4 Lin eáris időinvariáns rendszerek
4.5 LTI rendszerek leírása differenciál- és differenciaegyenletek segítségével
4.5.1 Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek
Ezekkel az egyenletekkel a rendszer bemenete és kimenete közti kapcsolatot próbáljuk megfogalmazni. Tekintsük az alábbi egyenlet:
( ) 2 ( ) ( ) dy t y t x t
dt + = (4.53)
A fenti egyenlet a rendszer viselkedését implicit módon írja le. Meg kell oldanunk az egyenletet, hogy explicit alakban álljon elő a rendszer kimenete a bemenet függvényeként.
Az ilyen típusú egyenletek megoldása úgy történik, hogy előállítjuk az egyenlet homogén megoldását - ha esetleg x t( )=0esetet vizsgálnánk, akkor készen is lennénk -, és az egyenlet egy partikuláris megoldását. Azért egyet, mivel elméletileg végtelen sok létezik. Ezután a két megoldás összegeként áll elő az eredeti egyenlet megoldása.
( ) p( ) h( )
y t = y t +y t (4.54)
Az egyenlet homogén megoldása a
( ) 2 ( ) 0 dy t y t
dt + = (4.55)
egyenlet megoldása .
Hogy egy partikuláris megoldását megtaláljuk a rendszernek, tételezzük fel, hogy ha t>0 akkor:
{
0}
( ) Re j t
x t = Ke ω (4.56)
ahol K egy komplex szám.
(Általánosságban kijelenthetjük, hogy partikuláris megoldás keresésére csak a bemenet függvényének ismeretében van lehetőségünk bármely számítást elvégezni.)
Ebből viszont ugyancsak következtethetünk a megoldás alakjára:
{
0}
( ) Re j t
y tp = Yeω (4.57)
Ahol Y szintén egy komplex szám.
Visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe:
{
0 0 0} {
0}
Re jωYejωt+2Yejωt =Re Kejωt , ∀ >t 0 (4.58)
Amiből egyértelműen következik, hogy csak akkor állhat fent, ha:
0 2
jω Y+ Y =K (4.59)
Ezt átrendezve kapjuk, hogy:
2
Ezért a partikuláris megoldás alakja:
{
0}
2 0Ahhoz, hogy a homogén megoldását megtaláljuk az egyenletnek, korábbi matematikai ismereteink alapján y(t) alakjáról az alábbi feltételezést tehetjük:
( ) st y th =Ae
(4.63)
Frissen tett feltételezésünket visszaírva a differenciaegyenlet homogén alakjába:
2 ( 2) 0
st st st
Ase + Ae = ⋅ + ⋅A s e = (4.64)
A fenti egyenlet azonban akkor és csak akkor igaz, ha s= −2. Azonban „A” valós paraméter szabadon választható, bármely értékére teljesül az egyenlet.
Így az egész egyenlet megoldása:
2
Azonban ez csak fél siker a rendszerünk leírására tett kísérletben. Ahogy azt a szemfüles olvasó észrevehette, „A” szabad paraméter, így a rendszer kimenete bár a fenti alakú, mégsem definiált teljesen. Hogy számolásunk ezen csorbáját ki tudjuk köszörülni, további információra van szükségünk a rendszer működéséről. Szükségünk van y(t) értékére egy bizonyos pillanatban, hogy pontosítani tudjuk matematikai leírásunkat. Ezt az értéket kezdeti feltételnek (auxiliary condition) nevezzük. Ez a feltétel határozza meg a szabad paraméter értékét.
Tradicionálisan a t=0 pontban adjuk meg a kezdeti értéket, de szabadon tekinthető bármely más pont is.
Legyen adott tehát:
(0) 0
y = y
Ekkor a megoldás egyenletéből kifejezhetjük a szabad paramétert, t=0-ban:
0 2
Így a megoldásunk végre az alábbi explicit formában előáll:
2 2
Vizsgálódásunkat eddig at≥0 tartományra korlátoztuk, de mit tudunk elmondani t<0 esetben? Először is tételezzük fel, hogy:
( ) 0, 0
x t = ∀ <t
Ezért y(t)-nek csupán a homogén egyenletet kell teljesítenie. Ahogyan az előbb láttuk, y(t)-t újra a Bestalakban keressük, felhasználva a kezdeti feltételt, amit az imént ismertünk meg.
Azonban ekkor egyértelműen következik, hogy:
2
( ) 0 t, 0
y t =y e− t<
Így a két megoldást kombinálva végre bármely időpontra megkapjuk a rendszer válaszát:
Vizsgáljuk meg most a rendszer linearitását!
Ahogy azt a linearitás definíciójánál megemlítettük, a rendszer akkor lineáris, ha nulla bemenetre a rendszer válasza is nulla. Ebből kiindulva a fent vizsgált rendszerünk pontosan akkor lineáris, ha y0 =0
4.1. állítás: Az a rendszer, amelyet lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenlet ír le, lineáris, ha a kezdeti feltétel a t=0 pontban zérus.
4.2. állítás:Azok a rendszerek, amelyeket lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet ír le, azonban kezdeti értékük a nulla pontban nem zérus, szakaszosan lineárisak. Azaz a következőképpen írhatóak le:
4.25. ábra A lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlettel leírt rendszerek szakaszosan lineáris struktúrája
Nézzük meg, hogy kauzális-e a rendszerünk!
A kauzalitás azt feltételezi, hogy rendszerünk nem képes megjósolni, hogy bemenetén milyen jel fog beérkezni. Azonban a fent vizsgált egyenletünk ez ellen súlyosan vét, hisz t<0 már sejti, hogy mi lesz a bemenet, és hogyan fog viselkedni t>0 időben; sőt előkészíteni látszik a függvényt, így teremtve folytonosságot. Ahhoz tehát, hogy rendszerünk kauzális legyen, az alábbi kikötéseket kell tennünk:
0
Így ahhoz, hogy a differenciálegyenletünk kauzális legyen, nyugalmi kezdeti állapotokat (initial rest) kell feltételeznünk. Ebben az esetben ha külső nyugalmi állapotokat tételezünk fel, akkor még az időinvariancia is teljesül rendszerünkre.
Azonban nem csupán elsőrendű egyenletek írják le a valós fizikai rendszereket. Sokszor szükségünk van a magasabb rendű egyenletek felírására is:
Egy általános, N-edrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet az alábbi alakba írható: deriváltjainak a függvényében.
Ha viszont N >1, akkor ebben az esetben az egyenlet analízise a fent megadott formában folytatható, azaz a partikuláris és a homogén egyenlet meghatározása a feladat. Magasabb rendű esetben ez azonban igen bonyolult számolást eredményezhet. A másik apró különbség, hogy itt nem elég egyetlen kezdeti feltétel a megoldás meghatározásához, hanem N db szükséges az explicit alakhoz:
1
− , valamely időpontban vett értéke
Ezenkívül a rendszer, melyet ez az egyenlet ír le, pontosan akkor lineáris, ha ezen kezdeti feltételek mindegyike zérus.
Kauzális pedig akkor lesz a rendszer, ha rendelkezik nyugalmi állapottal, azaz:
0
4.5.2 Lineáris állandó együtthatós differenciaegyenletek A diszkrét időben N-edrendű differenciaegyenletnek nevezzük a következőt:
0 0
Egy ilyen típusú egyenlet hasonló módon megoldható, mint azt folytonos időben megtettük, persze meghatározott kiindulási feltételek mellett.
Azonban a diszkrét időtartomány lehetőséget ad egy másik megoldási módszer alkalmazására is. Az egyenlet könnyen átrendezhető az alábbi formába:
0 1
Ez az egyenlet oly módon írja le a kimenet, hogy az függvénye a jelenlegi és múltbéli bemeneteknek, továbbá a régebbi kimeneti értékeknek is. Ebből azonnal láthatjuk, hogy mennyire is szükségünk van a kezdeti feltételekre. Ahhoz, hogy y[n] értékét kiszámítsuk, szükségünk van y[n-1],...,y[n-N] értékekre. Tehát a célból, hogy bármely időpontban meg tudjuk mondani a kimenet, az y[-N],...,y[-1] kezdeti értékeknek adottnak kell lennie. Ha ezek mind nulla értékűek, akkor diszkrét időben is lineárisnak mondjuk a rendszert.
Egy egyenletet a fenti formában rekurzívnak nevezünk, mivel rekurzív módon számolja ki a következő kimeneti értéket a bemenet és kimenet előző értékeiből.
Ha N =0, akkor az egyenletünk az alábbi, nem rekurzív formába írható:
0 0
Ebben az esetben viszont nincs szükségünk kezdeti feltételekre, hisz a kimenet a bemeneti értékekből explicit módon számolható.
Ha jól megnézzük, akkor a fenti egyenlet hasonló egy konvolúcióhoz, amiből az adódik, hogy a rendszer átviteli függvénye:
0
Jól látható, hogy az átviteli függvény csupán egy adott véges intervallumon nem nulla. Az ilyen rendszereket, amelyek ilyen tulajdonsággal rendelkeznek, véges impulzusválaszú rendszereknek (finite impulse response system: FIR) nevezzük.
Bár nulladrendű rendszerek esetében nem szükséges kezdeti feltételt megadni, N>1 esetben már nélkülözhetetlenek a kezdeti feltételek. Hogy mélyebb belátást adhassunk ezen problémakörbe, álljon most itt egy példa ilyen számolásra:
4.9. példa:
Tekintsünk egy elsőrendű rendszert, amelyre [ ] 1 [ 1] [ ]
y n −2y n− =x n differenciaegyenlet teljesül.
Rendezzük át az egyenletet:
[ ] 1 [ 1] [ ] y n =2 y n− +x n
Tegyük fel kezdeti feltételként, hogy [ 1]
y − =a
és hogy a bemeneten az alábbi jel érkezik:
[ ] [ ]
x n = ⋅K δ n
, ahol K egy tetszőleges komplex szám.
Oldjuk meg a problémát n≥0esetre:
Rendezzük át az egyenletet a következő formába:
{ }
[ 1] 2 [ ] [ ] y n− = y n −x n Ekkor visszafelé számolva:
{ }
Így most már kombinálhatjuk a két esetet:
1 1 1
Ha létezik a rendszernek nyugalmi állapota, azaz
0
Akkor a rendszerünk kauzális.
Ha még az is teljesül, hogy y n[ 0]=0, akkor a rendszerünk időinvariáns is.
Általában, ahogy láttuk a példákon keresztül, a fent említett számolási módszer alkalmazható mind folytonos, mind diszkrét időben a megoldás meghatározására. Azonban a rendszerek bonyolultságának fokával együtt nő a számítás bonyolultsága is. Ezért a matematika megalkotta saját eszközeit ezen problémák megoldásának megtalálására. Így folytonos esetben a Laplace-transzformáció segítségével a differenciálegyenletek jóval könnyebb megoldási lehetőségét kapjuk, de ezért fizetnünk kell azzal, hogy a rendszer kezdeti értéke 0 és nyugalmi állapotban volt a gerjesztésig. Bár ez a megoldásmód ezen feltételek nem teljesülése esetén is használható bizonyos trükkök segítségével, mégis a definíció által meghatározott tartomány elhagyása nagyon körültekintő, óvatos megoldáskeresést és számolást igényel. Diszkrét esetben a megoldás kereséseZ-transzformáció segítségével történik, ami lényegesen megkönnyíti a megoldást, azonban sajnos nem minden differenciaegyenlet megoldása számolható ki ily módon. Ezekre a módszerekre a későbbiekben visszatérünk, ha már a frekvenciatartománnyal kapcsolatos alapvető kérdéseket tisztáztuk.