Digitális jelfeldolgozás
Dr. Fodor, Dénes
Szerzői jog © 2014 Pannon Egyetem
A tananyag a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0042 azonosító számú
„ Mechatronikai mérnök MSc tananyagfejlesztés ” projekt keretében készült. A tananyagfejlesztés az Európai Unió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.
Kézirat lezárva: 2014 február Lektorálta: Dr. Pletl Szilveszter
Közreműködők: Csomós Dávid Bence, Enisz Krisztián, Márton Zoltán, Speiser Ferenc
A kiadásért felel a(z): Pannon Egyetem Felelős szerkesztő: Pannon Egyetem 2014
Digitális jelfeldolgozás
Dr. Fodor Dénes
Tartalomjegyzék
ELŐSZÓ ... 24
1 BEVEZETŐ ... 25
2 A DSP RENDSZEREK ÁLTALÁNOS MODELLJE ... 26
2.1 A BEMENET ÉS A JELÉRZÉKELŐ ... 26
2.2 JELRENDEZÉS ÉS SIMÍTÁS... 27
2.3 ANTI-ALIASING SZŰRÉS ... 27
2.4 ANALÓG-DIGITÁLIS ÁTALAKÍTÓ ... 27
2.5 PROCESSZOR ... 27
2.6 PROGRAM- ÉS ADATTÁROLÁS ... 27
2.7 ADATTOVÁBBÍTÁS ... 28
2.8 ADATMEGJELENÍTÉS ÉS FELHASZNÁLÓI INTERAKCIÓ ... 28
2.9 DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓ ... 28
2.10 KIMENETI SIMÍTÁS ... 28
2.11 KIMENETI ERŐSÍTŐ FOKOZAT ... 29
2.12 KIMENETI ADÓ ... 29
2.13 GYORS FEJLŐDÉS ... 29
3 JELEK ÉS RENDSZEREK ... 30
3.1 JELEK ... 31
3.1.1 Jelek csoportosítása ... 35
3.1.2 Műveletek a független változóval ... 44
3.1.3 Alapvető folytonos jelek ... 49
3.1.4 Alapvető diszkrét jelek ... 63
3.2 RENDSZEREK ... 76
3.2.1 Sorosan kapcsolt rendszerek ... 77
3.2.2 Párhuzamosan kapcsolt rendszerek ... 78
3.2.3 Visszacsatolt rendszerek ... 78
3.2.4 Rendszerek felírása kapcsolatok és részrendszerek segítségével ... 79
3.2.5 Rendszerek tulajdonságai ... 80
4 LINEÁRIS IDŐINVARIÁNS RENDSZEREK ... 92
4.1 JELEK REPREZENTÁCIÓJA IMPULZUSFÜGGVÉNYEKKEL ... 93
4.2 KONVOLÚCIÓS ÖSSZEG ... 98
4.2.1 A konvolúciós összeg tulajdonságai ... 111
4.3 A KONVOLÚCIÓS INTEGRÁL ... 115
4.3.1 A konvolúciós integrál tulajdonságai ... 118
4.4 LTI RENDSZEREK TULAJDONSÁGAI ... 124
4.4.1 Felejtő és nem felejtő LTI rendszerek ... 124
4.4.2 LTI rendszerek invertálhatósága ... 124
4.4.3 LTI rendszerek kauzalitás ... 127
4.4.4 LTI rendszerek stabilitása ... 127
4.4.5 LTI rendszerek egységugrás-válasza ... 130
4.5 LTI RENDSZEREK LEÍRÁSA DIFFERENCIÁL- ÉS DIFFERENCIAEGYENLETEK SEGÍTSÉGÉVEL ... 132
4.5.1 Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek ... 132
4.5.2 Lineáris állandó együtthatós differenciaegyenletek ... 136
4.6 DIFFERENCIÁL- ÉS DIFFERENCIAEGYENLETEKKEL LEÍRT LTI RENDSZEREK BLOKKDIAGRAM-ÁBRÁZOLÁSA 141 4.6.1 LTI rendszerek blokkdiagram-reprezentációja diszkrét időben ... 141
4.6.2 LTI rendszerek blokkdiagram-reprezentációja folytonos időben ... 147
5 FOLYTONOS RENDSZEREK ÉS JELEK FOURIER-ANALÍZISE ... 153
5.1 FOLYTONOS LTI RENDSZEREK KOMPLEX EXPONENCIÁLISOKRA ADOTT VÁLASZA ... 154
5.2 FOLYTONOS IDEJŰ FOURIER-SOROK ... 156
5.3 PERIODIKUS JELEK FOURIER-SORBA FEJTÉSE ... 162
5.4 AFOURIER-SOROK KONVERGENCIÁJA ... 167
5.5 APERIODIKUS JELEK ÁBRÁZOLÁSA ÉS A FOLYTONOS IDEJŰ FOURIER-TRANSZFORMÁLT ... 171
5.6 AFOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ KONVERGENCIÁJA... 175
5.7 PÉLDÁK FOLYTONOS IDEJŰ FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓRA ... 176
5.8 PERIODIKUS JELEK FOURIER-TRANSZFORMÁLTJA... 182
5.9 A FOLYTONOS IDEJŰ FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ TULAJDONSÁGAI ... 188
5.9.1 Linearitási tulajdonság ... 188
5.9.2 Szimmetriatulajdonság ... 189
5.9.3 Eltolási tétel ... 190
5.9.4 Differenciálási tétel ... 190
5.9.5 Integrálási tétel ... 192
5.9.6 Hasonlósági tétel ... 193
5.9.7 Komplex csillapítási tétel ... 193
5.9.8 Dualitási tétel ... 193
5.9.9 Parseval-összefüggés ... 195
5.9.10 Konvolúciós tétel ... 196
5.9.11 Modulációs tulajdonság ... 199
5.10 AFOURIER-TRANSZFORMÁLT ÁBRÁZOLÁSA ... 202
5.10.1 Spektrum ... 202
5.10.2 Bode-diagram ... 204
5.10.3 Nyquist-diagram ... 205
5.11 DIFFERENCIÁLEGYENLETEK REPREZENTÁCIÓJA ÉS KAPCSOLATA A FOURIER-TRANSZFORMÁLTTAL 207 6 DISZKRÉT RENDSZEREK ÉS JELEK FOURIER-ANALÍZISE ... 209
6.1 DISZKRÉT LTI RENDSZEREK VÁLASZA KOMPLEX EXPONENCIÁLISOKRA ... 209
6.2 DISZKRÉT PERIODIKUS FÜGGVÉNYEK REPREZENTÁCIÓJA DISZKRÉT FOURIER-SOROKKAL ... 211
6.3 DISZKRÉT APERIODIKUS JELEK REPREZENTÁCIÓJA DISZKRÉT FOURIER-TRANSZFORMÁLTTAL ... 226
6.4 DISZKRÉT PERIODIKUS JELEK REPREZENTÁCIÓJA FOURIER-TRANSZFORMÁLT SEGÍTSÉGÉVEL ... 236
6.5 ADFT ... 242
6.6 AZ FFT ... 244
6.6.1 A DFT és FFT gyakorlati alkalmazása ... 247
6.6.2 Decimation in time ... 251
6.6.3 Decimation in frequency ... 251
6.7 A DISZKRÉT IDEJŰ FOURIER-TRANSZFORMÁLTAK TULAJDONSÁGAI ... 255
6.7.1 Periodikuság ... 255
6.7.2 Linearitási tulajdonság ... 255
6.7.3 Szimmetria tulajdonság ... 255
6.7.4 Eltolási tétel időben és frekvenciában ... 256
6.7.5 Differencia-tétel ... 256
6.7.6 Összegzési tétel ... 256
6.7.7 Hasonlósági tétel ... 257
6.7.8 Frekvencia-deriválási tétel ... 259
6.7.9 Parseval-összefüggés ... 260
6.7.10 Konvolúció-tétel ... 261
6.7.11 Modulációs tulajdonság ... 265
6.7.12 Dualitási tétel ... 266
6.8 AFOURIER-TRANSZFORMÁLT ÁBRÁZOLÁSA ... 270
6.8.1 Spektrum ... 270
6.9 DIFFERENCIAEGYENLETEK REPREZENTÁCIÓJA ÉS KAPCSOLATA A FOURIER-TRANSZFORMÁLTTAL ... 272
7 SZŰRÉS ... 273
7.1 IDEÁLIS FREKVENCIASZELEKTÍV SZŰRŐK ... 275
7.1.1 Frekvenciatartománybeli jellemzők... 275
7.1.2 Időtartománybeli jellemzők ... 279
7.2 NEM IDEÁLIS FREKVENCIASZELEKTÍV SZŰRŐK ... 282
7.3 FOLYTONOS IDEJŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKEL MEGADHATÓ FREKVENCIASZELEKTÍV SZŰRŐK ... 285
7.3.1 RC aluláteresztő és felüláteresztő szűrő ... 286
7.3.2 Magasabb rendű szűrők ... 290
7.4 DISZKRÉT IDEJŰ DIFFERENCIAEGYENLETEKKEL MEGADHATÓ FREKVENCIASZELEKTÍV SZŰRŐK ... 293
7.4.1 Nem rekurzív diszkrét idejű szűrők ... 294
7.4.2 Rekurzív diszkrét idejű szűrők ... 302
7.5 BUTTERWORTH-FÉLE FREKVENCIASZELEKTÍV SZŰRŐK OSZTÁLYA ... 304
7.6 DIGITÁLIS SZŰRŐK ... 310
7.6.1 Véges impulzusválaszú (FIR) szűrők ... 310
7.6.2 Végtelen Impulzusválaszú (IIR) szűrők ... 328
7.6.3 Összefoglalás ... 336
8 MODULÁCIÓ ... 338
8.1 FOLYTONOS-IDEJŰ SZINUSZOIDÁLIS AMPLITÚDÓ MODULÁCIÓ (AM) ... 339
8.1.1 Aszinkron demoduláció ... 349
8.2 A SZINUSZOIDÁLIS AM NÉHÁNY ALKALMAZÁSA ... 354
8.2.1 Frekvencia szelektív szűrés változó középfrekvenciával... 354
8.2.2 Frekvencia osztásos multiplexálás ... 359
8.3 EGY OLDALSÁVOS AM ... 362
