont vándorol az elemek felületén, de a vándorlásnak a folytonos leírás-módra nincs hatása. Erre példa lehet a rugókkal egymáshoz kötött szilárd testekből álló „kö-zeg” (az „érintkezési pontokat” a rugók kötik össze), mint kristályok modellje, vagy a befe-szült szemcsehalmaz (a szemcse alakja nem változik, az egyensúlyi állapot beálltáig az érint-kezési pontok vándorolnak az érintkező szemcsék felületén, az egyensúly beállta után már nem).

A közeget alkotó elemek mozgásának folytonossága

168

Egy-egy elem, azaz az euklideszi tér egy-egy pontjának mozgását (eltolódását) időben folytonosnak tekintjük.

A közeg folytonossága a közeget alkotó elemek mozgásformája alapján

A vizsgált közeg (pl. kristályrács, acél, beton) modelljeként a folytonos közegnek, azaz az euklideszi tér (kontinuum) egy tartományát tekintve a mozgás a térben folytonos: a közeg minden pontjához hozzárendelünk egy folytonos eltolódásvektort.

A valóságban az anyag diszkrét elemekből áll. Ezért diszkrét elemekből álló halmazra is értelmezzük a „folytonos” mozgást.

Sok elem együttes mozgását három csoportba oszthatjuk: rendezett és kollektív, rendezett, de nem teljes mértékben kollektív (mintázatos mozgás) és rendezetlen. Ebből a folytonosnak az első tekinthető.

Folytonos mozgás az elemek rendezett és kollektív mozgása: az elemek sorrendje nem vál-tozik, a szomszédos, az egymáshoz tartozó elemek mozgásának iránya és nagysága a közel azonos: az irányban és a nagyságban az eltérés elenyésző, mértéke az egymástól mért távolság mértékéhez viszonyítva elhanyagolható. Ilyen lehet pl. a rácsrezgések akusztikus ága, vagy a deformálható szilárd testek (kis) alakváltozása.

A közeg folytonossága a belső erők alapján

Diszkrét elemek felett csak diszkrét belső erők értelmezhetők.

A belső erők „szétkenéséhez” először az anyagot kell „szétkenni”. Ekkor a kontinuum (számosságú ponthalmaz) fölött értelmezhető folytonos belső erő.

Az euklideszi tér egy tartománya fölött folytonos értelmezésű tartományú belső erők éb-rednek: a belső erőket egyszerre rendeljük egy-egy ponthoz, és a pontokon áthaladó felületek-hez. (A folytonosság kizárja, hogy belső nyomatékot értelmezhessünk.) Mivel ez a belső erő felülethez is kötődik, ezért tenzoriális mennyiség. Egy-egy komponensének iránya egyrészt a felület normálisa, másrészt a felületbe eső két bázisvektor irányába mutat, értelme a fizikai jelenség függvénye.

A leírás folytonossága

Az elemek fizika térben elfoglalt helyét folytonos ponthalmazzal jellemezzük. Az elemeket és az elemek közötti ürességet szétkenjük, valamilyen átlagos anyagi tulajdonság modellezi a diszkrét elemekből álló anyagot. Ugyanakkor az anyagot alkotó elemek és a köztük lévő üres-ség megszűnik, csak az euklideszi tér ponthalmaza van. Formálisan az „önálló elem” az Euk-lideszi tér pontja, de annak se mérete, se tömege nincs, a pontra nem hat sem erő, sem nyoma-ték. Valójában nem önálló, mivel a környezetével együtt mozog, a mozgásukban az eltérés elenyésző. Az együvé tartozás határozza meg a közös mozgásukat, sőt a testben ébredő belső erőt is. A pontot csak az eltolódása jellemzi. A folytonos közegben megoszló erő ébred, a feszültség. Koncentrált erőt csak a ponton áthaladó felület egy kicsiny, de véges nagyságú felülettartományon ható belső erő (feszültség) eredője, valamint a pontot magába foglaló ki-csiny, de véges nagyságú térfogatra ható megoszló térfogati erő eredője szolgáltat.

A fázistérben folytonos értelmezési tartományú és folytonos értékkészletű függvények jel-lemzik a folytonos értelmezésű tartományú testet.

Az elemek fizikai térben elfoglalt diszkrét helyek halmaza helyett az elemeket modellező tartomány folytonos ponthalmazát (kontinuumot) tekintjük. Maguk a jellemző mennyiségek részben a tartomány pontjaihoz, részben a tartomány pontjaihoz és a pontokon áthaladó felü-letekhez köthetőek. Az elsőre példa a ponthoz köthető eltolódásvektor, a másodikra példa a ponthoz és irányhoz köthető alakváltozási és feszültségi tenzor.

169 4. A MODELLEK KÖZÖTTI KAPCSOLAT 4.1. A három alapmodell

A modellek típusait, és a modellek közötti kapcsolatot [31] alapján ismertetjük.

A közeg mechanikai (vagy bármely más fizikai) viselkedésének leírására, a ponthalmazok számossága alapján két alapvető modell áll rendelkezésre. Az egyik alapmodellben a közeget alkotó elemeket egymástól különálló, de egymással kölcsönhatásban álló diszkrét elemek halmazaként írjuk le. Ez vezet a diszkrét modellhez. A diszkrét modell elemei a mechanikai állapotváltozás során megtarthatják a belső, topológiai rendet, mint például kristályrácsban, vagy átrendeződhetnek, mint például a szemcsehalmazban. A másik alapmodellben a közeget alkotó elemeket szétkenjük a térben úgy, hogy a modellként tekintett térben az anyagot mo-dellező „elemek” a geometriai pontok, amelyek egymáshoz való topológiai viszonya egyszer s mindenkorra rögzített, mindösszesen a tér metrikus tulajdonságai változhatnak. Ez vezet a folytonos modellhez. A „harmadik” alapmodellként a diszkrét ponthalmaz azon speciális ese-te ese-tekinthető, amelyben a pontok szabályos térrács rácspontjaiban ülnek (mint például a kris-tályrács), és a mechanikai viselkedés leírására folytonos matematikai apparátust alkalmazunk (lásd [16,31]).

A diszkrét elrendezésű és diszkrét leírású modell

A modellre röviden diszkrét modellként fogjuk hivatkozni.

A diszkrét modellben a Newtoni mechanika összefüggéseit alkalmazzuk közvetlenül a kö-zeget alkotó minden egyes elemekre. Rendszerint az egyes elemek egymástól vett távolságá-val arányos a két elem között ébredő belső erő. (Ettől a szemcsehalmazban van eltérés.) Az egyensúlyi állapotot szem előtt tartva a diszkrét rendszer alapvetően a következőkkel jelle-mezhető.

A diszkrét rendszer elemei a rendszerre ható külső hatás alatt eltolódnak és/vagy elfordul-nak, ennek következtében megváltoznak az egymással kölcsönhatásban álló elemek közötti belső erők és/vagy belső nyomatékok. Ugyanakkor az egyes elemek a rá ható erők és nyoma-tékok hatása alatt egyensúlyban vannak. A kinematikai ismeretlenek száma arányos az elemek számával (n), és a kinematikai szabadságfok jellegétől függően – eltolódás: 3, elfordulás: 3, mindkettő: 6 – más és más. A belső erők, azaz a dinamikai ismeretlenek száma arányos az egymással párban álló elemek számával. Ha minden elem kapcsolatban áll minden elemmel, és az akció-reakció tényét figyelembe vesszük, akkor n(n – 1)/2 kapcsolat létezik, amelyhez a kinematikai szabadságfok jellegétől függően más és más számú belső erő ébred: eltolódás esetén 3 erőkomponens, elfordulás esetén 3 nyomaték komponens, együttes kinematikai sza-badság fok esetén mindkét dinamikai belső erő fellép. Ugyanakkor a dinamikai szasza-badságfo- szabadságfo-kok száma valójában nem játszik szerepet az elméletben, ugyanis azok a kinematikai szabad-ságfokok függvényei. Az egyensúlyi egyenletek száma az elemek számával arányos, és nem az elemek között ébredő belső erők számával. Az egyensúlyi egyenletek száma erők esetén 3n, nyomatékok esetén 3n, mindkettő fennállása esetén 6n. Pont annyi, ahány kinematikai ismeretlen létezik. Azaz az elméletben éppen annyi egyenlet írható fel, ahány ismeretlen mennyiség jellemzi a rendszert (lásd pl. [30,31]).

Diszkrét mechanikai rendszerben a rendszert jellemző állapothatározó függvények értel-mezési tartománya diszkrét, értékkészlete egy-egy pontban (ahol értelmezve van, idő szerint) folytonos, de az összes elemre vonatkozó állapothatározó függvények értékei az állapottérben szintén diszkrétek.

Diszkrét rendszerekre a következő példák adhatók: rácsok rezgései [5], rúdszerkezetek egyensúlya (lásd pl. [45]), szemcsehalmazok egyensúlya [25,26].

A diszkrét elrendezésű és folytonos leírású modell

170

A modellre röviden kvázifolytonos modellként, esetenként rács-, illetve általánosított kon-tinuumként fogjuk hivatkozni.

A kvázifolytonos modell értelmezéséhez egy diszkrét rendszert tekintünk, az ott megadott kinematikai és dinamikai jellemzőkkel (lásd a diszkrét modell leírását). Feltesszük, hogy a közeget alkotó elemek egymáshoz viszonyított elrendezése, azaz az elemek topológiai rendje, rögzített: az a közeg mechanikai állapotváltozása során megmarad. Sőt feltesszük, hogy a közeget alkotó elemek egy szabályos rácshálózat rácspontjaiban foglalnak helyet. Magukat az elemeket beágyazzuk a folytonos térbe. A közeg elemeinek állapotát leíró, diszkrét értelmezé-sű tartományú függvényeket a beágyazó tér felett értelmezett folytonos függvények terében sorba fejtjük, majd ezekre a közelítő függvényekre nézve állítunk fel feltételeket, hogy a kö-zelítés minél közelebb legyen a pontos megoldáshoz. Mivel a közeg állapotegyenletei a diszk-rét ponthalmazon értelmezett diszkdiszk-rét értelmezési tartományú függvényekre vonatkoznak, ezért a folytonos közelítő és a diszkrét pontos megoldás közötti eltérést a folytonos (beágyazó) térben értelmezett folytonos hibavektor segítségével határozzuk meg. Ez a gyakorlatban egy variációs elv alkalmazásával egyenértékű. (Legtöbbször a mechanikai rendszer Lagrange-függvényét tekintjük.) A modell származtatásából következik, hogy a rendszer valójában disz-krét, az állapotának leírására alkalmazunk folytonos függvényeket. A kvázifolytonos modell alapja a diszkrét rendszer (a távolságfüggő belső erőivel), a rögzítetett topológia és a numeri-kus módszer (lásd pl. [16,30,31]).

A kvázifolytonos rendszerre a példák a következők: Cosserat-kontinuum [7], nyomatéki rugalmasságtan, mikropoláris, mikronyúlású, mikroszögváltozós és mikroalakváltozású álta-lánosított kontinuum (lásd pl. [15,8,40,16,1,2]).

A folytonos elrendezésű és folytonos leírású modell

A modellre röviden folytonos modellként, vagy kontinuumként fogjuk hivatkozni.

A folytonos modellben szétkenjük a közeget alkotó anyagot a beágyazó tér „pontjaiba”, ezzel együtt a topológiai rendet rögzítjük, az a mechanikai változás során változatlan. A közeg jellemzéséhez a közeget leíró kontinuum számosságú ponthalmaz a ponthalmazon értelmez-hető metrikus tulajdonságokban végbemenő változással jellemezértelmez-hető (lásd pl. [27-29]).

A folytonos modellben az „elemek” kiterjedés nélküli pontok, amelyeknek lehet eltolódá-sa, sebessége, de nem lehet elforduláeltolódá-sa, nincs tömege, és nem hathat rá sem erő, sem nyoma-ték. A Newtoni mechanika összefüggéseit nem egy pontra, hanem egy kicsiny, de véges tér-fogatú „elemi” térrészben lévő anyagra írjuk fel. Az anyagon belül minden pontnak van

A folytonos modellben az „elemek” kiterjedés nélküli pontok, amelyeknek lehet eltolódá-sa, sebessége, de nem lehet elforduláeltolódá-sa, nincs tömege, és nem hathat rá sem erő, sem nyoma-ték. A Newtoni mechanika összefüggéseit nem egy pontra, hanem egy kicsiny, de véges tér-fogatú „elemi” térrészben lévő anyagra írjuk fel. Az anyagon belül minden pontnak van

In document MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2018 (Pldal 175-182)