3 Jelek és rendszerek
3.1.4 Alapvető diszkrét jelek
3.1.4.3 Diszkrét komplex exponenciális és szinuszos jelek
k
x n ∞ x k δ n k
=
=
∑
⋅ − (3.47)3.1.4.3 Diszkrét komplex exponenciális és szinuszos jelek
Mint a folytonos időben, diszkrét időben is definiálhatjuk a komplex exponenciális jeleket (complex exponential signals):
[ ] n
x n = ⋅C α (3.48)
ahol C és α komplex számok.
A komplex exponenciális átírható a következő alakba is:
, [ ] n
eβ x n C eβ
α = = ⋅ (3.49)
Bár ez barátságosabb, hisz ily módon jobban hasonlít folytonos idejű társához, azonban mégis előszeretettel használják az előbbi alakot.
Ha C és α valós számok, akkor
[ ] n
x n = ⋅C α (3.50)
is valós diszkrét idejű függvény lesz, így négy esetet megkülönböztetve és ábrázolva:
3.45. ábra Komplex exponenciálisok, (a) α > 1, (b) 0 < α < 1
3.46. ábra Komplex exponenciálisok, (c) -1 < α < 0, (d)α < -1
Ha α = ±1akkor x t( )= ±ckonstans függvény.
Most vizsgáljuk azt a meghatározóan fontos esetet, amikor β=j·Ω0, azaz tisztán imaginárius az exponenciális függvény kitevője. Tehát tekintsük:
[ ] j 0n
x n =e Ω (3.51)
Felhasználva Euler képleteit:
0
0 0
cos( ) sin( )
j n
e± Ω = Ω n ± ⋅j Ω n (3.52)
Már egyértelmű, hogy az exponenciális jelek diszkrét időben is szoros kapcsolatban állnak a szinuszos jelekkel. Tekintve az alábbi jelet meghatározó egyenletet:
[ ] cos( 0 )
x n =A Ω +n j , (3.53)
ahol Ω0az alap körfrekvencia és φ radiánban adottak.
Az ilyen szinuszos jelekre példák az alábbiak:
3.47. ábra Diszkrét idejű szinuszos jelek
Euler képleteit felhasználva belátható, hogy:
Ugyanilyen módon egy komplex exponenciális függvény felírható valós exponenciálisok és szinuszos függvények reprezentációjaként:
0 szinuszos. Ha |α|<1 akkor a szinuszos függvények egy csökkenő exponenciális függvénnyel vannak megszorozva, míg |α|>1 esetben pedig növekvővel.
3.48. ábra (a) Növekvő, (b) csökkenő diszkrét idejű szinuszos függvény
Most pedig vizsgáljuk meg a diszkrét exponenciális függvénynek periodikussági tulajdonságait:
Először tekintsük az ejω0tfolytonos jelet. Tudjuk, hogy ez periodikus jel. Ha növeljük ω0
értékét, akkor a jel periódusideje csökken, azaz a frekvenciája nőni fog. Ha azonban ω0
értékét csökkentem, akkor a periódusidő nőni (a frekvencia pedig csökkenni) fog, míg el nem érem a 0 értéket, ahol a periódusidő már végtelen nagy lesz. További észrevételt is tehetünk: a jel ω0 bármely értékére periodikus.
Azonban mit tapasztalunk, ha ezeket a tulajdonságokat értelmezni kívánjuk diszkrét esetben is?
Tekintsük az ejΩ0ndiszkrét komplex exponenciális jelet és vizsgáljuk a Ω0+2π frekvenciával:
0 0 0
( 2 ) 2
j n j n j n j n
e Ω + π =e π e Ω =e Ω (3.56)
Látható, hogy a diszkrét exponenciális jelünk Ω0+2π frekvenciával megegyezik az Ω0
frekvenciával rendelkező jellel. Ebből levonva következtetéseinket állíthatjuk, hogy diszkrét időben a jelek nem különböznek egymástól, ha frekvenciájuk valamely Ω0 alapfrekvencia és 2π egész számú többszörösének az összege.
(
Ω ±0 2π) (
, Ω ±0 2π)
,... (3.57)Így lényeges eltérést tártunk fel: a folytonos idővel ellentétben itt a jelek nem különböznek minden különböző frekvencián. Tehát ha diszkrét idejű exponenciálisokkal dolgozunk, elég, ha csak a 2π intervallumon vizsgálódunk, melyben kiválasztjuk 0< Ω0<2π vagy – π < Ω0< π, alapfrekvenciát.
Ezen periodikussági tulajdonság miatt a Ω0 növelésével nem változik lineárisan a függvény oszcillációinak száma. Ha az Ω0 alapfrekvenciát 0-tól indulva növeljük, akkor az oszcillációk száma a folytonos esetben megszokott módon növekszik, azonban ha elérjük π értékét, akkor a növekedés megáll. Ezt a pontot túllépve Ω0 növelése csökkenti az oszcillációk számát egészen 2π értékéig, ahol ismét visszakapjuk a 0 alapfrekvenciával már vizsgált jelünket.
Általánosan elmondható, hogy kisfrekvenciás diszkrét jeleknél Ω0 értéke ±2π többszöröse, vagy nullához közeli értékű; míg nagyfrekvenciás jeleknél Ω0 értéke ±π többszöröseihez közeli értékű. Azt is elmondhatjuk, hogy ±π többszöröseivel megadott alapfrekvenciájú jelek képviselik a jel maximális frekvencián vett alakját, míg ±2π többszöröseinek értékénél a jel konstans.
3.49. ábra Diszkrét idejű szinuszos jelek különböző frekvenciákon
Vizsgáljuk meg a diszkrét idejű komplex exponenciális periodicitását most a másik irányból, azaz tekintsük meg az előírt frekvencia irányából. Ahhoz, hogy az ejΩ0n jel N>0-val periodikus legyen,
0 0
egyenlőségnek kell teljesülnie.
Ahhoz, hogy ez fennálljon:
0N 2π
Ω = ,
vagy 2π-nek egész számú többszöröse kell, hogy legyen:
0 érvényes a diszkrét idejű szinuszos függvényekre is. N értékét ezentúl alapperiódus-időnek (lépésnek) nevezzük.
Használva az előbbi számításokat, elkezdhetjük vizsgálni az alapfrekvenciát és periódust a diszkrét idejű komplex exponenciális jelek esetében. A diszkrét idejű periodikus jelekre egzaktul definiálni fogjuk az alapfrekvenciát, ahogy azt a folytonos idejű periodikus jelek esetében is megtettük.
Ha x[n] periodikus N-alapperiódussal, akkor az ő alapfrekvenciája 2π/N. Ha veszünk egy periodikus komplex exponenciálist, amely x[n]= ejΩ0n, Ω0≠0 alakú, akkor Ω0-nak ki kell elégítenie az előbbi egyenletet m, N egész számokra, ahol N>0. Ha Ω0≠0 és N és m-nek nincs közös osztója, akkor x[n] alapperiódusa N. Ezt felhasználva következik, hogy egy periodikus jel alapfrekvenciája:
ω0 különböző értékeire különböző Ω0 értékeire ugyanolyan komplex
komplex exponenciális jeleket kapunk exponenciálisokat kapunk a 2π szétválasztott alapfrekvenciákon
ω0 bármely értékére periodikus Csak Ω0=2π·m/N-re periodikus, ahol N>0 és m egész számok
Mint folytonos esetben, most is hasznosnak ítéljük meg, hogy beszéljük a harmonikussokkal kapcsolt periodikus jelekről. Ezek olyan periodikus exponenciálisok összegei, amelyek periodikusak valamely alapperiódus-idővel. Ezek az előbbi egyenleteknek megfelelően azok a jelek, amelyeknek frekvenciája 2π/N többszöröse:
[ ]
jk 2N n, 0, 1,...Folytonos esetben minden harmonikusan kapcsolt komplex exponenciálisról láthattuk, hogy különböző jelet definiál, ejk (2π/ T) t ; k=0,±1,...