8.4 IMPULZUS AM ÉS IDŐ OSZTÁSOS MULTIPLEXÁLÁS ... 368
8.5 DISZKRÉT IDEJŰ AM ... 373
8.6 FOLYTONOS IDEJŰ FREKVENCIA MODULÁCIÓ (FM) ... 381
8.6.1 Keskenysávú FM ... 385
8.6.2 Szélessávú FM ... 388
8.6.3 Periodikus négyszögjel modulációja ... 391
9 MINTAVÉTELEZÉS ... 394
9.1 FOLYTONOS JELEK MINTAVÉTELEZÉSE ÉS A MINTAVÉTELEZÉSI TÉTEL ... 394
9.1.1 Mintavételezés Impulzus vonattal ... 397
9.1.2 Mintavételezés nulladrendű tartószervvel ... 401
9.2 INTERPOLÁCIÓS JELREKONSTRUKCIÓ MINTÁK ALAPJÁN ... 404
9.3 A TÚL RITKA MINTAVÉTELEZÉS HATÁSA:ALAISING ... 410
9.4 A FOLYTONOS JELEK DISZKRÉT IDEJŰ FELDOLGOZÁSA ... 416
9.4.1 Digitális differenciátor ... 422
9.4.2 Fél-mintás késleltetés ... 424
9.5 MINTAVÉTELEZÉS A FREKVENCIA TARTOMÁNYBAN ... 426
9.6 DISZKRÉT JELEK MINTAVÉTELEZÉSE ... 430
9.7 DISZKRÉT IDEJŰ TIZEDELÉS ÉS INTERPOLÁCIÓ ... 438
9.7.1 Diszkrét idejű transzmoduláció ... 442
10 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ... 444
11 A Z-TRANSZFORMÁLT ... 449
11.1 AZ-TRANSZFORMÁLT KONVERGENCIA TARTOMÁNYA ... 455
11.2 AZ INVERZ Z-TRANSZFORMÁLT ... 463
12 TESZTFELADATOK ... 466
13 IRODALOMJEGYZÉK ... 488
Ábrajegyzék
2.1. ábra Általános DSP rendszermodell ... 26
3.1. ábra Akusztikai nyomásváltozások ... 31
3.2. ábra Monokromatikus kép ... 32
3.3. ábra Képpontok fényességének változása ... 32
3.4. ábra Többváltozós jel ... 33
3.5. ábra Folytonos változójú jel ... 35
3.6. ábra Diszkrét változójú jel ... 36
3.7. ábra Szukcesszív mintavételezés ... 36
3.8. ábra Folytonos értékkészletű jel ... 37
3.9. ábra Szakaszos értékkészletű jel ... 38
3.10. ábra Determinisztikus jelek csoportosítása ... 38
3.11. ábra Folytonos periodikus jel ... 39
3.12. ábra Diszkrét periodikus jel ... 39
3.13. ábra Szinuszosan periodikus jel ... 40
3.14. ábra Általánosan periodikus jel ... 40
3.15. ábra Kváziperiodikus jel ... 41
3.16. ábra Tranziens jel ... 42
3.17. ábra Sztochasztikus jel ... 42
3.18. ábra Sztochasztikus jelek csoportosítása ... 43
3.19. ábra (a) folytonos jel x(t) , (b) a jel tükrözése a független változója által... 44
3.20. ábra Folytonos jel tömörítése és nyújtása a független változó skálázása által ... 45
3.21. ábra Diszkrét jel időeltolása ... 46
3.22. ábra Páros folytonos jel ... 47
3.23. ábra Páratlan folytonos jel ... 47
3.24. ábra A diszkrét egységugrás jel felbontása páros és páratlan komponensre ... 50
3.25. ábra Valós exponenciális jelek (a) a > 0 (b) a < 0 ... 50
3.26. ábra A szinusz függvény ... 52
3.27. ábra Különböző alapfrekvenciájú periodikus jelek ... 53
3.28. ábra Növekvő szinuszos jel, r > 0 ... 55
3.29. ábra Csökkenő szinuszos jel, r < 0 ... 55
3.30. ábra Folytonos idejű egységugrás-függvény ... 56
3.31. ábra Eltolt folytonos idejű egységugrás-függvény ... 56
3.32. ábra Példa a g(t) függvényre ... 57
3.33. ábra Folytonos kilépő függvény ... 57
3.34. ábra Példa az f(t) függvényre ... 58
3.35. ábra Példa a g(t) függvényre, τ = 1 esetén... 58
3.36. ábra Egységimpulzus-függvény ... 59
3.37. ábra Egységnyi intenzitású impulzusfüggvény ... 60
3.38. ábra Egységugrás-függvény közelítése ... 60
3.39. ábra Futó integrálás, (a) t < 0, (b) t > 0 esetben ... 61
3.40. ábra Változócsere hatása a futó integrálra, (a) t < 0, (b) t > 0 esetben ... 62
3.41. ábra Diszkrét egységugrás-függvény ... 63
3.42. ábra Diszkrét egységimpulzus-függvény ... 63
3.43. ábra Futó összeg, (a) n < 0, (b) n > 0 esetben ... 65
3.44. ábra Változócsere hatása a futó összegzésre, (a) n < 0, (b) n > 0 esetben ... 65
3.45. ábra Komplex exponenciálisok, (a) α > 1, (b) 0 < α < 1 ... 67
3.46. ábra Komplex exponenciálisok, (c) -1 < α < 0, (d) α < -1 ... 67
3.47. ábra Diszkrét idejű szinuszos jelek ... 69
3.48. ábra (a) Növekvő, (b) csökkenő diszkrét idejű szinuszos függvény ... 70
3.49. ábra Diszkrét idejű szinuszos jelek különböző frekvenciákon ... 72
3.50. ábra (a) Folytonos, (b) diszkrét idejű rendszer ... 77
3.51. ábra Sorosan kapcsolt rendszerek ... 77
3.52. ábra Párhuzamosan kapcsolt rendszerek ... 78
3.53. ábra Visszacsatolt rendszer ... 78
3.54. ábra Az y n[ ]=(2 [ ]x n −x n[ ] )2 2 egyenletet megvalósító rendszer... 79
3.55. ábra RC kör ... 80
3.56. ábra RC kör rendszermodellje ... 80
3.57. ábra Invertálható rendszer és inverze ... 82
3.58. ábra Példa invertálható rendszerre és inverzére ... 82
3.59. ábra Lokálisan stabil rendszer ... 84
3.60. ábra Lokálisan asszimptotikusan stabil rendszer ... 85
3.61. ábra Globálisan aszimptotikusan stabil rendszer ... 85
3.62. ábra Több egyensúlyi helyzettel rendelkező rendszer ... 85
3.63. ábra Instabil rendszer ... 86
3.64. ábra Szakaszosan lineáris rendszer... 89
3.65. ábra Töltődő kondenzátor ... 89
3.66. ábra A rendszer kimenete a bemenetre adott egységugrás esetén ... 91
4.1. ábra Diszkrét szekvencia ... 93
4.2. ábra A diszkrét jel dekompozíciója súlyozott impulzusok összegére ... 94
4.3. ábra Folytonos jel, és annak lépcsős impulzusösszeggel történő közelítése ... 95
4.4. ábra A jel felbontásában szereplő impulzusfüggvények ... 96
4.5. ábra A felbontás finomságának grafikus ábrázolása ... 97
4.6. ábra Diszkrét jel ... 99
4.7. ábra Az idővariáns rendszer impulzusválasz-függvényei a különbözőidőpontokban ... 99
4.8. ábra A jelösszetevőkre adott válaszok és az azokból előálló kimeneti jel ... 100
4.9. ábra A rendszer átviteli függvénye, annak h[n-k] tükörképe és eltoltja, és a rendszer bemenete ... 102
4.10. ábra A konvolúció számításához szükséges jelek ... 104
4.11. ábra A példaként bemutatott rendszer kimenete ... 106
4.12. ábra Konvolúcióban résztvevő jelek: a rendszer (a) bemenete, (b) impulzusválasz- függvénye ... 107
4.13. ábra A példában szereplő konvolúciós művelet grafikus interpretációja ... 109
4.14. ábra A példában szereplő konvolúció eredménye ... 110
4.15. ábra A konvolúció folyamata egy animáción bemutatva ... 110
4.16. ábra A kommutativitás és az asszociativitás következményesorosan kapcsolt rendszerekre ... 112
4.17. ábra A konvolúció disztributivitásának következménye párhuzamosan kapcsolt rendszerekre ... 113
4.18. ábra A folytonos rendszer válaszfüggvény-közelítésének grafikus reprezentációja ... 116
4.19. ábra A válasz közelítésének finomítása ... 117
4.20. ábra A példa konvolúciójában szereplő jelek ... 119
4.21. ábra A példában szereplő konvolúció eredménye, azaz a rendszer kimenete ... 120
4.22. ábra A konvolúciós művelet szakaszonkénti szemléltetése ... 121
4.23. ábra A konvolúció eredménye ... 123
4.24. ábra Az invertálható rendszer és inverzének kapcsolata ... 124
4.25. ábra A lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlettel leírt rendszerek szakaszosan lineáris struktúrája ... 135
4.26. ábra Összeadás és kivonás műveletének reprezentációja ... 141
4.27. ábra Konstanssal való szorzás műveletének reprezentációja ... 142
4.28. ábra Egységnyi idővel való késleltetés reprezentációja ... 142
4.29. ábra A fenti LTI rendszer blokkdiagramja ... 142
4.30. ábra A fenti LTI rendszer blokkdiagramja ... 143
4.31. ábra A fenti LTI rendszer blokkdiagramja ... 144
4.32. ábra Az előző példa alternatív blokkdiagram-reprezentációja ... 144
4.33. ábra Az előző példa egyetlen késleltető elemet tartalmazó blokkdiagram-reprezentációja
... 145
4.34. ábra LTI rendszerek I. direkt forma reprezentációja ... 146
4.35. ábra LTI rendszerek II. direkt forma reprezentációja ... 147
4.36. ábra Összeadás és kivonás műveletének reprezentációja ... 148
4.37. ábra Konstanssal való szorzás műveletének reprezentációja ... 148
4.38. ábra Idő szerinti differenciálás műveletének reprezentációja ... 148
4.39. ábra Integrátor reprezentációja ... 149
4.40. ábra Folytonos LTI rendszer I. direkt forma reprezentációja ... 150
4.41. ábra Folytonos LTI rendszer II. direkt forma reprezentációja ... 151
4.42. ábra Fázist fordító integrátor-kapcsolás ... 151
4.43. ábra Fázist nem fordító integrátor-kapcsolás ... 152
5.1. ábra Egy jel harmonikus komponensei ... 158
5.2. ábra Ismert jelek Fourier-sora ... 165
5.3. ábra Nem abszolút integrálható periodikus jel ... 168
5.4. ábra Végtelen sok szélsőértékű jel ... 169
5.5. ábra Végtelen sok ugrással rendelkező periodikus jel ... 169
5.6. ábra A Gibbs-jelenség ... 170
5.7. ábra Aperiodikus folytonos jel ... 171
5.8. ábra Az aperiodikus jelből konstruált periodikus jel ... 171
5.9. ábra A Fourier-együtthatók alakulása és az őket meghatározó burkológörbe különböző T0 esetén, (a) T0 = 4T1; (b) T0 = 8T1; (c) T0 = 16T1; ... 173
5.10. ábra A példában szereplő jel Fourier-transzformáltjának amplitúdó- és fázisspektruma ... 177
5.11. ábra A példában szereplő x(t) jel ... 178
5.12. ábra Az x(t) jel Fourier-transzformáltja ... 178
5.13. ábra Aperiodikus négyszögjel ... 179
5.14. ábra Az aperiodikus négyszögjel Fourier-transzformáltja ... 179
5.15. ábra A példajel spektruma ... 179
5.16. ábra A példajel alakja az időtartományban ... 180
5.17. ábra A sinC függvény ... 180
5.18. ábra A sinC jel Fourier-transzformáltja különböző W esetén ... 181
5.19. ábra Periodikussá tett jel ... 182
5.20. ábra A példában szereplő négyszögjelek ... 183
5.21. ábra Szimmetrikus periodikus négyszögjel Fourier-transzformáltja... 186
5.22. ábra A szinuszjel Fourier-transzformáltja ... 186
5.23. ábra A koszinusz jel Fourier-transzformáltja ... 187
5.24. ábra Periodikus impulzusvonat folytonos időben ... 187
5.25. ábra A periodikus impulzusvonat Fourier-transzformáltja ... 188
5.26. ábra Az egységugrás páros és páratlan függvényekre való felbontása ... 191
5.27. ábra A Fourier-transzformáltak és a jelek közti dualitási összefüggés ... 194
5.28. ábra Három teljesen ekvivalens LTI rendszer ... 197
5.29. ábra Két periodikus jel periodikus konvolúciója ... 198
5.30. ábra A modulációs tulajdonság használata ... 200
5.31. ábra Aperiodikus négyszögjel ... 202
5.32. ábra Az amplitúdóspektrum ... 203
5.33. ábra A fázisspektrum ... 203
5.34. ábra Egy jel és Fourier-transzformáltja animáción ... 204
5.35. ábra Aluláteresztő szűrő Bode-diagramja ... 205
5.36. ábra Nyquist-diagram ... 206
6.1. ábra AΦk[ ]n =ejk(2 /6)π n komplex exponenciális szekvencia értékei egy periódus alatt (a) k = 1; (b) k = 2; (c) k = 3; (d) k = 5; (e) k = 6; ... 214
6.2. ábra Az x[n]= sin(2π/5)n jel Fourier-együtthatói ... 217
6.3. ábra Az x[n]= sin 3⋅(2π/5)n jel Fourier-együtthatói ... 218
6.4. ábra A példában szereplő jel Fourier-együtthatóinak képzetes- és valós része ... 219
6.5. ábra A példában szereplő jel Fourie- együtthatóinak amplitúdó- és fázisspektruma ... 220
6.6. ábra Periodikus diszkrét négyszögjel ... 220
6.7. ábra A periodikus diszkrét négyszögjel Fourier-együtthatói 2N1 + 1 = 5, (a) N = 10; (b) N = 20; (c) N = 40 esetben ... 222
6.8. ábra Az eredeti négyszögjel közelítése (a) M = 1; (b) M = 2; (c) M = 3; (d) M = 4 esetben ... 223
6.9. ábra Véges idejű diszkrét aperiodikus jel ... 226
6.10. ábra Az aperiodikus jelből konstruált periodikus jel ... 226
6.11. ábra Az X( )Ω ej nΩ képlet grafikus reprezentációja ... 228
6.12. ábra (a) lassú változású (c) gyors változású diszkrét jelek Fourier-transzformáltjai (b), (d) ... 230
6.13. ábra Az amplitúdó- és a fázisspektrum alakulása (a) a > 0; (b) a < 0 esetben ... 231
6.14. ábra A példában szereplő x[n] jel ... 232
6.15. ábra Az x[n] Fourier-transzformáltja ... 232
6.16. ábra Diszkrét aperiodikus négyszögjel ... 233
6.17. ábra A diszkrét aperiodikus négyszögjel Fourier-transzformáltja ... 233
6.18. ábra A diszkrét egységimpulzus-jel közlítése komplex exponenciálisokkal ... 235
6.19. ábra Diszkrét impulzusvonat ... 237
6.20. ábra A diszkrét impulzusvonattal egy perióduson egyenlő aperiodikus jel ... 237
6.21. ábra A diszkrét impulzusvonattal egy perióduson egyenlő aperiodikus jel ... 237
6.22. ábra A ejΩ0n jel Fourier-transzformáltja ... 238
6.23. ábra A diszkrét idejű periodikus jel Fourier-transzformáltja ... 240
6.24. ábra FFT a Winamp zenelejátszóban ... 247
6.25. ábra Bufferfly ábra ... 250
6.26. ábra Néhány kiszámított FFT ... 254
6.27. ábra Az x[n] jelből származtatott x3[n] ... 258
6.28. ábra Az idő- és a frekvenciatartomány közötti inverz összefüggés ... 259
6.29. ábra A periodikus konvolúció lépési ... 262
6.30. ábra A transzformáltak és sorok dualitási kapcsolata ... 269
6.31. ábra Az amplitúdó- és fázisspektrum ábrázolása ... 271
7.1. ábra Differenciáló szűrő frekvencia válaszának amplitúdó- és fázisspektruma ... 274
7.2. ábra Ideális aluláteresztő szűrő frekvenciaválasz-függvénye ... 275
7.3. ábra Ideális felüláteresztő szűrő ... 276
7.4. ábra Ideális sáváteresztő szűrő ... 276
7.5. ábra Ideális diszkrét (a) alul-; (b) felül-; (c) sáváteresztő szűrő ... 277
7.6. ábra Ideális aluláteresztő szűrő lineáris fázisváltozással ... 278
7.7. ábra A konvolúció folyamata egy animáción bemutatva ... 278
7.8. ábra Ideális aluláteresztő szűrő impulzusválasz-függvénye ... 279
7.9. ábra Ideális aluláteresztő, lineáris fázisváltozású szűrő impulzusválasz-függvénye ... 280
7.10. ábra Ideális, diszkrét aluláteresztő szűrő frekvenciaválasz-függvénye ... 280
7.11. ábra Az ideális aluláteresztő szűrő egységugrásra adott válaszfüggvénye (a) folytonos (b) diszkrét esetben ... 281
7.12. ábra Enyhén átlapolódó spektrumok ... 282
7.13. ábra Nem ideális szűrők spektrumát jellemző tartományok ... 283
7.14. ábra Elsőrendű RC szűrő ... 286
7.15. ábra Az elsőrendű RC szűrő frekvenciaválaszának Bode-diagramja a kondenzátor feszültségére nézve ... 287
7.16. ábra Az RC szűrő (a) impulzus; (b) egységugrásra adott válaszfüggvénye a kondenzátor feszültségére nézve ... 288
7.17. ábra Az elsőrendű RC szűrő frekvencia válaszának Bode-diagramja az ellenállás feszültségére nézve ... 289
7.18. ábra Az RC szűrő egységugrásra adott válaszfüggvénye az ellenállás feszültségére nézve
... 289
7.19. ábra A lengéscsillapító rendszer Bode-diagramja különböző ζ esetén ... 291
7.20. ábra A lengéscsillapító rendszer egységugrásra adott válasza különböző ζ esetén ... 291
7.21. ábra A hárompontos mozgó átlaggal számoló szűrő amplitúdó- és fázisspektruma ... 294
7.22. ábra A kétpontos mozgó különbségátlaggal dolgozó felüláteresztő szűrő amplitúdóspektruma ... 295
7.23. ábra A (a) M = N = 16; (b) M = N = 32 pontos mozgó átlagot használó aluláteresztő szűrők amplitúdóspektruma ... 297
7.24. ábra Tőzsdeindex ingadozása ... 298
7.25. ábra Tőzsdei index 51 napos mozgó átlagolás után ... 298
7.26. ábra Tőzsdei index 201 napos mozgó átlagolás után ... 299
7.27. ábra A példában szereplő nem rekurzív szűrő impulzusválasza ... 300
7.28. ábra A példában szereplő nem rekurzív szűrő frekvenciaátviteli függvénye ... 300
7.29. ábra Nem rekurzív aluláteresztő szűrő, a lehető legélesebb vágáshoz kiszámolt 251 optimális együtthatóval ... 301
7.30. ábra A rekurzív szűrő amplitúdóspektruma a = 0.6 esetén ... 302
7.31. ábra A rekurzív szűrő amplitúdóspektruma a = -0.6 esetén ... 303
7.32. ábra Eltérő rendű Butterworth-szűrők Bode-diagramja ... 305
7.33. ábra Az előbbi ábrának vágási pontban nagyított metszete ... 305
7.34. ábra Másodrendű Butterworth-szűrő ... 306
7.35. ábra Harmadrendű Butterworth-szűrő ... 306
7.36. ábra A Butterworth-szűrők impulzus- és egységugrás-válasz függvényei ... 307
7.37. ábra Csebisev- és ekliptikus szűrők ... 308
7.38. ábra Diszkrét idejű Butterworth-szűrők amplitúdóspektruma ... 309
7.39. ábra Analóg és digitális szűrés összehasonlítása ... 310
7.40. ábra Nyers adatsor és mozgóátlagolt adatsor ábrázolása ... 312
7.41. ábra Digitális szűrő ki/bemeneti vázlat ... 312
7.42. ábra Mozgóátlag blokkvázlata ... 313
7.43. ábra Az 5 pontos FIR szűrő blokkvázlata ... 313
7.44. ábra FIR szűrő kimenetének számítása ... 314
7.45. ábra Szűrő impulzus bemenetre adott válaszának vizsgálata ... 315
7.46. ábra Szűrő frekvencia- és fázisválasza ... 316
7.47. ábra Szűrő bemenetének és kimenetének viszonyai időtartományban ... 317
7.48. ábra Példaszűrő frekvenciaválasza folytonos esetben ... 318
7.49. ábra Példaszűrő frekvenciaválasza diszkrét (mintavételezett) esetben ... 318
7.50. ábra Megfelelő adatpontok kiválasztása ... 319
7.51. ábra Adatsor előkészítése inverz Fourier-transzformációhoz ... 320
7.52. ábra Inverz Fourier-transzformáció eredménye ... 320
7.53. ábraA 9 pontos FIR szűrő impulzus- és frekvenciaválasza ... 321
7.54. ábra A 19 pontos FIR szűrő impulzus- és frekvenciaválasza ... 321
7.55. ábra Ablakozás funkció és jelentősége ... 322
7.56. ábra Sáváteresztő FIR szűrő impulzusválasza (példa) ... 323
7.57. ábra Konvolúcióhoz használt fs/4 frekvenciájú diszkrét koszinusz időtartományban (példa) ... 323
7.58. ábra Szűrő impulzusválasza és a koszinusz fv. ábrázolása közös koordinátarendszerben ... 324
7.59. ábra Konvolúció során kapott szűrőegyütthatók ... 324
7.60. ábra Konvolúció ... 324
7.61. ábra FIR szűrő tervezése ... 326
7.62. ábra Félsávos FIR szűrő ... 327
7.63. ábra IIR szűrők blokkdiagramja ... 328
7.64. ábra Másodrendű IIR szűrő (példa) ... 330
7.65. ábra Példaszűrő frekvencia- és fázisválasza ... 332
7.66. ábra IIR szűrők stabilitásának vizsgálata ... 333
7.67. ábra Átalakított IIR szűrő ... 334
7.68. ábra Direkt módszerrel továbbfejlesztett, egyszerűsített IIR szűrő ... 334
7.69. ábra Kaszkád és párhuzamos szűrő alapkapcsolások ... 335
7.70. ábra Kaszkádolt IIR szűrő példa ... 335
8.1. ábra Amplitúdó modulációs rendszer ... 340
8.2. ábra Az (b) vivő jel az (a) jellel történő amplitúdó modulációjának hatása a spektrumon ... 341
8.3. ábra Komplex exponenciális vivő jellel tötrénő amplitúdó moduláció megvalósítása ... 342
8.4. ábra Szinuszos vivő jellel történő amplitúdó moduláció megvalósítása ... 342
8.5. ábra Az amplitúdó moduláció hatása a spektrumra c(t) = cosωct vivő jel esetén ... 343
8.6. ábra Szinuszoidális amplitúdó moduláció átlapolódó spektrummal ... 344
8.7. ábra Az a szinuszoidális amplitúdó modulált jel demodulációja ... 345
8.8. ábra Komplex exponenciális vivő jellel történő amplitúdó (a) moduláció; (b) demoduláció ... 346
8.9. ábra Szinuszoidális vivő jellel történő amplitúdó (a) moduláció; (b) demoduláció ... 347
8.10. ábra Nem szinkronizált szinuszoidális vivő jellekkel történő amplitúdó (a) moduláció; (b) demoduláció ... 348
8.11. ábra Amplitúdó modulált jel ahol a modulált jel pozitív ... 350
8.12. ábra Envelope detector ... 350
8.13. ábra Demodulálás envelope detectorral és szűrő segítségével, r(t) a fél hullámtér, w(t) a detektor kimenete, x(t) pedig a szűrés után visszakapott eredeti jel ... 351
8.14. ábra Aszinkron moduláló rendszer ... 351
8.15. ábra Amplitúdó moduláció (a) m = 0.5; (b) m = 1 ... 352
8.16. ábra Az x(t) jel (a) szinkron; (b) aszinkron modulációja során létrejövő spektrumváltozások ... 353
8.17. ábra Sáváteresztő szűrő megvalósítása amplitúdó moduláció segítségével ... 354
8.18. ábra Az előző rendszerben szereplő jelek spektrumai... 356
8.19. ábra A rendszernek megfelelő sáváteresztő szűrő ... 357
8.20. ábra A rendszerben szereplő f(t) függvény valós részének spektruma ... 357
8.21. ábra A valós esetnek megfelelő sáváteresztő szűrő ... 357
8.22. ábra Komplex exponenciálissal történő moduláció megvalósítása tisztán szinuszos formában ... 358
8.23. ábra Frekvencia osztásos multiplexálás szinuszoidális AM-el ... 360
8.24. ábra Frekvencia multiplexálás hatás a spektrumon ... 361
8.25. ábra Frekvencia osztásos jel demultiplexálása és demodulációja ... 362
8.26. ábra Egy aott x(t) jel spektruma ... 363
8.27. ábra A modulált jel spektruma ... 363
8.28. ábra A modulált jel (a) felső; (b) alsó oldalsávjai ... 364
8.29. ábra A felső oldalsávos moduláció megvalósulása ... 365
8.30. ábra Alsó oldalsávos amplitúdó modulációt megvalósító rendszer ... 366
8.31. ábra Az előző rendszerben szereplő jelek spektrumai... 367
8.32. ábra Impulzus amplitúdó moduláció ... 368
8.33. ábra Idő osztásos multiplexálás ... 370
8.34. ábra Az impulzus amplitúdó moduláció hatása a spektrumra ... 372
8.35. ábra Diszkrét idejű amplitúdó moduláció ... 374
8.36. ábra Az (a) x[n]; (b) c[n]; (c) y[n] = x[n]c[n] jel spektruma ... 375
8.37. ábra Amplitúdó moduláció a c[n] = (-1) nvivő jelel ... 376
8.38. ábra Felül áteresztő szűrő megvalósítása alul áteresztő szűréssel és modulálással ... 377
8.39. ábra Diszkrét idejű amplitúdó moduláció szinuszos vivő jellel ... 378
8.40. ábra Diszkrét idejű szinkron demoduláció ... 380
8.41. ábra Diszkrét idejű impulzus moduláció ... 381
8.42. ábra (a) RAMP függvény fázis modulációja; (b) RAMP függvény frekvencia modulációja; (c) egységugrás függvény frekvencia modulációja ... 384
8.43. ábra A keskenysávú FM eredményének becslése ... 387
8.44. ábra (a) keskenysávú FM; (b) AM-DSB/WC ... 388
8.45. ábra Szélessávú FM, (a) cos(ωct) cos( sinm ωmt)spektruma; (b) sin(ωct) sin( sinm ωmt) spektruma; (c) a két jel kombinált spektruma ... 389
8.46. ábra Szimmetrikus periodikus négyszögjel ... 391
8.47. ábra Szimmetrikus periodikus négyszögjel frekvencia moduláltja ... 391
8.48. ábra Az r(t) jel alakja ... 392
8.49. ábra A moduláció eredményeként kapott spektrum ... 392
9.1. ábra Folytonos jelek melyek azonos értéket vesznek fel T egész számú többszöröseire 395 9.2. ábra Impulzus amplitúdó moduláció, ahogy Δ→ 0, p(t) egyre inkább impulzus vonattá válik ... 396
9.3. ábra Impulzus amplitúdó moduláció ... 397
9.4. ábra A mintavételezés hatásai a frekvencia tartományon, (a) az erdeti jel spektruma; (b) a mintavételező jel spektruma; (c) a mintavételezés eredményének spektruma ha ( ) M s M ω < ω ω− ; (d) a mintavételezés eredményének spektruma ha ωs <2ωM ... 399
9.5. ábra A folytonos idejű jel teljes mértékű visszanyerése mintáiból ideális alul áteresztő szűrő segítségével ... 400
9.6. ábra Mintavételezés nulladrendű tartószervvel ... 401
9.7. ábra A nulladrendű tartószerv megvalósítása impulzus vonattal történő mintavételezés és egy négyzet alakú impulzus válasz függvényű rendszer sorba kapcsolásával ... 402
9.8. ábra Nulladrendű tartószerv és a rekonstrulá szűrő soros kapcsolata ... 403
9.9. ábra Amplitúdó és fázis spektruma a rekonstrukciós szűrőnek ... 404
9.10. ábra Lineáris interpoláció ... 405
9.11. ábra Ideális sávhatárolt interpoláció a sinc függvénnyel ... 407
9.12. ábra A nulladrendű tartószerv és az ideális interpolációs szűrő frekvencia válasz függvénye ... 408
9.13. ábra Elsőrendű tartószervvel történő interpoláció ... 409
9.14. ábra Az elsőrendű tartószerv és az ideális interpolációs szűrő spektruma ... 410
9.15. ábra A túl ritka mintavételezés hatása ... 412
9.16. ábra Az aliasing hatása szinuszoidális függvény mintáiból visszaállított jelre nézve, (c) és (d) esetben van csupán aliasing ... 414
9.17. ábra Stroboszkóp hatás ... 415
9.18. ábra Folytonos jelek diszkrét idejű feldolgozása ... 416
9.19. ábra Adott jel impulzus vonattal történő mintavételezése és diszkrét időtartományra valókonverziója ... 417
9.20. ábra Összefüggés a folytonos mintavételezett jel spektruma és annak diszkrét megfelelője között ... 419
9.21. ábra Diszkrét idejű szekvencia konverziója folytonos jellé ... 420
9.22. ábra Diszkrét idejű folytonos jelet feldolgozó rendszer ... 420
9.23. ábra A diszkrét jelfeldolgozó rendszer jeleinek spektrumai ... 421
9.24. ábra Diszkrét rendszer frekvencia válasz függvénye és az ennek megfelelő folytonos rendszer válasz ... 422
9.25. ábra Frekvencia válasz függvénye az ideális sávhatárolt differenciáló szűrőnek ... 423
9.26. ábra A folytonos differenciátor szűrőt megvalósító diszkrét rendszer spektruma ... 423
9.27. ábra A folytonos idejű késleltetést megvalósító rendszer spektruma ... 424
9.28. ábra A folytonos idejű késleltetést megvalósító diszkrét idejű rendszer spektruma ... 425
9.29. ábra Egy folytonos jel mintavételezése (a) normál esetben; (b) félmintás késleltetéssel ... 426
9.30. ábra Mintavételezés a frekvencia tartományban ... 427
9.31. ábra Frekvencia mintavételezés hatása az idő tartományba, és a jel visszaállításának lehetősége ... 429
9.32. ábra Diszkrét idejű mintavételezés ... 431
9.33. ábra Diszkrét jel impulzus mintavételezésének hatásai a spektrumra nézve ... 432
9.34. ábra A diszkrét jel rekonstrukciója a mintáiból alul áteresztő szűrő segítségével ... 434
9.35. ábra Impulzus vonattal történő mintavételezés a frekvencia tartományon ... 436
9.36. ábra A frekvencia tartománybéli mintavétel hatása a diszkrét idő tartományra ... 438
9.37. ábra A tizedelés és a mintavételezés kapcsolata ... 439 9.38. ábra A tizedelés hatás a spektrumra nézve ... 440 9.39. ábra Folytonos idejű jel amelyet eredetileg a Nyquist határon mintavételeztünk, majd diszkrét idejű szűrés után minta ritkításnak vetettük alá ... 441 9.40. ábra Minta dúsítás ... 442 9.41. ábra TDM-ről FDM-re transmultiplexert megvalósító rendszer ... 443 10.1. ábra Lineáris időinvariáns rendszer blokkdiagramja... 444 10.2. ábra A 10.1. példa és 10.2. példa Laplace-transzformáltjainak érvényességi tartománya ... 446 10.3. ábra A Laplace-transzformált érvényességi tartománya ... 447 10.4. ábra Az előbbi példa Laplace-transzformáltjának konvergencia tartománya ... 448 11.1. ábra Az egységnyi sugarú kör ... 450 11.2. ábra Konvergencia-tartomány ha |z|>|a| ... 451 11.3. ábra Konvergencia-tartomány ha |z|<|a| ... 452 11.4. ábra Konvergencia-tartomány ha |z|>1/2 és |z|>1/3 ... 453 11.5. ábra Konvergencia-tartományok metszete ... 453 11.6. ábra Konvergencia-tartomány gyűrű ... 455 11.7. ábra Szekvencia szorzása egy csökekenő exponenciálissal ... 456 11.8. ábra A két konvergencia-tartomány metszeteként létrejövő gyűrű ... 458 11.9. ábra Pólus- és zérushelyek ... 459 11.10. ábra A szekvencia jellege b különböző értékeire ... 460 11.11. ábra A 11.4. példa pólus-zérus helyei és konvergencia tartományai ... 461 11.12. ábra A Z-transzformálthoz tartozó pólus-zérus helyek és lehetséges konvergencia tartományok ... 462 12.1. ábra ... 466 12.2. ábra ... 469 12.3. ábra ... 469
12.4. ábra ... 470 12.5. ábra ... 471 12.6. ábra ... 471 12.7. ábra ... 474 12.8. ábra ... 474 12.9. ábra ... 474 12.10. ábra ... 475 12.11. ábra ... 476 12.12. ábra ... 476 12.13. ábra ... 476 12.14. ábra ... 477 12.15. ábra ... 478 12.16. ábra ... 479 12.17. ábra ... 480 12.18. ábra ... 480 12.19. ábra ... 481 12.20. ábra ... 482 12.21. ábra ... 482 12.22. ábra ... 483 12.23. ábra ... 484 12.24. ábra ... 485 12.25. ábra ... 487
Előszó
A digitális jelfeldolgozás napjaink egyik legdinamikusabban fejlődő technológiája, mely jelentősen hozzájárul a XXI. század tudományos és mérnöki fejlődéséhez. Széles körben alkalmazzák kommunikációs rendszerekben, orvosi elektronikai berendezésekben, katonai alkalmazásokban, robot-technológiai és szórakoztató elektronikai eszközökben, csak, hogy néhány példát említsünk. Annak ellenére, hogy az alkalmazási terület spektruma széles, a jelfeldolgozás mögött rejlő algoritmusok elméleti alapjai nehezen elsajátíthatók, holott a matematikai eszközök letisztultak. A legtöbb külföldi és magyar felsőoktatási intézmény is felismerte a téma jelentőségét, és célul tűzte ki a szakterülethez kapcsolódó ismeretek oktatását. Emellett a már végzett ipari szakemberek is intenzíven érdeklődnek a szakterület iránt. A tapasztalatok viszont azt mutatják, hogy nincs korszerű és átfogó magyar nyelvű kiadvány a területen. Jelen projekt keretében célul tűztük ki egy olyan digitális anyag elkészítését, amely elősegítené a jelek és rendszerek, valamint a digitális jelfeldolgozás tématerületeinek könnyebb megértését mind az ez iránt érdeklődő egyetemi hallgatók, mind az ipari szakemberek számára.
1 Bevezet ő
A DSP (Digital Signal Processing), azaz a digitális jelfeldolgozás az egyik leggyorsabban fejlődő ága a modern elektronikának. Mind a modern szórakoztatóipar, mind a kifinomult szabályozástechnika és informatika elengedhetetlen része lett. Széleskörű használata szinte nélkülözhetetlenné teszi bármely olyan technológia számára, mely a külvilágból érkező hatásokat belső, digitális úton kívánja feldolgozni. Ez teszi a DSP elméletét és gyakorlatát olyannyira fontossá, hogy immár észrevétlenül nemcsak technológiáink, hanem életünk, civilizációnk részévé is vált. Mikor autóba ülünk, vagy repülőgépen szállunk a felhők közt, és kedvenc együttesünk CD-jét hallgatjuk, mind-mind a DSP vívmányai. Apró processzorainak zümmögése körülvesz minket; persze nem halljuk őket, s gyakran nem is látjuk, de ott vannak, őrködnek talán nemsokára minden lépésünk felett is.
Ennek a könyvnek a célja, hogy hatásos betekintést nyújtson ennek a technológiának és elméleti problémakörnek az alapjaiba, megfűszerezve azt a való világ példáival. A könyv kifejezetten a Veszprémi Egyetemen oktatott Digitális Jelfeldolgozás tantárgy hallgatói számára készült, de örömmel ajánljuk minden kedves érdeklődőnek.
2 A DSP rendszerek általános modellje
2.1. ábra Általános DSP rendszermodell
A fenti ábrán egy tipikus digitális jelfeldolgozási rendszer, röviden DSP rendszer modelljének felépítését láthatjuk. A DSP által végzett operációk a következő csoportokba sorolhatók:
Analóg jel, jelek fogadása az input csatornán.
Ezen analóg jelek számokkal való ábrázolása, digitalizálása.
Bizonyos, a funkciót jelentő számítások elvégzése az így kapott értékhalmazon.
A számok visszakonvertálása analóg jelekké.
Persze az információ – amit megjeleníthetünk, tárolhatunk, vagy továbbíthatunk is – eközben feldolgozásra kerül. A modell csupán általánosságban vázolja az ilyen rendszerek működését.
A megvalósított megoldások szétszedhetők ezen részekre, de ezek kivitelezése már az adott technológiától vagy alkalmazástól erősen függ.
Tekintsük most ezen részek kicsit bővebb magyarázatát:
2.1 A bemenet és a jelérzékelő
Minden jelfeldolgozási folyamat egy úgynevezett jelérzékelő eszközzel (input transducer) kezdődik. Ennek feladata a probléma számára fontos fizikai vagy kémia hatás elektromos jellé való átalakítása. Ezen folyamat közben a mért jellemző egy egységes, folytonos jeltartományba képződik le, amely hűen, a műszer által biztosított pontosságon keresztül követi a fizikai ill. kémiai paraméter változását, pillanatnyi értékét. Ez az eszköz számtalan formát ölthet, lehet például egy antenna, de akár egy mikrofon is.
2.2 Jelrendezés és simítás
A jelrendezés és simítás legfőbb feladata, hogy a jelet megfelelő tartományba tolja illetve képezze le, hogy a további fokozatok számára biztosítsa a biztonságos működést, továbbá az ártalmas hatások elleni védelem is ezen kezdő fokozatban valósul meg. Általában erősítők és leválasztók, pl. optocsatolók képezik ezt a fokozatot.
2.3 Anti-alias ing szűrés
Maga az anti-aliasing szűrő egy aluláteresztő szűrő. Fő feladata, hogy az A/D átalakító, azaz a mintavételezés számára biztosítsa a megfelelő jelsebességet, korlátozva a jel változási sebességét. A rendszernek ez a része felelős azért, hogy az egész rendszer követni tudja a bemeneti jelet és annak változásait. Ha a bemeneti jel túl gyorsan változna, a rendszer képtelen lenne követni azt, így értékes információk veszhetnének el a jelből.
2.4 Analóg-digitális átalakító
Az A/D átalakítók legfőbb feladata, hogy az analóg, azaz a folytonos világ jeleit számokká, értékekké, vagyis jól meghatározott értékelési rendszerbe alakítsák át, azaz digitalizálják.
Tipikusan egy ilyen átalakítás diszkrét elektromos jeltartományba viszi át a jelet, és értelmezhetővé teszi azt a további részrendszerek számára. Az A/D átalakítók legfőbb jellemzője a konverzió sebessége (conversion rate) illetve a leképezés pontossága, felbontási finomsága (resolution). Míg az első a módszer sebességét jellemzi, addig a másik megmondja, hogy a kapott diszkrét értékek mennyire lesznek közel a valós értékhez. Az A/D átalakításnak számtalan módszere létezik, ezek tárgyalásával a villamosmérnöki szakkönyvek foglalkoznak.
2.5 Processzor
A „processzor” csak elvi elnevezés, inkább processzáló elemet, nem ténylegesen működő processzort jelent. Például ha célunk a jel erősítése, egy egyszerű erősítő vagy szorzó áramkör is lehet. Ezen rendszerrész fő feladata az elvégezni kívánt funkció, algoritmus megvalósítása az előző fokozat adatai alapján. Lényegében a rendszer lelkét képezi, működésének lényegét definiálja.
2.6 Program- és adattárolás
A program tárolása, a kívánt funkciót megvalósító algoritmus tárolását jelenti, míg az adatok ideiglenes tárolása vagy kiértékelése és továbbítása külön történik. Külön memóriában kerül
tárolásra a program, és külön az adatok. Ez így gyorsabb működést tesz lehetővé, mivel egy utasításvégrehajtási ciklus alatt az utasításkód begyűjtése és értelmezése (fetch) mellett az adatok külön buszrendszeren keresztül kerülnek továbbításra vagy beolvasásra. Ezt a számítógép-architektúrát a Harvard egyetemen fejlesztették ki, így kapta a Harvard- architektúra nevet. Legfőbb ismérve a fent említett adat- és programkód különválasztása, szemben a mai PC-s világ Neumann-alapú szervezésével.
2.7 Adattovábbítás
Az adattovábbítás és az adatok megőrzése a legfőbb erőssége a digitális rendszereknek, mert míg az analóg jelek a továbbítás, tárolás, feldolgozás során mindenféleképpen sérülnek, átalakulnak, információt veszítenek (például a mágnesszalag öregedése, másolása), addig a már digitalizált jelek gond nélkül, megfelelő eszközön akár nagyon hosszú ideig is információvesztés nélkül tárolhatók és akárhányszor felhasználhatók műveletvégzés céljából.
2.8 Adatmegjelenítés és felhasználói interakció
Nem minden DSP rendszer rendelkezik a felhasználói interakció vagy adatmegjelenítés képességével (pl. ABS fékrendszer). Azonban sokszor szükség lehet az emberi felügyeletre, vagy éppen az emberi tájékoztatás a cél. A funkció általában kijelzőkkel és pár vezérlőeszközzel (például kapcsolók, billentyűk) megoldható.
2.9 Digitális-analóg átalakító
Sok DSP rendszernek létezik valamilyen analóg kimenete a külvilág felé, ezért a digitális adatokat vissza kell alakítani elektromos jelekké, feszültség- vagy áramjellé, amit további rendszerekhez juttathatunk el. Ezt a feladatot végzik el a D/A átalakítók, melyek különböző rendű tartószervek alapján kerülnek megvalósításra. Tehát a digitális világ jeleit ismét visszahelyezzük valamely folytonos jeltartományba.
2.10 Kimeneti simítás
A D/A átalakítók kimeneti jelei igencsak szögletesek, tüskékkel terheltek, amelyek zavarokat okozhatnak az analóg jeltovábbítás vagy felhasználás területén. Ezért ezeket a jeleket simítani kell egy aluláteresztő szűrő segítségével. A különböző szűrők, így az aluláteresztők is későbbi fejezetek témái lesznek.
2.11 Kimeneti erősítő fokozat
Általában teljesítményerősítés, vagy impedanciaillesztés a fokozat lényege, a jelet a végső rész felé próbáljuk meg kondicionálni.
2.12 Kimeneti adó
A végleges kimeneti jelet visszahelyezzük a környezet valóságába, így a feszültség- vagy áramjelből más fizikai vagy kémiai jelet állítunk elő. Pl.: antenna, motor stb.
2.13 Gyors fejlődés
Mint már a bevezetőből is kiderült, ez a terület nemcsak gyorsan fejlődik, hanem áthatja jelenlegi alkalmazásainkat is. Igen sok nélkülözhetetlen algoritmust mondhat magáénak a DSP területe:
• FFT (Fast Fourier Transformation)
• Discrete Cosine Transformation (MPEG)
• Kódolási eljárások (Huffman, Trellis, Runlength...)
• Szűrők (FIR, IIR, Kalman, Notch...)
• Vektorműveletek (Dot product, cross product...)
• Mátrixműveletek
• Konvolúciók
• Numerikus integrálások, deriválások és egyéb algoritmusok Álljon itt néhány példa a jelen kor alkalmazásaira is informáló jelleggel:
• GPS (Global Positioning System)
• Rakéta célvezetés (Missile guidance)
• ABS (Adaptive Break System)
• Modem
• Mobiltelefonok (Cellular phones)
• 3D rotation in graphics, video cards
3 Jelek és rendszerek
Ezen fejezet a jelekkel és rendszerekkel kapcsolatos alapvető fogalmak tisztázásra és azon technikai aspektusok, illetve konkrét technikák kifejlesztésére törekszik, amelyek nélkülözhetetlenek annak az analitikai keretnek a felépítésénél, mellyel a jeleket és rendszereket elemezni tudjuk. Emiatt először matematikai leírásokat és ábrázolásokat vezetünk be, melyekkel kifejleszthetjük néhány alapfogalmát a jelek és rendszerek analízisének. Ily módon mélyebben megérthetjük a jelek tulajdonságait és jellemzőit.
3.1 Jelek
Elsődlegesen vezessük be az alábbi alapfogalmakat:
3.1. definíció: A jelhordozó
Jelhordozónak nevezünk minden olyan fizikai, kémiai és gazdasági változót, amely a vizsgált rendszerben szerepel.
3.2. definíció: Jellemző
Minden olyan jelhordozó, amely lényeges az adott rendszerben 3.3. definíció: A jel
Jelnek nevezzük a jelhordozó pillanatnyi értékét vagy annak megváltozását.
A jelek széleskörű fizikai jelenségek sokaságát írhatják le. A jeleket többféleképpen lehet ábrázolni, de minden esetben a jelben rejlő jellemző változása hordozza az információt, amiről a jelenség viselkedésére, természetére vissza tudunk következtetni. Például az emberi hangképző rendszer úgy generál beszédet, hogy rezegteti a hangszálakat, és ily módon akusztikai nyomásváltozásokat (fluktuációt) idéz elő. Ezeket a nyomásváltozásokat nevezzük mi jelnek.
3.1. ábra Akusztikai nyomásváltozások
A fenti ábra sémájára grafikonon ábrázolhatjuk ezeket a nyomásváltozásokat, miután érzékelésük, mérésük megtörtént. Egy ilyen mérést könnyen elvégezhetünk például egy mikrofon segítségével. A mikrofonnal tehát az akusztikai nyomást érzékeltük, amit aztán elektromos jellé alakítottunk át. Mint tudjuk, a különböző mintáknak különböző hangok felelnek meg az akusztikai nyomás változásaként. Így az emberi hangképző szerv érthető
beszédet tud produkálni, sajátos sorrendiséggel formálva ezeket a mintákat. Ezt utána fülünkkel észleve kinyerhetjük belőle a számunkra hasznos információkat.
Másik példaként vegyük egy monokromatikus képet, amely az alábbi ábrán látható.
3.2. ábra Monokromatikus kép
Ebben az esetben a képpontok fényességváltozásának a mértéke fontos. Ezen információhordozónak változását aztán a fenti ábrához hasonlóan szemléltethetjük.
3.3. ábra Képpontok fényességének változása
Azonban a jelek leírására nem elég pusztán létezésük ismerete. Ahhoz, hogy egységes leírást tudjunk rájuk bevezetni, mely megfelelő fogalmi és műveleti képességekkel bír, matematikai eszközökhöz kell nyúlnunk. Matematikailag úgy ábrázolhatjuk a jeleket, mint egy vagy több független változónak a függvényeit. Ezeknek a változóknak hatásosaknak kell lenniük, azaz
megváltozásuktól valamilyen módon függenie kell a jel által hordozott információnak. Erre jó példa lehet a hangjel: A p(t)=f(t) akusztikai nyomás függvénye az időnek, az idő előrehaladtával változik a nyomás, azaz az információ átvitelre kerül például a fülünk és a hangszer között. Természetesen tudjuk, hogy a mért nyomás nem pusztán az időtől, hanem a változást létrehozó hangszertől, a környezettől, a hőmérséklettől és még számtalan egyéb változótól függ, de jelen esetben mindezek egységes leírását biztosítja ezen változók hatásainak az idő múlásává való áttranszformálása.
Ilyen példa lehet egy pillanatnyi kép is, mint fényességfüggvény 2 térbeli változóra nézve:
b( , )x y =f( , )x y (3.1)
Mi a fejtegetéseinkben általában csak egy független változóval dolgozunk, ami legtöbb esetben az idő (t), de más területeken a független változók száma több lehet, mint egy, például:
• Geofizikában
• sűrűség (density)
• porozitás (porosity)
• ellenállás (electrical resistivity)
• Metrológiában
• légnyomás (air pressure)
• hőmérséklet (temperature)
• szélsebesség (wind speed)
3.4. ábra Többváltozós jel
Az ábra példa ilyen többváltozós jelre. A tipikus évi átlag a szél sebessége, mint a magasság függvénye. Az ilyen típusú mérések elengedhetetlenek a repülőzésben, ahol minden magasságon figyelembe kell venni az időminta alapján a szélsebességet, hisz felszállásnál és leszállásnál ez igen fontos.
3.1.1 Jelek csoportosítása
A jelek független változóit többféleképpen csoportosíthatjuk matematikailag. Legfőbb csoportosítási módként el kell választanunk a diszkrét és a folytonos változókat. Ezek a változók abban különböznek, hogy milyen halmazt tekintünk értékkészletüknek. A diszkrét változók értékei az egész számok halmazából kerülnek ki, míg a folytonos változók értékei a valós számok közül. A változók azon tulajdonságával, hogy milyen intervallumból veszik fel értékeiket a halmazokon belül, nem foglalkozunk.
Ezen elgondolásokra támaszkodva a jeleket két nagy csoportba sorolhatjuk a független változóik alapján:
3.1.1.1 Független változó alapján
3.1.1.1.1 Folytonos változójú jelek.
Olyan jelek, amelyeknek minden független változója folytonos. A mi vizsgálataink szerint az ilyen, csupán az időtől folytonosan függő jeleket folytonos idejű jeleknek (Continuous Time Signals) nevezzük (jelölés: CT). A folytonos idejű jelek két időpont között végtelen sok értékre vannak definiálva, ezért bármely időpontra vesznek fel értéket.
3.5. ábra Folytonos változójú jel
3.1.1.1.2 Diszkrét változójú jelek.
Olyan jelek, amelyeknek minden független változója diszkrét értékű. A mi vizsgálataink szerint az ilyen csupán az időtől diszkréten függő jeleket diszkrét idejű jeleknek (Discrete Time Signals) nevezzük (jelölés: DT). A diszkrét idejű jelek csak diszkrét időpontokra vannak definiálva, ezért mindig csak meghatározott időközökben vesznek fel értékeket, az időközök között nem definiáltak.
3.6. ábra Diszkrét változójú jel
A beszédjel, mint az idő függvénye, vagy a légnyomás, mint a magasság függvénye példák folytonos idejű jelekre, de a hetente megjelenő tőzsdei index már a diszkrét idejű jelek osztályába tartozik. Hasonló példákat találhatunk diszkrét jelekre a demográfiai tanulmányokban: iskolázottság, bűnözés, fizetés.
A továbbiakban használjuk az alábbi jelöléseket:
t - folytonos idejű jelek változója. A valós számok halmazának eleme.
n - diszkrét idejű jelek változója. Az egész számok halmazának eleme.
Az előbbi példánkban a független változóról látható, hogy diszkrét volt. Diszkrét idejű jelek olyan jelenségeket is le tudnak írni, ahol a független változó időben folytonos volt, de szukcesszív mintavételezésben részesült. Ilyen mintavételezést mutat be az alábbi ábra.
3.7. ábra Szukcesszív mintavételezés
A mintavételezési eljárásokat az alábbi három nagy csoportba sorolhatjuk:
A jeltől független mintavételezés, ekvidisztáns időközönként. Ezeket lineáris, rögzített lefolyású mintavevő rendszereknek nevezzük.
A jeltől függő mintavételezés, amikor a változás sebességének növekedése pontosabb ábrázolást igényel, de gazdasági okokból a mintavételezés gyakoriságát valamilyen jellemzőnek a változásához kötjük. Ezeket nemlineáris, jeltől függő mintavevő rendszereknek nevezzük.
Statisztikai mintavételezés, általában a manuális mintavételezés tartozik ide.
A folytonos és diszkrét jeleket külön, de párhuzamosan fogjuk elemezni; így ha valamelyikben jobban sikerült elmélyedni, akkor segítséget kaphatunk a másik megértéséhez is. A mintavételezésre később visszatérünk.
Tovább vizsgálódva a jelek érdekes világában láthatjuk, hogy más módon is megkülönböztethetjük őket egymástól, azaz azok matematikai csoportosítását más úton is megtehetjük.
3.1.1.2 Értékkészletük szerint
A jeleket csoportosíthatjuk értékkészletük szerint is, így megkülönböztetünk:
3.1.1.2.1 Folytonos
Folytonos értékkészletű jeleknek nevezzük azokat a jeleket, amelyek bármilyen értéket felvehetnek, ezért értékkészletük nem definiálható véges halmazként. Ilyen jel például egy egyszerű f(x)=cos(x) függvény is.
3.8. ábra Folytonos értékkészletű jel
3.1.1.2.2 Szakaszos
Azokat a jelek nevezzük szakaszos értékkészletű jeleknek, amelyek értékeiket csak egy előre meghatározott, véges sok értéket tartalmazó halmazból vehetik fel. Ilyen jelek az ideális bináris jelek, de említhetjük még a konstans-, illetve lépcsős függvényeket is.
3.9. ábra Szakaszos értékkészletű jel
3.1.1.3 A jelek meghatározottsága
Egy újabb csoportosítási lehetőséget ad a jelek meghatározottsága:
3.1.1.3.1 Determinisztikus
Determinisztikusnak nevezünk minden olyan jelet, amelyet létrehozó kölcsönhatások a megfigyelő, vagyis az adott rendszer számára egyértelműen és pontosan definiáltak. Ebbe a csoportba tartozik bármely olyan jel, amellyel eddig analízisből vagy a matematika nem valószínűségszámításra alapuló részéből foglakoztunk. Ezek a jelek két nagy csoportra oszlanak: a periodikus és nem periodikus jelek csoportjára.
3.10. ábra Determinisztikus jelek csoportosítása
3.1.1.3.1.1 Periodikus
Periodikusnak nevezünk bármely jelet, amely szabályosan ismétlődő részek sorozataként áll elő. Legegyszerűbben úgy definiálhatóak, hogy független változójukon alkalmazott, a jeltől függő T konstans eltolás esetén, a jel értékei bármely pontban megegyeznek az eredeti jel értékeivel.
x( )t =x(t T+ )
3.11. ábra Folytonos periodikus jel
ahol T> 0 valós szám. Azt a legkisebb T számot, amelyre ez teljesül, a jel alapperiódusának nevezzük és T0 –lal jelöljük. Ha a jel periodikus T0 –lal, akkor tetszőleges m egész számra igaz, hogy x( ) xt =
(
t+ ⋅m T0)
bármely t-re.A periodikusság azonban nemcsak folytonos, hanem diszkrét időben is tulajdonsága lehet egy jelnek. Ekkor létezik olyan N természetes szám, amelyre:
[ ] [ ]
x n = +n N
3.12. ábra Diszkrét periodikus jel
Azt a legkisebb N számot, amelyre a fenti egyenlet fennáll, a jel alapperiódusának nevezzük, és N0-lal jelöljük. Ha a jel periodikus N0–lal, akkor tetszőleges m egész számra igaz, hogy
x[t] x[t= +m·N0] bármely n-re.
Persze meg kell jegyeznünk, hogy tetszőleges T-re vagy N-re ha fennállnak az egyenletek, akkor azok m-szeresére is teljesül az egyenlőség. Tehát a jel nemcsak az alapperiódusával, hanem annak többszöröseivel is periodikus.
A periodikus jeleket két nagy csoportba sorolhatjuk:
3.1.1.3.1.1.1 Szinuszosan periodikus
Szinuszosan periodikusnak nevezünk egy jelet, ha folytonos esetben előáll az alábbi alakban:
Re j(ω t Φ)0
x(t)= A e⋅ ⋅ + , ahol:
Re a valós részt jelölő függvény,
A az amplitúdó,
ω0 az alap körfrekvencia, Фpedig a kezdőfázis.
3.13. ábra Szinuszosan periodikus jel
3.1.1.3.1.1.2 Általánosan periodikus
Általánosan periodikusnak akkor nevezünk egy jelet, ha szinuszosan nem periodikus, de létezik olyan T>0 valós szám, hogy:
x(t) = x(t+T) bármely t időpillanatban.
3.14. ábra Általánosan periodikus jel
Az ilyen jelek felírhatóak az alábbi alakban:
