Invertálhatóság és inverz rendszerek

y t =Rx t (3.67)

Jól láthatjuk, hogy ha R konstans, akkor a kimenet a bemenet valahányszorosa lesz, így bármely időpillanatban a kimenet értéke tényleg csak a bemenet adott pillanatbeli értékétől függ. Tehát egy ilyen ideális ellenállást leíró egyenlet lineáris, és az ezt leíró rendszer is.

Ebből kiindulva a következőt állíthatjuk:

3.7. állítás: Bármely olyan matematikai operátor, amely lineáris, leírható lineáris rendszerrel.

Azonban ellenpéldákat is könnyen felhozhatunk. Csak vegyünk olyan matematikai egyenletet, amely áthágja a fenti definíciót:

n

Jól látható, hogy míg az első egyenlet értelmében a rendszer a vizsgált időpontot megelőző összes bemeneti érték függvénye, addig a második, már folytonos rendszer egy adott idővel (mely most történetesen 1) késlelteti a kimenetet. De egy kondenzátor is példa lehet ilyen nemlineáris rendszerre.

3.2.5.2 Invertálhatóság és inverz rendszerek

Egy rendszer pontosan akkor invertálható, ha különböző bemenetekhez különböző kimeneteket rendel hozzá, azaz a leképzés a bemenetek halmazából a kimentek halmazába injektív. Ha igaz, hogy bármely kimenethez tartozik bemenet, akkor bijektív a leképzés. Tehát ha bijektív a leképzés, a kimenetek halmazának leszűkítése nélkül megadható a leképezés inverze, amely a rendszer inverzét valósítja meg.

Most vizsgáljuk meg, hogy mit is jelent ez a nagyon egyszerű, mégis csak bonyolultan leírható fogalom számunkra. Először is mellőzve a matematikát kimondhatjuk, hogy a rendszer invertálható, ha a bemenetéből egyértelműen megállapítható a kimenete, és a

kimenetéből is megállapítható, hogy mi volt a bemenete. Ha olyan rendszert hozunk létre, amely az utóbbit megvalósítja, akkor máris megkaptuk a rendszer inverzét. Így az eredeti rendszert és annak inverzét sorba kapcsolva az így előálló rendszer bemenete és kimenete azonos lesz.

3.57. ábra Invertálható rendszer és inverze

Például egy y t( )=2 ( )x t egyenlettel leírható rendszer inverze: y t( )=0.5 ( )x t Ezt ábrázolhatjuk az alábbi módon:

3.58. ábra Példa invertálható rendszerre és inverzére

Figyeljük meg, hogy bármely értéket megadva a bemeneten a kimenet is ugyanazon értékeket produkálja.

Most tekintsünk egy olyan rendszert, amelyet az előbbiekben nemlineárisnak mondtunk:

n

Tehát jól látható, hogy a tulajdonságok, amelyek itt felsorolásra kerülnek, nem kizáró jellegűek, sőt egymással párhuzamosan létezhetnek, jellemezhetnek egy adott rendszert.

Azonban ellenpélda itt is akad bőven. Tekintsük csak az alábbi rendszereket:

2 hiszen az őket leíró függvények nem injektívek.

3.2.5.3 Kauzalitás

Egy rendszer pontosan akkor kauzális, ha kimenete bármely időpillanatban csak a bemenetek jelenlegi és múltbéli értékeitől függ, azaz a rendszer kimenete nem tesz becslést, jóslást annak érdekében, hogy a bemenetek jövőbeli értékét meghatározza. Könnyebb kauzális rendszert elképzelni, mint egy nem kauzálist. Például egy repülőgép mozgása előre nem sejthető, mivel nem tudjuk felmérni a vezető szándékait. Azonban ha távolabbról tekintjük a problémát, és tudjuk, hogy a repülőgépet egy előre beprogramozott robotpilóta irányítja, akkor a már megkezdett manőver alapján kiszámítható a mozgás egészen a manőver befejezéséig. A becslésünk persze csak ideális körülmények között lesz igaz, hiszen egy gyors légáramlat felboríthatja számításainkat.

Nézzünk most két példát nem kauzális rendszerekre:

[ ] [ ] [ 1] ismernünk kell x[n+1] értékét is.

A második példánkban a rendszer hol prediktív (azaz nem kauzális), hol pedig memóriával rendelkező (azaz kauzális), attól függően, hogy a sin(.) függvény milyen értéket vesz fel.

Azonban a kauzalitás tulajdonságának megszegéséhez elég, ha a rendszer egyetlen egy időpontban viselkedik nem kauzálisan. Ekkor már nem kauzális rendszernek nevezzük, függetlenül attól, hogy a többi pontban kauzális volt-e, vagy sem.

Így a tőzsdeindexet sem kauzális rendszer, mivel képlete az alábbi:

[ ] 1 [ ]

Ebből a példából levonható az a következtetés is, hogy ha a rendszer memóriával rendelkezik vagy pediglen felejtő, akkor fennáll a kauzalitás tulajdonsága, mivel ez a két tulajdonság nem teljesül, ha a rendszer nem kauzális.