Diszkrét esetben viszont nem ez a helyzet.
[ ]
j k N( ) 2N n j2 n jk 2N n, 0, 1,...Végül, hogy még mélyebb betekintést nyerjünk a diszkrét idejű komplex exponenciálisok periodicitásának problémájába, tételezzünk fel, hogy adott egy diszkrét idejű sor, melyet egy folytonos idejű exponenciális mintavételezéséből nyerünk (ejω0t) egyenlő időközökkel:
0 ( 0 )
[ ] j nT j T n
x n =eω =e ω (3.62)
Látható ebből, hogy x[n] saját maga egy diszkrét idejű komplex exponenciális Ω0=ω0·T frekvenciával. Viszont x[n] csak akkor lesz periodikus, ha (ω0·T)/2π racionális szám.
Ugyanezt mondhatjuk el azokról a diszkrét idejű sorozatokról (szekvenciákról), melyeket egyenlő időközökben mintavételezett folytonos idejű periodikus szinuszos jelekből nyerünk.
Például:
( ) cos 2
[ ] ( ) cos(2 )
x t t
x n x nT n T
π π
=
= = ⋅ ⋅ (3.63)
T különböző értékeit véve.
Ebből jól látszik, hogy habár a mintavételezett jel periodikus, és burkológörbéjét alkotja mintavételezett társának; a mintavételezés idejétől függően a diszkrét jel lehet periodikus és aperiodikus is, attól függően, hogy teljesíti-e a fenti képleteket. A mintavételezés problémájával a könyv későbbi fejezeteiben bővebben foglalkozunk majd.
3.2 Rendszerek
Először is kezdjük a rendszer definíciójával:
3.6. definíció: Rendszer
A rendszer olyan folyamat, amely a jelenen valamilyen transzformációt hajt végre. A rendszer autonóm egész, körülhatárolható (nem feltétlenül fizikai értelemben), s környezetével mindig kapcsolatban van. Ezek a kapcsolatok adják a rendszer bemeneteit és kimeneteit, amin keresztül a jelen transzformációját végzi.
Adjuk meg ezeket a kapcsolatokat:
Ha definiálunk egy bemeneti függvényt:
Folytonos esetben: x t( ) :T →U , ahol T az időtartomány, U pedig a lehetséges bemeneti értékek halmaza.
Diszkrét esetben: x n[ ] :N →U, ahol N a diszkrét időpontok halmaza, U pedig a lehetséges bemeneti értékek halmaza.
Ugyancsak definiálunk egy kimeneti függvényt:
Folytonos esetben: y t( ) :T →Y, ahol T az időtartomány, Y pedig a lehetséges kimeneti értékek halmaza.
Diszkrét esetben: y n[ ] :N →Y , ahol N a diszkrét időpontok halmaza, U pedig a lehetséges bemeneti értékek halmaza.
Akkor elmondhatjuk, hogy a rendszer egy olyan operátor (az operátor osztályát és tulajdonságait nem definiáljuk), amelyre:
( )
3.50. ábra (a) Folytonos, (b) diszkrét idejű rendszer
Tehát a rendszer bármely bemeneti függvényhez hozzárendel egy kimeneti függvényt.
Minden rendszerhez megtalálható ez az operátor, de sokszor ismereteink kevésnek bizonyulnak meghatározásához, és ilyenkor a valószínűségszámítás matematikai eszközeihez kell nyúlnunk leírásukhoz. Ilyen rendszerek nem kerülnek itt tárgyalásra, azaz mi csak olyan rendszerekkel fogunk foglalkozni, amelyek kezelhetők a matematikai analízis módszereivel.
A rendszerek, ha ismereteink elegendőek hozzá, dekomponálhatóak, s az így előálló részrendszerek és kapcsolataik építik fel az eredeti rendszert, folyamatot. Ezen tulajdonság fordítottjaként, rendszerek összekapcsolásával ugyancsak valamilyen rendszert hozhatunk létre.
Ezek alapján szükségünk van a rendszerek kapcsolatainak osztályozására és megismerésére: