Mechanikai hullámok

+ ⋅ + ⋅ + + ⋅

,

amelyben a_i és b_i csökkenő tendenciát mutatnak. Az ω neve alapfrekvencia (vagy alaphar-monikus), aminek egész számú többszörösei a felharmonikusok.

A 1.16. ábra a Fourier-sor első két tagjával szemlélteti, hogy hogyan lehet egy pl. az y ten-gelyre szimmetrikus téglalaprezgést koszinuszfüggvényekkel közelíteni. Ha egyre több tagot adunk hozzá a sorhoz, az eredmény egyre kisebb hibával adja meg a téglalaprezgést.

1.16. ábra: Téglalap-rezgés Fourier-közelítése

Egy összetett rezgés frekvenciaeloszlását spektrumnak nevezzük. A spektrum lehet folytonos, ha a frekvenciák folytonosan, ugrás nélkül követik egymást, valamint vonalas (diszkrét), ha csak bizonyos frekvenciák fordulnak elő benne és ezek nem folytonosan követik egymást.

A 1.17. ábra látható téglalaprezgés spektruma például vonalas, mert csak az ω, 3ω stb-nek megfelelő f, 3f stb. frekvenciákat tartalmazza tendenciózusan csökkenő amplitúdóval.

1.17. ábra: Vonalas spektrum

1.1.10. Mechanikai hullámok

Ha a mechanikai rezgést végző rezgő centrumot (a gerjesztő rezgést vagy hullámforrást) ru-galmas közeg veszi körül, akkor a rezgési energia képes pontról pontra továbbterjedni. A rez-gés tömegpontról tömegpontra történő térben és időben való terjedését mechanikai hullámnak nevezzük. A hullámok terjedése

–térbeli, mert a hullám eljut A pontból B pontba,

– időbeli, mert bizonyos ideig eltart, amíg a hullám ezt a távolságot megteszi.

1.1.10.1. A mechanikai hullámok fizikai jellemzői Periódusidő:

Két, egymáshoz legközelebb eső azonos rezgési fázisú pont időbeli távolsága, vagy máskép-pen fogalmazva az a legrövidebb idő, amely alatt egy adott pont ugyanabba a rezgésállapotba kerül, a hullám T periódusideje. Ez szükségszerűen megegyezik a hullámforrás perióduside-jével. SI-beli mértékegysége a szekundum, jele: s.

Frekvencia:

Az egységnyi idő alatt kialakuló hullámok száma a hullám f frekvenciája, amely számértéki-leg megegyezik a hullámot gerjesztő rezgés frekvenciájával. SI-beli mértékegysége az

1 Hz

s = (hertz).

Amplitúdó:

A rezgő pontok maximális kitérését A amplitúdónak nevezzük. SI-beli mértékegysége a mé-ter: m.

Hullámhossz:

Két, egymáshoz legközelebb eső azonos rezgési fázisú pont térbeli távolsága, ami megegyezik a hullámfront által T idő alatt megtett úttal, a hullám λ hullámhossza. SI-beli mértékegysége a méter, jele: m.

Terjedési sebesség:

Mivel a hullámok adott homogén közegben állandó sebességgel mozognak, ezért a hullámok-ban a rezgés terjedési sebessége az előzőek alapján:

c s f

t T λ λ

= = = .

Az összefüggésből látható, hogy egy adott sebességű hullám frekvenciája és hullámhossza fordítottan arányosak egymással, tehát egyazon terjedési sebesség esetén nagy frekvenciához kis hullámhossz, kis frekvenciához pedig nagy hullámhossz tartozik. A terjedési sebesség SI-beli mértékegysége: m

s .

1.1.10.2. Közegek összehasonlítása hullámtanilag

Ha két közegben a hullámok terjedési sebessége megegyezik, a két közeget hullámtanilag azonosnak, ellenkező esetben hullámtanilag különbözőnek mondjuk. Ha például az 1-es kö-zegben a terjedési sebesség nagyobb, mint a 2-es számúban (c₁ >c₂), akkor az 1-es számú közeg hullámtanilag ritkább, a 2-es pedig hullámtanilag sűrűbb. Lehet hullámtanilag azonos két különböző közeg is. Például ha a mechanikai hullám terjedési sebessége két különböző anyag esetében azonos, akkor ezek hullámtanilag azonosak. Lehet azonban hullámtanilag különböző két azonos anyagból készült közeg is, ha valamely fizikai jellemzőjük különbözik.

Például a levegőben a hanghullám terjedési sebességét befolyásolja a levegő hőmérséklete.

Ilyenkor két különböző hőmérsékletű levegőréteg hullámtanilag különbözik. Ugyanilyen je-lenség tapasztalható a vízfelületen terjedő hullámok esetében is. A vízhullám terjedése sebes-sége függ a víz mélységétől. Ilyenkor a mélyebb víz hullámtanilag különbözik a sekélyebbtől.

1.1.10.3. A mechanikai hullámok csoportosítása

1.1.10.3.1. A kitérés iránya szerint

– Transzverzálisnak nevezzük a hullámot, ha a kitérés merőleges a terjedés irányára.

–Longitudinális hullámról akkor beszélünk, ha a kitérés párhuzamos a terjedési iránnyal.

1.1.10.3.2. A közeg dimenziószáma szerint

–Egydimenziós (1D) hullámok, amelyek vonal mentén alakulnak ki. Jó közelítéssel ilyenek egy megfeszített gumikötélen keltett hullámok.

–Kétdimenziós (2D) hullámok, amelyek felületen alakulnak ki. Ilyenek például a vízfelület hullámai.

–Háromdimenziós (3D) hullámok, amelyek térben alakulnak ki. Ilyen a hanghullám, vagy a földrengések lökéshullámai.

1.1.10.4. Hullámegyenlet és hullámfüggvény

A rugalmas közegben létrejövő mechanikai hullámok kialakulását leíró egyenletet – matema-tikai bonyolultsága miatt – nem vezetjük le. A közegben y irányban az x terjedési irányra me-rőlegesen (transzverzálisan) keltett zavar mozgását leíró hullámegyenlet parciális differenciál-egyenlet, amely:

c idővel később érkezzen. Matematikailag:

(

^,

)

^x

Ez az általános matematikai megoldás a hullámegyenlet fizikai megoldására tág lehetőséget biztosít. Az olyan megoldások száma, ahol bármilyen alakú, bármilyen gerjesztő rezgés vagy impulzus által elindított hullámok alakulnak ki és c sebességgel haladnak az x tengely mentén, gyakorlatilag végtelen. A sokféle megoldás közül azonban tárgyalásunk szempontjából külö-nösen fontosak az

alakú harmonikus hullámfüggvények. A vonal mentén terjedő hullám képét az origótól való indulás után számított t időpillanatban ábrázolja az 1.18. ábra:

1.18. ábra: Harmonikus gerjesztő rezgés által kialakított 1D hullám Az origótól x távolságban lévő pont harmonikus rezgőmozgást végez, melynek fázisa x

c idő-vel késik az origóban lévő hullámforrás gerjesztő rezgésének fázisához képest.

Megjegyzések:

1. A ∂ szimbólum a több változótól függő mennyiség egyetlen változója szerinti derivált, az ún. parciális deri-vált jelölésére szolgál.

2. A hullámegyenlet térbeli hullámok terjedése esetén ψ(r t, )=ψ(x y z t, , , ) függvényre vizsgálva:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

x y z c t

ψ ψ ψ ψ

∂ ∂ ∂ ∂

+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

,

alakú. A homogén, izotróp közegben terjedő gömbhullám megoldásaként származó hullámfüggvény:

(^{r t,} ) ^A_r^{0 sin}

( )

^{t x}_c

ψ = ω − ,

ahol A₀ a gömbhullám hosszúságnégyzet dimenziójú felületi amplitúdója, számértékileg megegyezik a hul-lámforrástól egységnyi távolságban a hullám amplitúdójával. A felületi amplitúdó tehát a távolság növekedé-sével fordított arányban csökken. Ez a hullámfüggvény a hullámforrás méretéhez képest sokkal nagyobb tá-volságban észlelt hullámjelenséget írja le jó közelítéssel.

1.1.10.5. A hullámok tulajdonságai

A hullámok 5 alapvető tulajdonsággal rendelkeznek, ezek a visszaverődés, a törés, az elhaj-lás, az interferencia és a polarizáció. Az első két tulajdonság, a visszaverődés és a törés akkor következik be, ha a hullám két olyan közeg határához ér, amelyek hullámtanilag különbözőek, vagyisc₁ ≠c₂. Ez a két tulajdonság geometriailag ábrázolható oly módon, hogy a hullámnak csak azt a tulajdonságát tekintjük, hogy homogén közegben egyenes vonalban terjed. Ilyenkor a hullámokat terjedési irányuk mentén egyenes vonallal szemléltetjük.

1.1.10.5.1. Visszaverődés (reflexió)

A köteghatárhoz érkező hullám visszaverődik a közeghatárról. A közeghatárra állított merőle-ges az ún. beesési merőlemerőle-ges (1.19. ábra). Tapasztalat szerint beeső hullám és a beesési

merő-leges által bezárt α beesési szög, valamint a visszavert hullám és a beesési merőleges által bezárt α’ visszaverődési szög megegyezik:

α =α′ ,

valamint a beeső hullám, a visszavert hullám és a beesési merőleges ugyanabban a síkban van-nak (3. Animáció: Visszaverődés).

1.19. ábra: Visszaverődés

1.1.10.5.2. Törés (refrakció)

Amikor a közeghatárhoz érkező hullám átlép a közeghatáron és a két közeg hullámtanilag különbözik (c₁ ≠c₂), a hullám haladási iránya megtörik (1.20. ábra). A hullámok törésének tapasztalati törvénye a Snellius–Descartes-törvény, mely szerint:

Azaz matematikailag:

1 2

sin sin

c c α β ⁼

1.20. ábra: Törés

„A beeső hullám beesési merőlegessel bezárt α beesési szögének szinusza úgy aránylik a továbbhaladó (megtörő) hullám beesési merőlegessel bezárt β törési szögének szinuszához, mint a két közegben mért terjedési sebesség.”

Mivel homogén közegben c₁ és c₂ állandó, ezért a hányadosuk szintén állandó (4. Animáció:

Törés). Ennek az állandónak a neve: a 2-es közegnek az 1-es közegre vonatkoztatott törésmu-tatója, röviden törésmutató (n₂₁), tehát

21 1

2 12

In document Fizika (Pldal 41-46)