3.8. állítás:Az összes felejtő és memóriával rendelkező rendszer kauzális, de ez fordítva nem igaz.

Adjunk végül egy egyszerű példát kauzális rendszerre: y t( )=x t( )

3.2.5.4 Stabilitás

A stabilitás fogalma talán az egyik legfontosabb tulajdonsága rendszernek. Egy rendszer pontosan akkor nevezhető stabilnak, ha a bemenet változása nem vezet olyan kimenethez, amely időben divergál.

A stabilitásnak különböző erősségű definíciói és így osztályai vannak. Mi most nézzük a számunkra fontos osztályokat:

 Egy rendszert lokálisan stabilnak mondunk, ha egyensúlyi helyzetéből, azaz éppen stabil állapotából kis környezetben kitérítve, azaz a bemenetet megváltoztatva kis környezet erejéig a rendszer az egyensúlyi helyzet környezetében marad, azaz a kimenet kis környezetben változik.

Ilyen rendszerre legegyszerűbb példa egy sík asztalon álló golyó. Ez éppen stabil helyzetben van, hiszen áll. Ha picit meglökjük, egy kicsit arrébb gurul, amíg a súrlódás fel nem emészti mozgási energiáját. Ekkor a golyóról elmondhatjuk, hogy kis kitérítés hatására az eredeti egyensúlyi helyzetének kis környezetében marad, tehát lokálisan stabil.

Ha viszont nagy erővel lökjük meg a golyót, akkor szinte biztosra vehetjük, hogy nem csak kis környezetét fogja elhagyni, hanem az asztal felületét is.

3.59. ábra Lokálisan stabil rendszer

 Egy rendszert BIBO (bounded input – bounded output) stabilnak nevezünk, ha a bemenetek korlátos változása a kimeneten korlátos változást hoz létre. Ez a stabilitási fogalom lesz a számunkra a legfontosabb, ekkor mi már stabilnak nevezünk egy rendszert, hiszen ha a bemenetet korlátos jelekkel bombázzuk, azaz végtelen értékű jeleket mellőzzük, akkor a kimenet soha nem fogja elérni véges időn belül a végtelen értéket, mivel minden pillanatban korlátos lépésekkel változik.

 Egy rendszert lokálisan asszimptotikusan stabilnak nevezünk, ha a rendszert egyensúlyi helyzetének kis környezetében kitérítve a rendszer eredeti egyensúlyi helyzetébe tér vissza. Ilyen rendszerre nagyon egyszerű példa egy tál alján lévő golyó esete, ahol ha a golyót kitérítjük maximum a tál széléig, akkor visszagurulva ide-oda mozog a tányérban, amíg a súrlódás által felemésztett mozgási energiája el nem vész, és a tál alján újra megáll.

3.60. ábra Lokálisan asszimptotikusan stabil rendszer

 Egy rendszert globálisan asszimptotikusan stabilnak nevezünk, ha egyensúlyi helyzetéből kitérítve (akármilyen mértékben) visszatér eredeti egyensúlyi helyzetébe.

Ilyen rendszerre példa egy vételen nagy tál és az alján álló golyó esete. A tálnak végtelen nagy a magassága, így bárhogy térítjük is ki a golyót, az vissza fog térni eredeti egyensúlyi helyzetébe, azaz a tál aljára bizonyos idő elteltével.

3.61. ábra Globálisan aszimptotikusan stabil rendszer

Persze egy rendszernek nem biztos, hogy csupán egy egyensúlyi helyzete van, és az sem biztos, hogy ezek az egyensúlyi helyzetek ugyanolyan stabilitási tulajdonságokkal bírnak, de mi ezzel a problémával itt most nem foglalkozunk.

3.62. ábra Több egyensúlyi helyzettel rendelkező rendszer

Az is elmondható, hogy ha egy rendszer magasabb stabilitási osztályba tartozik, akkor bármely alacsonyabb stabilitási osztálynak is része. Azaz az egyre magasabb stabilitási osztályok részhalmazai a gyengébb stabilitást megkövetelő osztályoknak.

 Egy rendszert instabilnak nevezünk, ha egyensúlyi helyzetének nincs olyan környezete, amelyből kitérítve nem divergálna a kimenete, vagy pedig a rendszernek nem létezik

egyensúlyi helyzete.

Az alábbi rendszernek van egyensúlyi helyzete, mégis a golyó -még ha csak kicsit mozdítjuk is meg- lefelé indul el a végtelen magas csúcs tetejéről.

3.63. ábra Instabil rendszer

Nézzünk most egy példát, hogy hogyan lehet eldönteni egy rendszerről, hogy stabil-e vagy sem:

Láthatjuk, hogy bár a bemenet változása korlátos volt, illetve a rendszernek létezik egyensúlyi állapota a 0 pontban (azonosan nulla bemenet esetén), azonban nincs az egyensúlyi pontnak olyan környezete, amelyben kitérítve a bemeneti jelet (az egész bemeneti jelet, nem csak annak egy részét) elmondható lenne, hogy a jel az egyensúlyi helyzet környezetében marad.

3.2.5.5 Időinvariancia

3.10. definíció:

Egy rendszert pontosan akkor nevezünk időinvariánsnak, ha egy időeltolás a bemeneten ugyanakkora időeltolásként jelentkezik a kimeneten. Magyarán szólva, ha a bemeneten a jel késik például egy másodpercet, akkor a kimeneti jel is pontosan egy másodpercet fog késni.

Adjuk meg a definíciót képletekkel is:

Legyen x[n] a bemenet, és y[n] a kimenet.

Ekkor ha az ^{[ ] [ ]} ( ) ( ) x n y n x t y t

→

→ leképzéssel megadott rendszer időinvariáns, akkor:

0 0

Most nézzünk példát ilyen rendszerekre: Ezzel beláttuk, hogy vizsgált rendszerünk időinvariáns.

Most nézzünk egy nem időinvariáns rendszert: y n[ ]= ⋅n x n[ ] Ekkor alkalmazva a fenti eljárást:

1 1

Ebből jól látható, hogy a rendszer kimenete erősen függ az időtől, tehát idővariáns.

3.2.5.6 Linearitás

3.11. definíció:

Azok a rendszerek lineárisak, melyek tartalmazzák a szuperpozíció tulajdonságát: ha egy bemenet több jel súlyozott összegéből áll, akkor a kimenet egyszerű szuperpozícióval kapható meg, ami a súlyozott összege a külön-külön vett bemenő jelekre kapott rendszerválaszoknak. A szuperpozíció elvének teljesüléséhez két tulajdonsággal kell rendelkeznie a rendszernek, ezek az additivitás és a homogenitás.

Vizsgálva két tetszőleges bemeneti jelet:

1 1

a rendszer akkor lineáris, ha

 Additív: x t₁( )+x t₂( )=x t( )→ y t( )=y t₁( )+y t₂( )

 Homogén: a x t⋅ ₁( )=x t( )→y t( )= ⋅a y t₁( ),∀ ∈a C konstansra

Az következő állítások a fenti definíció alapján kézenfekvőek:

3.9. állítás:Egy rendszer lehet lineáris anélkül, hogy időinvariáns lenne, vagy lehet időinvariáns anélkül, hogy lineáris lenne.

3.10. állítás:Lineáris rendszer bemenete ha 0 akkor kimenete is 0.

1 1

0= ⋅0 x t( )=x t( )→y t( )= ⋅0 y t( )=0 (3.74)

Természetesen a szuperpozíció elve akárhány jelre alkalmazható, ha a rendszer lineáris, ebből adódóan tekintve egy diszkrét rendszert:

Ha a rendszer bemenetei: x n_k[ ], k =1, 2,...

Ezeknek megfelelő kimenetek: y n_k[ ], k=1, 2,...

Akkor a teljes rendszerre nézve:

1 1 2 2 3 3

Mivel bármely diszkrét függvény felbontható diszkrét impulzusfüggvények összegére, lineáris rendszerek esetén elég csak ezekkel az impulzus-függvényekkel számolnunk, mert a kimenet előáll az ezekre adott válaszok szuperpozíciójaként.

Tekintsük az alábbi példát:

[ ] 2 [ ] 3 y n = x n +

Vizsgáljuk meg lineáris-e a rendszerünk:

0=x n[ ]→2 [ ] 3x n + = =3 y n[ ]≠0

Annak ellenére, hogy a fenti egy lineáris egyenlet, mégis nemlineáris rendszert definiál. Az ilyen típusú rendszerekre mondjuk, hogy szakaszosan lineáris rendszerek (incrementally linear systems). Ezek mind a folytonos, mind a diszkrét időben lineárisan válaszolnak a bemenetváltozásokra, ezért az ilyen rendszerek felbonthatóak egy lineáris és egy maradék tagra. Ekkor az alábbi módon ábrázolhatjuk rendszerünket:

3.64. ábra Szakaszosan lineáris rendszer

Ha megvizsgáljuk az ilyen rendszerek tulajdonságait

1 1

Akkor láthatjuk, hogy

 Az additivitás nem teljesül:

1 2 1 2

 A homogenitás sem teljesül:

1[ ] [ ] [ ] 2 [ ] 31 2 [ ]1 3 1( ) a x n⋅ =x n → y n = ⋅a x n + ≠ ⋅a x n + ⋅ = ⋅a a y t

a rendszer egészére. Azonban a rendszer részeire teljesülnek ezek a tulajdonságok, ezért a szakaszosan lineáris rendszereket úgy is elemezhetjük, hogy csak a lineáris részükkel törődünk.

In document Digitális jelfeldolgozás (Pldal 81-89)