Anyagi pont kinematikája

1.1.1. Mechanikai alapfogalmak, vonatkoztatási rendszerek, helyvektor

Egy testet tömegpontnak (anyagi pontnak, pontszerű testnek) tekinteni mindig valamilyen közelítést jelent. A körülmények, a környezet és a vizsgálati pontosság iránti igény dönti el, hogy ez a közelítés megengedhető-e. A Kinematikában azt vizsgálják, hogy melyek a mozgás jellemzői: a tömegpont hol tartózkodik adott időpillanatban egy választott koordináta-rendszerben, mekkora ott a sebessége és a gyorsulása. Ezeket mozgásegyenletekben fogjuk kifejezni. Nem vizsgáljuk ugyanakkor a mozgás okait, ezt majd a dinamikában (kinetikában) tesszük meg.

Koordináta-rendszert mindig célszerűségi alapon választunk, az adott problémához legjobban illeszkedőt, ahol a mozgást a legegyszerűbben lehet leírni a matematika eszközeivel. A koor-dináta-rendszert valamilyen objektumhoz rögzítve képzeljük el. Az, hogy mihez rögzítjük a koordináta-rendszert, alapvetően befolyásolja a benne történt mozgás milyenségét, a mozgást jellemző egyenleteket. Például egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatban a vo-nathoz rögzített koordináta-rendszerben annak kerekei egyenletes körmozgást végeznek.

Ugyanezen kerék egy pontja a Földhöz rögzített koordináta rendszerből nézve ciklois pályán mozog. A vonatban álló személy által leejtett tárgy egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást (szabadesést) végez a vonathoz rögzített koordináta-rendszerben, míg a Földhöz rög-zített koordináta-rendszerben parabola pályán mozog (vízszintes hajítás).

1.1.1.1. A Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer

A mozgások leírásakor a matematikai előismeretekre való tekintettel legtöbbször a derékszö-gű Descartes-féle koordináta-rendszert fogjuk használni (1.1. ábra), melynek tengelyeit x, y, z-vel, és az origóból (O) kiinduló tengely irányú egységvektorokat ,i j, k -val jelöljük (a betű fölötti vízszintes nyíl vektormennyiségre utal).

1.1. ábra: Pálya, út, elmozdulás

Ebben a rendszerben mindhárom koordinátatengely merőleges a másik kettőre, mindhárom helykoordináta az origótól mért adott irányú távolságot jelöli, valamint x, y és z úgy követik egymást, mint ahogy jobb kezünk egymásra páronként merőlegesen kinyújtott hüvelyk-, mu-tató- és középső ujja.

A tömegpont (P) helye az ^{r t}

( )

helyvektorával jellemezhető, melynek P pontba mutató vég-pontja a t idő függvényében általános esetben valamilyen térgörbén, az ún. pályán halad (1. Animáció: Pálya, út, elmozdulás). Az ^{r t}

( )

helyvektor felírható a tengelyek irányába mu-tató összetevő vektorok eredőjeként:

( ) ( ) ( ) ( )

r t =x t i +y t j z t k+ ,

ahol ^{x t}

( )

^{, y t}

( )

^{és z t}

( )

^{az r t}

( )

helyvektor abszolút értékének időtől függő komponensei, vagy ún. trajektóriái.

Ez azt jelenti, hogy a P tömegpont mozgása – ebben a vonatkoztatási rendszerben – három, egymásra merőleges egyenes vonalú mozgás szuperpozíciója (összetevése).

Az ^{r t}

( )

függvény matematikailag egy úgynevezett egyparaméteres (a paraméter a t idő) vek-tor-skalár függvény, amelyre a matematikában tanultakat lehet alkalmazni.

Az ^{r t}

( )

abszolút értéke (hossza), vagyis ^{r t}

( )

a Pitagorasz-tétel alapján kiszámítható. Adott t időpillanat esetén:

( )

²

( )

²

( )

²

( )

r t = x t +y t +z t . 1.1. Példa: A helyvektor számítása

Legyen

( )

^{1 2 2}

r t = 2ti t j+ + k a tömegpont pályaegyenlete (a számadatok SI-ben megadott értékek). Kérdések:

a) Hol tartózkodik a tömegpont a t₁ 1 = s és t₂ 2= s időpillanatokban?

b) Milyen távol van a tömegpont ekkor az origótól?

c) Honnan indult a tömegpont?

Megoldás: c) Indulásának helye:

A tömegpont t₀ 0= s esetén r t

( )

0 = ⋅2 k , azaz a t₀ 0= s-nál a P0

(

0;0;2

)

pontban tar-tózkodott.

Mivel a ^{z t}

( )

²⁼ m konstans, nem függ az időtől, ezért a mozgás síkmozgás, amely sík az x-y síkkal párhuzamos („vízszintes”) és a z tengely z 2= m ponton döfi (ahonnan a mozgás éppen indul, (1.2. ábra).

Mivel

( )

¹

x t =2t és ^{y t}

( )

^=t2, ezért a pálya paraméteres skalár egyenletrendszeréből t kiküszöbölhető és ekkor a mozgásegyenlet Descartes-féle koordináta-rendszerben, nem paraméteresen y=4x², amely parabola (1.2. ábra).♣

1.2. ábra: Parabolapálya a z=2 síkban

1.1.1.2. Polárkoordináta-rendszerek

A hely megadására és a helykoordinátákból származtatott fizikai mennyiségek számítására a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer mellett a síkbeli és a gömbi polárkoordináta-rendszert is használhatjuk. Alkalmazásuk olyan esetekben indokolt, ahol a mozgás szimmet-riája könnyebbé teszi a velük való számolást.

A síkbeli polárkoordináta-rendszer egy adott P pont síkbeli, körszimmetrikus mozgásakor használhatjuk. Itt a P pont helyzetét az origótól mért r távolság és egy adott referencia-irányhoz képesti φ szögelfordulás jellemzi. Az r sugár értéke 0-tól +∞-ig mehet, míg a φ polárszög +∞ és –∞ között bármilyen értéket felvehet (1.3. ábra).

1.3. ábra: Síkbeli polárkoordináta-rendszer

Térbeli mozgásnál, vagy gömbszimmetriával rendelkező probléma megoldásánál az egyik leggyakrabban alkalmazott rendszer a gömbi koordinátarendszer, amelyet például a Földön való tájékozódáskor, az ún. földrajzi koordinátarendszerben is alkalmaznak. Adott P pont helyét ilyenkor három koordináta jellemzi: az origótól mért r távolság vagy sugár, a referen-cia-irányhoz képesti vízszintes φ szögelfordulás vagy azimutszög (a Földön ez a hosszúsági fok), valamint a referencia-irányhoz képesti függőleges υ szögelfordulás vagy polárszög (a Földön ez a szélességi fok, 1.4. ábra).

1.4. ábra: Gömbi koordináta-rendszer

1.1.2. A sebesség

Tartózkodjon a t időpillanatban a tömegpont a pályának az ^{r t}

( )

helyvektorral jellemzett P₁ pontjában, ∆t 0> idő múlva, vagyis a t+∆t időpillanatban pedig az ^{r t}

(

^+∆t

)

helyvektorral jellemzett P₂ pontban. Ekkor az anyagi pont ∆t idő alatti elmozdulása:

( ) ( )

r r t t r t

∆ = +∆ − .

Ezalatt az 1.5. ábra szerint a tömegpont a pálya teljes vagy egy részének P P_{1 2} ívhosszát teszi meg, amelyet s P P≡ _{1 2} ≥ ∆r útnak nevezünk. Az s út tehát egyenes vonalú pálya esetén az elmozdulás abszolút értékével azonos nagyságú, görbe vonalú pálya esetén pedig kisebb annál.

1.5. ábra: Sebesség A r

t

∆

∆ hányadost átlagsebességnek nevezzük (iránya ∆r irányába mutat), amely ∆t csökken-tésével egyre jobban megközelíti a P₁ pontbeli pillanatnyi sebességét, amelynek pontos értéke

( ) ( ) ( )

adott pillanatban megszűnne a sebesség változása.

Megjegyzés:

A mennyiség fölé írt pont (^{r tɺ}

( )

-t olvasd: r-pont-t) az idő szerinti deriválás megkülönböztetésére szolgál, a továbbiakban is ezt a jelölésrendszert fogjuk követni.

A pillanatnyi sebességvektor tehát az ^{r t}

( )

helyvektor idő szerinti első deriváltja. Ennek

( )

r tɺ abszolút értéke a sebesség nagysága:

( ) ( )

²x ²y z²

v= r tɺ = v t = v +v +v _.

A sebesség definíciója alapján SI-beli mértékegysége a méter per másodperc, jele: m

s . Gyak-ran használt, nem SI-egysége a km

h , az átváltás: 1m 3, 6km s = h .

In document Fizika (Pldal 21-26)